Cyklická homologie - Cyclic homology

V nekomutativní geometrii a příbuzných oborech matematiky jsou cyklická homologie a cyklická kohomologie jistými (ko) homologickými teoriemi pro asociativní algebry, které generalizují de Rhamovu (ko) homologii variet. Tyto představy nezávisle zavedli Boris Tsygan (homologie) a Alain Connes (kohomologie) v 80. letech minulého století. Tyto invarianty mají mnoho zajímavých vztahů s několika staršími obory matematiky, včetně de Rhamovy teorie, Hochschildovy (ko) homologie, skupinové cohomologie a K-teorie . K vývoji teorie přispěli Max Karoubi, Yuri L. Daletskii, Boris Feigin , Jean-Luc Brylinski , Mariusz Wodzicki , Jean-Louis Loday , Victor Nistor, Daniel Quillen , Joachim Cuntz , Ryszard Nest, Ralf Meyer a Michael Puschnigg .

Rady ohledně definice

První definice cyklické homologie kruhu A v poli charakteristické nuly je označena

HC n ( A ) nebo H n λ ( A ),

postupoval, se pomocí následujícího explicitního řetězce komplexu souvisejících s Hochschild homologie komplexu z A , nazvaný Connes komplex :

Pro jakékoli přirozené číslo n ≥ 0 definujte operátor, který generuje přirozené cyklické působení na n -tý tenzorový součin A :

Připomeňme, že Hochschildovy komplexní skupiny A s koeficienty v samotném A jsou dány nastavením pro všechna n ≥ 0 . Poté jsou složky Connesova komplexu definovány jako a diferenciál je omezení Hochschildova diferenciálu na tento kvocient. Lze zkontrolovat, že Hochschildův diferenciál skutečně prostupuje do tohoto prostoru coinvariantů.

Connes později našel kategoričtější přístup k cyklické homologii pomocí pojmu cyklický objekt v abelianské kategorii , což je analogické s pojmem zjednodušeného objektu . Tímto způsobem lze cyklickou homologii (a kohomologii) interpretovat jako odvozený funktor , který lze explicitně vypočítat pomocí ( b , B ) -bicomplexu. Pokud pole k obsahuje racionální čísla, definice z hlediska Connesova komplexu vypočítá stejnou homologii.

Jedním z výrazných rysů cyklické homologie je existence dlouhé přesné sekvence spojující Hochschildovu a cyklickou homologii. Tato dlouhá přesná sekvence se označuje jako sekvence periodicity.

Případ komutativních prstenů

Cyklické kohomologie komutativního algebry A pravidelných funkcí na afinní algebraické rozmanitosti přes pole k charakteristické nula může být vypočítána z hlediska Grothendieck je algebraický de Rham komplexu . Zejména v případě, že odrůda V = Spec je hladký, cyklický kohomologie z A, jsou vyjádřeny v podmínkách de Rham cohomology z V následujícím způsobem:

Tento vzorec navrhuje způsob, jak definovat de Rhamovu cohomologii pro 'nekomutativní spektrum' nekomutativní algebry A , kterou rozsáhle vyvinul Connes.

Varianty cyklické homologie

Jednou motivací cyklické homologie byla potřeba aproximace K-teorie, která je na rozdíl od K-teorie definována jako homologie řetězového komplexu . Cyklická cohomologie je ve skutečnosti vybavena párováním s K-teorií a člověk doufá, že toto párování nebude degenerované.

Byla definována řada variant, jejichž účelem je lépe se hodit k algebrám s topologií, jako jsou Fréchetovy algebry , -algebry atd. Důvodem je, že K-teorie se chová mnohem lépe na topologických algebrách, jako jsou Banachovy algebry nebo C*- algebry než na algebrách bez další struktury. Protože na druhé straně cyklická homologie na C*-algebrách degeneruje, vyvstala potřeba definovat modifikované teorie. Mezi nimi je celá cyklická homologie díky Alainu Connesovi , analytická cyklická homologie díky Ralfu Meyerovi nebo asymptotická a lokální cyklická homologie díky Michaelovi Puschniggovi. Ten poslední je velmi blízký K-teorii, protože je obdařen bivariantní Chernovou postavou z KK-teorie .

Aplikace

Jednou z aplikací cyklické homologie je nalezení nových důkazů a zobecnění indexové věty Atiyah-Singer . Mezi těmito jsou zobecnění index věty na základě spektrálních trojic a deformační kvantizaci ze Poisson struktur .

Eliptický operátor D na kompaktní hladký potrubí definuje třídu K homologie. Jeden invariant této třídy je analytický index operátora. Toto je považováno za párování třídy [D] s prvkem 1 v HC (C (M)). Cyklickou cohomologii lze chápat jako způsob, jak získat vyšší invarianty eliptických diferenciálních operátorů nejen u hladkých variet, ale také u foliace, orbifoldů a singulárních prostorů, které se objevují v nekomutativní geometrii.

Výpočty algebraické K-teorie

Cyclotomic stopa mapa je mapa z algebraické K-teorie (kruhu A , řekněme), cyklické homologie:

V některých situacích lze tuto mapu použít k výpočtu K-teorie pomocí této mapy. Průkopnickým výsledkem v tomto směru je věta o Goodwillie (1986) : tvrdí, že mapa

mezi relativní K-teorií A vzhledem k nilpotentnímu oboustrannému ideálu I k relativní cyklické homologii (měření rozdílu mezi K-teorií nebo cyklickou homologií A a A / I ) je izomorfismus pro n ≥ 1.

Zatímco Goodwillieho výsledek platí pro libovolné prsteny, rychlá redukce ukazuje, že je to v podstatě pouze prohlášení o . U prstenů, které neobsahují Q , musí být cyklická homologie nahrazena topologickou cyklickou homologií, aby bylo zachováno úzké spojení s K-teorií. (Je-li Q je obsažen v A , pak cyklické homologie a topologické cyklický homologie A souhlasí.), Což je v souladu se skutečností, že (klasické) Hochschild homologie je méně dobré chování než topologické Hochschild homologie na kruhy, které neobsahují Q . Clausen, Mathew & Morrow (2018) prokázali dalekosáhlou generalizaci Goodwillieho výsledku a prohlásili, že pro komutativní prstenec A , aby henselianské lemma platilo s ohledem na ideální I , je relativní K teorie izomorfní vůči relativní topologické cyklické homologii (bez tenzorování obou s Q ). Jejich výsledek také zahrnuje Gabberovu větu (1992) , která tvrdí, že v této situaci relativní spektrum K-teorie modulo celé číslo n, které je invertovatelné v A, zmizí. Jardine (1993) použil Gabberův výsledek a Suslinovu rigiditu k vyvrácení Quillenova výpočtu K-teorie konečných polí .

Viz také

Poznámky

Reference

  • Jardine, JF (1993), „The K-theory of konečných polí, revidováno“, K-Theory , 7 (6): 579–595, doi : 10.1007/BF00961219 , MR  1268594
  • Loday, Jean-Louis (1998), Cyclic Homology , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 301 , Springer, ISBN 978-3-540-63074-6
  • Gabber, Ofer (1992), „ K -teorie henselských místních prstenů a henselských párů“, algebraická K -teorie, komutativní algebra a algebraická geometrie (Santa Margherita Ligure, 1989) , Contemp. Math., 126 , AMS, s. 59–70
  • Clausen, Dustin; Mathew, Akhil; Morrow, Matthew (2018), „K-theory and topological cyclic homology of henselian pair“, arXiv : 1803.10897 [ math.KT ]
  • Goodwillie, Thomas G. (1986), „Relativní algebraická K -teorie a cyklická homologie“, Annals of Mathematics , Second Series, 124 (2): 347–402, doi : 10,2307/1971283 , JSTOR  1971283 , MR  0855300
  • Rosenberg, Jonathan (1994), Algebraic K-theory and its applications , Graduate Texts in Mathematics , 147 , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94248-3, MR  1282290 , Zbl  0801.19001. Errata

externí odkazy