Debye délka - Debye length

V plazmech a elektrolytech je Debyeova délka (také nazývaná Debyeův poloměr ) mírou čistého elektrostatického účinku nosiče náboje v roztoku a do jaké míry jeho elektrostatický účinek přetrvává. S každou délkou Debye jsou náboje stále více elektricky stíněny a elektrický potenciál klesá o 1/ e . Debye koule je svazek, jehož poloměr je délka Debye. Debyeova délka je důležitým parametrem fyziky plazmatu , elektrolytů a koloidů ( teorie DLVO ). Odpovídající Debyeův screeningový vlnový vektor pro částice hustoty , náboje při teplotě, je dán v Gaussových jednotkách . Výrazy v jednotkách MKS budou uvedeny níže. Analogická množství při velmi nízkých teplotách ( ) jsou známá jako Thomas -Fermiho délka a Thomas -Fermiho vlnový vektor. Jsou zajímavé pro popis chování elektronů v kovech při pokojové teplotě. ${\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {D}}}$${\ displaystyle k _ {\ rm {D}} = 1/\ lambda _ {\ rm {D}}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle T}$${\ Displaystyle k _ {\ rm {D}}^{2} = 4 \ pi nq^{2}/(k _ {\ rm {B}} T)}$${\ displaystyle T \ to 0}$

Délka Debye je pojmenována podle holandsko-amerického fyzika a chemika Petera Debyeho (1884-1966), laureáta Nobelovy ceny za chemii.

Fyzický původ

Délka Debye vzniká přirozeně v termodynamickém popisu velkých systémů mobilních nábojů. V systému různých druhů nábojů nese -tý druh náboj a má koncentraci v poloze . Podle takzvané „primitivní model“, tyto poplatky jsou distribuovány ve spojité médium, které se vyznačuje pouze jeho relativní permitivita statické , . Tato distribuce nábojů v tomto médiu vede k elektrickému potenciálu, který splňuje Poissonovu rovnici : ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle q_ {j}}$ ${\ displaystyle n_ {j} (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {r}}$ ${\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r})}$

${\ Displaystyle \ varepsilon \ nabla ^{2} \ Phi (\ mathbf {r}) =-\, \ sum _ {j = 1} ^{N} q_ {j} \, n_ {j} (\ mathbf { r})-\ rho _ {\ rm {ext}} (\ mathbf {r})}$,

kde , je elektrická konstanta , a je hustota náboje vnější (logicky, aby byla prostorově) do média. ${\ Displaystyle \ varepsilon \ equiv \ varepsilon _ {r} \ varepsilon _ {0}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$${\ displaystyle \ rho _ {\ rm {ext}}}$

Mobilní poplatků přispět nejen při stanovení , ale také pohyb v reakci na přidružené Coulombovou síly , . Pokud dále předpokládáme, že systém je v termodynamické rovnováze s tepelnou lázní při absolutní teplotě , pak koncentrace diskrétních nábojů , lze považovat za termodynamické (souborové) průměry a související elektrický potenciál za termodynamické střední pole . S těmito předpoklady je koncentrace druhu -th náboje popsána Boltzmannovou distribucí , ${\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle -q_ {j} \, \ nabla \ Phi (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle n_ {j} (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle j}$

${\ Displaystyle n_ {j} (\ mathbf {r}) = n_ {j}^{0} \, \ exp \ left (-{\ frac {q_ {j} \, \ Phi (\ mathbf {r}) } {k _ {\ rm {B}} T}} \ right)}$,

kde je Boltzmannova konstanta a kde je střední koncentrace nábojů druhů . ${\ displaystyle k _ {\ rm {B}}}$${\ displaystyle n_ {j}^{0}}$${\ displaystyle j}$

Identifikace okamžitých koncentrací a potenciálu v Poissonově rovnici pomocí jejich protějšků středního pole v Boltzmannově distribuci vede k Poissonově-Boltzmannově rovnici :

${\ Displaystyle \ varepsilon \ nabla^{2} \ Phi (\ mathbf {r}) =-\, \ sum _ {j = 1}^{N} q_ {j} n_ {j}^{0} \, \ exp \ left (-{\ frac {q_ {j} \, \ Phi (\ mathbf {r})} {k _ {\ rm {B}} T}} \ right)-\ rho _ {\ rm {ext }} (\ mathbf {r})}$.

Řešení této nelineární rovnice jsou známá pro některé jednoduché systémy. Řešení pro obecnější systémy lze získat v mezích vysokých teplot (slabá vazba) , Taylor rozšíří exponenciál: ${\ Displaystyle q_ {j} \, \ Phi (\ mathbf {r}) \ ll k _ {\ rm {B}} T}$

${\ Displaystyle \ exp \ left (-{\ frac {q_ {j} \, \ Phi (\ mathbf {r})} {k _ {\ rm {B}} T}} \ right) \ cca 1-{\ frac {q_ {j} \, \ Phi (\ mathbf {r})} {k _ {\ rm {B}} T}}}$.

Tato aproximace poskytuje linearizovanou Poisson-Boltzmannovu rovnici

${\ Displaystyle \ varepsilon \ nabla^{2} \ Phi (\ mathbf {r}) = \ left (\ sum _ {j = 1}^{N} {\ frac {n_ {j}^{0} \, q_ {j}^{2}} {k _ {\ rm {B}} T}} \ right) \, \ Phi (\ mathbf {r})-\, \ sum _ {j = 1}^{N} n_ {j}^{0} q_ {j}-\ rho _ {\ rm {ext}} (\ mathbf {r})}$

který je také známý jako rovnice Debye – Hückel : Druhý výraz na pravé straně zmizí pro systémy, které jsou elektricky neutrální. Termín v závorkách dělený , má jednotky inverzní délky na druhou a dimenzionální analýza vede k definici charakteristické délkové stupnice ${\ displaystyle \ varepsilon}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {\ rm {D}} = \ left ({\ frac {\ varepsilon \, k _ {\ rm {B}} T} {\ sum _ {j = 1}^{N} n_ { j}^{0} \, q_ {j}^{2}}} \ vpravo)^{1/2}}$

která se běžně označuje jako Debye – Hückelova délka. Jako jediná charakteristická délková stupnice v rovnici Debye – Hückel stanoví měřítko pro variace potenciálu a koncentrací nabitých druhů. Všechny nabité druhy přispívají k délce Debye – Hückel stejným způsobem, bez ohledu na znak jejich nábojů. Pro elektricky neutrální systém se Poissonova rovnice stává ${\ displaystyle \ lambda _ {D}}$

${\ Displaystyle \ nabla ^{2} \ Phi (\ mathbf {r}) = \ lambda _ {\ rm {D}} ^{-2} \ Phi (\ mathbf {r})-{\ frac {\ rho _ {\ rm {ext}} (\ mathbf {r})} {\ varepsilon}}}$

Pro ilustraci Debye screening, potenciál produkovaný externí bodového náboje je ${\ Displaystyle \ rho _ {\ rm {ext}} = Q \ delta (\ mathbf {r})}$

${\ Displaystyle \ Phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {Q} {4 \ pi \ varepsilon r}} e^{-r/\ lambda _ {\ rm {D}}}}$

Holý Coulombův potenciál je exponenciálně sledován médiem na vzdálenost Debyeovy délky.

Délka Debye – Hückel může být vyjádřena jako délka Bjerrum jako ${\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {B}}}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {\ rm {D}} = \ left (4 \ pi \, \ lambda _ {\ rm {B}} \, \ sum _ {j = 1}^{N} n_ {j} ^{0} \, z_ {j}^{2} \ vpravo)^{-1/2}}$,

kde je celočíselné číslo náboje, které vztahuje náboj na -tém iontovém druhu k elementárnímu náboje . ${\ Displaystyle z_ {j} = q_ {j}/e}$${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle e}$

V plazmě

V neizotermickém plazmatu se teploty pro elektrony a těžké druhy mohou lišit, zatímco s médiem pozadí lze nakládat jako s vakuem ( ) a Debyeova délka je ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {r} = 1}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {\ rm {D}} = {\ sqrt {\ frac {\ varepsilon _ {0} k _ {\ rm {B}}/q_ {e}^{2}} {n_ {e} /T_ {e}+\ součet _ {j} z_ {j}^{2} n_ {j}/T_ {i}}}}}$

kde

λ _D je Debyeova délka,

ε ₀ je permitivita volného prostoru ,

k _B je Boltzmannova konstanta ,

q _e je náboj elektronu ,

T _e a T _i jsou teploty elektronů a iontů, v tomto pořadí,

n _e je hustota elektronů,

n _j je hustota atomových druhů j , s kladným iontovým nábojem z _j q _e

I v kvazinutrálním studeném plazmatu, kde se zdá, že je iontový příspěvek v důsledku nižší teploty iontů prakticky větší, je iontový termín ve skutečnosti často vynechán, což dává

${\ Displaystyle \ lambda _ {\ rm {D}} = {\ sqrt {\ frac {\ varepsilon _ {0} k _ {\ rm {B}} T_ {e}} {n_ {e} q_ {e}^ {2}}}}}$

i když to platí pouze tehdy, když je mobilita iontů ve srovnání s časovým rámcem procesu zanedbatelná.

Typické hodnoty

Ve vesmírných plazmatech, kde je hustota elektronů relativně nízká, může Debyeova délka dosáhnout makroskopických hodnot, například v magnetosféře, slunečním větru, mezihvězdném a mezigalaktickém prostředí. Viz tabulka níže:

Plazma	Hustota n e (m −3 )	Teplota elektronu T (K)	Magnetické pole B (T)	Debyeova délka λ D (m)
Sluneční jádro	10 32	10 7	-	10 -11
Tokamak	10 20	10 8	10	10 -4
Výboj plynu	10 16	10 4	-	10 -4
Ionosféra	10 12	10 3	10 -5	10 -3
Magnetosféra	10 7	10 7	10 - 8	10 2
Solární bouře	10 6	10 5	10 -9	10
Mezihvězdné médium	10 5	10 4	10 -10	10
Mezigalaktické médium	1	10 6	-	10 5

V roztoku elektrolytu

V elektrolytu nebo koloidní suspenzi je Debyeova délka monovalentního elektrolytu obvykle označena symbolem κ ⁻¹

${\ Displaystyle \ kappa ^{-1} = {\ sqrt {\ frac {\ varepsilon _ {\ rm {r}} \ varepsilon _ {0} k _ {\ rm {B}} T} {2N _ {\ rm { A}} e^{2} I}}}}$

kde

I je iontová síla elektrolytu v mol/m ³ jednotek,

ε ₀ je permitivita volného prostoru ,

ε _r je dielektrická konstanta ,

k _B je Boltzmannova konstanta ,

T je absolutní teplota v kelvinech ,

N _A je číslo Avogadro .

${\ displaystyle e}$je základní náboj ,

nebo, pro symetrický monovalentní elektrolyt,

${\ Displaystyle \ kappa^{-1} = {\ sqrt {\ frac {\ varepsilon _ {\ rm {r}} \ varepsilon _ {0} RT} {2 \ times 10^{3} F^{2} C_ {0}}}}}$

kde

R je plynová konstanta ,

F je Faradayova konstanta ,

C ₀ je koncentrace elektrolytu v molárních jednotkách (M nebo mol/L).

Alternativně,

${\ Displaystyle \ kappa ^{-1} = {\ frac {1} {\ sqrt {8 \ pi \ lambda _ {\ rm {B}} N _ {\ rm {A}} \ times 10 ^{3} I }}}}$

kde

${\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {B}}}$je Bjerrum délka média.

Pro vodu při pokojové teplotě λ _B ≈ 0,7 nm.

Při pokojové teplotě (20 ° C nebo 70 ° F) lze ve vodě uvažovat o vztahu:

${\ Displaystyle \ kappa ^{-1} (\ mathrm {nm}) = {\ frac {0.304} {\ sqrt {I (\ mathrm {M})}}}}}$

kde

κ ⁻¹ je vyjádřeno v nanometrech (nm)

I je iontová síla vyjádřená v molářích (M nebo mol/L)

Existuje metoda odhadu přibližné hodnoty Debyeovy délky v kapalinách pomocí vodivosti, která je popsána v normě ISO a v knize.

V polovodičích

Debyeova délka je stále důležitější v modelování polovodičových zařízení, protože vylepšení litografických technologií umožnila menší geometrii.

Debyeova délka polovodičů je dána:

${\ displaystyle L _ {\ rm {D}} = {\ sqrt {\ frac {\ varepsilon k _ {\ rm {B}} T} {q^{2} N _ {\ rm {dop}}}}}}}$

kde

ε je dielektrická konstanta,

k _B je Boltzmannova konstanta,

T je absolutní teplota v kelvinech,

q je základní náboj a

N _dop je čistá hustota dopantů (buď dárců, nebo akceptorů).

Když dopingové profily překročí Debyeovu délku, většinové nosiče se již nechovají podle distribuce dopantů. Místo toho měřítko profilu dopingových gradientů poskytuje „účinný“ profil, který lépe odpovídá profilu hustoty většinového nosiče.

V kontextu těles je Debyeova délka také nazývána screeningová délka Thomas – Fermi .

Viz také

• Bjerrum délka
• Debye – Falkenhagenův efekt
• Oscilace plazmy
• Efekt stínění
• Screeningový efekt

Reference

Další čtení

• Goldston & Rutherford (1997). Úvod do fyziky plazmatu . Philadelphia: Institute of Physics Publishing .
• Lyklema (1993). Základy rozhraní a koloidní vědy . NY: Academic Press .