Stínění elektrického pole - Electric-field screening

Ve fyzice je screening tlumením elektrických polí způsobeným přítomností mobilních nosičů náboje . Je důležitou součástí chování kapalin nesoucích náboj , jako jsou ionizované plyny (klasické plazmy ), elektrolyty a nosiče náboje v elektronických vodičích ( polovodiče , kovy ). V tekutině s danou permitivitou ε , složenou z elektricky nabitých částic, každý pár částic (s náboji q ₁ a q ₂ ) interaguje prostřednictvím Coulombovy síly jako

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {q_ {1} q_ {2}} {4 \ pi \ varepsilon \ left | \ mathbf {r} \ right |^{2}}} {\ hat {\ mathbf {r}}}}$,

kde vektor r je relativní poloha mezi náboji. Tato interakce komplikuje teoretické zpracování tekutiny. Například naivní kvantově mechanický výpočet hustoty energie základního stavu poskytuje nekonečno, což je nepřiměřené. Problém spočívá v tom, že i přesto, že Coulombova síla zmenšuje se vzdáleností jako 1 / r ² , průměrný počet částic v každé vzdálenosti r je úměrný r ² , za předpokladu, že kapalina je poměrně izotropní . V důsledku toho má kolísání náboje v kterémkoli bodě nezanedbatelné účinky na velké vzdálenosti.

Ve skutečnosti jsou tyto efekty dlouhého dosahu potlačeny tokem částic v reakci na elektrická pole. Tento tok redukuje efektivní interakci mezi částicemi na „screeningovanou“ Coulombovu interakci krátkého dosahu. Tento systém odpovídá nejjednoduššímu příkladu renormalizované interakce (viz oddíly 1.2.1 a 3.2 z  ).

Ve fyzice pevných látek , zejména u kovů a polovodičů , stínící efekt popisuje elektrostatické pole a Coulombův potenciál iontu uvnitř pevné látky. Stejně jako je elektrické pole jádra redukováno uvnitř atomu nebo iontu v důsledku stínícího účinku , elektrická pole iontů ve vodivých pevných látkách jsou dále redukována oblakem vodivých elektronů .

Popis

Uvažujme tekutinu složenou z elektronů pohybujících se na rovnoměrném pozadí kladného náboje (jednosložkové plazma). Každý elektron má záporný náboj. Podle Coulombovy interakce se negativní náboje navzájem odpuzují. V důsledku toho tento elektron odpuzuje ostatní elektrony a vytváří kolem sebe malou oblast, ve které je méně elektronů. Tuto oblast lze považovat za kladně nabitý „stínící otvor“. Při pohledu z velké vzdálenosti má tento stínící otvor účinek překrytého kladného náboje, který ruší elektrické pole vytvářené elektronem. Elektronové pole lze detekovat pouze na krátké vzdálenosti, v oblasti díry. U plazmy může být tento účinek výslovně vyjádřen výpočtem na těle (viz část 5 ). Pokud je pozadí tvořeno kladnými ionty, jejich přitažlivost zájmovým elektronem posiluje výše uvedený screeningový mechanismus. V atomové fyzice existuje pro atomy s více než jedním elektronovým obalem zárodečný efekt : stínící efekt . V plazmové fyzice se screening elektrického pole nazývá také Debyeův screening nebo stínění. Na makroskopických stupnicích se projevuje pochvou ( Debye pochva ) vedle materiálu, se kterým je plazma v kontaktu. ${\ displaystyle N}$ 

Stíněný potenciál určuje interatomovou sílu a vztah disperze fononu v kovech. Stínovaný potenciál se používá k výpočtu struktury elektronického pásma velké škály materiálů, často v kombinaci s pseudopotenciálními modely. Stínicí efekt vede k nezávislé elektronů aproximace , což vysvětluje prediktivní schopnost úvodních modelů pevných látek, jako je Drude modelu , na volném modelu elektronů a téměř volné modelu elektronů .

Teorie a modely

První teoretická úprava elektrostatického screeningu, kvůli Peterovi Debyeovi a Erichovi Hückelovi , se zabývala stacionárním bodovým nábojem vloženým do tekutiny.

Uvažujme tekutinu elektronů na pozadí těžkých kladně nabitých iontů. Pro jednoduchost ignorujeme pohyb a prostorové rozložení iontů a aproximujeme je jako jednotný náboj na pozadí. Toto zjednodušení je přípustné, protože elektrony jsou lehčí a mobilnější než ionty, pokud uvažujeme vzdálenosti mnohem větší než iontová separace. Ve fyzice kondenzovaných látek je tento model označován jako želé .

Prověřené interakce Coulomba

Nechť ρ značí počet hustoty elektronů a cp je elektrický potenciál . Nejprve jsou elektrony rovnoměrně rozloženy, takže v každém bodě je nulový čistý náboj. Proto je φ zpočátku také konstanta.

Nyní zavedeme pevný bod Q na počátku. Přidružená hustota náboje je Qδ ( r ), kde δ ( r ) je Diracova delta funkce . Poté, co se systém vrátí do rovnováhy, nechť je změna hustoty elektronů a elektrického potenciálu Δρ ( r ) respektive Δφ ( r ). Hustota náboje a elektrický potenciál souvisí s Poissonovou rovnicí , která dává

${\ Displaystyle -\ nabla ^{2} [\ Delta \ phi (r)] = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} [Q \ delta (r) -e \ Delta \ rho (r )]}$,

kde ε ₀ je permitivita vakua .

Abychom mohli pokračovat, musíme najít druhou nezávislou rovnici vztahující se k Δρ a Δφ . Uvažujeme dvě možné aproximace, při nichž jsou tyto dvě veličiny proporcionální: Debye – Hückelova aproximace, platná při vysokých teplotách (např. Klasické plazmy), a Thomas – Fermiho aproximace, platná při nízkých teplotách (např. Elektrony v kovech).

Debye – Hückelská aproximace

V aproximaci Debye – Hückel udržujeme systém v termodynamické rovnováze, při teplotě T dostatečně vysoké, aby částice tekutiny poslouchaly statistiky Maxwell – Boltzmann . V každém bodě prostoru má hustota elektronů s energií j formu

${\ Displaystyle \ rho _ {j} (r) = \ rho _ {j}^{(0)} (r) \; \ exp \ left [{\ frac {e \ phi (r)} {k _ {\ mathrm {B}} T}} \ right]}$

kde k _B je Boltzmannova konstanta . Perturbing v φ a rozšíření exponenciálu do prvního řádu získáme

${\ Displaystyle e \ Delta \ rho \ simeq \ varepsilon _ {0} k_ {0}^{2} \ Delta \ phi}$

kde

${\ Displaystyle k_ {0} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ sqrt {\ frac {\ rho e^{2}} {\ varepsilon _ {0} k _ {\ mathrm { B}} T}}}}$

Přidružená délka λ _D ≡ 1/ k ₀ se nazývá Debyeova délka . Debyeova délka je základní délková stupnice klasické plazmy.

Thomas – Fermi aproximace

V Thomasově -Fermiho přiblížení, pojmenovaném po Llewellyn Thomasovi a Enricovi Fermim , je systém udržován na konstantním elektronově chemickém potenciálu ( hladina Fermi ) a při nízké teplotě. První podmínka odpovídá ve skutečném experimentu udržování kovu/tekutiny v elektrickém kontaktu s pevným rozdílem potenciálu se zemí . Chemický potenciál μ je podle definice energie přidání dalšího elektronu do tekutiny. Tuto energii lze rozložit na část T kinetické energie a část potenciální energie - eφ . Protože je chemický potenciál udržován konstantní,

${\ Displaystyle \ Delta \ mu = \ Delta Te \ Delta \ phi = 0}$.

Pokud je teplota extrémně nízká, chování elektronů se blíží kvantově mechanickému modelu Fermiho plynu . Máme tedy přibližné T kinetickou energií dalšího elektronu v Fermiho plynu modelu, který je jednoduše Fermiho energie E _F . Fermiho energie pro 3D systém souvisí s hustotou elektronů (včetně spinové degenerace) o

${\ Displaystyle \ rho = 2 {\ frac {1} {(2 \ pi)^{3}}} \ left ({\ frac {4} {3}} \ pi k _ {\ mathrm {F}}^{ 3} \ right), \ quad E _ {\ mathrm {F}} = {\ frac {\ hbar ^{2} k_ {F} ^{2}} {2m}},}$

kde k _F je Fermiho vlnovač. Znepokojeni prvním řádem to zjišťujeme

${\ Displaystyle \ Delta \ rho \ simeq {\ frac {3 \ rho} {2E _ {\ mathrm {F}}}} \ Delta E _ {\ mathrm {F}}}$.

Vložením do výše uvedené rovnice pro výnosy Δμ

${\ Displaystyle e \ Delta \ rho \ simeq \ varepsilon _ {0} k_ {0}^{2} \ Delta \ phi}$

kde

${\ Displaystyle k_ {0} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ sqrt {\ frac {3e^{2} \ rho} {2 \ varepsilon _ {0} E _ {\ mathrm {F}}}}} = {\ sqrt {\ frac {me ^{2} k _ {\ mathrm {F}}} {\ varepsilon _ {0} \ pi ^{2} \ hbar ^{2}}} }}$

se nazývá vektor screeningových vln Thomas – Fermi.

Tento výsledek vyplývá z rovnic Fermiho plynu, což je model neinteragujících elektronů, zatímco tekutina, kterou studujeme, obsahuje Coulombovu interakci. Thomasovo -Fermiho přiblížení je proto platné pouze tehdy, je -li hustota elektronů nízká, takže interakce částic jsou relativně slabé.

Výsledek: prověřený potenciál

Naše výsledky z Debye – Hückel nebo Thomas – Fermi aproximace lze nyní vložit do Poissonovy rovnice. Výsledek je

${\ Displaystyle \ left [\ nabla ^{2} -k_ {0} ^{2} \ right] \ phi (r) =-{\ frac {Q} {\ varepsilon _ {0}}} \ delta (r )}$,

která je známá jako stíněná Poissonova rovnice . Řešení je

${\ Displaystyle \ phi (r) = {\ frac {Q} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r}} e^{-k_ {0} r}}$,

kterému se říká prověřený Coulombův potenciál. Jedná se o Coulombův potenciál vynásobený exponenciálním tlumícím členem, přičemž síla faktoru tlumení je dána velikostí k ₀ , vektorem vlny Debye nebo Thomas – Fermi. Všimněte si, že tento potenciál má stejnou formu jako potenciál Yukawa . Tento screening poskytuje dielektrickou funkci . ${\ Displaystyle \ varepsilon (r) = \ varepsilon _ {0} e^{k_ {0} r}}$

Teorie mnoha těl

Klasická fyzika a lineární odezva

Mechanický přístup k tělu zajišťuje odvození efektu stínění a Landauova tlumení . Zabývá se jedinou realizací jednosložkového plazmatu, jehož elektrony mají disperzi rychlosti (pro tepelné plazma musí být v Debyeově kouli mnoho částic, jejichž poloměr je Debyeova délka). Při použití linearizovaného pohybu elektronů v jejich vlastním elektrickém poli se získá rovnice typu ${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle {\ mathcal {E}} \ Phi = S}$,

kde je lineární operátor, je zdrojový termín způsobený částicemi a je Fourierovou-Laplaceovou transformací elektrostatického potenciálu. Při nahrazení integrálu funkcí plynulé distribuce diskrétním součtem přes částice v se získá ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$

${\ Displaystyle \ epsilon (\ mathbf {k}, \ omega) \, \ Phi (\ mathbf {k}, \ omega) = S (\ mathbf {k}, \ omega)}$,

kde je permitivita plazmy nebo dielektrická funkce, klasicky získaná linearizovanou Vlasov-Poissonovou rovnicí (část 6.4 ), je vlnový vektor, je frekvence a je součtem zdrojových členů způsobených částicemi (rovnice (20) ze dne ). ${\ Displaystyle \ epsilon (\ mathbf {k}, \ omega)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$${\ displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle S (\ mathbf {k}, \ omega)}$${\ displaystyle N}$ 

Při inverzní Fourierově-Laplaceově transformaci je potenciál každé částice součtem dvou částí (část 4.1  ). Jedna odpovídá excitaci Langmuirových vln částicí a druhá je její stíněný potenciál, jak je klasicky získán linearizovaným vlasovským výpočtem zahrnujícím testovací částici (část 9.2  ). Stíněný potenciál je výše stíněný Coulombův potenciál pro tepelné plazma a tepelné částice. Pro rychlejší částice je potenciál upraven (část 9.2  ). Nahrazením integrálu funkcí plynulého rozdělování za diskrétní součet částic v získá vlasovský výraz umožňující výpočet Landauova tlumení (část 6.4 ). ${\ Displaystyle S (\ mathbf {k}, \ omega)}$ 

Kvantově mechanický přístup

U skutečných kovů je screeningový efekt složitější, než je popsáno výše v Thomas -Fermiho teorii. Předpoklad, že nosiče náboje (elektrony) mohou reagovat na jakýkoli vlnovač, je pouze přibližný. Není však energeticky možné, aby elektron uvnitř nebo na povrchu Fermi reagoval na vlnovky kratší než Fermiho vlnovač. Toto omezení souvisí s Gibbsovým fenoménem , kde Fourierova řada pro funkce, které se rychle mění v prostoru, není dobrou aproximací, pokud není zachován velmi velký počet členů v řadě. Ve fyzice je tento jev známý jako Friedelské oscilace a platí pro povrchové i hromadné screeningy. V každém případě čisté elektrické pole neklesá exponenciálně v prostoru, ale spíše jako inverzní mocninový zákon vynásobený oscilačním výrazem. Teoretické výpočty lze získat z kvantové hydrodynamiky a hustotní funkční teorie (DFT).

Viz také

• Bjerrum délka
• Debye délka

Reference

externí odkazy

• Fitzpatrick, Richard (2011-03-31). „Debye Shielding“ . University of Texas v Austinu . Citováno 2018-07-12 .