Hypotéza kontinua - Continuum hypothesis

V matematice je hypotéza kontinua (zkráceně CH ) hypotéza o možných velikostech nekonečných množin . Uvádí:

Neexistuje žádná sada, jejíž mohutnost je striktně mezi celými čísly a skutečnými čísly .

V Zermelo-Fraenkelův teorie množin s axiomu výběru (ZFC), to je ekvivalentní následující rovnice v Aleph čísel : .

Hypotéza kontinua byla předložena Georgem Cantorem v roce 1878 a stanovení její pravdy nebo nepravdy je prvním z 23 Hilbertových problémů představených v roce 1900. Odpověď na tento problém je nezávislá na ZFC, takže lze přidat buď hypotézu kontinua, nebo její negaci jako axiom k teorii množin ZFC, přičemž výsledná teorie je konzistentní právě tehdy, když je konzistentní ZFC. Tuto nezávislost dokázal v roce 1963 Paul Cohen a doplnil tak dřívější práci Kurta Gödela v roce 1940.

Název hypotézy pochází z pojmu kontinuum pro reálná čísla.

Dějiny

Cantor věřil, že hypotéza kontinua je pravdivá, a mnoho let se ji marně pokoušel dokázat. Stala se první na seznamu důležitých otevřených otázek Davida Hilberta, který byl předložen na Mezinárodním kongresu matematiků v roce 1900 v Paříži. Axiomatická teorie množin v té době ještě nebyla formulována. Kurt Gödel v roce 1940 dokázal, že negaci hypotézy kontinua, tj. Existenci množiny se střední kardinalitou, nelze ve standardní teorii množin prokázat. Druhou polovinu nezávislosti hypotézy kontinua-tj. Neprokazatelnost neexistence sady střední velikosti-dokázal v roce 1963 Paul Cohen .

Mohutnost nekonečných množin

Říká se, že dvě sady mají stejnou mohutnost nebo základní číslo, pokud mezi nimi existuje bijekce (korespondence jeden na jednoho). Intuitivně, aby dvě sady S a T měly stejnou mohutnost, znamená to, že je možné „spárovat“ prvky S s prvky T takovým způsobem, že každý prvek S je spárován s přesně jedním prvkem T a svěrákem naopak. Sada {banán, jablko, hruška} má tedy stejnou mohutnost jako {žlutá, červená, zelená}.

S nekonečnými množinami, jako je množina celých čísel nebo racionálních čísel , je stále obtížnější prokázat existenci bijekce mezi dvěma množinami. Racionální čísla zdánlivě tvoří protipříklad k hypotéze kontinua: celá čísla tvoří řádnou podmnožinu racionálních čísel, která sama tvoří řádnou podmnožinu skutečností, takže intuitivně existuje více racionálních čísel než celá čísla a více reálných čísel než racionálních čísel. Tato intuitivní analýza je však chybná; nebere řádně v úvahu skutečnost, že všechny tři sady jsou nekonečné . Ukazuje se, že racionální čísla mohou být ve skutečnosti umístěna do korespondence jeden s jedním s celými čísly, a proto má sada racionálních čísel stejnou velikost ( mohutnost ) jako sada celých čísel: obě jsou počitatelné množiny .

Cantor poskytl dva důkazy, že mohutnost množiny celých čísel je přísně menší než mohutnost sady reálných čísel (viz první Cantorův důkaz nepočítatelnosti a Cantorův diagonální argument ). Jeho důkazy však nenaznačují, do jaké míry je mohutnost celých čísel menší než mohutnost skutečných čísel. Cantor navrhl hypotézu kontinua jako možné řešení této otázky.

Hypotéza kontinua uvádí, že množina reálných čísel má minimální možnou mohutnost, která je větší než mohutnost množiny celých čísel. To znamená, že každá sada, S , reálných čísel může být buď mapovány one-to-one do celých čísel nebo reálná čísla mohou být mapovány one-to-one do S . Vzhledem k tomu, reálná čísla jsou equinumerous s POWERSET z celých čísel, a kontinuum hypotéza říká, že neexistuje žádný pevný , pro něž .

Za předpokladu axiomu volby existuje nejmenší základní číslo větší než a hypotéza kontinua je zase ekvivalentní rovnosti .

Nezávislost na ZFC

Nezávislost hypotézy kontinua (CH) na teorii množin Zermelo – Fraenkel (ZF) vyplývá z kombinované práce Kurta Gödla a Paula Cohena .

Gödel ukázal, že CH nelze ze ZF vyvrátit, i když je přijat axiom volby (AC) (což dělá ZFC). Gödelův důkaz ukazuje, že CH a AC oba drží v konstruovatelném vesmíru L, vnitřní model teorie ZF množin, za předpokladu pouze axiomů ZF. Existence vnitřního modelu ZF, ve kterém drží další axiomy, ukazuje, že další axiomy jsou konzistentní se ZF za předpokladu, že samotný ZF je konzistentní. Druhá podmínka nemůže být prokázána v samotném ZF, kvůli Gödelovým větám o neúplnosti , ale je široce považována za pravdivou a může být prokázána v silnějších teoriích množin.

Cohen ukázal, že CH nelze prokázat z axiomů ZFC, což dokazuje celkový důkaz nezávislosti. Aby dokázal svůj výsledek, Cohen vyvinul metodu vynucení , která se stala standardním nástrojem v teorii množin. Tato metoda v zásadě začíná modelem ZF, ve kterém CH drží, a konstruuje další model, který obsahuje více sad než původní, způsobem, který CH v novém modelu nedrží. Cohen získal Fieldsovu medaili v roce 1966 za svůj důkaz.

Právě popsaný důkaz nezávislosti ukazuje, že CH je nezávislý na ZFC. Další výzkum ukázal, že CH je v kontextu ZFC nezávislá na všech známých velkých kardinálních axiomech . Navíc se ukázalo, že mohutnost kontinua může být jakýkoli kardinál v souladu s Königovou větou . Výsledek Solovaye, prokázaný krátce po Cohenově výsledku nezávislosti hypotézy kontinua, ukazuje, že pokud je v jakémkoli modelu ZFC kardinál nepočitatelné kofinality , pak existuje nutící rozšíření, ve kterém . Nicméně, za König teorém, že není v souladu se domnívat se , nebo nebo jakýkoli kardinál s kofinál .

Hypotéza kontinua úzce souvisí s mnoha tvrzeními v analýze , topologii množin bodů a teorii opatření . V důsledku své nezávislosti se následně ukázalo , že mnoho nezávislých dohadů v těchto oblastech je také nezávislých.

Nezávislost na ZFC znamená, že prokázání nebo vyvrácení CH v ZFC není možné. Negativní výsledky Gödla a Cohena však nejsou všeobecně přijímány jako zbavení veškerého zájmu o hypotézu kontinua. Hilbertův problém zůstává aktivním tématem výzkumu; viz Woodin a Peter Koellner pro přehled aktuálního stavu výzkumu.

Hypotéza kontinua nebyla prvním tvrzením, které bylo prokázáno, že je nezávislé na ZFC. Bezprostředním důsledkem Gödelovy věty o neúplnosti , která byla zveřejněna v roce 1931, je, že existuje formální prohlášení (jedno pro každé příslušné schéma číslování Gödel ) vyjadřující konzistenci ZFC, která je nezávislá na ZFC, za předpokladu, že ZFC je konzistentní. Hypotéza kontinua a zvolený axiom patřily k prvním matematickým tvrzením, která byla prokázána jako nezávislá na teorii množin ZF.

Argumenty pro a proti hypotéze kontinua

Gödel věřil, že CH je falešný a že jeho důkaz, že CH je v souladu se ZFC, ukazuje pouze to, že axiomy Zermelo – Fraenkel nedostatečně charakterizují vesmír množin. Gödel byl platonista, a proto neměl problémy s prosazováním pravdy a nepravdivosti tvrzení nezávisle na jejich prokazatelnosti. Cohen, ač formalista , také inklinoval k odmítnutí CH.

Historicky matematici, kteří dávali přednost „bohatému“ a „velkému“ vesmíru množin, byli proti CH, zatímco ti, kteří upřednostňovali „úhledný“ a „kontrolovatelný“ vesmír, dávali přednost CH. Byly provedeny paralelní argumenty pro a proti axiomu konstruovatelnosti , který implikuje CH. Nedávno Matthew Foreman poukázal na to, že ontologický maximalismus lze ve skutečnosti použít k argumentaci ve prospěch CH, protože mezi modely, které mají stejné reálné hodnoty, mají modely s „více“ sadami realů větší šanci uspokojit CH.

Dalším hlediskem je, že koncepce množiny není dostatečně konkrétní, aby se určilo, zda je CH pravdivé nebo nepravdivé. Toto hledisko bylo rozšířeno již v roce 1923 Skolemem , ještě před Gödelovou první větou o neúplnosti. Skolem argumentoval na základě toho, co je nyní známé jako Skolemův paradox , a později to bylo podpořeno nezávislostí CH na axiomech ZFC, protože tyto axiomy stačí k určení elementárních vlastností množin a kardinalit. Abychom mohli argumentovat proti tomuto úhlu pohledu, stačilo by předvést nové axiomy, které jsou podporovány intuicí a vyřešit CH v jednom nebo druhém směru. Ačkoli axiom konstruovatelnosti vyřeší CH, není obecně považován za intuitivně pravdivý, stejně jako CH je obecně považován za nepravdivý.

Byly navrženy nejméně dva další axiomy, které mají důsledky pro hypotézu kontinua, ačkoli tyto axiomy v současné době nenašly široké přijetí v matematické komunitě. V roce 1986 Chris Freiling představil argument proti CH tím, že ukázal, že negace CH je ekvivalentní Freilingovu axiomu symetrie , tvrzení odvozené argumentací z konkrétních intuic o pravděpodobnostech . Freiling věří, že tento axiom je „intuitivně pravdivý“, ale ostatní nesouhlasili. Obtížný argument proti CH vyvinutý W. Hughem Woodinem přitahuje značnou pozornost od roku 2000. Foreman Woodinův argument přímo neodmítá, ale nabádá k opatrnosti.

Solomon Feferman tvrdil, že CH není jednoznačný matematický problém. Navrhuje teorii „definitivity“ s použitím semiintelektuistického subsystému ZF, který akceptuje klasickou logiku pro ohraničené kvantifikátory, ale pro neomezené používá intuicionalistickou logiku , a navrhuje, aby propozice byla matematicky „definitivní“, pokud to může polointucionistická teorie dokázat . Domnívá se, že CH není podle tohoto pojmu definitivní, a navrhuje, aby byl CH považován za takový, který nemá hodnotu pravdy. Peter Koellner napsal kritický komentář k Fefermanovu článku.

Joel David Hamkins navrhuje multivesmírný přístup k teorii množin a tvrdí, že „hypotéza kontinua je v multivesmírném pohledu vyřešena našimi rozsáhlými znalostmi o tom, jak se v multivesmíru chová, a v důsledku toho ji již nelze vypořádat způsobem dříve doufal v “. V podobném duchu Saharon Shelah napsal, že „nesouhlasí s čistým platonickým názorem, že o zajímavých problémech v teorii množin lze rozhodnout, že musíme jen objevit další axiom. Můj mentální obraz je, že máme mnoho možných množin teorie, všechny v souladu se ZFC “.

Zobecněná hypotéza kontinua

Zobecněné kontinuum hypotéza (GCH), se uvádí, že v případě, nekonečné množiny je mohutnost leží mezi nekonečné množiny S a že z elektrického souboru z S , pak to má stejnou mohutnost jak buď S , nebo . To znamená, že pro žádného nekonečného kardinála neexistuje žádný takový kardinál . GCH je ekvivalentní:

pro každého pořadového číslo (občas se mu říká Cantorova alefova hypotéza ).

Čísla beth poskytují alternativní zápis pro tuto podmínku: pro každé pořadové číslo . Hypotéza kontinua je zvláštním případem pro ordinál . GCH poprvé navrhl Philip Jourdain . Ranou historii GCH viz Moore.

Stejně jako CH, GCH je také nezávislý na ZFC, ale Sierpiński dokázal, že ZF + GCH implikuje axiom volby (AC) (a tedy negaci axiomu determinance , AD), takže volba a GCH nejsou v ZF nezávislé; neexistují žádné modely ZF, ve kterých GCH drží a AC selhává. Aby to dokázal, Sierpiński ukázal, že GCH znamená, že každá mohutnost n je menší než nějaké alefovo číslo , a lze ji tedy objednat. Toho se dosáhne ukázáním, že n je menší než to, co je menší než jeho vlastní Hartogsovo číslo - to používá rovnost ; úplný důkaz viz Gillman.

Kurt Gödel ukázal, že GCH je důsledkem ZF + V = L (axiom, že každá sada je konstruovatelná vzhledem k pořadovým číslům), a je proto v souladu se ZFC. Jak GCH implikuje CH, Cohenův model, ve kterém CH selhává, je model, ve kterém GCH selhává, a proto GCH není prokazatelné ze ZFC. W. B. Easton použil metodu vynucení vyvinutou Cohenem k prokázání Eastonovy věty , která ukazuje, že je v souladu se ZFC, aby svévolně velké kardinály neuspěly . Mnohem později Foreman a Woodin dokázali, že (za předpokladu konzistence velmi velkých kardinálů) platí, že platí pro každého nekonečného kardinála . Později to Woodin rozšířil tím, že ukázal konzistenci pro každého . Carmi Merimovich ukázalo, že pro každé n  ≥ 1, je v souladu s ZFC, že pro každý mítk, 2 κ je n th nástupce mítk. Na druhou stranu László Patai dokázal, že pokud γ je pořadové číslo a pro každý nekonečný kardinál κ je 2 κ γ. Nástupce κ, pak γ je konečný.

Pro jakékoliv nekonečných množin A a B, v případě, že je vstřikovací z A do B, pak je injekce z podskupin A do podskupin B. Tudíž pro jakékoli nekonečných kardinálů A a B, . Pokud A a B jsou konečné, platí silnější nerovnost . GCH naznačuje, že tato přísná a silnější nerovnost platí pro nekonečné i pro konečné.

Důsledky GCH pro kardinální umocnění

Ačkoli zobecněná hypotéza kontinua odkazuje přímo pouze na kardinální exponentiaci s 2 jako základem, lze z ní odvodit hodnoty kardinální exponentiace ve všech případech. GCH znamená, že:

když αβ +1;
když β +1 < α a , kde cf je operace kofinality ; a
když β +1 < α a .

První rovnost (když αβ +1) vyplývá z:

, zatímco:
 ;

Třetí rovnost (když β +1 < α a ) vyplývá z:

, podle Königovy věty , zatímco:

Kde pro každé γ je GCH použito pro rovnání a ; se používá, protože je ekvivalentní axiomu volby .

Viz také

Reference

  • Maddy, Penelope (červen 1988). „Věřit axiómům, [část I]“. Journal of Symbolic Logic . Asociace pro symbolickou logiku. 53 (2): 481–511. doi : 10,2307/2274520 . JSTOR  2274520 .

Prameny

Další čtení

  • Cohen, Paul Joseph (2008) [1966]. Teorie množin a hypotéza kontinua . Mineola, New York City: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46921-8.
  • Dales, HG; Woodin, WH (1987). Úvod do nezávislosti pro analytiky . Cambridge.
  • Enderton, Herbert (1977). Prvky teorie množin . Akademický tisk.
  • Gödel, K .: Co je problém Cantorova kontinua? , přetištěno ve sbírce Benacerrafa a Putnama Filozofie matematiky , 2. vydání, Cambridge University Press, 1983. Nástin Gödelových argumentů proti CH.
  • Martin, D. (1976). „Hilbertův první problém: hypotéza kontinua“, v matematických vývojech vycházejících z Hilbertových problémů, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII, F. Browder, redaktor. American Mathematical Society, 1976, s. 81–92. ISBN  0-8218-1428-1
  • McGough, Nancy. „Hypotéza kontinua“ .
  • Wolchover, Natalie. „Kolik čísel existuje? Důkaz nekonečna posouvá matematiku blíže k odpovědi“ .

externí odkazy