Stupeň rozšíření pole - Degree of a field extension

V matematice , konkrétněji teorii pole , je míra rozšíření pole hrubým měřítkem „velikosti“ rozšíření pole . Tento koncept hraje důležitou roli v mnoha částech matematiky, včetně algebry a teorie čísel - skutečně v jakékoli oblasti, kde se prominentně objevují pole .

Definice a zápis

Předpokládejme, že E / F je rozšíření pole . Pak lze E považovat za vektorový prostor nad F (pole skalárů). Rozměr tohoto vektorového prostoru se nazývá stupeň rozšíření pole , a to je označováno [E: F].

Stupeň může být konečný nebo nekonečný, pole se nazývá konečné rozšíření nebo podle toho nekonečné prodloužení . O rozšíření E / F se také někdy říká, že je jednoduše konečné, pokud se jedná o konečné rozšíření; toto by nemělo být zaměňováno s tím, že samotná pole jsou konečná pole (pole s konečným počtem prvků).

Stupeň by neměl být zaměňován se stupněm transcendence pole; například pole Q ( X ) racionálních funkcí má nekonečný stupeň nad Q , ale stupeň transcendence se rovná pouze 1.

Vzorec multiplikativity pro stupně

Vzhledem k tomu , že ve věži jsou uspořádána tři pole , řekněme K, dílčí pole L, které je zase dílčím polem M , existuje jednoduchý vztah mezi stupni tří rozšíření L / K , M / L a M / K :

Jinými slovy, stupeň přecházející z „dolního“ do „horního“ pole je pouze součin stupňů přecházejících od „dna“ do „středu“ a poté od „středu“ do „vrcholu“. Je to docela analogické Lagrangeově větě v teorii grup , která spojuje pořadí skupiny s pořadím a indexem podskupiny - Galoisova teorie skutečně ukazuje, že tato analogie je víc než jen náhoda.

Vzorec platí pro konečná i nekonečná prodloužení stupňů. V nekonečném případě je produkt interpretován ve smyslu součinů světových čísel . Zejména to znamená, že pokud je M / K konečný, pak jsou M / L i L / K konečné.

Pokud je M / K konečný, pak vzorec ukládá silná omezení na druhy polí, která se mohou vyskytovat mezi M a K , pomocí jednoduchých aritmetických úvah. Pokud je například stupeň [ M : K ] prvočíslem p , pak pro jakékoli mezilehlé pole L může dojít k jedné ze dvou věcí: buď [ M : L ] = p a [ L : K ] = 1, ve kterém pouzdro L je rovno k , nebo [ M : L ] = 1, a [ L : k ] = p , přičemž v tomto případě L je rovno M . Neexistují tedy žádná mezilehlá pole (kromě samotných M a K ).

Důkaz vzorce multiplikativity v konečném případě

Předpokládejme, že K , L a M tvoří věž polí jako ve vzorci stupňů výše a že obě d = [ L : K ] a e = [ M : L ] jsou konečné. To znamená, že může zvolit základ { u 1 , ..., u d } k L přes K a základna { w 1 , ..., w e } k M přes L . Ukážeme, že prvky u m w n , pro m v rozmezí 1, 2, ..., d a n v rozmezí 1, 2, ..., e , tvoří základ pro M / K ; protože jich existuje přesně de , dokazuje to, že dimenze M / K je de , což je požadovaný výsledek.

Nejprve zkontrolujte, zda rozpětí M / K . Pokud x je jakýkoli prvek M , pak protože w n tvoří základ pro M nad L , můžeme najít prvky a n v L takové, že

Potom, protože u m tvoří základ pro L nad K , můžeme najít prvky b m , n v K tak, že pro každé n ,

Pak pomocí distribučního zákona a asociativity násobení v M máme

což ukazuje, že x je lineární kombinace u m w n s koeficienty z K ; jinými slovy, aby sevřely M nad K. .

Za druhé, musíme zkontrolovat, zda jsou lineárně nezávislé nad K. . Tak to předpokládej

pro některé koeficienty b m , n v K . Použitím opět distribučnosti a asociativity můžeme termíny seskupit jako

a vidíme, že výrazy v závorkách musí být nula, protože jsou prvky L , a w n lineárně nezávislé nad L . To znamená,

pro každé n . Potom, protože koeficienty b m , n jsou v K a u m jsou lineárně nezávislé na K , musíme mít toto b m , n = 0 pro všechna m a všechna n . To ukazuje, že prvky u m w n lineárně nezávislé přes K . Tím důkaz končí.

Důkaz vzorce v nekonečném případě

V tomto případě jsme začít s bázemi u alfa a w p o l / K a M / l v tomto pořadí, kde α je převzata z indexovacího set A a P z indexování set B . Použití zcela podobný argument jako je výše, zjistíme, že produkty, u alfa w p tvoří základ pro M / K . Ty jsou indexovány kartézského součinu x B , která má podle definice má mohutnost rovná součinu mohutnosti z A a B .

Příklady

  • Tyto komplexní čísla jsou rozšířením pole nad reálnými čísly se stupněm [ C : R ] = 2, a tedy neexistují žádné netriviální pole mezi nimi.
  • Rozšíření pole Q ( 2 , 3 ), získaný přiléhající 2 a 3 do pole Q z racionálních čísel , má stupeň 4, to znamená, že [ Q ( 2 , 3 ): Q ] = 4. Mezilehlé pole Q ( 2 ) má stupeň 2 nad Q ; ze vzorce multiplikativity usuzujeme, že [ Q ( 2 , 3 ): Q ( 2 )] = 4/2 = 2.
  • Konečné pole (Galois pole) GF (125) = GF (5 3 ) má stupeň 3 po jeho suboblasti GF (5). Obecněji řečeno, pokud p je prvočíslo a n , m jsou kladná celá čísla s n dělícím m , pak [ GF ( p m ): GF ( p n )] = m / n .
  • Rozšíření pole C ( T )/ C , kde C ( T ) je pole racionálních funkcí nad C , má nekonečný stupeň (ve skutečnosti jde o čistě transcendentální rozšíření). To lze vidět pozorováním, že prvky 1, T , T 2 , atd., Jsou lineárně nezávislé přes C .
  • Rozšíření pole C ( T 2 ), má také nekonečný stupeň nad C . Pokud však vidíme C ( T 2 ) jako podpole C ( T ), pak ve skutečnosti [ C ( T ): C ( T 2 )] = 2. Obecně platí, že pokud X a Y jsou algebraické křivky nad polem K a F  : XY je surjektivní morfismus mezi nimi stupně d , pak funkční pole K ( X ) a K ( Y ) mají obě nekonečný stupeň nad K , ale stupeň [ K ( X ): K ( Y )] se ukáže být rovna d .

Zobecnění

Vzhledem ke dvěma dělícím prstencům E a F s F obsaženým v E a násobení a sčítání F je omezení operací v E , můžeme E považovat za vektorový prostor nad F dvěma způsoby: mít skaláry působit vlevo, dávat rozměr [ E : F ] l a nechat je jednat napravo, dávat rozměr [ E : F ] r . Tyto dva rozměry nemusí souhlasit. Obě dimenze však splňují multiplikační vzorec pro věže divizních prstenů; výše uvedený důkaz platí pro levopůsobící skaláry beze změny.

Reference

  • strana 215, Jacobson, N. (1985). Basic Algebra I . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1480-9. Důkaz vzorce multiplikativity.
  • strana 465, Jacobson, N. (1989). Základní algebra II . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1933-9. Stručně pojednává o nekonečně dimenzionálním případě.