Aktuální hustota - Current density

Proudová hustota
Proudová hustota
Společné symboly	j →
V základních jednotkách SI	A m -2
Dimenze	I L −2

V elektromagnetismu je proudová hustota množství náboje za jednotku času, které protéká jednotkovou oblastí zvoleného průřezu. Vektor proudu hustota je definován jako vektor , jehož velikost je elektrický proud za průřezové plochy v daném bodě v prostoru, jeho směr je, že na pohybu kladných nábojů v tomto bodě. V základních jednotkách SI se hustota elektrického proudu měří v ampérech na metr čtvereční .

Definice

Předpokládejme, že (jednotka SI: m ² ) je malá plocha se středem v daném bodě M a kolmém k pohybu poplatků v M . Pokud I _A (jednotka SI: A ) je elektrický proud protékající A , pak je hustota elektrického proudu j na M dána mezí :

{\ Displaystyle j = \ lim _ {A \ to 0} {\ frac {I_ {A}} {A}} = \ left. {\ frac {\ částečný I} {\ částečný A}} \ pravý | _ { A = 0},}

s povrchem A zůstávajícím vycentrovaným na M a kolmým na pohyb nábojů během limitního procesu.

Proudová hustota vektor j je vektor, jehož velikost je elektrický proud hustota, a jehož směr je stejný jako pohyb kladných nábojů v M .

V daném čase t , pokud v je rychlost nábojů na M , a dA je nekonečně malý povrch se středem na M a kolmý na v , pak během určitého času dt pouze náboj obsažený v objemu tvořeném dA a I = dq / dt bude protékat dA . Tento náboj se rovná ρ || v || d t d A , kde ρ je hustota náboje na M a elektrický proud na M je I = ρ || v || dA . Z toho vyplývá, že vektor hustoty proudu lze vyjádřit jako:

{\ Displaystyle \ mathbf {j} = \ rho \ mathbf {v}.}

Plošný integrál ze j přes povrchu S , následovaný integrál v časovém trvání t ₁ do t ₂ , udává celkové množství náboje proudí přes povrch v té době ( t ₂ - t ₁ ):

{\ Displaystyle q = \ int _ {t_ {1}}^{t_ {2}} \ iint _ {S} \ mathbf {j} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \, dA \, dt. }

Stručněji, to je integrál toku z j přes S mezi t ₁ a t ₂ .

Plochy potřebné pro výpočet tok je skutečné nebo imaginární, ploché nebo zakřivené, a to buď jako průřezová plocha nebo povrch. Například pro nosiče náboje procházející elektrickým vodičem je plocha průřezem vodiče v uvažovaném úseku.

Vektor plocha je kombinací velikosti oblasti, kterou se nosiče náboje procházejí, A , a jednotkový vektor kolmém k této oblasti, . Vztah je . ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {n}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {A} = A \ mathbf {\ hat {n}}}$

Vektor oblast rozdíl podobně vyplývá z výše uvedené definice: . ${\ Displaystyle d \ mathbf {A} = dA \ mathbf {\ hat {n}}}$

Pokud proudová hustota j prochází oblastí pod úhlem θ k normální oblasti , pak ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {n}}}$

{\ Displaystyle \ mathbf {j} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} = j \ cos \ theta}

kde ⋅ je bodový součin jednotkových vektorů. To znamená, že složka hustoty proudu procházejícího povrchem (tj kolmo k ní) je j cos t Vstup , zatímco složka hustoty proudu procházejícího dotýkající se oblasti je j sin θ , ale není tam žádná hustota proudu bylo skutečně nutné přecházet přes území v tangenciálním směru. Pouze složka hustoty proudu procházející kolmo k této oblasti je kosinus složka.

Důležitost

Hustota proudu je důležitá pro návrh elektrických a elektronických systémů.

Výkon obvodu závisí na navržené úrovni proudu a proudová hustota je pak určena rozměry vodivých prvků. Například, protože integrované obvody jsou zmenšovány, navzdory nižšímu proudu požadovanému menšími zařízeními , existuje trend směrem k vyšším proudovým hustotám k dosažení vyššího počtu zařízení ve stále menších oblastech čipů . Viz Moorův zákon .

Při vysokých frekvencích se vodivá oblast v drátu zužuje v blízkosti jejího povrchu, což zvyšuje proudovou hustotu v této oblasti. Toto je známé jako efekt kůže .

Vysoká proudová hustota má nežádoucí důsledky. Většina elektrických vodičů má konečný kladný odpor , díky čemuž rozptylují energii ve formě tepla. Proudová hustota musí být udržována dostatečně nízká, aby se zabránilo roztavení nebo spálení vodiče, selhání izolačního materiálu nebo změně požadovaných elektrických vlastností. Při vysokých proudových hustotách se materiál tvořící propojení ve skutečnosti pohybuje, což je jev nazývaný elektromigrace . V supravodičích může nadměrná hustota proudu generovat dostatečně silné magnetické pole, které způsobí spontánní ztrátu supravodivé vlastnosti.

Analýza a pozorování proudové hustoty se také používá ke zkoumání fyziky, která je podstatou pevných látek, včetně nejen kovů, ale také polovodičů a izolátorů. K vysvětlení mnoha základních pozorování se vyvinul propracovaný teoretický formalismus.

Hustota proudu je důležitým parametrem v Ampérově obvodovém zákonu (jedna z Maxwellových rovnic ), který uvádí hustotu proudu do magnetického pole .

Ve speciální teorii relativity jsou náboj a proud sloučeny do 4 vektoru .

Výpočet proudových hustot ve hmotě

Volné proudy

Nosiče náboje, které se mohou volně pohybovat, představují hustotu volného proudu , která je dána výrazy, jako jsou výrazy v této části.

Elektrický proud je hrubé průměrné množství, které vypovídá o tom, co se děje v celém drátu. V poloze r v čase t je distribuce z náboje tekoucí popisuje proudové hustoty:

{\ Displaystyle \ mathbf {j} (\ mathbf {r}, t) = \ rho (\ mathbf {r}, t) \; \ mathbf {v} _ {\ text {d}} (\ mathbf {r} , t) \,}

kde j ( r , t ) je vektor hustoty proudu, v _d ( r , t ) je průměrná rychlost driftu částic (jednotka SI: m ∙ s ⁻¹ ) a

{\ Displaystyle \ rho (\ mathbf {r}, t) = q \, n (\ mathbf {r}, t)}

je hustota náboje (jednotka SI: coulomby na metr krychlový ), ve kterém n ( r , t ) je počet částic na jednotku objemu („hustota čísel“) (jednotka SI: m ⁻³ ), q je náboj jednotlivé částice s hustotou n (jednotka SI: coulomby ).

Běžná aproximace hustoty proudu předpokládá, že proud je jednoduše úměrný elektrickému poli, jak je vyjádřeno:

{\ Displaystyle \ mathbf {j} = \ sigma \ mathbf {E} \,}

kde E je elektrické pole a σ je elektrická vodivost .

Vodivost σ je reciproční ( inverzní ) elektrického odporu a má SI jednotky siemens na metr (S⋅m ⁻¹ ) a E má SI jednotky newtonů na coulomb (N⋅C ⁻¹ ) nebo, ekvivalentně, volty na metr (V⋅m ⁻¹ ).

Zásadnější přístup k výpočtu proudové hustoty je založen na:

{\ Displaystyle \ mathbf {j} (\ mathbf {r}, t) = \ int _ { -\ infty}^{t} \ left [\ int _ {V} \ sigma (\ mathbf {r} -\ mathbf {r} ', t-t') \; \ mathbf {E} (\ mathbf {r} ', t') \; {\ text {d}}^{3} \ mathbf {r} '\, \ vpravo] {\ text {d}} t '\,}

indikující zpoždění odezvy časovou závislostí σ a nelokální povahu reakce na pole prostorovou závislostí σ , obojí se v zásadě vypočítá z podkladové mikroskopické analýzy, například v případě dostatečně malých polí , funkce lineární odezvy pro vodivé chování v materiálu. Viz například Giuliani & Vignale (2005) nebo Rammer (2007). Integrál sahá po celé minulé historii až po současnost.

Výše uvedená vodivost a s ní spojená proudová hustota odrážejí základní mechanismy přenosu náboje v médiu, a to jak v čase, tak na vzdálenost.

Fourierova transformace v prostoru a čase má pak za následek:

{\ Displaystyle \ mathbf {j} (\ mathbf {k}, \ omega) = \ sigma (\ mathbf {k}, \ omega) \; \ mathbf {E} (\ mathbf {k}, \ omega) \, }

kde σ ( k , ω ) je nyní komplexní funkce .

V mnoha materiálech, například v krystalických materiálech, je vodivost tenzorem a proud nemusí být nutně ve stejném směru jako aplikované pole. Kromě samotných vlastností materiálu může aplikace magnetických polí změnit vodivé chování.

Polarizační a magnetizační proudy

Proudy vznikají v materiálech při nejednotném rozložení náboje.

V dielektrických materiálech existuje proudová hustota odpovídající čistému pohybu elektrických dipólových momentů na jednotku objemu, tj. Polarizaci P :

{\ Displaystyle \ mathbf {j} _ {\ mathrm {P}} = {\ frac {\ částečné \ mathbf {P}} {\ částečné t}}}

Podobně u magnetických materiálů vedou cirkulace magnetických dipólových momentů na jednotku objemu, tj. Magnetizace M, k magnetizačním proudům :

{\ Displaystyle \ mathbf {j} _ {\ mathrm {M}} = \ nabla \ times \ mathbf {M}}

Tyto termíny dohromady tvoří vázanou proudovou hustotu v materiálu (výsledný proud v důsledku pohybů elektrických a magnetických dipólových momentů na jednotku objemu):

{\ Displaystyle \ mathbf {j} _ {\ mathrm {b}} = \ mathbf {j} _ {\ mathrm {P}}+\ mathbf {j} _ {\ mathrm {M}}}

Celkový proud v materiálech

Celkový proud je jednoduše součtem volných a vázaných proudů:

{\ Displaystyle \ mathbf {j} = \ mathbf {j} _ {\ mathrm {f}}+\ mathbf {j} _ {\ mathrm {b}}}

Posuvný proud

Existuje také proudový proud odpovídající časově proměnnému elektrickému výtlakovému poli D :

{\ Displaystyle \ mathbf {j} _ {\ mathrm {D}} = {\ frac {\ částečné \ mathbf {D}} {\ částečné t}}}

což je důležitý termín v Ampérově obvodovém zákoně , jedna z Maxwellových rovnic, protože absence tohoto výrazu by nepředpovídala šíření elektromagnetických vln ani časový vývoj elektrických polí obecně.

Rovnice spojitosti

Protože je náboj zachován, musí proudová hustota splňovat rovnici spojitosti . Zde je odvození z prvních principů.

Čistý průtok z nějakého objemu V (který může mít libovolný tvar, ale pro výpočet je pevný) se musí rovnat čisté změně náboje v objemu:

{\ Displaystyle \ int _ {S} {\ mathbf {j} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {A}} =-{\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {V} {\ rho \; \ mathrm {d} V} =-\ int _ {V} {{\ frac {\ částečné \ rho} {\ částečné t}} \; \ mathrm {d} V} }

kde ρ je hustota náboje , a d je plošný prvek povrchu S uzavírající objem V . Povrchový integrál vlevo vyjadřuje aktuální odtok z objemu a negativně podepsaný objemový integrál vpravo vyjadřuje pokles celkového náboje uvnitř objemu. Z divergenční věty :

{\ Displaystyle \ int _ {S} {\ mathbf {j} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {A}} = \ int _ {V} {\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {j} \ ; \ mathrm {d} V}}

Proto:

{\ Displaystyle \ int _ {V} {\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {j} \; \ mathrm {d} V} \ =-\ int _ {V} {{\ frac {\ částečné \ rho } {\ partial t}} \; \ mathrm {d} V}}

Tento vztah platí pro jakýkoli svazek, nezávislý na velikosti nebo umístění, což znamená, že:

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {j} =-{\ frac {\ částečné \ rho} {\ částečné t}}}

a tento vztah se nazývá rovnice kontinuity .

V praxi

V elektrickém vedení se maximální proudová hustota může pohybovat od 4 A⋅mm ⁻² pro drát bez cirkulace vzduchu kolem, do 6 A⋅mm ⁻² pro drát ve volném vzduchu. Předpisy pro elektroinstalaci budov uvádějí maximální povolený proud každé velikosti kabelu v různých podmínkách. U kompaktních konstrukcí, jako jsou vinutí transformátorů SMPS , může být hodnota až 2 A⋅mm ⁻² . Pokud vodič vede vysokofrekvenční proudy, účinek kůže může ovlivnit distribuci proudu v sekci soustředěním proudu na povrch vodiče . U transformátorů určených pro vysoké frekvence je ztráta snížena, pokud je pro vinutí použit drát Litz . Toto je vyrobeno z několika izolovaných vodičů paralelně s průměrem dvojnásobným než je hloubka kůže . Izolované prameny jsou stočeny dohromady, aby se zvětšila celková plocha pokožky a snížil odpor v důsledku účinků kůže.

U horní a spodní vrstvy desek s plošnými spoji může být maximální proudová hustota až 35 A⋅mm ⁻² s tloušťkou mědi 35 μm. Vnitřní vrstvy nemohou odvádět tolik tepla jako vnější vrstvy; designéři obvodových desek se vyhýbají vkládání silnoproudých stop na vnitřní vrstvy.

V poli polovodičů udává maximální proudové hustoty pro různé prvky výrobce. Překročení těchto limitů vyvolává následující problémy:

Joule efekt , který zvyšuje teplotu komponenty.
Elektromigračních účinek , který bude erodovat propojení a nakonec způsobit otevřený obvod.
Efekt pomalé difúze, který, pokud je nepřetržitě vystaven vysokým teplotám, přesune kovové ionty a příměsi z místa, kde by měly být. Tento efekt je také synonymem stárnutí.

Následující tabulka poskytuje představu o maximální proudové hustotě pro různé materiály.

Materiál	Teplota	Maximální proudová hustota
Měděná propojení ( technologie 180 nm )	25 ° C	1000 μA⋅μm ⁻² (1000 A⋅mm ⁻² )
	50 ° C	700 μA⋅μm ⁻² (700 A⋅mm ⁻² )
	85 ° C	400 μA⋅μm ⁻² (400 A⋅mm ⁻² )
	125 ° C	100 μA⋅μm ⁻² (100 A⋅mm ⁻² )
Grafenové nanoribony	25 ° C	0,1–10 × 10 ⁸ A⋅cm ⁻² (0,1–10 × 10 ⁶ A⋅mm ⁻² )

I když výrobci ke svým číslům přidají určitou rezervu, doporučuje se alespoň zdvojnásobit vypočítanou část, aby se zvýšila spolehlivost, zejména u vysoce kvalitní elektroniky. Lze si také všimnout důležitosti udržování elektronických zařízení v chladu, aby nedošlo k jejich vystavení elektromigraci a pomalé difúzi .

V biologických organismech , iontové kanály regulaci toku iontů (například sodíku , vápníku , draslíku ) přes membránu ve všech buňkách . Předpokládá se, že membrána článku funguje jako kondenzátor. Hustoty proudu jsou obvykle vyjádřeny v pA⋅pF ⁻¹ ( pico ampéry na pico farad ) (tj. Proud dělený kapacitou ). Existují techniky empirického měření kapacity a povrchu buněk, což umožňuje výpočet proudových hustot pro různé buňky. To umožňuje vědcům porovnat iontové proudy v buňkách různých velikostí.

V plynových výbojkách , jako jsou zábleskové lampy , hraje hustota proudu důležitou roli ve vytvářeném výstupním spektru . Nízké proudové hustoty produkují emisi spektrálních čar a mají tendenci upřednostňovat delší vlnové délky . Vysoká proudová hustota produkuje kontinuální emise a má tendenci upřednostňovat kratší vlnové délky. Nízké proudové hustoty pro zábleskové žárovky jsou obecně kolem 10 A⋅mm ⁻² . Vysoká proudová hustota může být více než 40 A⋅mm ⁻² .

Languages

In other projects