Určitá kvadratická forma - Definite quadratic form

V matematice , je definitivní kvadratická forma je kvadratická forma přes některé skutečné vektorový prostor $V,$ který má stejné znaménko (vždy kladné nebo vždy záporné) pro každý nenulový vektor $V.$ . Podle tohoto znaménka se kvadratická forma nazývá pozitivní-určitá nebo záporná-určitá .

Semidefinitní (nebo semidefinitní) kvadratická forma je definována v podstatě stejným způsobem, kromě toho, že „vždy pozitivní“ a „vždy negativní“ nahrazují „vždy kladné číslo“ a „vždy silově uzavřeného“, v tomto pořadí. Jinými slovy, může nabývat nulových hodnot.

Neurčitá kvadratická forma nabývá kladných a záporných hodnot a je nazýván izotropní kvadratická forma .

Obecněji platí, že tyto definice platí pro jakýkoli vektorový prostor nad uspořádaným polem .

Přidružená symetrická bilineární forma

Kvadratické formy odpovídají jeden na jednoho symetrickým bilineárním formám ve stejném prostoru. Symetrická bilineární forma je také popsána jako definitivní , semidefinitní atd. Podle přidružené kvadratické formy. Kvadratická forma $Q$ a její přidružená symetrická bilineární forma $B$ jsou spojeny následujícími rovnicemi:

{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} Q (x) & = B (x, x) \\ B (x, y) & = B (y, x) = {\ frac {1} {2}} (Q (x + y) -Q (x) -Q (y)) \ end {zarovnáno}}}

Druhý vzorec vyplývá z rozšiřování . ${\ displaystyle Q (x + y) = B (x + y, x + y)}$

Příklady

Jako příklad pojďme a zvažte kvadratickou formu ${\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {2}}$

{\ displaystyle Q (x) = c_ {1} {x_ {1}} ^ {2} + c_ {2} {x_ {2}} ^ {2}}

kde $x = (x 1, x 2)$ a $c$ $1$ a $c$ $2$ jsou konstanty. Pokud $c$ $1$ $> 0$ a $c$ $2$ $> 0$ , kvadratická forma $Q$ je kladně definitivní, takže Q se vyhodnotí na kladné číslo kdykoli Pokud je jedna z konstant pozitivní a druhá je 0, pak $Q$ je kladná semidefinita a vždy se vyhodnotí buď 0 nebo kladné číslo. Pokud $c$ $1$ $> 0$ a $c$ $2$ $<0$ , nebo naopak, pak $Q$ je neurčitý a někdy se vyhodnotí na kladné číslo a někdy na záporné číslo. Pokud $c$ $1$ $<0$ a $c$ $2$ $<0$ , kvadratická forma je záporně určitá a vždy se vyhodnotí na záporné číslo kdykoli A Pokud je jedna z konstant záporná a druhá je 0, pak $Q$ je záporná semidefinita a vždy se vyhodnotí buď 0 nebo záporné číslo. ${\ displaystyle \ ve V}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) \ neq (0,0).}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) \ neq (0,0).}$

Obecně kvadratická forma ve dvou proměnných bude také zahrnovat termín křížového produktu v x ₁x ₂ :

{\ displaystyle Q (x) = c_ {1} {x_ {1}} ^ {2} + c_ {2} {x_ {2}} ^ {2} + 2c_ {3} x_ {1} x_ {2} .}

Tato kvadratická forma je kladně-definitivní, pokud a záporně-určitá, jestliže a neurčitá, pokud je kladná nebo záporná, semidefinitní, pokud se znakem semidefinitity shoduje se znamením ${\ displaystyle c_ {1}> 0}$ ${\ displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2}> 0,}$ ${\ displaystyle c_ {1} <0}$ ${\ displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2}> 0,}$ ${\ displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2} <0.}$ ${\ displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2} = 0,}$ ${\ displaystyle c_ {1}.}$

Tato dvojrozměrná kvadratická forma se objevuje v kontextu kuželoseček se středem na počátku. Pokud je výše uvedená obecná kvadratická forma rovna 0, výsledná rovnice je rovnice elipsy, pokud je kvadratická forma kladná nebo záporná, hyperbola, pokud je neurčitá, a parabola, pokud ${\ displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2} = 0.}$

Čtverec euklidovské normy v n -rozměrném prostoru, nejčastěji používaná míra vzdálenosti, je

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2}.}

Ve dvou rozměrech to znamená, že vzdálenost mezi dvěma body je druhá odmocnina součtu čtverců vzdáleností podél osy a osy. ${\ displaystyle x_ {1}}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$

Maticová forma

Kvadratická forma může být psána v podmínkách matic jako

{\ displaystyle x ^ {\ text {T}} Sekera}

kde x je libovolný n × 1 kartézský vektor, ve kterém ne všechny prvky jsou 0, horní index ^T označuje transpozici a A je n × n symetrická matice . Pokud je diagonální to je ekvivalentní formy non-matrice obsahující výhradně podmínky zahrnující kvadratických proměnné; ale pokud má A nějaké nenulové off-diagonální prvky, bude maticová forma také obsahovat některé termíny zahrnující produkty dvou různých proměnných. ${\ displaystyle (x_ {1}, \ cdots, x_ {n}) ^ {\ text {T}}}$

Kladná nebo záporná, určitost nebo semi-určitost nebo neurčitost, této kvadratické formy je ekvivalentní stejnému majetku A , které lze zkontrolovat pomocí zvážení všech vlastních čísel z A nebo kontrolou příznaky všech svých základních dětí a mladistvých .

Optimalizace

Určité kvadratické formy se snadno hodí k optimalizačním problémům. Předpokládejme, že kvadratická forma matice je rozšířena o lineární členy, jako

{\ displaystyle x ^ {\ text {T}} Sekera + 2b ^ {\ text {T}} x,}

kde b je vektor konstant n × 1. Podmínky prvního řádu pro maximum nebo minimum jsou nalezeny nastavením maticového derivátu na nulový vektor:

{\ displaystyle 2Ax + 2b = 0,}

dávat

{\ displaystyle x = -A ^ {- 1} b}

za předpokladu, že A je nesmyslné . Pokud je kvadratická forma, a tedy A , kladně definitivní, jsou v tomto bodě splněny podmínky druhého řádu pro minimum. Pokud je kvadratická forma záporně definitivní, jsou splněny podmínky druhého řádu pro maximum.

Důležitý příklad takové optimalizace vyvstává ve vícenásobné regrese , ve které je hledán vektor odhadovaných parametrů, který minimalizuje součet čtverců odchylek od dokonalého přizpůsobení v datové sadě.

Viz také

Poznámky

Reference

Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Aritmetika kvadratických forem . Cambridge Tracts v matematice. 106 . Cambridge University Press. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021 .
Lang, Serge (2004), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (opravený čtvrtý tisk, přepracované třetí vydání), New York: Springer-Verlag, s. 578, ISBN 978-0-387-95385-4.
Milnor, J .; Husemoller, D. (1973). Symetrické bilineární formuláře . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 73 . Springer. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016 .

Languages

In other projects