Počítání omezení - Constraint counting

V matematice , počítání omezení je počítání počtu vazeb s cílem porovnat jej s počtem proměnných , parametrů atd, které jsou zdarma, které mají být stanoveny, myšlenka je, že ve většině případů se počet nezávislých možností, které mohou třeba připomenout, přebytek druhého nad prvním.

Například v lineární algebře, pokud se počet omezení (nezávislé rovnice) v systému lineárních rovnic rovná počtu neznámých, pak existuje právě jedno řešení; pokud existuje méně nezávislých rovnic než neznámých, existuje nekonečné množství řešení; a pokud počet nezávislých rovnic přesáhne počet neznámých, pak neexistují žádná řešení.

V kontextu parciálních diferenciálních rovnic je počítání omezení hrubý, ale často užitečný způsob počítání počtu volných funkcí potřebných k zadání řešení parciální diferenciální rovnice .

Parciální diferenciální rovnice

Zvažte parciální diferenciální rovnici druhého řádu ve třech proměnných, jako je rovnice dvojrozměrné vlny

${\ displaystyle u_ {tt} = u_ {xx} + u_ {yy}.}$

Často je výhodné myslet na takovou rovnici jako na pravidlo přepsání, které nám umožňuje přepsat libovolné parciální derivace funkce s použitím menšího počtu částeček, než kolik by bylo pro libovolnou funkci zapotřebí. Například pokud splňuje vlnovou rovnici, můžeme ji přepsat ${\ displaystyle u (t, x, y)}$${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle u_ {tyt} = u_ {tty} = u_ {xxy} + u_ {yyy}}$

kde v první rovnosti jsme apelovali na skutečnost, že částečné deriváty dojíždějí .

Lineární rovnice

Abychom na to odpověděli v důležitém zvláštním případě lineární parciální diferenciální rovnice, zeptal se Einstein: kolik z parciálních derivací řešení může být lineárně nezávislé ? Je vhodné zaznamenat jeho odpověď pomocí běžné generující funkce

${\ displaystyle s (\ xi) = \ součet _ {k = 0} ^ {\ infty} s_ {k} \ xi ^ {k}}$

kde je přirozené číslo počítající počet lineárně nezávislých parciálních derivací (řádu k) libovolné funkce v prostoru řešení dané rovnice. ${\ displaystyle s_ {k}}$

Kdykoli funkce splňuje nějakou parciální diferenciální rovnici, můžeme použít odpovídající pravidlo přepsání k vyloučení některých z nich, protože další smíšené částice se nutně staly lineárně závislými . Konkrétně jde o výkonovou řadu, která počítá řadu libovolných funkcí tří proměnných (bez omezení)

${\ displaystyle f (\ xi) = {\ frac {1} {(1- \ xi) ^ {3}}} = 1 + 3 \ xi +6 \ xi ^ {2} +10 \ xi ^ {3} + \ dots}$

ale výkonová řada počítající ty v prostoru řešení nějakého pde druhého řádu je

${\ displaystyle g (\ xi) = {\ frac {1- \ xi ^ {2}} {(1- \ xi) ^ {3}}} = 1 + 2 \ xi +5 \ xi ^ {2} + 7 \ xi ^ {3} + \ tečky}$

což zaznamenává, že můžeme vyloučit jeden dílčí řád druhého řádu , tři dílčí řády třetího řádu atd. ${\ displaystyle u_ {tt}}$${\ displaystyle u_ {ttt}, \, u_ {ttx}, \, u_ {tty}}$

Obecněji platí, že ogf pro libovolnou funkci n proměnných je

${\ displaystyle s [n] (\ xi) = 1 / (1- \ xi) ^ {n} = 1 + n \, \ xi + \ vlevo ({\ začátek {matice} n \\ 2 \ konec {matice }} \ right) \, \ xi ^ {2} + \ left ({\ begin {matrix} n + 1 \\ 3 \ end {matrix}} \ right) \, \ xi ^ {3} + \ dots}$

kde jsou koeficienty nekonečné výkonové řady generující funkce konstruovány pomocí vhodné nekonečné posloupnosti binomických koeficientů a výkonová řada pro funkci potřebnou k uspokojení lineární rovnice m-tého řádu je

${\ displaystyle g (\ xi) = {\ frac {1- \ xi ^ {m}} {(1- \ xi) ^ {n}}}}$

Další,

${\ displaystyle {\ frac {1- \ xi ^ {2}} {(1- \ xi) ^ {3}}} = {\ frac {1+ \ xi} {(1- \ xi) ^ {2} }}}$

což lze interpretovat tak, že předpovídá, že řešení lineárního pde druhého řádu ve třech proměnných je vyjádřitelné dvěma volně zvolenými funkcemi dvou proměnných, z nichž jedna je použita okamžitě a druhá, pouze po převzetí první derivace , aby vyjádřit řešení.

Obecné řešení problému počáteční hodnoty

Chcete-li ověřit tuto předpověď, připomeňte si řešení problému počáteční hodnoty

${\ displaystyle u_ {tt} = u_ {xx} + u_ {yy}, \; u (0, x, y) = p (x, y), \; u_ {t} (0, x, y) = q (x, y)}$

Použití Laplaceovy transformace dává ${\ displaystyle u (t, x, y) \ mapsto [Lu] (\ omega, x, y)}$

${\ displaystyle - \ omega ^ {2} \, [Lu] + \ omega \, p (x, y) + q (x, y) + [Lu] _ {x} + [Lu] _ {y}}$

Aplikování Fourierovy transformace na dvě prostorové proměnné dává ${\ displaystyle [Lu] (\ omega, x, y) \ mapsto [FLU] (\ omega, m, n)}$

${\ displaystyle - \ omega ^ {2} \, [FLu] + \ omega \, [Fp] + [Fq] - (m ^ {2} + n ^ {2}) \, [FLu]}$

nebo

${\ displaystyle [FLu] (\ omega, m, n) = {\ frac {\ omega \, [Fp] (m, n) + [Fq] (m, n)} {\ omega ^ {2} + m ^ {2} + n ^ {2}}}}$

Použití inverzní Laplaceovy transformace dává

${\ displaystyle [Fu] (t, m, n) = [Fp] (m, n) \, \ cos ({\ sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}}} \, t) + { \ frac {[Fq] (m, n) \, \ sin ({\ sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}}} \, t)} {\ sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}}}}}$

Použití inverzní Fourierovy transformace dává

${\ displaystyle u (t, x, y) = Q (t, x, y) + P_ {t} (t, x, y)}$

kde

${\ displaystyle P (t, x, y) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \, \ int _ {(x-x ') ^ {2} + (y-y') ^ {2 } <t ^ {2}} {\ frac {p (x ', y') \, dx'dy '} {\ left [t ^ {2} - (x-x') ^ {2} - (y -y ') ^ {2} \ right] ^ {1/2}}}}$

${\ displaystyle Q (t, x, y) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \, \ int _ {(x-x ') ^ {2} + (y-y') ^ {2 } <t ^ {2}} {\ frac {q (x ', y') \, dx'dy '} {\ left [t ^ {2} - (x-x') ^ {2} - (y -y ') ^ {2} \ right] ^ {1/2}}}}$

Zde jsou p, q libovolné (dostatečně plynulé) funkce dvou proměnných, takže (vzhledem k jejich skromné ​​časové závislosti) se integrály P, Q počítají také jako „volně zvolené“ funkce dvou proměnných; jak bylo slíbeno, jeden z nich je jednou diferencován a poté přidán k druhému, aby vyjádřil obecné řešení problému počáteční hodnoty pro dvourozměrnou vlnovou rovnici.

Kvazilineární rovnice

V případě nelineární rovnice bude jen zřídka možné získat obecné řešení v uzavřené formě. Pokud je však rovnice kvazilineární (lineární v derivátech nejvyššího řádu), pak můžeme stále získat přibližnou informaci podobnou té výše: zadání člena prostoru řešení bude „modulo nelineární kvibly“ ekvivalentní zadání určitého počtu funkcí v menším počtu proměnných. Počet těchto funkcí je Einsteinova síla pde V jednoduchém příkladu výše je síla dvě, i když v tomto případě jsme byli schopni získat přesnější informace.

Reference

• Siklos, STC (1996). "Počítání řešení Einsteinovy ​​rovnice". Třída. Kvantová gravitace . 13 (7): 1931–1948. doi : 10.1088 / 0264-9381 / 13/7/021 . Aplikace počítání omezení na Riemannovu geometrii a na obecnou relativitu.