Fourierovy sinusové a kosinové řady - Fourier sine and cosine series

V matematice, zejména v oblasti počtu a Fourierovy analýzy , jsou Fourierovy sinusové a kosinové řady dvě matematické řady pojmenované po Josephu Fourierovi .

Zápis

V tomto článku, $f$ znamená skutečné hodnotě funkci, na které je periodická s periodou 2 L . ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Pokud $f (x)$ je zvláštní funkce s periodou , pak Fourier Half rozsah sinus série F je definován jako ${\ displaystyle 2L}$

{\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} b_ {n} \ sin {\ frac {n \ pi x} {L}}}

což je jen forma úplné Fourierovy řady s jediným rozdílem, že a je nula, a řada je definována pro polovinu intervalu.

{\ displaystyle a_ {0}}

{\ displaystyle a_ {n}}

Ve vzorci, který máme

{\ Displaystyle b_ {n} = {\ frac {2} {L}} \ int _ {0}^{L} f (x) \ sin {\ frac {n \ pi x} {L}} \, dx , \ quad n \ in \ mathbb {N}.}

Pokud $f (x)$ je sudá funkce s tečkou , pak je Fourierova kosinová řada definována jako ${\ displaystyle 2L}$

{\ Displaystyle f (x) = {\ frac {c_ {0}} {2}}+\ sum _ {n = 1}^{\ infty} c_ {n} \ cos {\ frac {n \ pi x} {L}}}

kde

{\ Displaystyle c_ {n} = {\ frac {2} {L}} \ int _ {0}^{L} f (x) \ cos {\ frac {n \ pi x} {L}} \, dx , \ quad n \ in \ mathbb {N} _ {0}.}

Tento pojem lze zobecnit na funkce, které nejsou sudé ani liché, ale výše uvedené vzorce budou vypadat jinak.

Sbohem, William Elwood (1893). „Kapitola 2: Vývoj v trigonometrických řadách“ . Elementární pojednání o Fourierově sérii: A sférické, válcové a elipsoidní harmonické, s aplikacemi na problémy v matematické fyzice (2 ed.). Ginn. p. 30.
Carslaw, Horatio Scott (1921). „Kapitola 7: Fourierova řada“ . Úvod do teorie Fourierových řad a integrálů, svazek 1 (2. vydání). Macmillan and Company. p. 196.