Křivka - Curve

Parabola , jedním z nejjednodušších křivek, po (rovný) linky

V matematice je křivka ( ve starších textech také nazývaná zakřivená čára ) objekt podobný přímce , ale nemusí být přímý .

Intuitivně může být křivka považována za stopu zanechanou pohybujícím se bodem . Toto je definice, která se objevila před více než 2000 lety v Euclidových prvcích : „[Zakřivená] čára je […] první druh kvantity, který má pouze jeden rozměr, konkrétně délku, bez jakékoli šířky a hloubky, a není ničím jiným. než tok nebo běh bodu, který […] opustí ze svého imaginárního pohybu nějaké stopy na délku, bez jakékoli šířky. “

Tato definice křivky byl formován v moderní matematiky, jako jsou: Křivka je obraz z intervalu k topologického prostoru pomocí spojité funkci . V některých kontextech se funkce, která definuje křivku, nazývá parametrizace a křivka je parametrická křivka . V tomto článku se těmto křivkám někdy říká topologické křivky, aby se odlišily od omezenějších křivek, jako jsou diferencovatelné křivky . Tato definice zahrnuje většinu křivek, které jsou studovány v matematice; výraznými výjimkami jsou křivky úrovní (což jsou svazky křivek a izolované body) a algebraické křivky (viz níže). Křivky úrovní a algebraické křivky se někdy nazývají implicitní křivky , protože jsou obecně definovány implicitními rovnicemi .

Třída topologických křivek je však velmi široká a obsahuje některé křivky, které pro křivku nevypadají tak, jak by se dalo očekávat, nebo je dokonce nelze nakreslit. To je případ křivek vyplňujících prostor a fraktálních křivek . Aby byla zajištěna větší pravidelnost, funkce, která definuje křivku, je často považována za diferencovatelnou a křivka je pak považována za diferencovatelnou křivku .

Letadlo algebraická křivka je nulový soubor z polynomu ve dvou indeterminates . Obecněji, An algebraická křivka je nulová množina konečné množiny polynomů, který splňuje i další podmínku bytí algebraické odrůda o rozměru jedné. Pokud koeficienty polynomů patří do pole k , říká se, že křivka je definována přes k . V běžném případě skutečné algebraické křivky , kde k je pole reálných čísel , je algebraická křivka konečným spojením topologických křivek. Když se vezmou v úvahu komplexní nuly, má člověk komplexní algebraickou křivku , která z topologického hlediska není křivka, ale plocha , a často se jí říká Riemannova plocha . Ačkoli to nejsou křivky ve zdravém smyslu, algebraické křivky definované v jiných oborech byly široce studovány. Zejména algebraické křivky nad konečným polem jsou v moderní kryptografii široce používány .

Dějiny

Megalitické umění z Newgrange ukazuje raný zájem o křivky

Zájem o křivky začal dlouho předtím, než byly předmětem matematického studia. To lze vidět na mnoha příkladech jejich dekorativního využití v umění a na každodenních předmětech pocházejících z prehistorických dob. Křivky, nebo alespoň jejich grafická znázornění, se vytvářejí jednoduše, například klackem na písku na pláži.

Historicky byl termín čára použit místo modernější termínové křivky . Proto byly termíny přímka a pravá čára použity k rozlišení toho, čemu se dnes říká čáry, od zakřivených čar. Například v knize I Euclidových prvků je čára definována jako „délka bez šíře“ (def. 2), zatímco přímka je definována jako „čára, která leží rovnoměrně s body na sobě“ (def. 4) . Euclidovu představu o přímce snad objasňuje tvrzení „Končetiny přímky jsou body“ (Def. 3). Pozdější komentátoři dále řadili řádky podle různých schémat. Například:

  • Složené čáry (čáry svírající úhel)
  • Nekomponované čáry
    • Určete (čáry, které se neomezují na neurčito, například kruh)
    • Neurčité (čáry, které se táhnou na neurčito, například přímka a parabola)
Křivky vytvořené krájením kužele ( kuželové řezy ) patřily ke křivkám studovaným ve starověkém Řecku.

Řecké geometři studoval mnoho dalších druhů křivek. Jedním z důvodů byl jejich zájem o řešení geometrických problémů, které nebylo možné vyřešit pomocí standardního kompasu a konstrukce pravítka. Tyto křivky zahrnují:

Analytická geometrie umožňovala definovat křivky, jako například Folium Descartes , pomocí rovnic místo geometrické konstrukce.

Zásadní pokrok v teorii křivek bylo zavedení analytické geometrie od René Descartes v sedmnáctém století. To umožnilo popsat křivku spíše pomocí rovnice než komplikované geometrické konstrukce. To nejen umožnilo definovat a studovat nové křivky, ale také umožnilo formální rozlišení mezi algebraickými křivkami, které lze definovat pomocí polynomiálních rovnic , a transcendentálními křivkami, které nemohou. Dříve byly křivky popisovány jako „geometrické“ nebo „mechanické“ podle toho, jak byly, nebo údajně mohly být generovány.

Kuželosečky byly aplikovány v astronomii od Kepler . Newton také pracoval na časném příkladu variačního počtu . Řešení variačních problémů, jako jsou otázky brachistochronu a tautochronu , zavedlo vlastnosti křivek novými způsoby (v tomto případě cykloidem ). Řetězovka dostane jeho jméno jako řešení problému závěsného řetězu, ten druh otázky, které se staly běžně dostupné pomocí diferenciálního počtu .

V osmnáctém století přišly počátky teorie rovinných algebraických křivek obecně. Newton studoval krychlové křivky v obecném popisu skutečných bodů do „oválů“. Výrok Bézoutovy věty ukázal řadu aspektů, které nebyly přímo přístupné geometrii doby, co do činění se singulárními body a komplexními řešeními.

Od devatenáctého století je teorie křivek považována za zvláštní případ dimenze jedné z teorie variet a algebraických odrůd . Nicméně mnoho otázek zůstává specifických pro křivky, jako jsou křivky vyplňující prostor , Jordanova věta o křivce a Hilbertův šestnáctý problém .

Topologická křivka

Topologický křivka může být specifikována jako spojité funkce z intervalu I z reálných čísel do prostoru topological X . Správně řečeno, křivka je obraz z Nicméně, v některých kontextech, sám se nazývá křivka, zvláště když se obraz nevypadá jako to, co se obecně nazývá křivka a necharakterizuje dostatečně

Například obraz Peanovy křivky nebo obecněji křivky vyplňující prostor zcela vyplňuje čtverec, a proto neposkytuje žádné informace o tom, jak je definován.

Křivka je uzavřená nebo je smyčkou, pokud a . Uzavřená křivka je tedy obrazem souvislého mapování kruhu .

Pokud je doménou topologické křivky uzavřený a ohraničený interval , nazývá se to cesta , známá také jako topologický oblouk (nebo jen oblouk ).

Křivka je jednoduchá, pokud je obrazem intervalu nebo kruhu injektivní spojitou funkcí. Jinými slovy, pokud je křivka definována spojitou funkcí s intervalem jako doménou, je křivka jednoduchá právě tehdy, když dva různé body intervalu mají různé obrazy, s výjimkou případu, kdy jsou body koncovými body interval. Intuitivně je jednoduchá křivka křivkou, která „sama nekříží a nemá žádné chybějící body“.

Křivka drak s pozitivní oblasti

Jednoduchá uzavřená křivka se také nazývá Jordanova křivka . Tyto Jordan křivka věta se uvádí, že množina doplněk v rovině Jordan křivky se skládá ze dvou spojených komponent (to znamená, že křivka rozděluje rovinu, ve dvou neprotínající oblastí , které jsou připojeny).

Rovina křivka je křivka, pro který je euklidovská rovina -Tyto jsou příklady nejprve se setkali, nebo v některých případech na projektivní rovinu .Prostor křivka je křivka, pro které je alespoň trojrozměrný; zešikmení křivka je prostorová křivka, která leží v žádné rovině. Tyto definice rovinných, prostorových a šikmých křivek platí také pro skutečné algebraické křivky , ačkoli výše uvedená definice křivky neplatí (skutečná algebraická křivka může být odpojena ).

Definice křivky obsahuje údaje, které lze při běžném používání jen stěží nazvat křivkami. Například obraz jednoduché křivky může pokrýt čtverec v rovině ( křivka vyplňující prostor ) a mít tak kladnou plochu. Fraktální křivky mohou mít vlastnosti, které jsou pro zdravý rozum zvláštní. Například fraktální křivka může mít Hausdorffův rozměr větší než jeden (viz Kochova sněhová vločka ) a dokonce i pozitivní oblast. Příkladem je dračí křivka , která má mnoho dalších neobvyklých vlastností.

Diferencovatelná křivka

Zjednodušeně řečeno je diferencovatelné křivky je křivka, která je definována jako lokálně obraz injective diferencovatelné funkce z intervalu I z reálných čísel do diferencovatelné potrubí X , často

Přesněji řečeno, je diferencovatelná křivka je podmnožina C z X, kde každý bod C má sousedství U tak, že je diffeomorphic na intervalu reálných čísel. Jinými slovy, diferencovatelná křivka je diferencovatelným množstvím dimenze jedna.

Diferencovatelný oblouk

V euklidovské geometrii je oblouk (symbol: ) spojenou podmnožinou diferencovatelné křivky.

Oblouky čar se nazývají segmenty nebo paprsky podle toho, zda jsou ohraničené nebo ne.

Běžným zakřiveným příkladem je oblouk kruhu , nazývaný kruhový oblouk .

V kouli (nebo sféroidu ) se oblouku velkého kruhu (nebo velké elipsy ) říká velký oblouk .

Délka křivky

Pokud je -dimenzionální euklidovský prostor a pokud je injektivní a spojitě diferencovatelná funkce, pak je délka definována jako množství

Délka křivky je nezávislá na parametrizaci .

Zejména délka na grafu z kontinuálně diferencovatelné funkce je definována na uzavřeném intervalu je

Obecněji řečeno, pokud je metrický prostor s metrikou , pak můžeme definovat délku křivky podle

kde je supremum převzal všechny a všechny oddíly na .

Opravitelná křivka je křivka s konečnou délkou. Křivka se nazývá přirozená (nebo jednotková rychlost nebo parametrizovaná délkou oblouku), pokud pro něco takového máme

Pokud je funkce Lipschitz-spojitá , pak je automaticky opravitelná. Kromě toho, v tomto případě, je možné definovat rychlost (nebo metrický derivát ), z na jako

a pak to ukaž

Diferenciální geometrie

Zatímco první příklady křivek, které jsou splněny, jsou většinou rovinné křivky (tj. V každodenních slovech zakřivené čáry v dvourozměrném prostoru ), existují zřejmé příklady, jako je šroubovice, které přirozeně existují ve třech dimenzích. Potřeby geometrie a také například klasické mechaniky mají mít představu o křivce v prostoru libovolného počtu rozměrů. V obecné relativitě je světová čára křivkou v časoprostoru .

Pokud je diferencovatelný varieta , pak můžeme definovat pojem diferencovatelné křivky v . Tato obecná myšlenka stačí k pokrytí mnoha aplikací křivek v matematice. Z místního hlediska to může být euklidovský prostor. Na druhé straně, to je užitečné mít obecnější, v tom, že (například), je možné definovat tečných vektorů do prostřednictvím tohoto pojmu křivky.

Pokud je hladký různý , je hladká křivka v je hladká mapa

.

To je základní pojem. Omezených myšlenek je také méně a více. Pokud je potrubí (tj. Potrubí, jehož grafy jsou časy spojitě diferencovatelné ), pak křivka v je taková křivka, o které se pouze předpokládá, že je (tj. Časy spojitě diferencovatelné). Pokud je analytická řada (tj. Nekonečně diferencovatelná a grafy jsou vyjádřitelné jako mocenské řady ) a je analytickou mapou, pak se říká, že je analytickou křivkou .

Říká se, že je to diferencovatelná křivka pravidelný, pokud jehoderivátnikdy nezmizí. (Řečeno slovy, pravidelná křivka nikdy nezpomalí na zastavení nebo se sama nevrátí.) Dvěodlišitelné křivky

a

jsou prý ekvivalentní, pokud existuje bijektivní mapa

taková, že inverzní mapa

je také a

pro všechny . Mapa se nazývá reparametrization of ; a to vytváří vztah ekvivalence na sadě všech diferencovatelných křivek v . Oblouk je ekvivalence třída z křivek podle vztahu reparametrization.

Algebraická křivka

Algebraické křivky jsou křivky uvažované v algebraické geometrii . Letadlo algebraická křivka je množina bodů souřadnic x , y tak, že f ( x , y ) = 0 , kde f je polynom dvou proměnných definovaných přes některé oblasti F . Jeden říká, že křivka je definována přes F . Algebraické geometrii obvykle toho názoru, nejen body se souřadnicemi v F , ale všechny body se souřadnicemi vede k algebraicky uzavřené pole K .

Pokud C je křivka definována polynomem f s koeficienty v F , křivka se říká, že je definována přes F .

V případě křivky definované nad reálnými čísly se obvykle uvažují body se složitými souřadnicemi. V tomto případě je bod se skutečnými souřadnicemi skutečným bodem a množina všech skutečných bodů je skutečnou částí křivky. Topologickou křivkou tedy může být pouze skutečná část algebraické křivky (není tomu tak vždy, protože skutečná část algebraické křivky může být odpojena a obsahovat izolované body). Celá křivka, tj. Množina jejího komplexního bodu, je z topologického hlediska plocha. Zejména nesingulární komplexní projektivní algebraické křivky se nazývají Riemannovy povrchy .

Body křivky C se souřadnicemi v poli G jsou prý racionální vůči G a lze je označit C ( G ) . Když G je pole racionálních čísel , mluví se jednoduše o racionálních bodech . Například Fermatova poslední věta může být přepracována jako: Pro n > 2každý racionální bod Fermatovy křivky stupně n nulovou souřadnici .

Algebraické křivky mohou být také prostorové křivky nebo křivky v prostoru vyšší dimenze, řekněme n . Jsou definovány jako algebraické odrůdy v rozměru jednoho. Lze je získat jako společná řešení alespoň n – 1 polynomických rovnic v n proměnných. Pokud n – 1 polynomů stačí k definování křivky v prostoru dimenze n , říká se, že je křivka úplným průsečíkem . Eliminací proměnných (jakýmkoli nástrojem teorie eliminace ), může být algebraická křivka promítnuta rovinné algebraické křivky , která se však může zavádět nové singularity, jako jsou hrbolky nebo dvojité body .

Rovinnou křivku lze také doplnit na křivku v projektivní rovině : pokud je křivka definována polynomem f celkového stupně d , pak w d f ( u / w , v / w ) zjednodušuje na homogenní polynom g ( u , v , w ) stupně d . Hodnoty u , v , w takové, že g ( u , v , w ) = 0 jsou homogenní souřadnice bodů dokončení křivky v projektivní rovině a body počáteční křivky jsou takové, že w je ne nula. Příkladem je Fermatova křivka u n + v n = w n , která má afinní formu x n + y n = 1 . Podobný proces homogenizace lze definovat pro křivky ve vyšších dimenzionálních prostorech.

Kromě čar jsou nejjednoduššími příklady algebraických křivek kuželosečky , což jsou nesingulární křivky druhého stupně a rodu nula. Eliptické křivky , které jsou nesingulárními křivkami rodu jedna, jsou studovány v teorii čísel a mají důležité aplikace v kryptografii .

Viz také

Poznámky

Reference

externí odkazy