Dedekind -nekonečná sada - Dedekind-infinite set

V matematice , sada je Dedekind-nekonečný (pojmenovaná po německém matematikovi Richard Dedekind ), pokud nějaký správný podmnožina B z A je equinumerous do A . Výslovně, to znamená, že existuje bijective funkci z A na nějakou vlastní podmnožinou B z A . Množina je Dedekind-konečná, pokud není Dedekind-nekonečná (tj. Žádná taková bijekce neexistuje). Navrhl Dedekind v roce 1888, Dedekind-nekonečnost byla první definicí „nekonečna“, která nespoléhala na definici přirozených čísel .

Jednoduchým příkladem je množina přirozených čísel . Podle Galileova paradoxu existuje bijekce, která mapuje každé přirozené číslo n na jeho čtverec n 2 . Protože sada čtverců je správnou podmnožinou , je Dedekind-nekonečná.

Dokud základní krize matematiky neukázala potřebu pečlivějšího zpracování teorie množin, většina matematiků předpokládala, že množina je nekonečná právě tehdy, když je Dedekind-nekonečná. Na počátku dvacátého století byla jako axiomatický systém navržena Zermelo -Fraenkelova teorie množin , dnes nejpoužívanější forma axiomatické teorie množin , k formulování teorie množin prostých paradoxů, jako je Russellův paradox . Pomocí axiomů teorie množin Zermelo – Fraenkel s původně velmi kontroverzním zahrnutým axiomem volby ( ZFC ) lze ukázat, že množina je Dedekind-konečná právě tehdy, když je konečná ve smyslu, že má konečný počet prvků. Existuje však model teorie množin Zermelo – Fraenkel bez axiomu volby ( ZF ), ve kterém existuje nekonečná množina Dedekind-konečných, což ukazuje, že axiomy ZF nejsou dostatečně silné, aby dokázaly, že každá množina, která je Dedekind -finite má konečný počet prvků. Kromě definice Dedekinda existují definice konečnosti a nekonečnosti množin , které nezávisí na axiomu volby.

Nejasně související představa je o Dedekindově konečném prstenu . Kroužek se říká, že je Dedekind-konečný kruh v případě, ab = 1 znamená, BA = 1 pro nějaké dva prstencové elementy a b . Tyto prsteny byly také nazývány přímo konečnými prstenci.

Porovnání s obvyklou definicí nekonečné množiny

Tuto definici „ nekonečné množiny “ je třeba porovnat s obvyklou definicí: množina A je nekonečná, když ji nelze vložit do bijekce s konečným pořadovým číslem , konkrétně množinou tvaru {0, 1, 2, ..., n −1} pro nějaké přirozené číslo n - nekonečná množina je taková, která doslova „není konečná“, ve smyslu bijekce.

Během druhé poloviny 19. století většina matematiků jednoduše předpokládala, že množina je nekonečná právě tehdy, když je nekonečná Dedekind. Nicméně, toto rovnocennost nelze prokázat s axiómy z teorie množin Zermelo-Fraenkelův bez axiomu výběru (AC) (obvykle označované „ ZF “). K prokázání ekvivalence není zapotřebí plná síla AC; ve skutečnosti je ekvivalence těchto dvou definic přísně slabší než axiom spočitatelné volby (CC). (Viz odkazy níže.)

Dedekind-nekonečné množiny v ZF

Sada A je nekonečná, pokud splňuje všechny následující podmínky (přes ZF ):

je duálně Dedekind-nekonečné, pokud:

  • existuje funkce f  : AA, která je surjektivní, ale není injektivní;

je slabě Dedekind-nekonečný, pokud splňuje všechny, a pak všechny, následující ekvivalentní podmínky (přes ZF ):

  • existuje surjektivní mapa od A na spočitatelně nekonečnou množinu;
  • sada sil A je Dedekind-nekonečná;

a je nekonečný, pokud:

  • pro nějaké přirozené číslo n , neexistuje bijekce z {0, 1, 2, ..., n-1} a A .

Poté ZF prokáže následující implikace: Dedekind-nekonečný ⇒ duálně Dedekind-nekonečný ⇒ slabě Dedekind-nekonečný ⇒ nekonečný.

Existují modely ZF s nekonečnou sadou Dedekind-konečná. Nechť být takový soubor, a nechť B je množina konečných injektivních sekvencemi z A. . Protože A je nekonečné, funkce „upustit poslední prvek“ z B na sebe je surjektivní, ale nikoli injektivní, takže B je duálně Dedekind-nekonečné. Protože však A je Dedekind-konečný, je tomu tak i B (pokud B mělo spočitatelně nekonečnou podmnožinu, pak s využitím skutečnosti, že prvky B jsou injektivní sekvence, by bylo možné vystavit spočitatelně nekonečnou podmnožinu A ).

Když sady mají další struktury, oba druhy nekonečnosti lze někdy prokázat jako ekvivalentní vůči ZF . Například ZF dokazuje, že dobře uspořádaná množina je Dedekind-nekonečná právě tehdy, když je nekonečná.

Dějiny

Termín je pojmenován po německém matematikovi Richardu Dedekindovi , který definici poprvé výslovně zavedl. Je pozoruhodné, že tato definice byla první definicí „nekonečna“, která se nespoléhala na definici přirozených čísel (pokud člověk nenásleduje Poincarého a nepovažuje pojem čísla za dokonce před pojem množiny). Ačkoli Bernardovi Bolzanovi byla taková definice známá , znemožnilo mu publikovat jeho práci v jakémkoli, ale nejobtížnějším časopise, podmínky jeho politického exilu z pražské univerzity v roce 1819. Bolzanoova definice byla navíc přesněji vztahem, který držel mezi dvěma nekonečnými množinami, spíše než definicí nekonečné množiny jako takové .

Mnoho matematiků dlouhou dobu ani nebavilo myšlenku, že by mohl existovat rozdíl mezi pojmy nekonečná množina a Dedekind-nekonečná množina. Ve skutečnosti byl rozdíl skutečně realizován až poté, co Ernst Zermelo formuloval AC výslovně. Existenci nekonečných, Dedekind-konečných množin studovali Bertrand Russell a Alfred North Whitehead v roce 1912; těmto souborům se zprvu říkalo mediate cardinals nebo Dedekind cardinals .

S obecným přijetím axiomu volby mezi matematickou komunitou se tyto problémy týkající se nekonečných a Dedekind-nekonečných množin staly méně ústřední pro většinu matematiků. Studium Dedekind-nekonečných množin však hrálo důležitou roli ve snaze objasnit hranici mezi konečným a nekonečným a také důležitou roli v historii AC.

Vztah k axiomu volby

Protože každá nekonečná dobře uspořádaná množina je Dedekind-nekonečná, a protože AC je ekvivalentní dobře uspořádané větě , která říká, že každá sada může být dobře uspořádaná, obecná AC jasně naznačuje, že každá nekonečná množina je Dedekind-nekonečná. Ekvivalence těchto dvou definic je však mnohem slabší než plná síla AC.

Zejména existuje model ZF, ve kterém existuje nekonečná množina bez spočitatelně nekonečné podmnožiny. V tomto modelu tedy existuje nekonečná množina Dedekind-konečných. Podle výše uvedeného nelze takovou sadu v tomto modelu dobře objednat.

Pokud předpokládáme axiom CC (tj. AC ω ), pak z toho plyne, že každá nekonečná množina je Dedekind-nekonečná. Ekvivalence těchto dvou definic je však ve skutečnosti přísně slabší než dokonce CC. Explicitně existuje model ZF, ve kterém je každá nekonečná množina Dedekind-nekonečná, ale CC selže (za předpokladu konzistence ZF ).

Důkaz ekvivalence s nekonečnem, za předpokladu axiomu spočitatelné volby

Že každý Dedekind-nekonečná množina je nekonečná může být snadno prokázána ZF: každá konečná množina má ze své podstaty bijection s nějakým konečným pořadového n a lze dokázat indukcí podle n že to není Dedekind-nekonečný.

Použitím axiomu spočitatelné volby (denotace: axiom CC) lze dokázat opak, a sice, že každá nekonečná množina X je Dedekind-nekonečná, a to následovně:

Nejprve definujte funkci nad přirozenými čísly (tj. Nad konečnými pořadovými čísly) f  : N → Power (Power ( X )) , takže pro každé přirozené číslo n je f ( n ) množina konečných podmnožin X velikosti n (tj. které mají bijekci s konečným pořadovým číslem n ). f ( n ) není nikdy prázdné, jinak by X bylo konečné (jak lze dokázat indukcí na n ).

Obraz z F je spočetnou množinu { f ( n ) | nN }, jejichž členy jsou samy nekonečné (a možná nepočitatelné) množiny. Pomocí axiom spočetného výběru můžeme zvolit jeden člen z každého z těchto souborů, a tento člen je samo o sobě konečná podmnožina X . Přesněji, podle axiomu počitatelné volby existuje (počitatelná) množina, G = { g ( n ) | nN }, takže pro každé přirozené číslo n je g ( n ) členem f ( n ) a je tedy konečnou podmnožinou X velikosti n .

Nyní definujeme U jako spojení členů G . U je nekonečná počitatelná podmnožina X a bijekci od přirozených čísel k U , h  : NU lze snadno definovat. Nyní můžeme definovat bijekci B  : XXh (0), která vezme každého člena, který není v U, k sobě a bere h ( n ) pro každé přirozené číslo do h ( n + 1) . Z tohoto důvodu, X je Dedekind-nekonečný, a my jsme udělali.

Zobecnění

Vyjádřeno teoreticky v kategoriích, množina A je Dedekind-konečná, pokud v kategorii množin je každý monomorfismus f  : AA izomorfismem. Von Neumann pravidelný kruh R má analogické vlastnosti v kategorii (vlevo nebo vpravo) R -modules tehdy a pouze tehdy, když v R , xy = 1 znamená, yx = 1 . Obecněji řečeno, Dedekind-konečný kruh je jakýkoli prsten, který splňuje posledně uvedené podmínky. Dávejte pozor na to, že prsten může být Dedekind-konečný, i když jeho základní sada je Dedekind-infinite, např. Celá čísla.

Poznámky

Reference

  • Faith, Carl Clifton. Matematické průzkumy a monografie . Svazek 65. Americká matematická společnost. 2. vyd. AMS knihkupectví, 2004. ISBN  0-8218-3672-2
  • Moore, Gregory H., Zermelo's Axiom of Choice , Springer-Verlag, 1982 (out-of-print), ISBN  0-387-90670-3 , zejména s. 22-30 a tabulky 1 a 2 na str. 322-323
  • Jech, Thomas J. , The Axiom of Choice , Dover Publications, 2008, ISBN  0-486-46624-8
  • Lam, Tsit-Yuen. První kurz nekomutativních kruhů . Svazek 131 absolventských textů z matematiky . 2. vyd. Springer, 2001. ISBN  0-387-95183-0
  • Herrlich, Horst, Axiom of Choice , Springer-Verlag, 2006, Lecture Notes in Mathematics 1876, ISSN tištěné vydání 0075–8434, ISSN elektronické vydání: 1617-9692, zejména Oddíl 4.1.