Kořen kostky - Cube root

Graf y = ³ √ x . Děj je symetrický s ohledem na původ, protože je to lichá funkce . V bodě x = 0 má tento graf svislou tečnu .

Kostka jednotky (strana = 1) a kostka s dvojnásobným objemem (strana = ³ √ 2 = 1,2599 ... OEIS :  A002580 ).

V matematice je odmocnina čísla x takové číslo y , že y ³ = x . Všechna nenulová reálná čísla mají přesně jeden skutečný kořen krychle a pár komplexních konjugovaných kořenů krychle a všechna nenulová komplexní čísla mají tři odlišné komplexní krychlové kořeny. Například skutečný kořen krychle 8 , označený , je 2 , protože 2 ³ = 8 , zatímco ostatní kořeny krychle 8 jsou a . Tři kořeny krychle −27 i jsou ${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {8}}}$${\ Displaystyle -1+i {\ sqrt {3}}}$${\ Displaystyle -1 -i {\ sqrt {3}}}$

${\ Displaystyle 3i, \ quad {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} -{\ frac {3} {2}} i, \ quad {\ text {and}} \ quad -{ \ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}}-{\ frac {3} {2}} i.}$

V některých kontextech, zvláště když číslo, jehož kořen krychle má být vzat, je skutečné číslo, jeden z kořenů krychle (v tomto konkrétním případě skutečný) je označován jako hlavní kořen krychle , označený radikálním znaménkem Kostka kořen je inverzní funkce na funkci kostky -li pouze reálná čísla, ale ne v případě, s ohledem také komplexní čísla: i když jeden má vždy třetí odmocninu krychle řady není vždy toto číslo. Například je kořen krychle 8 , (to znamená ), ale${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {~^{~}}}.}$${\ Displaystyle \ left ({\ sqrt [{3}] {x}} \ right)^{3} = x,}$${\ Displaystyle -1+i {\ sqrt {3}}}$${\ Displaystyle (-1+i {\ sqrt {3}})^{3} = 8}$${\ Displaystyle -1+i {\ sqrt {3}} \ neq 2 = {\ sqrt [{3}] {( -1+i {\ sqrt {3}})^{3}}}.}$

Formální definice

Kocky odmocniny čísla x jsou čísla y, která splňují rovnici

${\ Displaystyle y^{3} = x. \}$

Vlastnosti

Skutečná čísla

Pro jakékoli reálné číslo x existuje jedno reálné číslo y takové, že y ³  =  x . Funkce kostky se zvyšuje, takže nedává stejný výsledek pro dva různé vstupy a pokrývá všechna reálná čísla. Jinými slovy, je to bijekce neboli one-to-one. Potom můžeme definovat inverzní funkci, která je také individuální. Pro reálná čísla můžeme definovat jedinečný kořen krychle všech reálných čísel. Je -li použita tato definice, je odmocnina záporného čísla záporným číslem.

Tři kořeny kostky 1

Pokud x a y mohou být komplexní , pak existují tři řešení (pokud x není nenulové), a tak x má tři odmocniny. Skutečné číslo má jeden skutečný kořen krychle a dva další kořeny krychle, které tvoří komplexní konjugovaný pár. Kořeny kostky 1 jsou například:

${\ Displaystyle 1, \ quad -{\ frac {1} {2}}+{\ frac {\ sqrt {3}} {2}} i, \ quad -{\ frac {1} {2}} -{ \ frac {\ sqrt {3}} {2}} i.}$

Poslední dva z těchto kořenů vedou ke vztahu mezi všemi kořeny jakéhokoli skutečného nebo komplexního čísla. Pokud je číslo jedním kořenem krychle konkrétního skutečného nebo komplexního čísla, další dva kořeny krychle lze nalézt vynásobením tohoto kořene krychle jedním nebo druhým ze dvou komplexních kořenů kostky 1.

Složitá čísla

Vykreslete složitý kořen krychle spolu se dvěma dalšími listy. První obrázek ukazuje hlavní větev, která je popsána v textu.

Riemannův povrch kořene kostky. Je vidět, jak do sebe zapadají všechny tři listy.

U komplexních čísel je hlavní kořen krychle obvykle definován jako kořen krychle, který má největší skutečnou část , nebo, ekvivalentně, kořen krychle, jehož argument má nejmenší absolutní hodnotu . Vztahuje se k hlavní hodnotě přirozeného logaritmu podle vzorce

${\ Displaystyle x^{\ frac {1} {3}} = \ exp \ left ({\ frac {1} {3}} \ ln {x} \ right).}$

Napíšeme -li x jako

${\ Displaystyle x = r \ exp (i \ theta) \,}$

kde r je nezáporné reálné číslo a θ leží v rozsahu

${\ Displaystyle -\ pi <\ theta \ leq \ pi}$,

pak hlavní komplexní kostka je

${\ Displaystyle {\ sqrt [{3}] {x}} = {\ sqrt [{3}] {r}} \ exp \ left ({\ frac {i \ theta} {3}} \ right).}$

To znamená, že v polárních souřadnicích vezmeme kořen krychle poloměru a dělíme polární úhel třemi, abychom definovali kořen krychle. S touto definicí je hlavní krychlový kořen záporného čísla komplexní číslo a například ³ √ −8 nebude −2, ale spíše 1 + i √ 3 .

Tuto obtíž lze také vyřešit zvážením odmocniny jako vícehodnotové funkce : napíšeme -li původní komplexní číslo x ve třech ekvivalentních tvarech, konkrétně

${\ Displaystyle x = {\ begin {cases} r \ exp (i \ theta), \\ [3px] r \ exp (i \ theta +2i \ pi), \\ [3px] r \ exp (i \ theta -2i \ pi). \ End {cases}}}$

Geometrická reprezentace 2. až 6. kořene komplexního čísla z , v polární formě re ^iφ  kde r = | z  | a φ = arg z . Pokud je z skutečné, φ = 0 nebo π . Hlavní kořeny jsou znázorněny černě.

Hlavní komplexní kostkové kořeny těchto tří forem jsou pak příslušně

${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {x}} = {\ begin {cases} {\ sqrt [{3}] {r}} \ exp \ left ({\ frac {i \ theta} {3} } \ right), \\ {\ sqrt [{3}] {r}} \ exp \ left ({\ frac {i \ theta} {3}}+{\ frac {2i \ pi} {3}} \ vpravo), \\ {\ sqrt [{3}] {r}} \ exp \ left ({\ frac {i \ theta} {3}}-{\ frac {2i \ pi} {3}} \ right) . \ end {cases}}}$

Pokud x = 0 , tato tři komplexní čísla jsou odlišná, přestože tři reprezentace x byly ekvivalentní. Například ³ √ −8 lze pak vypočítat jako −2, 1 + i √ 3 nebo 1 - i √ 3 .

To souvisí s konceptem monodromie : pokud jeden následuje kontinuitou, funkce krychle funkce po uzavřené dráze kolem nuly, po otočení se hodnota odmocniny krychle vynásobí (nebo rozdělí)${\ Displaystyle e^{2i \ pi /3}.}$

Nemožnost konstrukce kompasu a pravítka

Kořeny krychle vznikají v problému nalezení úhlu, jehož míra je jedna třetina úhlu daného úhlu ( úhel třísek ) a v problému nalezení hrany krychle, jejíž objem je dvojnásobek objemu krychle s danou hranou ( zdvojnásobení kostka ). V roce 1837 Pierre Wantzel dokázal, že ani jeden z nich nelze provést pomocí konstrukce kompasu a pravítka .

Numerické metody

Newtonova metoda je iterační metoda, kterou lze použít k výpočtu odmocniny. Pro opravdové plovoucí desetinnou čárkou čísla tento způsob snižuje na následující iterační algoritmus pro vytvoření postupně lepší aproximace třetí odmocniny :

${\ Displaystyle x_ {n+1} = {\ frac {1} {3}} \ left ({\ frac {a} {x_ {n}^{2}}}+2x_ {n} \ right).}$

Metoda jednoduše průměruje tři faktory zvolené tak, že

${\ displaystyle x_ {n} \ times x_ {n} \ times {\ frac {a} {x_ {n}^{2}}} = a}$

při každé iteraci.

Halleyho metoda to vylepšuje pomocí algoritmu, který konverguje rychleji s každou iterací, i když s více pracemi na iteraci:

${\ Displaystyle x_ {n+1} = x_ {n} \ left ({\ frac {x_ {n}^{3}+2a} {2x_ {n}^{3}+a}} \ right).}$

To konverguje kubicky , takže dvě iterace odvedou stejnou práci jako tři iterace Newtonovy metody. Každá iterace Newtonovy metody stojí dvě násobení, jedno sčítání a jedno dělení, za předpokladu, že 1/3a je předpočítán, takže tři iterace plus předpočítání vyžadují sedm násobení, tři sčítání a tři divize.

Každá iterace Halleyovy metody vyžaduje tři násobení, tři sčítání a jedno dělení, takže dvě iterace stojí šest násobení, šest přírůstků a dvě dělení. Halleyova metoda má tedy potenciál být rychlejší, pokud je jedna divize dražší než tři přírůstky.

U obou metod může špatná počáteční aproximace x ₀ poskytnout velmi špatný výkon algoritmu a přijít s dobrou počáteční aproximací je poněkud černá magie. Některé implementace manipulují s exponentními bity čísla s plovoucí desetinnou čárkou; tj. dospějí k počáteční aproximaci vydělením exponentu 3.

Užitečný je také tento generalizovaný pokračující zlomek , založený na n -té kořenové metodě:

Pokud x je dobrá první aproximace na odmocninu a a y = a - x ³ , pak:

${\ Displaystyle {\ sqrt [{3}] {a}} = {\ sqrt [{3}] {x^{3}+y}} = x+{\ cfrac {y} {3x^{2}+{ \ cfrac {2y} {2x+{\ cfrac {4y} {9x^{2}+{\ cfrac {5y} {2x+{\ cfrac {7y} {15x^{2}+{\ cfrac {8y} {2x+\ ddots}}}}}}}}}}}}}}$

${\ Displaystyle = x+{\ cfrac {2x \ cdot y} {3 (2x^{3}+y) -y-{\ cfrac {2 \ cdot 4y^{2}} {9 (2x^{3}+ y)-{\ cfrac {5 \ cdot 7y^{2}} {15 (2x^{3}+y)-{\ cfrac {8 \ cdot 10y^{2}} {21 (2x^{3}+ y)-\ ddots}}}}}}}}.}$

Druhá rovnice spojuje každou dvojici zlomků z první do jedné frakce, čímž se rychlost konvergence zdvojnásobuje.

Vzhled v řešeních rovnic třetího a čtvrtého stupně

Kubické rovnice , které jsou polynomiálními rovnicemi třetího stupně (což znamená, že nejvyšší mocnina neznáma je 3), lze vždy vyřešit pro jejich tři řešení, pokud jde o odmocniny a odmocniny (i když jednodušší výrazy pouze z hlediska odmocnin existují všechna tři řešení, pokud je alespoň jedno z nich racionální číslo ). Pokud jsou dvě řešení komplexní čísla, pak všechny tři výrazy řešení zahrnují skutečný kořen krychle reálného čísla, zatímco pokud jsou všechna tři řešení reálná čísla, pak mohou být vyjádřena pomocí odmocniny komplexní kostky komplexního čísla .

Kvartické rovnice lze také vyřešit z hlediska odmocnin a odmocnin.

Dějiny

Výpočet kořenů kostek lze vysledovat u babylonských matematiků již od roku 1800 př. N. L. Ve čtvrtém století př. N. L. Platón představoval problém zdvojnásobení krychle , což vyžadovalo konstrukci hrany krychle s kompasem a pravítkem s dvojnásobným objemem dané krychle; to vyžadovalo stavbu, nyní známou jako nemožnou, o délce ³ √ 2 .

Metoda pro extrakci kořenů kostek se objevuje v devíti kapitolách matematického umění , čínském matematickém textu, který byl sestaven kolem 2. století př. N. L. A komentoval jej Liu Hui ve 3. století n. L. Řecký matematik Hero Alexandrie vynalezl metodu pro výpočet třetí odmocniny v 1. století CE. Jeho vzorec opět zmiňuje Eutokios v komentáři k Archimédovi . V roce 499 n. L. Aryabhata , matematik - astronom z klasického věku indické matematiky a indické astronomie , poskytl metodu pro nalezení krychlového kořene čísel s mnoha číslicemi v Aryabhatiya (část 2.5).

Viz také

• Metody výpočtu odmocnin
• Seznam polynomiálních témat
• N -tý kořen
• Odmocnina
• Vnořený radikál
• Kořen jednoty
• Posunutí algoritmu n-tého root

Reference

externí odkazy

• Cube root calculator redukuje libovolné číslo na nejjednodušší radikální formu
• Computing the Cube Root, Ken Turkowski, Apple Technical Report #KT-32, 1998 . Obsahuje zdrojový kód C.
• Weisstein, Eric W. „Cube Root“ . MathWorld .