Konvoluční věta - Convolution theorem

V matematiky , že konvoluce věta se uvádí, že za vhodných podmínek je Fourierova transformace z konvoluce dvou funkcí (nebo signály ) je bodová produkt jejich Fourierovy transformace. Obecněji řečeno, konvoluce v jedné doméně (např. Časové oblasti ) se rovná bodovému násobení v jiné doméně (např. Frekvenční doméně ). Jiné verze konvoluční věty jsou použitelné pro různé Fourierovy transformace .

Funkce spojité proměnné

Vezměme si dvě funkce a s Fourier převádí a : ${\ displaystyle g (x)}$ ${\ displaystyle h (x)}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} G (f) & \ triangleq {\ mathcal {F}} \ {g \} (f) = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} g (x) e ^{-i2 \ pi fx} \, dx, \ quad f \ in \ mathbb {R} \\ H (f) & \ triangleq {\ mathcal {F}} \ {h \} (f) = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} h (x) e^{-i2 \ pi fx} \, dx, \ quad f \ in \ mathbb {R} \ end {zarovnaný}}}

kde označuje operátor Fourierovy transformace . Transformace může být normalizována jinými způsoby, v takovém případě se v níže uvedené konvoluční větě objeví konstantní faktory škálování (typicky nebo ). Konvoluce a je definována : ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle 2 \ pi}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2 \ pi}}}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle h}$

{\ Displaystyle r (x) = \ {g*h \} (x) \ triangleq \ int _ {-\ infty}^{\ infty} g (\ tau) h (x- \ tau) \, d \ tau = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} g (x- \ tau) h (\ tau) \, d \ tau.}

V tomto kontextu hvězdička označuje konvoluci namísto standardního násobení. Místo toho se někdy používá symbol produktu tenzoru . ${\ Displaystyle \ otimes}$

Konvoluční teorém říká, že :

{\ Displaystyle R (f) \ triangleq {\ mathcal {F}} \ {r \} (f) = G (f) H (f). \ quad f \ in \ mathbb {R}}

( Rovnice 1a )

Použitím inverzní Fourierovy transformace se vytvoří důsledek: ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}^{-1}}$

Konvoluční věta

{\ Displaystyle r (x) = \ {g*h \} (x) = {\ mathcal {F}}^{-1} \ {G \ cdot H \}, \ quad \ scriptstyle {\ text {where} } \ displaystyle \ cdot \ scriptstyle {\ text {označuje bodové násobení}}}

( Rovnice 1b )

Věta také obecně platí pro vícerozměrné funkce.

Vícedimenzionální odvození rovnice 1

Zvažte funkce v prostoru L ^p s Fourierovými transformacemi : ${\ displaystyle g, h}$ ${\ Displaystyle L ^{1} (\ mathbb {R} ^{n})}$ ${\ displaystyle G, H}$

{\ displaystyle {\ begin {aligned} G (f) & \ triangleq {\ mathcal {F}} \ {g \} (f) = \ int _ {\ mathbb {R} ^{n}} g (x) e ^{-i2 \ pi f \ cdot x} \, dx, \ quad f \ in \ mathbb {R} ^{n} \\ H (f) & \ triangleq {\ mathcal {F}} \ {h \ } (f) = \ int _ {\ mathbb {R} ^{n}} h (x) e ^{-i2 \ pi f \ cdot x} \, dx, \ end {zarovnáno}}}

kde označuje vnitřní produkt z : a ${\ Displaystyle f \ cdot x}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$ ${\ Displaystyle f \ cdot x = \ sum _ {j = 1}^{n} {f} _ {j} x_ {j},}$ ${\ Displaystyle dx = \ prod _ {j = 1}^{n} dx_ {j}.}$

Konvoluce z a je definován : ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle h}$

{\ Displaystyle r (x) \ triangleq \ int _ {\ mathbb {R} ^{n}} g (\ tau) h (x- \ tau) \, d \ tau.}

Taky:

{\ Displaystyle \ iint | g (\ tau) h (x- \ tau) | \, dx \, d \ tau = \ int \ left (| g (\ tau) | \ int | h (x- \ tau) | \, dx \ right) \, d \ tau = \ int | g (\ tau) | \, \ | h \ | _ {1} \, d \ tau = \ | g \ | _ {1} \ | h \ | _ {1}.}

Proto podle Fubiniova věta jsme, že tak její Fourierova transformace je definována integrální vzorec : ${\ Displaystyle r \ in L ^{1} (\ mathbb {R} ^{n})}$ ${\ displaystyle R}$

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} R (f) \ triangleq {\ mathcal {F}} \ {r \} (f) & = \ int _ {\ mathbb {R} ^{n}} r (x) e ^{-i2 \ pi f \ cdot x} \, dx \\ & = \ int _ {\ mathbb {R} ^{n}} \ left (\ int _ {\ mathbb {R} ^{n}} g (\ tau) h (x- \ tau) \, d \ tau \ right) \, e^{-i2 \ pi f \ cdot x} \, dx. \ end {zarovnáno}}}

Všimněte si toho, a proto výše uvedeným argumentem můžeme znovu použít Fubiniho větu (tj. Zaměnit pořadí integrace) : ${\ Displaystyle | g (\ tau) h (x- \ tau) e^{-i2 \ pi f \ cdot x} | = | g (\ tau) h (x- \ tau) |}$

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} R (f) & = \ int _ {\ mathbb {R} ^{n}} g (\ tau) \ underbrace {\ left (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} h (x- \ tau) \ e^{-i2 \ pi f \ cdot x} \, dx \ right)} _ {H (f) \ e^{-i2 \ pi f \ cdot \ tau }} \, d \ tau \\ & = \ underbrace {\ left (\ int _ {\ mathbb {R} ^{n}} g (\ tau) \ e ^{-i2 \ pi f \ cdot \ tau} \, d \ tau \ right)} _ {G (f)} \ H (f). \ end {aligned}}}

Tato věta platí také pro Laplaceovu transformaci , oboustrannou Laplaceovu transformaci, a pokud je vhodně upravena, pro Mellinovu transformaci a Hartleyovu transformaci (viz Mellinova inverzní věta ). Lze ji rozšířit na Fourierovu transformaci abstraktní harmonické analýzy definované lokálně kompaktními abelianskými skupinami .

Periodická konvoluce (koeficienty Fourierovy řady)

Zvažte -periodické funkce a které lze vyjádřit jako periodické součty : ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle g _ {_ {P}}}$ ${\ displaystyle h _ {_ {P}},}$

{\ Displaystyle g _ {_ {P}} (x) \ \ triangleq \ sum _ {m =-\ infty}^{\ infty} g (x-mP)}

a

{\ Displaystyle h _ {_ {P}} (x) \ \ triangleq \ sum _ {m =-\ infty}^{\ infty} h (x-mP).}

V praxi nenulová část složek a jsou často omezeny na trvání, ale nic ve větě to nevyžaduje. Koeficienty Fourierovy řady jsou : ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle P,}$

{\ displaystyle {\ begin {aligned} G [k] & \ triangleq {\ mathcal {F}} \ {g _ {_ {P}} \} [k] = {\ frac {1} {P}} \ int _ {P} g _ {_ {P}} (x) e^{-i2 \ pi kx/P} \, dx, \ quad k \ in \ mathbb {Z}; \ quad \ quad \ scriptstyle {\ text { integrace přes libovolný interval délky}} P \\ H [k] & \ triangleq {\ mathcal {F}} \ {h _ {_ {P}} \} [k] = {\ frac {1} {P}} \ int _ {P} h _ {_ {P}} (x) e^{-i2 \ pi kx/P} \, dx, \ quad k \ in \ mathbb {Z} \ end {aligned}}}

kde označuje integrál Fourierovy řady . ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Bodově produkt: je také -periodic a jeho koeficienty Fourierovy řady jsou dány diskrétní konvoluce z a sekvencí: ${\ displaystyle g _ {_ {P}} (x) \ cdot h _ {_ {P}} (x)}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ {g _ {_ {P}} \ cdot h _ {_ {P}} \} [k] = \ {G*H \} [k].}$
Konvoluce: ${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ {g _ {_ {P}}*h \} (x) \ & \ triangleq \ int _ {-\ infty}^{\ infty} g _ {_ {P}} ( x- \ tau) \ cdot h (\ tau) \ d \ tau \\ & \ equiv \ int _ {P} g _ {_ {P}} (x- \ tau) \ cdot h _ {_ {P}} ( \ tau) \ d \ tau; \ quad \ quad \ scriptstyle {\ text {integrace v libovolném intervalu délky}} P \ end {aligned}}}$ je také -periodický a nazývá se periodická konvoluce . Odpovídající konvoluční věta je: ${\ displaystyle P}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ {g _ {_ {P}}*h \} [k] = \ P \ cdot G [k] \ H [k].}

( Rovnice 2 )

Odvození ekv. 2

{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ mathcal {F}} \ {g _ {_ {P}}*h \} [k] & \ triangleq {\ frac {1} {P}} \ int _ {P } \ left (\ int _ {P} g _ {_ {P}} (\ tau) \ cdot h _ {_ {P}} (x- \ tau) \ d \ tau \ right) e^{-i2 \ pi kx/P} \, dx \\ & = \ int _ {P} g _ {_ {P}} (\ tau) \ left ({\ frac {1} {P}} \ int _ {P} h _ {_ {P}} (x- \ tau) \ e^{-i2 \ pi kx/P} dx \ right) \, d \ tau \\ & = \ int _ {P} g _ {_ {P}} (\ tau) \ e^{-i2 \ pi k \ tau /P} \ underbrace {\ left ({\ frac {1} {P}} \ int _ {P} h _ {_ {P}} (x- \ tau ) \ e^{-i2 \ pi k (x- \ tau)/P} dx \ right)} _ {H [k], \ quad {\ text {kvůli periodicitě}}} \, d \ tau \\ & = \ underbrace {\ left (\ int _ {P} \ g _ {_ {P}} (\ tau) \ e^{-i2 \ pi k \ tau /P} d \ tau \ right)} _ {P \ cdot G [k]} \ H [k]. \ end {aligned}}}

Funkce diskrétní proměnné (sekvence)

Odvozením podobným Eq.1 existuje analogická věta pro sekvence, jako jsou vzorky dvou spojitých funkcí, kde nyní označuje operátor diskrétní Fourierovy transformace (DTFT). Uvažujme dvě sekvence a s transformací a : ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle g [n]}$ ${\ Displaystyle h [n]}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} G (f) & \ triangleq {\ mathcal {F}} \ {g \} (f) = \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} g [n ] \ cdot e^{-i2 \ pi fn} \;, \ quad f \ in \ mathbb {R} \\ H (f) & \ triangleq {\ mathcal {F}} \ {h \} (f) = \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} h [n] \ cdot e^{-i2 \ pi fn} \;. \ quad f \ in \ mathbb {R} \ end {aligned}}}

§ Diskrétní konvoluce z a je definován: ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle h}$

{\ Displaystyle r [n] \ triangleq (g*h) [n] = \ sum _ {m =-\ infty}^{\ infty} g [m] \ cdot h [nm] = \ sum _ {m = -\ infty}^{\ infty} g [nm] \ cdot h [m].}

Konvoluční teorém pro diskrétní sekvence je :

{\ Displaystyle R (f) = {\ mathcal {F}} \ {g*h \} (f) = \ G (f) H (f).}

( Rovnice 3 )

Periodická konvoluce

${\ displaystyle G (f)}$ a jak je definováno výše, jsou periodické, s periodou 1. Zvažte -periodické sekvence a : ${\ displaystyle H (f),}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle g _ {_ {N}}}$ ${\ displaystyle h _ {_ {N}}}$

{\ Displaystyle g _ {_ {N}} [n] \ \ triangleq \ sum _ {m =-\ infty}^{\ infty} g [n-mN]}

a

{\ Displaystyle h _ {_ {N}} [n] \ \ triangleq \ sum _ {m =-\ infty}^{\ infty} h [n-mN], \ quad n \ in \ mathbb {Z}.}

Tyto funkce se vyskytují jako výsledek vzorkování a v intervalech a provádění inverzní diskrétní Fourierovy transformace (DFT) na vzorcích (viz § Vzorkování DTFT ). Diskrétní konvoluce: ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle 1/N}$ ${\ displaystyle N}$

{\ Displaystyle \ {g _ {_ {N}}*h \} [n] \ \ triangleq \ sum _ {m =-\ infty}^{\ infty} g _ {_ {N}} [m] \ cdot h [nm] \ equiv \ sum _ {m = 0}^{N-1} g _ {_ {N}} [m] \ cdot h _ {_ {N}} [nm]}

je také -periodický a nazývá se periodická konvoluce . Předefinováním operátoru jako DFT o délce je odpovídající věta : ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle N}$

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {g _ {_ {N}}*h \} [k] = \ \ underbrace {{\ mathcal {F}} \ {g _ {_ {N}} \} [ k]} _ {G (k/N)} \ cdot \ underbrace {{\ mathcal {F}} \ {h _ {_ {N}} \} [k]} _ {H (k/N)}, \ quad k \ in \ mathbb {Z}.}

( Rovnice 4a )

A proto:

{\ Displaystyle \ {g _ {_ {N}}*h \} [n] = \ {\ mathcal {F}}^{-1} \ {{\ mathcal {F}} \ {g _ {_ {N} } \} \ cdot {\ mathcal {F}} \ {h _ {_ {N}} \} \}.}

( Rovnice 4b )

Za správných podmínek je možné, aby tato sekvence délky N obsahovala segment konvoluce bez zkreslení . Ale když nenulová část sekvence nebo je stejná nebo delší, je určité zkreslení nevyhnutelné. To je případ, kdy je sekvence získána přímým vzorkováním DTFT nekonečně dlouhé impulzní odezvy § Diskrétní Hilbertovy transformace . ${\ displaystyle g*h}$ ${\ displaystyle g (n)}$ ${\ Displaystyle h (n)}$ ${\ displaystyle N,}$ ${\ Displaystyle H (k/N)}$

Pro a sekvence, jejichž nenulová doba trvání je menší nebo rovna konečnému zjednodušení, jsou : ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle N,}$

Kruhová konvoluce

{\ Displaystyle \ {g _ {_ {N}}*h \} [n] = \ {\ mathcal {F}}^{-1} \ {{\ mathcal {F}} \ {g \} \ cdot { \ mathcal {F}} \ {h \} \}.}

( Rovnice 4c )

Tento formulář se často používá k efektivní implementaci numerické konvoluce pomocí počítače . (viz § Algoritmy rychlé konvoluce a § Příklad )

Odvození ekv. 4

Odvozování časové domény probíhá následovně:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ scriptstyle {\ rm {DFT}}} \ {g _ {_ {N}}*h \} [k] & \ triangleq \ sum _ {n = 0}^{N -1} \ left (\ sum _ {m = 0}^{N-1} g _ {_ {N}} [m] \ cdot h _ {_ {N}} [nm] \ right) e^{-i2 \ pi kn/N} \\ & = \ sum _ {m = 0}^{N-1} g _ {_ {N}} [m] \ left (\ sum _ {n = 0}^{N-1 } h _ {_ {N}} [nm] \ cdot e^{-i2 \ pi kn/N} \ right) \\ & = \ sum _ {m = 0}^{N-1} g _ {_ {N }} [m] \ cdot e^{-i2 \ pi km/N} \ underbrace {\ left (\ sum _ {n = 0}^{N-1} h _ {_ {N}} [nm] \ cdot e^{-i2 \ pi k (nm)/N} \ right)} _ {\ scriptstyle {\ rm {DFT}} \ displaystyle \ {h _ {_ {N}} \} [k] \ quad \ scriptstyle { \ text {kvůli periodicitě}}} \\ & = \ underbrace {\ left (\ sum _ {m = 0}^{N-1} g _ {_ {N}} [m] \ cdot e^{-i2 \ pi km/N} \ right)} _ {\ scriptstyle {\ rm {DFT}} \ displaystyle \ {g _ {_ {N}} \} [k]} \ left (\ scriptstyle {\ rm {DFT}} \ Displaystyle \ {h _ {_ {N}} \} [k] \ vpravo). \ end {aligned}}}

Odvození frekvenční domény vyplývá z § Periodických dat , která naznačují, že DTFT lze zapsat jako :

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {g _ {_ {N}}*h \} (f) = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {k =-\ infty}^{\ infty} \ left (\ scriptstyle {\ rm {DFT}} \ displaystyle \ {g _ {_ {N}}*h \} [k] \ right) \ cdot \ delta \ left (fk/N \ right). \ quad \ scriptstyle {\ mathsf {(Eq.5a)}}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {g _ {_ {N}} \} (f) = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {k =-\ infty}^{\ infty} \ left (\ scriptstyle {\ rm {DFT}} \ displaystyle \ {g _ {_ {N}} \} [k] \ right) \ cdot \ delta \ left (fk/N \ right).}

Produkt s je tedy redukován na funkci diskrétní frekvence: ${\ Displaystyle H (f)}$

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} {\ mathcal {F}} \ {g _ {_ {N}}*h \} (f) & = G _ {_ {N}} (f) H (f) \\ & = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {k =-\ infty}^{\ infty} \ left (\ scriptstyle {\ rm {DFT}} \ displaystyle \ {g _ {_ {N}} \} [k] \ right) \ cdot H (f) \ cdot \ delta \ left (fk/N \ right) \\ & = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {k =-\ infty }^{\ infty} \ left (\ scriptstyle {\ rm {DFT}} \ displaystyle \ {g _ {_ {N}} \} [k] \ right) \ cdot H (k/N) \ cdot \ delta \ vlevo (fk/N \ vpravo) \\ & = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {k =-\ infty}^{\ infty} \ left (\ scriptstyle {\ rm {DFT}} \ displaystyle \ {g _ {_ {N}} \} [k] \ right) \ cdot \ left (\ scriptstyle {\ rm {DFT}} \ displaystyle \ {h _ {_ {N}} \} [k] \ right ) \ cdot \ delta \ left (fk/N \ right), \ quad \ scriptstyle {\ mathsf {(Eq.5b)}}} \ end {aligned}}}

kde ekvivalence a vyplývá z § Vzorkování DTFT . Ekvivalence (5a) a (5b) proto vyžaduje: ${\ Displaystyle H (k/N)}$ ${\ displaystyle \ left (\ scriptstyle {\ rm {DFT}} \ displaystyle \ {h _ {_ {N}} \} [k] \ right)}$

{\ displaystyle \ scriptstyle {\ rm {DFT}} \ displaystyle {\ {g _ {_ {N}}*h \} [k]} = \ left (\ scriptstyle {\ rm {DFT}} \ displaystyle \ {g_ {_ {N}} \} [k] \ right) \ cdot \ left (\ scriptstyle {\ rm {DFT}} \ displaystyle \ {h _ {_ {N}} \} [k] \ right).}

Můžeme také ověřit inverzní DTFT (5b):

{\ displaystyle {\ begin {aligned} (g _ {_ {N}}*h) [n] & = \ int _ {0}^{1} \ left ({\ frac {1} {N}} \ sum _ {k =-\ infty}^{\ infty} \ scriptstyle {\ rm {DFT}} \ displaystyle \ {g _ {_ {N}} \} [k] \ cdot \ scriptstyle {\ rm {DFT}} \ styl zobrazení \ {h _ {_ {N}} \} [k] \ cdot \ delta \ left (fk/N \ right) \ right) \ cdot e^{i2 \ pi fn} df \\ & = {\ frac { 1} {N}} \ sum _ {k =-\ infty}^{\ infty} \ scriptstyle {\ rm {DFT}} \ displaystyle \ {g _ {_ {N}} \} [k] \ cdot \ scriptstyle {\ rm {DFT}} \ displaystyle \ {h _ {_ {N}} \} [k] \ cdot \ underbrace {\ left (\ int _ {0}^{1} \ delta \ left (fk/N \ vpravo) \ cdot e^{i2 \ pi fn} df \ right)} _ {{\ text {0, for}} \ k \ \ notin \ [0, \ N)} \\ & = {\ frac {1 } {N}} \ sum _ {k = 0}^{N-1} {\ bigg (} \ scriptstyle {\ rm {DFT}} \ displaystyle \ {g _ {_ {N}} \} [k] \ cdot \ scriptstyle {\ rm {DFT}} \ displaystyle \ {h _ {_ {N}} \} [k] {\ bigg)} \ cdot e^{i2 \ pi {\ frac {n} {N}} k } \\ & = \ \ scriptstyle {\ rm {DFT}}^{-1} \ displaystyle {\ bigg (} \ scriptstyle {\ rm {DFT}} \ displaystyle \ {g _ {_ {N}} \} \ cdot \ scriptstyle {\ rm {DFT}} \ displaystyle \ {h _ {_ {N}} \} {\ bigg)}. \ end {aligned}}}

Konvoluční věta pro inverzní Fourierovu transformaci

Existuje také konvoluční věta pro inverzní Fourierovu transformaci:

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ {g*h \} = {\ mathcal {F}} \ {g \} \ cdot {\ mathcal {F}} \ {h \}}

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ {g \ cdot h \} = {\ mathcal {F}} \ {g \}*{\ mathcal {F}} \ {h \}}

aby

{\ Displaystyle g*h = {\ mathcal {F}}^{-1} \ left \ {{\ \ mathcal {F}} \ {g \} \ cdot {\ mathcal {F}} \ {h \} \ že jo\}}

{\ Displaystyle g \ cdot h = {\ mathcal {F}}^{-1} \ left \ {{\ mathcal {F}} \ {g \}*{\ mathcal {F}} \ {h \} \ že jo\}}

Konvoluční věta pro temperované distribuce

Konvoluční věta se rozšiřuje na temperované distribuce . Zde je libovolné temperované rozdělení (např. Hřeben Dirac ) ${\ displaystyle g}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ {f*g \} = {\ mathcal {F}} \ {f \} \ cdot {\ mathcal {F}} \ {g \}}

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ {\ alpha \ cdot g \} = {\ mathcal {F}} \ {\ alpha \}*{\ mathcal {F}} \ {g \}}

ale musí „rychle klesat“ směrem k a za účelem zajištění existence produktu konvoluce i multiplikace. Ekvivalentně, je -li hladká „pomalu rostoucí“ běžná funkce, zaručuje existenci produktu násobení i konvoluce. ${\ displaystyle f = F \ {\ alpha \}}$ ${\ displaystyle -\ infty}$ ${\ displaystyle +\ infty}$ ${\ Displaystyle \ alpha = F^{-1} \ {f \}}$

Zejména každá kompaktně podporovaná temperovaná distribuce, jako je Dirac Delta , „rychle klesá“. Ekvivalentně funkce omezené na pásmo , jako je funkce, která je neustále hladká, „pomalu rostoucí“ běžné funkce. Pokud, například, je Dirac hřeben obě rovnice získá Poisson sumačního vzorce a v případě, kromě toho, je Diracova delta pak se neustále jeden a tyto rovnice získá hřeben identitu Dirac . ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle g \ equiv \ operatorname {III}}$ ${\ Displaystyle f \ equiv \ delta}$ ${\ Displaystyle \ alpha \ equiv 1}$

Viz také

Momentová vytvořující funkce z náhodné veličiny

Poznámky

Reference

Další čtení

Katznelson, Yitzhak (1976), Úvod do harmonické analýzy , Dover, ISBN 0-486-63331-4
Li, Bing; Babu, G. Jogesh (2019), „Convolution Theorem and Asymptotic Efficiency“, A Graduate Course on Statistical Inference , New York: Springer, pp. 295–327, ISBN 978-1-4939-9759-6
Crutchfield, Steve (9. října 2010), „The Joy of Convolution“ , Johns Hopkins University , vyvoláno 19. listopadu 2010

Dodatečné zdroje

Vizuální znázornění použití konvoluční věty při zpracování signálu viz:

Johns Hopkins University ‚s Java -aided simulace: http://www.jhu.edu/signals/convolve/index.html

Languages

In other projects