Debye pochva - Debye sheath

Debye plášť (také elektrostatický plášť ) je vrstva v plazmě , který má hustotu větší kladných iontů, a tím i celkový přebytek pozitivní náboj, který udržuje v rovnováze opačný záporný náboj na povrchu materiálu, se kterým je v kontaktu. Tloušťka takové vrstvy je několik Debyeových délek tlustých, což je hodnota, jejíž velikost závisí na různých charakteristikách plazmy (např. Teplota, hustota atd.).

Debyeho plášť vzniká v plazmě, protože elektrony mají obvykle teplotu řádově vyšší nebo vyšší než je teplota iontů a jsou mnohem lehčí. V důsledku toho jsou alespoň o faktor rychlejší než ionty . Na rozhraní s povrchem materiálu proto elektrony vyletí z plazmy a nabijí povrch negativní ve srovnání s objemovou plazmou. Kvůli stínění Debye bude měřítkem délky přechodové oblasti délka Debye . Jak se potenciál zvyšuje, více a více elektronů se odráží v potenciálu pláště. Rovnováhy je konečně dosaženo, když je rozdíl potenciálů několikanásobek teploty elektronů. ${\ displaystyle {\ sqrt {m _ {\ mathrm {i}} / m _ {\ mathrm {e}}}}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {\ mathrm {D}}}$

Debyeho plášť je přechod z plazmy na pevný povrch. Podobná fyzika je zahrnuta mezi dvěma oblastmi plazmy, které mají různé vlastnosti; přechod mezi těmito oblastmi je známý jako dvojitá vrstva a obsahuje jednu pozitivní a jednu negativní vrstvu.

Popis

Pozitivní iontové pláště kolem drátů mřížky v trubici z termionického plynu, kde ⊕ představuje kladný náboj (ne v měřítku) (After Langmuir, 1929)

Pouzdra poprvé popsal americký fyzik Irving Langmuir . V roce 1923 napsal:

"Elektrony jsou odpuzovány od záporné elektrody, zatímco kladné ionty jsou přitahovány k ní. Kolem každé záporné elektrody je tedy plášť určité tloušťky obsahující pouze kladné ionty a neutrální atomy. [..] Elektrony se odrážejí od vnějšího povrchu pláště zatímco všechny kladné ionty, které se dostanou do pláště, jsou přitahovány k elektrodě. [..] přímo vyplývá, že nedochází ke změně proudu kladného iontu dosahujícího k elektrodě. Elektroda je ve skutečnosti dokonale chráněna před výbojem pláštěm kladného iontu, a jeho potenciál nemůže ovlivnit jevy vyskytující se v oblouku, ani proud proudící k elektrodě. “

Langmuir a spoluautor Albert W. Hull dále popsali plášť vytvořený v termionickém ventilu :

„Obrázek 1 ukazuje graficky stav, který existuje v takové trubici obsahující paru rtuti. Prostor mezi vláknem a deskou je vyplněn směsí elektronů a kladných iontů v téměř stejném počtu, jimž byl přidělen název„ plazma “. Drát ponořený do plazmy, s nulovým potenciálem, absorbuje každý iont a elektron, který na něj narazí. Jelikož se elektrony pohybují asi 600krát rychleji než ionty, 600krát více elektronů narazí na drát jako ionty. Pokud je vodič izolovaný, musí předpokládat takový záporný potenciál, že přijímá stejný počet elektronů a iontů, to znamená takový potenciál, že odpuzuje všechny kromě 1 ze 600 elektronů směřujících k němu. “

„Předpokládejme, že tento vodič, který můžeme považovat za součást mřížky, je ještě negativnější s ohledem na řízení proudu trubicí. Nyní odpuzuje všechny elektrony směřující k němu, ale přijme všechny pozitivní ionty, které k němu létají. Kolem drátu tedy bude oblast, která obsahuje kladné ionty a žádné elektrony, jak je schematicky znázorněno na obr. 1. Iony se zrychlují, když se přibližují k zápornému drátu, a bude existovat potenciální gradient v toto pouzdro, jak to můžeme nazvat, pozitivních iontů, takže potenciál je čím dál méně záporný, když ustupujeme od drátu, a v určité vzdálenosti se rovná potenciálu plazmy. Tuto vzdálenost definujeme jako hranici pláště. Po této vzdálenosti není žádný účinek kvůli potenciálu drátu. "

Matematické zpracování

Rovnice rovinného pláště

Kvantitativní fyzika Debyeho pochvy je určena čtyřmi jevy:

Úspora energie iontů: Pokud předpokládáme pro jednoduchost studené ionty hmoty vstupující do pláště rychlostí , která má náboj opačný k elektronu, vyžaduje zachování energie v plášti potenciál ${\ displaystyle m _ {\ mathrm {i}}}$${\ displaystyle u_ {0}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} m _ {\ mathrm {i}} \, u (x) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} m _ {\ mathrm {i}} \, u_ {0} ^ {2} -e \, \ varphi (x)}$,

kde je náboj elektronu přijat kladně, tj. x . ${\ displaystyle e}$${\ displaystyle e = 1,602}$${\ displaystyle 10 ^ {- 19}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {C}}$

Kontinuita iontů: V ustáleném stavu se ionty nikde nehromadí, takže tok je všude stejný:

${\ displaystyle n_ {0} \, u_ {0} = n _ {\ mathrm {i}} (x) \, u (x)}$.

Boltzmannův vztah pro elektrony: Jelikož se většina elektronů odráží, je jejich hustota dána vztahem

${\ displaystyle n _ {\ mathrm {e}} (x) = n_ {0} \ exp {\ Big (} {\ frac {e \, \ varphi (x)} {k _ {\ mathrm {B}} T_ { \ mathrm {e}}}} {\ Big)}}$.

Poissonova rovnice : Zakřivení elektrostatického potenciálu souvisí s hustotou čistého náboje následovně:

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ varphi (x)} {dx ^ {2}}} = {\ frac {e (n _ {\ mathrm {e}} (x) -n _ {\ mathrm { i}} (x))} {\ epsilon _ {0}}}}$.

Kombinací těchto rovnic a jejich zápisem z hlediska bezrozměrného potenciálu, polohy a rychlosti iontů,

${\ displaystyle \ chi (\ xi) = - {\ frac {e \ varphi (\ xi)} {k _ {\ mathrm {B}} T _ {\ mathrm {e}}}}}$

${\ displaystyle \ xi = {\ frac {x} {\ lambda _ {\ mathrm {D}}}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} = {\ frac {u _ {\ mathrm {o}}} {(k _ {\ mathrm {B}} T _ {\ mathrm {e}} / m _ {\ mathrm {i} }) ^ {1/2}}}}$

přijdeme k plášťové rovnici:

${\ displaystyle \ chi '' = \ left (1 + {\ frac {2 \ chi} {{\ mathfrak {M}} ^ {2}}} \ right) ^ {- 1/2} -e ^ {- \ chi}}$.

Kritérium Bohmovy pochvy

Plášťovou rovnici lze integrovat jednou vynásobením : ${\ displaystyle \ chi '}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ xi} \ chi '\ chi' '\, d \ xi _ {1} = \ int _ {0} ^ {\ xi} \ vlevo (1 + {\ frac {2 \ chi} {{\ mathfrak {M}} ^ {2}}} \ vpravo) ^ {- 1/2} \ chi '\, d \ xi _ {1} - \ int _ {0} ^ { \ xi} e ^ {- \ chi} \ chi '\, d \ xi _ {1}}$

Na okraji pláště ( ) můžeme definovat potenciál na nulu ( ) a předpokládat, že elektrické pole je také nula ( ). S těmito okrajovými podmínkami se integrace poddají ${\ displaystyle \ xi = 0}$${\ displaystyle \ chi = 0}$${\ displaystyle \ chi '= 0}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ chi '^ {2} = {\ mathfrak {M}} ^ {2} \ left [\ left (1 + {\ frac {2 \ chi} {{ \ mathfrak {M}} ^ {2}}} \ vpravo) ^ {1/2} -1 \ vpravo] + e ^ {- \ chi} -1}$

To lze snadno přepsat jako integrál v uzavřené formě, i když lze vyřešit pouze numericky. Důležitou informaci lze nicméně odvodit analyticky. Jelikož levá strana je čtverec, pravá strana musí být také nezáporná pro každou hodnotu , zejména pro malé hodnoty. Při pohledu na Taylorovu expanzi kolem vidíme, že první termín, který nezmizí, je kvadratický, takže můžeme požadovat ${\ displaystyle \ chi}$${\ displaystyle \ chi = 0}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ chi ^ {2} \ vlevo (- {\ frac {1} {{\ mathfrak {M}} ^ {2}}} + 1 \ vpravo) \ geq 0}$,

nebo

${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} ^ {2} \ geq 1}$,

nebo

${\ displaystyle u_ {0} \ geq (k _ {\ mathrm {B}} T _ {\ mathrm {e}} / m _ {\ mathrm {i}}) ^ {1/2}}$.

Tato nerovnost je známá jako kritérium Bohmovy pochvy podle jejího objevitele Davida Bohma . Pokud ionty vstupují do pláště příliš pomalu, potenciál pláště „sežere“ svou cestu do plazmy, aby je urychlil. Nakonec se vyvine takzvaný pre-plášť s potenciálním poklesem řádově a měřítkem určeným fyzikou zdroje iontů (často stejnými jako rozměry plazmy). Normálně bude Bohmovo kritérium platit s rovností, ale existují situace, kdy ionty vstupují do pochvy nadzvukovou rychlostí. ${\ displaystyle (k _ {\ mathrm {B}} T _ {\ mathrm {e}} / 2e)}$

Zákon Child-Langmuir

Ačkoli plášťová rovnice musí být obecně integrována numericky, můžeme analyticky najít přibližné řešení zanedbáním termínu. To se rovná zanedbání hustoty elektronů v pouzdru, nebo pouze analýze té části pouzdra, kde nejsou žádné elektrony. Pro „plovoucí“ povrch, tj. Povrch, který nečerpá žádný čistý proud z plazmy, je to užitečné při hrubé aproximaci. Pro silně záporný povrch, který čerpá proud nasycení ionty , je aproximace velmi dobrá. Je zvykem, i když to není nezbytně nutné, dále zjednodušovat rovnici za předpokladu, že je mnohem větší než jednota. Potom má plášťová rovnice jednoduchou formu ${\ displaystyle e ^ {- \ chi}}$${\ displaystyle 2 \ chi / {\ mathfrak {M}} ^ {2}}$

${\ displaystyle \ chi '' = {\ frac {\ mathfrak {M}} {(2 \ chi) ^ {1/2}}}}$.

Stejně jako dříve se vynásobíme a integrujeme, abychom získali ${\ displaystyle \ chi '}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ chi '^ {2} = {\ mathfrak {M}} (2 \ chi) ^ {1/2}}$,

nebo

${\ displaystyle \ chi ^ {- 1/4} \ chi '= 2 ^ {3/4} {\ mathfrak {M}} ^ {1/2}}$.

To je snadno integrováno přes ξ, čímž se získá

${\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ chi _ {\ mathrm {w}} ^ {3/4} = 2 ^ {3/4} {\ mathfrak {M}} ^ {1/2} d}$,

kde je (normalizovaný) potenciál na stěně (vzhledem k okraji pláště) a d je tloušťka pláště. Vracíme se zpět k proměnným a bereme na vědomí, že iontový proud ve zdi je${\ displaystyle \ chi _ {\ mathrm {w}}}$${\ displaystyle u_ {0}}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle J = e \, n_ {0} \, u_ {0}}$

${\ displaystyle J = {\ frac {4} {9}} \ vlevo ({\ frac {2e} {m_ {i}}} \ vpravo) ^ {1/2} {\ frac {| \ varphi _ {w } | ^ {3/2}} {4 \ pi d ^ {2}}}}$.

Tato rovnice je známá jako Childův zákon , po Clementovi D. Childovi (1868–1933), který jej poprvé publikoval v roce 1911, nebo jako Child-Langmuirův zákon , ctí také Irvinga Langmuira , který jej objevil samostatně a publikoval v roce 1913. byl poprvé použit k poskytnutí proudu omezeného prostorovým nábojem ve vakuové diodě s roztečí elektrod d . Lze jej také převrátit, aby se získala tloušťka pouzdra Debye v závislosti na poklesu napětí nastavením : ${\ displaystyle J = j _ {\ mathrm {ion}} ^ {\ mathrm {sat}}}$

${\ displaystyle d = {\ frac {2} {3}} \ vlevo ({\ frac {2e} {m _ {\ mathrm {i}}}} \ vpravo) ^ {1/4} {\ frac {| \ varphi _ {\ mathrm {w}} | ^ {3/4}} {2 {\ sqrt {\ pi j _ {\ mathrm {ion}} ^ {\ mathrm {sat}}}}}}}$.

V posledních letech byl zákon Child-Langmuir (CL) revidován, jak je uvedeno ve dvou revizních dokumentech. ,

Viz také

• Ambipolární difúze
• Dvojitá vrstva (plazma) , zejména část Dvojité vrstvy nesoucí proud tvořené jednoduchými paprsky s nulovou teplotou
• Seznam článků o aplikacích plazmy (fyzika)

Poznámky pod čarou