Konstruovatelný vesmír - Constructible universe

V matematiky , ve teorie množin je constructible vesmíru (nebo Gödel constructible vesmíru ), označil L , je zvláštní třída ze sad , které mohou být popsány úplně v podmínkách jednodušších sad. L je spojení konstruovatelné hierarchie L α . Zavedl to Kurt Gödel ve svém článku z roku 1938 „Konzistence axiomu volby a zobecněné hypotézy kontinua“. V tomto dokázal, že konstruovatelný vesmír je vnitřním modelem teorie množin ZF (tj. Teorie množin Zermelo – Fraenkel)s vyloučeným axiomem volby ) a také, že axiom volby a zobecněná hypotéza kontinua jsou v konstruovatelném vesmíru pravdivé. To ukazuje, že obě tvrzení jsou v souladu se základními axiomy teorie množin, pokud je samotný ZF konzistentní. Protože mnoho dalších vět platí pouze v systémech, ve kterých platí jedna nebo obě tvrzení, je jejich důslednost důležitým výsledkem.

Co je L

L může být myšlenka jak se staví v „etap“ připomínající stavbu von Neumann vesmíru , V. . Fáze jsou indexovány pořadovými čísly . Ve von Neumannově vesmíru v následnické fázi člověk bere V α +1 jako množinu všech podmnožin předchozí fáze V α . Naproti tomu v Gödelově konstruovatelném vesmíru L se používá pouze těch podmnožin předchozí fáze, které jsou:

Omezením na množiny definované pouze z hlediska toho, co již bylo zkonstruováno, je zajištěno, že výsledné množiny budou konstruovány způsobem, který je nezávislý na zvláštnostech okolního modelu teorie množin a obsažen v každém takovém modelu.

Definovat

L je definováno transfinitní rekurzí následovně:

  • Pokud je mezní pořadová hodnota , pak zde α < λ znamená, že α předchází λ .
  • Zde Ord označuje třídu všech pořadových čísel.

Pokud z je prvek L α , pak z = { y | yL α a yz } ∈ Def ( L α ) = L α+1 . Takže L alfa je podmnožina L α +1 , což je podmnožina elektrického souboru z L alfa . V důsledku toho se jedná o věž vnořených přechodných množin . Ale samotné L je správná třída .

Prvkům L se říká „konstruovatelné“ množiny; a samotné L je „konstruovatelný vesmír“. Dále jen " axiom konstruovatelnosti ", aka " V = L ", říká, že každá sada (of V ) je constructible, tedy v L .

Další fakta o sadách L α

Ekvivalentní definice pro L α je:

Pro každý pořadového alfa , .

Pro libovolné konečné pořadové číslo n jsou množiny L n a V n stejné (ať už se V rovná L nebo ne), a tedy L ω = V ω : jejich prvky jsou přesně dědičně konečné množiny . Rovnost za tímto bodem neplatí. I v modelech ZFC, ve kterých se V rovná L , je L ω +1 správná podmnožina V ω +1 a poté L α +1 je vlastní podmnožina výkonové sady L α pro všechna α > ω . Na druhou stranu V = L znamená, že V α se rovná L α, pokud α = ω α , například pokud je α nedostupné. Obecněji platí, že V = L znamená H α = L α pro všechny nekonečné kardinály α .

Je -li α nekonečný pořadový, pak mezi L α a α existuje bijekce a bijekce je konstruovatelná. Tyto sady jsou tedy v každém modelu teorie množin, který je zahrnuje, ekvivalentní .

Jak je definováno výše, Def ( X ) je množina podmnožin X je definován Δ 0 vzorců (s ohledem na hierarchii Levy , tedy vzorce teorie množin, který obsahuje jen ohraničené quantifiers ), které používají jako parametry pouze X a jeho prvky.

Další definice, vzhledem ke Gödelovi, charakterizuje každý L α +1 jako průsečík energetické sady L α s uzavřením pod kolekcí devíti explicitních funkcí, podobných Gödelovým operacím . Tato definice neodkazuje na definovatelnost.

Všechny aritmetické podmnožiny ω a vztahy na ω patří do L ω +1 (protože aritmetická definice dává jednu v L ω +1 ). Naopak, jakákoli podmnožina z W patřící do L Sout 1 je aritmetický (protože prvky L w mohou být kódovány pomocí přirozených čísel tak, že ∈ je definovatelné, tj aritmetický). Na druhou stranu L ω +2 již obsahuje určité nearitmetické podmnožiny ω , jako je sada pravdivých aritmetických příkazů (kódování přirozených čísel) (toto lze definovat z L ω +1, takže je v L ω +2 ).

Všechny hyperaritmetické podmnožiny ω a vztahy na ω patří (kde znamená ordinál Církev – Kleene ), a naopak jakákoli podmnožina ω, která patří, je hyperaritmetická.

L je standardní vnitřní model ZFC

L je standardní model, tj. Je to tranzitivní třída a používá vztah skutečných prvků, takže je podložený . L je vnitřní model tedy obsahuje všechny pořadová čísla V a nemá žádné „extra“ soubory ve srovnání s těmi v V. , ale to by mohlo být vlastní část V . L je model ZFC , což znamená, že splňuje následující axiomy :

  • Axiom pravidelnosti : Každá neprázdná množina x obsahuje nějaký prvek y , takže x a y jsou nesouvislé množiny.
( L , ∈) je substruktura ( V , ∈), která je dobře podložená, takže L je dobře podložená. Zejména, je-li yxL , pak podle tranzitivity z L , yL . Pokud použijeme stejné y jako ve V , pak je stále disjunktní od x, protože používáme stejný vztah prvků a nebyly přidány žádné nové sady.
  • Axiom extenze : Dvě sady jsou stejné, pokud mají stejné prvky.
Pokud x a y jsou v L a mají stejné prvky v L , pak podle L 's tranzitivitou mají stejné prvky (ve V ). Jsou si tedy rovni (ve V a tedy v L ).
{} = L 0 = { y | yL 0 a y = y } ∈ L 1 . Takže {} ∈ L . Vzhledem k tomu, vztah prvkem je stejná a byly přidány žádné nové prvky, to je prázdná množina L .
Pokud xL a yL , pak existuje nějaké pořadové α takové, že xL α a yL α . Potom { x , y } = { s | sL α a ( s = x nebo s = y )} ∈ L α +1 . Tak { x , y } ∈ L a má stejný význam pro L jako u V .
  • Axiom sjednocení : Pro libovolnou množinu x existuje množina y, jejíž prvky jsou přesně prvky prvků x .
Pokud xL α , pak jsou jeho prvky v L α a jejich prvky jsou také v L α . Takže y je podmnožinou L α . y = { s | sL α a existuje zx takové, že sz } ∈ L α +1 . Tak yL .
  • Axiom nekonečna : Existuje množina x taková, že {} je v x a kdykoli y je v x , existuje také sjednocení .
Z transfinitní indukce získáme, že každý pořadový αL α +1 . Zejména ωL ω 1 a tím i ωL .
  • Axiom separace : S ohledem na libovolnou množinu S a jakýkoli návrh P ( x , z 1 , ..., z n ), { x | xS a P ( x , z 1 , ..., z n )} je množina.
Indukcí na podformulích P lze ukázat, že existuje α takové, že L α obsahuje S a z 1 , ..., z n a ( P je pravdivé v L α právě tehdy, když P je pravdivé v L (toto se nazývá „ princip odrazu “)). Takže { x | xS a P ( x , z 1 , ..., z n n ) platí v L } = { x | xL α a xS a P ( x , z 1 , ..., z n ) platí v L α } ∈ L α +1 . Tak podmnožina je v L .
  • Axiom nahrazení : Vzhledem k jakékoli sadě S a jakémukoli mapování (formálně definováno jako tvrzení P ( x , y ), kde P ( x , y ) a P ( x , z ) implikuje y = z ), { y | existuje xS takové, že P ( x , y )} je množina.
Nechť Q ( x , y ) je vzorec, který relativizuje P na L , tedy všechny kvantifikátory v P jsou omezeny na L . Q je mnohem složitější vzorec než P , ale stále je to konečný vzorec, a protože P bylo mapování nad L , Q musí být mapování přes V ; tak lze použít výměnu v V na Q . Takže { y | yL a existuje xS takové, že P ( x , y ) platí v L } = { y | existuje xS tak, že Q ( x , y )} je sada do V a podtřída L . Opět pomocí axiomu nahrazení ve V můžeme ukázat, že musí existovat α takové, že tato množina je podmnožinou L αL α +1 . Pak je možné použít axiom oddělení v L dokončit ukazuje, že se jedná o prvek L .
  • Axiom mocenské množiny : Pro libovolnou množinu x existuje množina y , takže prvky y jsou přesně podmnožinami x .
Obecně platí, že některé podmnožiny souboru v L nebude v L . Takže celé elektrického souboru sady v L obvykle nebude v L . Co potřebujeme, je zde ukázat, že průsečík elektrického souboru s L je v L . Použijte náhradu ve V, abyste ukázali, že existuje α takové, že průsečík je podmnožinou L α . Pak je křižovatka { z | zL α a z je podmnožinou x } ∈ L α +1 . Proto je požadovaný soubor je v L .
  • Axiom volby : Vzhledem k množině x vzájemně nesouvislých neprázdných množin existuje množina y (sada volby pro x ) obsahující přesně jeden prvek z každého člena x .
Dá se ukázat, že existuje definovatelné dobře uspořádané L, jehož definice funguje stejným způsobem v samotném L. Tak se člověk rozhodne nejmenší prvek každého člena x za vzniku y pomocí axiómy unie a odloučení v L .

Všimněte si, že důkaz, že L je model ZFC pouze vyžaduje, aby V být model ZF, tedy my ne předpokládat, že axiom výběru drží ve V. .

L je absolutní a minimální

Pokud W je jakákoliv standardní model ZF sdílení stejných ordinals jako V , pak L je definováno v W je stejný jako L definované v V . Zejména je L α stejné ve W a V pro libovolné pořadové číslo α . A stejné vzorce a parametry v Def ( L α ) produkují stejné konstruovatelné množiny v L α +1 .

Kromě toho, protože L je podtřída V a podobně L je podtřída W , L je nejmenší třída obsahující všechny pořadové číslo, která je standardním modelem ZF. Ve skutečnosti je L průsečíkem všech těchto tříd.

Pokud je množina W v V, to je standardní model ZF, a řadové κ je sada řadové, které se vyskytují v W , pak L κ je L z W . Pokud existuje sada, která je standardním modelem ZF, pak nejmenší taková sada je taková L κ . Tato sada se nazývá minimální model ZFC. Pomocí sestupné věty Löwenheim – Skolem lze ukázat, že minimální model (pokud existuje) je počitatelná množina.

Každá konzistentní teorie samozřejmě musí mít model, takže i v rámci minimálního modelu teorie množin existují množiny, které jsou modely ZF (za předpokladu, že ZF je konzistentní). Tyto sady modelů jsou však nestandardní. Zejména nepoužívají vztah normálních prvků a nejsou podložené.

Vzhledem k tomu, jak L o L a V z L je skutečný L a oba L na L mítK a V of L κ jsou skutečné L κ , dostaneme, že V = L platí L av každém L mítK tomto je modelem ZF. Nicméně, V = L neplatí v žádném jiném standardního modelu ZF.

L a velcí kardinálové

Vzhledem k tomu, že Ord ⊂ LV , vlastnosti ordinálů, které závisí na absenci funkce nebo jiné struktury (tj. Π 1 vzorce ZF ), jsou při přechodu z V do L zachovány . Proto počáteční řadové kardinálů zůstávají původní v L . Pravidelné ordinály zůstávají v L pravidelné . Slabé mezní kardinálové stala silná mezní kardinálové v L , protože zobecněná hypotéza kontinua drží v L . Slabě nepřístupní kardinálové se stanou silně nepřístupnými. Slabě kardinálové z Mahla se stali silně Mahlo. A obecněji kteréhokoli z velké kardinály nemovitost slabší než 0 # (viz seznam velkých světových nemovitostí ), bude zachován v L .

Nicméně, 0 # je falešný v L i pokud je to pravda v V. . Takže všichni velcí kardinálové, jejichž existence znamená 0 #, přestávají mít tyto velké kardinální vlastnosti, ale zachovávají si vlastnosti slabší než 0 #, které také vlastní. Například měřitelný kardinál přestávají být měřitelné, ale zůstávají Mahlo v L .

Pokud 0 # platí ve V , pak existuje uzavřená neomezená třída řadových řad, které jsou v L nerozeznatelné . Zatímco některé z nich nejsou ani původní řadové v V. , mají všechny velké kardinály vlastnosti slabší než 0 # v L . Kromě toho, jakýkoliv striktně rostoucí funkce třídy z třídy indiscernibles k sobě může být prodloužena jedinečným způsobem na elementární vnoření z L do L . To dává L pěknou strukturu opakujících se segmentů.

L lze dobře objednat

Existují různé způsoby, jak dobře objednání L . Některé z nich zahrnují „jemnou strukturu“ L , kterou poprvé popsal Ronald Bjorn Jensen ve svém článku z roku 1972 s názvem „Jemná struktura konstruovatelné hierarchie“. Namísto vysvětlování jemnou strukturu, dáme přehled o tom, jak L může být dobře-objednal pouze pomocí význam uvedený výše.

Předpokládejme, že x a y jsou dvě různé sady v L a chceme určit, zda x < y nebo x > y . Pokud se x poprvé objeví v L α +1 a y se poprvé objeví v L β +1 a β se liší od α , pak nechť x < y právě tehdy, když α < β . Od nynějška předpokládáme, že β = α .

Fáze L α +1 = Def ( L α ) používá k definování množin x a y vzorce s parametry od L α . Pokud někdo zlevní (prozatím) parametry, vzorce mohou dostat standardní Gödelovo číslování přirozenými čísly. Pokud Φ je vzorec s nejmenším Gödelovým číslem, které lze použít k definování x , a Ψ je vzorec s nejmenším Gödelovým číslem, které lze použít k definování y , a Ψ se liší od Φ , pak nechť x < y, pokud a pouze pokud Φ < Ψ v Gödelově číslování. Od nynějška předpokládáme, že Ψ = Φ .

Předpokládejme, že Φ používá n parametrů z L α . Předpokládejme, že z 1 , ..., z n je posloupnost parametrů, které lze použít s Φ k definování x , a w 1 , ..., w n dělá totéž pro y . Tak ať x < y právě tehdy, když jeden z n < w n nebo ( z n = w n a z n - 1 < m n - 1 ) nebo (Z n = w n a z n - 1 = w n - 1 a z n - 2 < w n - 2 ) atd. Tomu se říká obrácené lexikografické řazení ; pokud existuje více sekvencí parametrů, které definují jednu ze sad, vybereme tu nejmenší v tomto pořadí. Rozumí se, že možné hodnoty každého parametru jsou uspořádány podle omezení řazení L na L α , takže tato definice zahrnuje transfinitní rekurzi na α .

Správné uspořádání hodnot jednotlivých parametrů je zajištěno indukční hypotézou transfinitní indukce. Hodnoty n -tuples parametrů jsou dobře seřazeny podle objednání produktu. Vzorce s parametry jsou dobře uspořádány podle seřazeného součtu (podle Gödelových čísel) uspořádání objednávek. A L je dobře uspořádáno podle seřazeného součtu (indexováno α ) pořadí na L α +1 .

Všimněte si, že toto uspořádání dobře lze definovat v samotném L pomocí vzorce teorie množin bez parametrů, pouze s volnými proměnnými x a y . A tento vzorec dává stejnou pravdivostní hodnotu bez ohledu na to, zda je hodnocen v L , V nebo W (nějaký jiný standardní model ZF se stejnými pořadovými čísly) a budeme předpokládat, že vzorec je nepravdivý, pokud buď x nebo y není v L .

Je dobře známo, že zvolený axiom je ekvivalentní schopnosti dobře uspořádat každou sadu. Schopnost dobře uspořádat správnou třídu V (jak jsme to udělali u L ) je ekvivalentní axiomu globální volby , který je silnější než běžný axiom volby, protože pokrývá také správné třídy neprázdných množin.

L má princip odrazu

Prokázání, že axiom oddělení , axioma nahrazení a axiom výběru úložného L vyžaduje (alespoň jak je uvedeno výše), použití principu odrazu pro L . Zde popisujeme takový princip.

Indukcí podle n < ω , můžeme použít ZF v V, aby prokázal, že pro jakýkoli pořadového alfa , tam je pořadové β > α tak, že pro každou větou P ( Z 1 , ..., z k ) s Z 1 ,. .., z k v L β a obsahující méně než n symbolů (počítání konstantního symbolu pro prvek L β jako jeden symbol) dostaneme, že P ( z 1 , ..., z k ) platí v L β, pokud a pouze v případě, že drží v L .

Zobecněná hypotéza kontinua platí v L

Nech , ať T být jakákoliv constructible podmnožina S . Pak existuje nějaké β s , takže , pro nějaký vzorec Φ a některé čerpané z . V dolů Löwenheim-Skolem věty a zhroucení Mostowski , musí existovat nějaký tranzitivní množina K obsahující a některé , a které mají stejný teorie prvního řádu jako s substituována pro ; a toto K bude mít stejného kardinála jako . Protože to platí pro , platí to i pro K , takže pro některé γ má stejný kardinál jako α . A protože a mají stejnou teorii. Tak T je ve skutečnosti v .

Takže všechny konstruovatelné podmnožiny nekonečné množiny S mají řady se (nejvýše) stejným kardinálem κ jako s hodností S ; to znamená, že v případě, δ je počáteční pořadové mítk + , potom slouží jako „napájecí sady“ v S v L . Tedy tato „power set“ . A to zase znamená, že „mocenská sada“ S má nejvýše kardinální || δ ||. Za předpokladu, že S má sám kardinál κ , „power set“ pak musí mít kardinál přesně κ + . Ale to je přesně ta zobecněná hypotéza kontinua relativizován do L .

Sestavitelné sady jsou definovatelné z řadových řad

Existuje vzorec teorie množin, který vyjadřuje myšlenku, že X = L α . Má pouze volné proměnné pro X a α . Pomocí toho můžeme rozšířit definici každé konstruovatelné množiny. Pokud sL α +1 , pak s = { y | yL α a Φ ( y , z 1 , ..., z n n ) platí v ( L α , ∈)} pro nějaký vzorec Φ a některé z 1 , ..., z n v L α . To je ekvivalentní tomu, že: pro všechna y , ys právě tehdy, když [existuje X takové, že X = L α a yX a Ψ ( X , y , z 1 , ..., z n )] kde Ψ ( X , ...), je výsledkem omezení každý kvantifikátor v cp (...) na X . Všimněte si, že každý z kL β +1 pro nějaké β < α . Zkombinujte vzorce pro z s se vzorcem pro s a aplikujte existenciální kvantifikátory na z z vnějšku a dostanete vzorec, který definuje konstruovatelné množiny s použitím pouze ordinals α, které se objevují ve výrazech jako X = L α jako parametry.

Příklad: Množina {5, ω } je konstruovatelná. Jedná se o unikátní soubor to , které splňuje vzorec:

,

kde je zkratka pro:

Ve skutečnosti byl i tento složitý vzorec zjednodušen z toho, co by přinesly pokyny uvedené v prvním odstavci. Ale pointa zůstává, existuje vzorec teorie množin, který platí pouze pro požadované konstruovatelné množiny s a který obsahuje parametry pouze pro pořadové číslo.

Relativní konstruovatelnost

Někdy je žádoucí najít model teorie množin, který je úzký jako L , ale který zahrnuje nebo je ovlivněn množinou, která není konstruovatelná. Z toho vychází koncept relativní konstruovatelnosti, jehož existují dvě příchutě, označené L ( A ) a L [ A ].

Třída L ( A ) pro nekonstruovatelnou množinu A je průsečíkem všech tříd, které jsou standardními modely teorie množin a obsahují A a všechny pořadové číslo.

L ( A ) je definována transfinitní rekurzí následovně:

  • L 0 ( A ) = nejmenší tranzitivní sada obsahující A jako prvek, tj. Tranzitivní uzavření { A }.
  • L α +1 ( A ) = Def ( L α ( A ))
  • Pokud λ je mezní pořadová hodnota, pak .
  • .

Pokud L ( A ) obsahuje dobře uspořádané tranzitivní uzavření A, pak to může být rozšířeno na dobré uspořádání L ( A ). V opačném případě zvolený axiom v L ( A ) selže .

Běžným příkladem je nejmenší model, který obsahuje všechna reálná čísla, který je v moderní deskriptivní teorii množin hojně používán .

Třída L [ A ] je třída množin, jejichž konstrukce je ovlivněna A , kde A může být (pravděpodobně nekonstruovatelná) množina nebo vlastní třída. Definice této třídy používá Def A ( X ), což je stejné jako Def ( X ) kromě toho, že místo hodnocení pravdivosti vzorců Φ v modelu ( X , ∈) se používá model ( X , ∈, A ) kde A je unární predikát. Zamýšlená interpretace A ( y ), je y ∈ . Pak definice L [ ] je přesně to L pouze s Def nahrazen Def A .

L [ A ] je vždy modelem axiomu volby. I když A je množina, A nemusí být nutně sama členem L [ A ], i když vždy je, pokud A je množina pořadových čísel.

Soupravy v L ( A ), nebo L [ ] obvykle nejsou ve skutečnosti constructible a vlastnosti těchto modelů mohou být zcela odlišné od vlastností L samotného.

Viz také

Poznámky

  1. ^ Gödel 1938.
  2. ^ K. Devlin 1975, Úvod do jemné struktury konstruovatelné hierarchie (str.2). Přistupováno 2021-05-12.
  3. ^ Barwise 1975, strana 60 (komentář po důkazu věty 5.9)

Reference

  • Barwise, Jon (1975). Přípustné sady a struktury . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-07451-1.
  • Devlin, Keith J. (1984). Konstrukce . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-13258-9.
  • Felgner, Ulrich (1971). Modely ZF-Set Theory . Přednášky z matematiky. Springer-Verlag. ISBN 3-540-05591-6.
  • Gödel, Kurt (1938). „Konzistence axiomu volby a zobecněné hypotézy kontinua“ . Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických . Národní akademie věd. 24 (12): 556–557. Bibcode : 1938PNAS ... 24..556G . doi : 10,1073/pnas.24.12.556 . JSTOR  87239 . PMC  1077160 . PMID  16577857 .
  • Gödel, Kurt (1940). Konzistence hypotézy kontinua . Annals of Mathematics Studies. 3 . Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07927-1. MR  0002514 .
  • Jech, Thomas (2002). Teorie množin . Springer monografie v matematice (3. tisíciletí ed.). Springer. ISBN 3-540-44085-2.