Kritika nestandardní analýzy - Criticism of nonstandard analysis

Nestandardní analýza a její odnož, nestandardní počet , byly kritizovány několika autory, zejména Errett Bishop , Paul Halmos a Alain Connes . Tyto kritiky jsou analyzovány níže.

Úvod

Hodnocení nestandardní analýzy v literatuře se velmi lišilo. Paul Halmos to popsal jako technický speciální vývoj v matematické logice. Terence Tao shrnul výhodu hyperreálného rámce tím, že si jej všiml

umožňuje člověku pečlivě manipulovat s věcmi, jako je „množina všech malých čísel“, nebo důsledně říkat věci jako „η 1 je menší než cokoli, co zahrnuje η 0 “, přičemž výrazně snižuje problémy se správou epsilon automatickým skrytím mnoha kvantifikátorů v něčí argument.

-  Terence Tao, „Struktura a náhodnost“ , Americká matematická společnost (2008)

Povaha kritiky přímo nesouvisí s logickým stavem výsledků prokázaných nestandardní analýzou. Z hlediska konvenčních matematických základů v klasické logice jsou takové výsledky docela přijatelné. Nestandardní analýza Abrahama Robinsona nepotřebuje žádné axiomy nad rámec Zermelo – Fraenkelovy teorie množin (ZFC) (jak to výslovně ukazuje ultrapowerová konstrukce hyperrealů Wilhelma Luxemburga ), zatímco její varianta Edwarda Nelsona , známá jako teorie vnitřních množin , je podobně konzervativní rozšíření z ZFC . Poskytuje záruku, že novost nestandardní analýzy je zcela jako strategie důkazu, nikoli v rozsahu výsledků. Dále modelová teoretická nestandardní analýza, například založená na nadstavbách, která je nyní běžně používaným přístupem, nepotřebuje žádné nové teoreticko-teoretické axiomy nad rámec ZFC.

Diskuse existují v otázkách matematické pedagogiky. Také nestandardní analýza, jak byla vyvinuta, není jediným kandidátem na splnění cílů teorie nekonečně malých čísel (viz Hladká nekonečně malá analýza ). Philip J. Davis napsal v recenzi knihy Diana Ravitchová Left Back: A Century of Failed School Reforms :

Tam byl nestandardní analytický pohyb pro výuku elementárního počtu. Jeho populace trochu vzrostla, než se hnutí zhroutilo z vnitřní složitosti a malé potřeby.

Nestandardní počet ve třídě byl analyzován ve studii K. Sullivana ze škol v oblasti Chicaga, jak se odráží v sekundární literatuře na téma Vliv nestandardní analýzy . Sullivan ukázal, že studenti, kteří se zúčastnili kurzu nestandardní analýzy, byli schopni lépe interpretovat smysl matematického formalizmu počtu než kontrolní skupina podle standardních osnov. To také poznamenal Artigue (1994), strana 172; Chihara (2007); a Dauben (1988).

Biskupova kritika

Podle názoru Erretta Bishopa byla klasická matematika, která zahrnuje Robinsonův přístup k nestandardní analýze, nekonstruktivní, a proto postrádala numerický význam ( Feferman 2000 ). Bishop byl zvláště znepokojen použitím nestandardní analýzy ve výuce, jak pojednával ve své eseji „Krize v matematice“ ( Bishop 1975 ). Konkrétně po diskusi o Hilbertově formalistickém programu napsal:

Novějším pokusem o matematiku formálními jemnostmi je nestandardní analýza. Shromáždím, že se to setkalo s určitým stupněm úspěchu, ať už na úkor poskytnutí podstatně méně smysluplných důkazů, které neznám. Můj zájem o nestandardní analýzu spočívá v tom, že se pokouší zavést ji do kurzů počtu. Je těžké uvěřit, že znehodnocení významu by mohlo být provedeno tak daleko.

Katz & Katz (2010) poznamenávají, že zúčastnění matematici a historici vyjádřili řadu kritik po Bishopově „krizovém“ rozhovoru na workshopu Americké akademie umění a věd v roce 1974. Účastníci však neřekli ani slovo o Bishopovo znehodnocování Robinsonovy teorie. Katz & Katz poukazují na to, že nedávno vyšlo najevo, že Bishop ve skutečnosti na workshopu neřekl ani slovo o Robinsonově teorii, a svou poznámku o znehodnocení přidal pouze ve fázi publikace v galéře. To pomáhá vysvětlit absenci kritických reakcí na workshopu. Katz & Katz docházejí k závěru, že to vyvolává otázky integrity ze strany Bishopa, jehož publikovaný text neuvádí skutečnost, že komentář „znehodnocení“ byl přidán ve fázi kuchyně, a proto jej účastníci workshopu neslyšeli, což vyvolalo falešný dojem, že nesouhlasil s komentáři.

Skutečnost, že Bishop považoval zavedení nestandardní analýzy ve třídě za „znehodnocení významu“, poznamenal J. Dauben. Termín objasnil Bishop (1985, s. 1) ve svém textu Schizofrenie v současné matematice (poprvé distribuován v roce 1973), a to následovně:

Brouwerova kritika klasické matematiky se týkala toho, co budu označovat jako „znehodnocení významu“.

Bishop tedy nejprve použil pojem „znehodnocení významu“ na klasickou matematiku jako celek a později jej použil na Robinsonovy nekonečné číslice ve třídě. Ve svých Základy konstruktivní analýzy (1967, strana ix) Bishop napsal:

Náš program je jednoduchý: Klasické abstraktní analýze dát co nejvíce numerický význam. Naší motivací je známý skandál, který velmi podrobně odhalil Brouwer (a další), že klasická matematika postrádá numerický význam.

Bishopovy poznámky podporuje diskuse následující po jeho přednášce:

  • George Mackey (Harvard): "Nechci o těchto otázkách přemýšlet. Věřím, že to, co dělám, bude mít nějaký význam ...."
  • Garrett Birkhoff (Harvard): "... Myslím, že na to Bishop naléhá. Měli bychom sledovat naše předpoklady a mít otevřenou mysl."
  • Shreeram Abhyankar: (Purdue): "Můj příspěvek je v naprostém soucitu s Bishopovým postavením."
  • JP Kahane (U. de Paris): „... musím respektovat Bishopovu práci, ale připadá mi nudná ...“
  • Bishop (UCSD): „Většina matematiků má pocit, že matematika má smysl, ale nudí je, když se snaží zjistit, co to je ...“
  • Kahane: „Cítím, že Bishopovo ocenění má větší význam než můj nedostatek ocenění.“

Recenze Bishopa

Bishop recenzoval knihu Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach od Howarda Jerome Keislera , která představila elementární počet pomocí metod nestandardní analýzy. Bishopa vybral jeho poradce Paul Halmos, aby knihu zkontroloval. Recenze se objevila ve Věstníku Americké matematické společnosti v roce 1977. Na tento článek odkazuje David O. Tall ( Tall 2001 ) při diskusi o použití nestandardní analýzy ve vzdělávání. Tall napsal:

použití axiomu volby v nestandardním přístupu však čerpá extrémní kritiku od těch, jako je Bishop (1977), který trval na explicitní konstrukci konceptů v intuiční tradici.

Bishopova recenze dodala několik citací z Keislerovy knihy, například:

V roce 1960 Robinson vyřešil tři sta let starý problém přesným zacházením s nekonečně malými čísly. Robinsonův úspěch bude pravděpodobně považován za jeden z hlavních matematických pokroků dvacátého století.

a

Při diskusi o skutečné linii jsme poznamenali, že nemáme žádný způsob, jak zjistit, jaká je linka ve fyzickém prostoru. Může to být jako hyperrealistická čára, skutečná čára, nebo žádná. V aplikacích kalkulu je však užitečné představit si čáru ve fyzickém prostoru jako hyperrealistickou čáru.

Recenze kritizovala Keislerův text za to, že neposkytl důkazy na podporu těchto tvrzení, a za přijetí axiomatického přístupu, když studentům nebylo jasné, že existuje nějaký systém, který axiomy uspokojuje ( Tall 1980 ). Recenze skončila následovně:

Technické komplikace způsobené Keislerovým přístupem mají menší význam. Skutečná škoda spočívá v [Keislerově] zmatení a devitalizaci těchto úžasných nápadů [standardního počtu]. Žádné vyvolání Newtona a Leibnize neospravedlní vývoj počtu pomocí axiomů V * a VI * - z toho důvodu, že obvyklá definice limitu je příliš komplikovaná!

a

I když se to zdá být marné, vždy svým studentům počítám, že matematika není esoterická: je to zdravý rozum. (I notoricky známá definice (ε, δ) limitu je zdravým rozumem a navíc je ústředním bodem důležitých praktických problémů aproximace a odhadu.) Nevěří mi. Tato myšlenka je ve skutečnosti nepohodlná, protože odporuje jejich předchozím zkušenostem. Nyní máme text kalkulu, který lze použít k potvrzení jejich zkušeností z matematiky jako esoterického a nesmyslného cvičení v technice.

Odpovědi

Keisler (1977, s. 269) se ve své odpovědi v The Notices zeptal:

proč si Paul Halmos , redaktor redakční revize knihy Bulletin , vybral jako recenzenta konstruktivistu ?

Ve srovnání s použitím zákona vyloučeného středního (odmítnutého konstruktivisty) s vínem Keisler přirovnal Halmosovu volbu k „výběru teetotalera k ochutnání vína“.

Biskupovu recenzi knihy následně kritizoval ve stejném časopise Martin Davis , který napsal na str. 1008 Davise (1977) :

Keislerova kniha je pokusem přivést zpět intuitivně sugestivní Leibnizianovy metody, které dominovaly ve výuce počtu až donedávna poměrně nedávno a které nikdy nebyly v částech aplikované matematiky zahozeny. Čtenář recenze Erretta Bishopa ke Keislerově knize by si stěží představil, že se o to Keisler pokoušel, protože recenze nepojednává ani o Keislerových cílech, ani o tom, do jaké míry je jeho kniha realizuje.

Davis dodal (str. 1008), že Bishop uvedl své námitky

aniž by informoval své čtenáře o konstruktivistickém kontextu, ve kterém je pravděpodobně třeba tuto námitku chápat.

Fyzik Vadim Komkov (1977, s. 270) napsal:

Bishop je jedním z předních vědců, kteří upřednostňují konstruktivní přístup k matematické analýze. Pro konstruktivistu je těžké pochopit teorie nahrazující skutečná čísla hyperrealy .

Bez ohledu na to, zda lze nestandardní analýzu provést konstruktivně, vnímal Komkov zásadní znepokojení ze strany Bishopa.

Filozof matematiky Geoffrey Hellman (1993, s. 222) napsal:

Některé z Bishopových poznámek (1967) naznačují, že jeho pozice patří do kategorie [radikálně konstruktivistického] ...

Historik matematiky Joseph Dauben analyzoval Bishopovu kritiku v (1988, s. 192). Po vyvolání „úspěchu“ nestandardní analýzy

na nejzákladnější úrovni, na které by mohl být zaveden - totiž na které se kalkul vyučuje poprvé,

Dauben uvedl:

existuje také hlubší významová úroveň, na které nestandardní analýza funguje.

Dauben se zmínil o "působivých" aplikacích ve Windows

fyzika, zejména kvantová teorie a termodynamika , a v ekonomii , kde studium směnných ekonomik bylo obzvláště vhodné pro nestandardní interpretaci.

Na této „hlubší“ významové úrovni dospěl Dauben k závěru,

Bishopovy názory lze zpochybnit a ukázat, že jsou stejně neopodstatněné jako jeho pedagogické námitky proti nestandardní analýze.

Řada autorů se vyjádřila k tónu Bishopovy recenze knihy. Artigue (1992) to popsal jako virulentní ; Dauben (1996), jako vitriolic ; Davis a Hauser (1978), jako nepřátelští ; Vysoký (2001), extrémní .

Ian Stewart (1986) přirovnal Halmosova žádost Bishopa o revizi Keislerovy knihy s pozváním Margaret Thatcherové, aby přezkoumala Das Kapital .

Katz & Katz (2010) na to poukazují

Bishop kritizuje jablka za to, že nejsou pomeranči: kritik (Bishop) a kritizovaný (Robinsonova nestandardní analýza) nesdílejí společný základní rámec.

Dále to berou na vědomí

Bishopovo zaujetí vyvrácením zákona vyloučeného středu ho vedlo ke kritice klasické matematiky jako celku stejně jedovatým způsobem jako jeho kritika nestandardní analýzy.

G. Stolzenberg reagoval na Keisler v oznámeních o kritiku posouzení biskupa v dopise, také publikoval v oznámeních. Stolzenberg tvrdí, že kritika Bishopovy recenze Keislerovy knihy kalkulů je založena na mylném předpokladu, že byly vytvořeny v konstruktivistickém myšlení, zatímco Stolzenberg věří, že Bishop to četl tak, jak to mělo být čteno: v klasickém myšlení.

Connesova kritika

V „Brisure de symétrie spontanée et géométrie du point de vue spectral“, Journal of Geometry and Physics 23 (1997), 206–234, Alain Connes napsal:

„Odpověď daná nestandardní analýzou, konkrétně nestandardním reálným, je stejně zklamáním: každý nestandardní reálný kanonicky určuje (Lebesgueovu) neměřitelnou podmnožinu intervalu [0, 1], takže je nemožné (Stern , 1985) vystavit jediné [nestandardní reálné číslo]. Formalismus, který navrhujeme, dá na tuto otázku podstatnou a vypočítatelnou odpověď. “

Ve svém článku z roku 1995 „Nekomutativní geometrie a realita“ Connes rozvíjí počet nekonečně malých čísel založený na operátorech v Hilbertově prostoru. Pokračuje „vysvětlením, proč je formalismus nestandardní analýzy neadekvátní“ pro jeho účely. Connes poukazuje na následující tři aspekty Robinsonových hyperrealů:

(1) nestandardní hyperreal „nelze vystavit“ (uvedený důvod je jeho vztah k neměřitelným množinám);

(2) „Praktické použití takového pojmu je omezeno na výpočty, u nichž je konečný výsledek nezávislý na přesné hodnotě výše uvedeného nekonečného čísla. Tímto způsobem se používají nestandardní analýzy a ultraprodukty [...]“.

(3) hyperrealy jsou komutativní.

Katz & Katz analyzují Connesovu kritiku nestandardní analýzy a zpochybňují konkrétní tvrzení (1) a (2). Pokud jde o (1), Connesova vlastní nekonečná čísla se podobně spoléhají na nekonstruktivní základní materiál, jako je existence Dixmierovy stopy . Co se týče (2), Connes představuje nezávislost volby nekonečně malého jako rys své vlastní teorie.

Kanovei a kol. (2012) analyzují Connesovo tvrzení, že nestandardní čísla jsou „chimérická“. Poznamenávají, že obsahem jeho kritiky je, že ultrafiltry jsou „chimérické“, a poukazují na to, že Connes ultrafiltry využil podstatným způsobem ve své dřívější práci ve funkční analýze. Analyzují Connesovo tvrzení, že teorie hyperrealu je pouze „virtuální“. Connesovy odkazy na práci Roberta Solovaye naznačují, že Connes znamená kritizovat hyperrealy za to, že údajně nejsou definovatelné. Pokud ano, Connes' tvrzení týkající se hyperreals je prokazatelně chybný, vzhledem k existenci definovatelnou modelu z hyperreals postavených Vladimir Kanovei a Saharon Sále (2004). Kanovei a kol. (2012) rovněž poskytují chronologickou tabulku stále více jedovatých epitet používaných Connesem k pomlouvání nestandardních analýz v období mezi lety 1995 a 2007, počínaje „neadekvátním“ a „zklamáním“ a vrcholící „koncem cesty za„ explicitní “ ".

Katz & Leichtnam (2013) poznamenávají, že „o dvou třetinách Connesovy kritiky Robinsonova nekonečně malého přístupu lze říci, že jsou nesoudržné, ve specifickém smyslu toho, že nejsou v souladu s tím, co Connes píše (souhlasně) o svém vlastním nekonečně malém přístupu.“

Halmosovy poznámky

Paul Halmos píše v „Invariantních podprostorech“, American Mathematical Monthly 85 (1978) 182–183, takto:

„Rozšíření na polynomiálně kompaktní operátory získali Bernstein a Robinson (1966). Prezentovali svůj výsledek v metamathematickém jazyce zvaném nestandardní analýza, ale jak bylo velmi brzy zjištěno, byla to otázka osobních preferencí, nikoli nutnosti . “

Halmos píše (Halmos 1985) následovně (str. 204):

Bernstein-Robinsonův důkaz [ invariantního podprostorového dohadu Halmosa] používá nestandardní modely predikátních jazyků vyššího řádu, a když mi [Robinson] poslal jeho dotisk, musel jsem se potit, abych přesně určil a přeložit jeho matematický vhled.

Při komentování „role nestandardní analýzy v matematice“ Halmos píše (str. 204):

Pro některé další [... matematiky], kteří jsou proti (například Errett Bishop ), je to stejně emotivní problém ...

Halmos uzavírá diskusi o nestandardní analýze následovně (str. 204):

je to speciální nástroj, příliš speciální a ostatní nástroje mohou dělat všechno, co dělá. Je to všechno otázka vkusu.

Katz & Katz (2010) to poznamenávají

Halmosova touha vyhodnotit Robinsonovu teorii mohla zahrnovat střet zájmů [...] Halmos investoval značnou emocionální energii (a pot , jak to pamatuje ve své autobiografii) do svého překladu výsledku Bernstein – Robinson [...] [H] je tupý nelichotivé komentáře, zdá se, že zpětně ospravedlňují jeho překladatelský pokus odvrátit dopad jedné z prvních velkolepých aplikací Robinsonovy teorie.

Komentáře Bos a Medveděva

Leibnizský historik Henk Bos (1974) uznal, že Robinsonovy hyperrealy poskytují

[a] předběžné vysvětlení, proč by se počet mohl vyvinout na nejistém základě přijetí nekonečně malých a nekonečně velkých množství.

F. Medvedev (1998) na to dále poukazuje

[n] standardní analýza umožňuje odpovědět na choulostivou otázku spojenou s dřívějšími přístupy k historii klasické analýzy. Pokud jsou nekonečně malé a nekonečně velké veličiny považovány za nekonzistentní pojmy, jak by mohly [sloužit] jako základ pro konstrukci tak [velkolepé] stavby jedné z nejdůležitějších matematických disciplín?

Viz také

Poznámky

Reference

externí odkazy