Deformace (fyzika) - Deformation (physics)

Deformace tenké rovné tyče do uzavřené smyčky. Délka tyče zůstává během deformace téměř beze změny, což naznačuje, že napětí je malé. V tomto konkrétním případě ohýbání jsou posuny spojené s tuhými translacemi a otáčeními materiálových prvků v tyči mnohem větší než posuny spojené s namáháním.

Ve fyzice , deformace je mechanika kontinua transformace těla z referenční konfigurace na aktuální konfiguraci. Konfigurace je sada obsahující polohy všech částic těla.

Deformace může nastat v důsledku vnějšího zatížení , tělesných sil (například gravitace nebo elektromagnetických sil ) nebo změn teploty, obsahu vlhkosti nebo chemických reakcí atd.

Napětí souvisí s deformací, pokud jde o relativní posun částic v těle, které vylučují pohyby tuhého těla. Pro expresi pole kmene lze provést různé ekvivalentní volby v závislosti na tom, zda je definováno s ohledem na počáteční nebo konečnou konfiguraci tělesa a na tom, zda je uvažován metrický tenzor nebo jeho duální.

V souvislém tělese vzniká deformační pole z napěťového pole v důsledku působení sil nebo v důsledku některých změn v teplotním poli tělesa. Vztah mezi napětím a deformací je vyjádřen konstitutivními rovnicemi , např. Hookeovým zákonem pro lineární elastické materiály. Deformace, které přestanou existovat po odstranění napěťového pole, se nazývají elastická deformace . V tomto případě kontinuum zcela obnoví svou původní konfiguraci. Na druhé straně zůstávají nevratné deformace. Existují i ​​po odstranění napětí. Jedním typem nevratné deformace je plastická deformace , ke které dochází v hmotných tělech poté, co napětí dosáhla určité prahové hodnoty známé jako mez pružnosti nebo mez kluzu , a jsou výsledkem skluzu nebo dislokačních mechanismů na atomové úrovni. Dalším typem nevratné deformace je viskózní deformace , která je nevratnou součástí viskoelastické deformace.

V případě elastických deformací je reakční funkcí spojující napětí s deformačním napětím tenzor poddajnosti materiálu.

Kmen

Kmen představuje posun mezi částicemi v těle vzhledem k referenční délce.

Deformace tělesa je vyjádřena ve tvaru x = F ( X ), kde X je referenční poloha hmotných bodů tělesa. Takové opatření nerozlišuje mezi rigidními pohyby těla (translace a rotace) a změnami tvaru (a velikosti) těla. Deformace má jednotky délky.

Mohli bychom například definovat napětí jako

kde I je identita tensor . Kmeny jsou tedy bezrozměrné a jsou obvykle vyjádřeny jako desetinný zlomek , procento nebo v částech na notaci . Kmeny měří, jak moc se daná deformace lokálně liší od deformace tuhého těla.

Kmen je obecně tenzorové množství. Fyzický vhled do kmenů lze získat pozorováním, že daný kmen lze rozložit na normální a smykové složky. Množství roztažení nebo stlačení podél prvků nebo vláken materiálové linie je normální deformace a míra zkreslení spojená s klouzáním rovinných vrstev přes sebe je smyková deformace uvnitř deformujícího se tělesa. Toho lze dosáhnout prodloužením, zkrácením nebo změnami objemu nebo úhlovým zkreslením.

Stav napětí v hmotném bodě tělesa kontinua je definován jako součet všech změn v délce hmotných čar nebo vláken, normální napětí , které tímto bodem prochází, a také součet všech změn v úhlu mezi dvojice čar zpočátku kolmých na sebe, smykové napětí , vyzařující z tohoto bodu. Stačí však znát normální a smykové složky napětí v sadě tří vzájemně kolmých směrů.

Dojde -li ke zvýšení délky materiálové linie, normální napětí se nazývá tahové napětí , v opačném případě, pokud dojde ke snížení nebo stlačení délky materiálové linie, se nazývá tlakové napětí .

Napěťová opatření

V závislosti na velikosti deformace nebo místní deformaci je analýza deformace rozdělena do tří teorií deformace:

  • Konečných teorie kmen , také nazývaný velký teorie kmen , velký teorie deformace , se zabývá deformací, v níž obě rotace a kmeny jsou libovolně velký. V tomto případě jsou nedeformované a deformované konfigurace kontinua výrazně odlišné a je třeba je jasně odlišit. To je obvykle případ elastomerů , plasticky deformujících materiálů a jiných tekutin a biologických měkkých tkání .
  • Nekonečně teorie kmen , nazývaný také malé teorie kmen , malé deformační teorie , malé teorie posunu , nebo malý teorie posunutí gradientu , kde jsou kmeny a rotace jak malý. V tomto případě lze předpokládat, že nedeformované a deformované konfigurace těla jsou totožné. Teorie nekonečně malých deformací se používá při analýze deformací materiálů vykazujících elastické chování, jako jsou materiály nalezené v mechanických a stavebních aplikacích, např. Beton a ocel.
  • Teorie velkého posunu nebo velké rotace , která předpokládá malé deformace, ale velké rotace a posunutí.

V každé z těchto teorií je pak kmen definován odlišně. Inženýrství kmen je nejčastější definice aplikuje na materiály použité při mechanickém a pozemních staveb, které jsou vystaveny velmi malých deformací. Na druhou stranu, pro některé materiály, např elastomerů a polymery, podrobených velkých deformací, technické definice kmene se nepoužije, a tak je zapotřebí např typické strojírenské kmenů vyšší než 1%, jiné složitější definice kmene, jako je úsek , logaritmický kmen , zelený kmen a Almansiho kmen .

Engineering kmen

Kmen Engineering také známý jako Cauchy kmen je vyjádřena jako poměr celkové deformace na počáteční rozměr hmotného tělesa, na které jsou aplikovány síly. Inženýrství normální kmen nebo inženýrství protahování kmen nebo nominální napětí e z materiálu čáře nebo vlákno axiálně vloženého je vyjádřen jako změna délky delta L za jednotku původní délky L k čáře nebo vláken. Normální napětí je kladné, pokud jsou vlákna materiálu natažena, a negativní, pokud jsou stlačena. Takže máme

kde e je normální deformace , L je původní délka vlákna a l je konečná délka vlákna. Míry napětí jsou často vyjádřeny v částech na milion nebo v mikrostruzích.

Pravda střihová deformace je definován jako změny v úhlu (v radiánech) mezi dvěma hmotnými liniových prvků zpočátku kolmých k sobě navzájem v nedeformovaném nebo počáteční konfiguraci. Střihová deformace inženýrství je definována jako tangentou tohoto úhlu, a je stejná, jako délka deformace na svém maximu dělená kolmé délky v rovině působení síly, které někdy usnadňuje výpočet.

Poměr natažení

Poměr natažení nebo poměr prodloužení je měřítkem roztažného nebo normálního přetvoření prvku diferenciální čáry, které lze definovat buď v nedeformované konfiguraci, nebo v deformované konfiguraci. Je definován jako poměr mezi konečnou délkou l a počáteční délkou L linie materiálu.

Poměr prodloužení je přibližně vztažen k technickému namáhání podle

Tato rovnice znamená, že normální deformace je nulová, takže nedojde k žádné deformaci, když je úsek roven jednotě.

Poměr roztažení se používá při analýze materiálů, které vykazují velké deformace, jako jsou elastomery, které mohou udržet poměry natažení 3 nebo 4, než selžou. Na druhou stranu tradiční technické materiály, jako je beton nebo ocel, selhávají při mnohem nižších poměrech roztažnosti.

Skutečné napětí

Logaritmické kmen ε , také volal, skutečná deformace nebo kmen Hencky . Vzhledem k přírůstkovému napětí (Ludwik)

logaritmický kmen se získá integrací tohoto přírůstkového kmene:

kde e je inženýrské napětí. Logaritmické přetvoření poskytuje správnou míru konečného přetvoření, když deformace probíhá v sérii přírůstků, s přihlédnutím k vlivu dráhy tahu.

Zelený kmen

Zelený kmen je definován jako:

Almansi kmen

Kmen Euler-Almansi je definován jako

Normální a smykové napětí

Dvourozměrná geometrická deformace nekonečně malého hmotného prvku.

Kmeny jsou klasifikovány jako normální nebo smykové . Normální kmen je kolmo k povrchu prvku, a smykové napětí je s ní rovnoběžná. Tyto definice jsou v souladu s definicemi normálního napětí a smykového napětí .

Normální napětí

Pro izotropní materiál, který se řídí Hooke zákona , je normální stres způsobí normální napětí. Normální kmeny produkují dilatace .

Uvažujme dvojrozměrný, nekonečně malý, obdélníkový hmotný prvek o rozměrech dx × dy , který má po deformaci podobu kosočtverce . Deformace je popsána posuvným polem u . Z geometrie sousedního obrázku máme

a

U velmi malých gradientů posunutí je druhá mocnina derivace zanedbatelná a máme

Normální napětí ve směru x obdélníkového prvku je definováno vztahem

Podobně se stane normální napětí ve směrech y - a z

Smykové napětí

Smykové napětí
Společné symboly
γ nebo ε
Jednotka SI 1 nebo radián
Odvození od
jiných veličin
γ = τ/G

Technické smykové napětí ( γ xy ) je definováno jako změna úhlu mezi přímkami AC a AB . Proto,

Z geometrie obrázku máme

Pro malé posuny máme

Pro malé rotace, tj. Α a β jsou ≪ 1, máme tan αα , tan ββ . Proto,

tím pádem

Výměnou x a y a u x a u y lze ukázat, že γ xy = γ yx .

Podobně pro yz - a xz - máme

Složky tenzorového smykového napětí tenzoru nekonečně malého kmene lze pak vyjádřit pomocí definice inženýrského kmene, γ , jako

Metrický tenzor

Pole deformace spojené s posunem je v každém bodě definováno změnou délky tečných vektorů představujících rychlosti libovolně parametrizovaných křivek procházejících tímto bodem. Základní geometrický výsledek, podle Frécheta , von Neumanna a Jordana , uvádí, že pokud délky tečných vektorů splňují axiomy normy a paralelogramového zákona , pak délka vektoru je druhá odmocnina hodnoty kvadratická forma spojená podle polarizačního vzorce s pozitivní definitivní bilineární mapou nazývanou metrický tenzor .

Popis deformace

Deformace je změna metrických vlastností spojitého tělesa, což znamená, že křivka nakreslená v počátečním umístění těla změní svoji délku, když se v konečném umístění přemístí na křivku. Pokud žádná z křivek nemění délku, říká se, že došlo k pevnému posunutí těla .

Je vhodné identifikovat referenční konfiguraci nebo počáteční geometrický stav tělesa kontinua, ze kterého jsou odkazovány všechny následující konfigurace. Referenční konfigurace nemusí být taková, kterou tělo ve skutečnosti někdy obsadí. Konfigurace v t = 0 je často považována za referenční konfiguraci κ 0 ( B ) . Konfigurace v aktuálním čase t je aktuální konfigurace .

Pro deformační analýzu je referenční konfigurace identifikována jako nedeformovaná konfigurace a aktuální konfigurace jako deformovaná konfigurace . Při analýze deformace navíc není brán v úvahu čas, takže sled konfigurací mezi nedeformovanými a deformovanými konfiguracemi není zajímavý.

Složky X i polohového vektoru X částice v referenční konfiguraci, vzaté s ohledem na referenční souřadnicový systém, se nazývají materiálové nebo referenční souřadnice . Na druhé straně součásti x i polohového vektoru x částice v deformované konfiguraci, vzaté s ohledem na referenční prostorový souřadný systém, se nazývají prostorové souřadnice

Existují dvě metody pro analýzu deformace kontinua. Jeden popis je vytvořen z hlediska materiálu nebo referenčních souřadnic, nazývaných popis materiálu nebo Lagrangianův popis . Druhý popis deformace je proveden z hlediska prostorových souřadnic, který se nazývá prostorový popis nebo eulerovský popis .

Během deformace tělesa kontinua existuje kontinuita v tom smyslu, že:

  • Hmotné body tvořící uzavřenou křivku v každém okamžiku budou vždy tvořit uzavřenou křivku v kterémkoli následujícím čase.
  • Materiálové body tvořící v každém okamžiku uzavřený povrch vždy vytvoří uzavřený povrch v jakékoli následující době a hmota uvnitř uzavřeného povrchu zůstane vždy uvnitř.

Afinní deformace

Deformace se nazývá afinní deformace, pokud ji lze popsat afinní transformací . Taková transformace se skládá z lineární transformace (jako je rotace, střih, prodloužení a komprese) a translace tuhého těla. Afinní deformace se také nazývají homogenní deformace.

Proto má afinní deformace formu

kde x je poloha bodu v deformované konfiguraci, X je poloha v referenční konfiguraci, t je časový parametr, F je lineární transformátor a c je překlad. V maticové formě, kde jsou komponenty vzhledem k ortonormálnímu základu,

Výše uvedená deformace se stane non-afinní nebo nehomogenní, pokud F = F ( X , t ) nebo c = c ( X , t ) .

Tuhý pohyb těla

Tuhý pohyb těla je speciální afinní deformace, která nevyžaduje žádné smyky, prodloužení ani stlačení. Transformační matice F je správná ortogonální , aby umožňovala rotace, ale žádné odrazy .

Tuhý pohyb těla lze popsat pomocí

kde

V maticové formě,

Přemístění

Obrázek 1. Pohyb tělesa kontinua.

Změna konfigurace tělesa kontinua má za následek posunutí . Posun tělesa má dvě složky: posunutí tuhého těla a deformaci. Posun tuhého těla se skládá ze současného translace a rotace těla bez změny jeho tvaru nebo velikosti. Deformace znamená změnu tvaru a/nebo velikosti těla z počáteční nebo nedeformované konfigurace κ 0 ( B ) na aktuální nebo deformovanou konfiguraci κ t ( B ) (obrázek 1).

Pokud po posunutí kontinua dojde k relativnímu posunu mezi částicemi, došlo k deformaci. Na druhou stranu, pokud je po posunutí kontinua relativní posun mezi částicemi v aktuální konfiguraci nulový, pak nedojde k žádné deformaci a údajně dojde k posunutí tuhého tělesa.

Vektor spojující polohy částice P v nedeformované konfiguraci a deformované konfiguraci se v Lagrangeovském popisu nazývá posunový vektor u ( X , t ) = u i e i nebo U ( x , t ) = U J E J v eulerovský popis.

Posunutí pole je vektorové pole všech posunutí vektorů pro všech částic v organismu, který se vztahuje na deformované konfiguraci s nedeformované konfigurace. Je vhodné provést analýzu deformace nebo pohybu tělesa kontinua z hlediska posunovacího pole. Obecně je pole posunutí vyjádřeno pomocí materiálových souřadnic jako

nebo z hlediska prostorových souřadnic jako

kde α Ji jsou směrové kosiny mezi hmotnými a prostorovými souřadnými systémy s jednotkovými vektory E J a e i . Tím pádem

a vztah mezi u i a U J je pak dán vztahem

Vědět to

pak

Je běžné superponovat souřadnicové systémy pro nedeformované a deformované konfigurace, což má za následek b = 0 , a směr kosinů se stane Kroneckerovými deltami :

Takže máme

nebo z hlediska prostorových souřadnic jako

Tenzor gradientu posunutí

Částečná diferenciace vektoru posunutí vzhledem k materiálovým souřadnicím poskytuje tenzor gradientu posunutí materiálu X u . Máme tedy:

nebo

kde F je tenzor gradientu deformace .

Podobně, částečné diferenciace posunutí vektoru s ohledem na prostorových souřadnic se získá prostorové posunutí gradientu tenzor x U . Máme tedy,

nebo

Příklady deformací

Homogenní (nebo afinní) deformace jsou užitečné při objasňování chování materiálů. Některé zajímavé homogenní deformace jsou

Rovinné deformace jsou také zajímavé, zejména v experimentálním kontextu.

Rovinná deformace

Rovinná deformace, nazývaná také rovinná deformace , je taková, kde je deformace omezena na jednu z rovin v referenční konfiguraci. Pokud je deformace omezena na rovinu popsanou základními vektory e 1 , e 2 , gradient deformace má tvar

V maticové formě,

Z polární dekompoziční věty lze deformační gradient až do změny souřadnic rozložit na úsek a rotaci. Protože všechny deformace jsou v rovině, můžeme psát

kde θ je úhel otočení a λ 1 , λ 2 jsou hlavní úseky .

Isochorická rovinná deformace

Pokud je deformace izochorická (zachování objemu), pak det ( F ) = 1 a máme

Alternativně,

Jednoduché stříhání

Jednoduchý smykové deformace je definován jako isochoric rovině deformace ve kterém je sada liniových prvků s danou referenční orientace, která se nemění délku a orientaci v průběhu deformace.

Pokud e 1 je pevná referenční orientace, ve které se liniové prvky během deformace nedeformují, pak λ 1 = 1 a F · e 1 = e 1 . Proto,

Protože deformace je izochorická,

Definovat

Potom lze deformační gradient v jednoduchém smyku vyjádřit jako

Nyní,

Od té doby

můžeme také napsat deformační gradient jako

Viz také

Reference

Další čtení