Hustota stavů - Density of states

V pevných látek a fyzice je hustota stavů ( DOS ) systému popisuje podíl stavů, které mají být obsazena systému v každém energie. Hustota stavů je definována jako , kde je počet stavů v soustavě objemu, jehož energie leží v rozmezí od do . Matematicky je reprezentována jako distribuce funkcí hustoty pravděpodobnosti a je obecně průměrem v prostorových a časových doménách různých stavů obsazených systémem. Hustota stavů přímo souvisí s rozptylovými vztahy vlastností systému. Vysoký DOS na konkrétní energetické úrovni znamená, že mnoho států je k dispozici pro okupaci. ${\ displaystyle D (E) = N (E) / V}$ ${\ displaystyle N (E) \ delta E}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle E + \ delta E}$

Hustota stavů hmoty je obecně spojitá. V izolovaných systémech , jako jsou atomy nebo molekuly v plynné fázi, je však distribuce hustoty diskrétní , jako je spektrální hustota . Místní variace, nejčastěji v důsledku narušení původního systému, se často označují jako místní hustoty států (LDOS).

Úvod

V kvantově mechanických systémech mohou vlny nebo částice podobné vlnám zaujímat režimy nebo stavy s vlnovými délkami a směry šíření diktovanými systémem. Například v některých systémech může interatomický rozestup a atomový náboj materiálu umožnit existenci pouze elektronů určitých vlnových délek. V jiných systémech může krystalická struktura materiálu umožňovat šíření vln v jednom směru, zatímco potlačuje šíření vln v jiném směru. Často jsou povoleny pouze konkrétní státy. Může se tedy stát, že mnoho států je k dispozici k okupaci na určité energetické úrovni, zatímco žádné stavy nejsou k dispozici na jiných energetických úrovních.

Při pohledu na hustotu stavů elektronů na okraji pásma mezi valenčními a vodivými pásmy v polovodiči, pro elektron ve vodivém pásmu, zvýšení energie elektronů zpřístupňuje více stavů pro zaměstnání. Alternativně je hustota stavů pro interval energie diskontinuální, což znamená, že nejsou k dispozici žádné stavy, které by elektrony mohly zabírat v pásmové mezeře materiálu. Tato podmínka také znamená, že elektron na okraji vodivého pásma musí ztratit alespoň energii pásma mezery materiálu, aby mohl přejít do jiného stavu ve valenčním pásmu.

To určuje, zda je materiál v dimenzi šíření izolátor nebo kov . Výsledek počtu stavů v pásmu je také užitečný pro predikci vlastností vedení. Například v jednorozměrné krystalické struktuře vede lichý počet elektronů na atom k napůl naplněnému hornímu pásu; na úrovni Fermiho jsou volné elektrony, které vedou ke vzniku kovu. Na druhou stranu sudý počet elektronů přesně vyplní celý počet pásem, zbytek zůstane prázdný. Pokud úroveň Fermiho leží v mezeře obsazeného pásma mezi nejvyšším obsazeným stavem a nejnižším prázdným stavem, materiál bude izolátor nebo polovodič .

V závislosti na kvantově mechanické soustavě lze hustotu stavů vypočítat pro elektrony , fotony nebo fonony a lze ji zadat jako funkci energie nebo vlnového vektoru k . Aby bylo možné převádět mezi DOS jako funkcí energie a DOS jako funkcí vlnového vektoru, musí být známý vztah rozptylu energie specifické pro systém mezi E a k .

Obecně mají topologické vlastnosti systému, jako je pásová struktura, zásadní vliv na vlastnosti hustoty stavů. Nejznámější systémy, jako neutronium v neutronových hvězdách a volné elektronové plyny v kovech (příklady degenerované hmoty a Fermiho plyn ), mají trojrozměrnou euklidovskou topologii . Méně známé systémy, jako jsou dvourozměrné elektronové plyny (2DEG) v grafitových vrstvách a systém kvantového Hallova jevu v zařízeních typu MOSFET , mají 2-dimenzionální euklidovskou topologii. Ještě méně známé jsou uhlíkové nanotrubice , kvantový drát a Luttingerova kapalina s jejich jednorozměrnými topologiemi. Systémy s 1D a 2D topologiemi se pravděpodobně stanou běžnějšími, za předpokladu, že bude pokračovat vývoj v oblasti nanotechnologií a vědy o materiálech .

Definice

Hustota stavů souvisejících s počitatelnými energetickými hladinami objemu V a N je definována jako:

{\ displaystyle D (E) = {\ frac {1} {V}} \, \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ delta (EE ({\ mathbf {k}} _ {i})) .}

Protože nejmenší povolená změna hybnosti částice v poli dimenze a délky je , objemová hustota stavů pro kontinuální energetické úrovně se získá v limitu jako ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle (\ Delta k) ^ {d} = ({\ tfrac {2 \ pi} {L}}) ^ {d}}$ ${\ displaystyle L \ až \ infty}$

{\ displaystyle D (E): = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {d} k} {(2 \ pi) ^ {d}}} \ cdot \ delta (EE (\ mathbf {k})),}

Zde je prostorová dimenze uvažovaného systému a vlnového vektoru. ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$

U izotropních jednorozměrných systémů s disperzí parabolické energie je hustota stavů . Ve dvou dimenzích je hustota stavů konstantní , zatímco ve třech dimenzích se stává . ${\ displaystyle D_ {1D} (E) = {\ tfrac {1} {\ pi \ hbar}} ({\ tfrac {2m} {E}}) ^ {1/2}}$ ${\ displaystyle D_ {2D} = {\ tfrac {m} {\ pi \ hbar ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle D_ {3D} (E) = {\ tfrac {m} {\ pi ^ {2} \ hbar ^ {3}}} (2 mE) ^ {1/2}}$

Ekvivalentně lze hustotu stavů chápat jako derivaci funkce mikrokanonického dělení (tj. Celkový počet stavů s energií menší než ) s ohledem na energii: ${\ displaystyle Z_ {m} (E)}$ ${\ displaystyle E}$

{\ displaystyle D (E) = {\ frac {1} {V}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} Z_ {m} (E)} {\ mathrm {d} E}}}

.

Počet stavů s energií (stupeň degenerace) je dán vztahem: ${\ displaystyle E '}$

{\ displaystyle g \ left (E '\ right) = \ lim _ {\ Delta E \ až 0} \ int _ {E'} ^ {E '+ \ Delta E} D (E) \ mathrm {d} E = \ lim _ {\ Delta E \ až 0} D \ vlevo (E '\ vpravo) \ Delta E,}

kde poslední rovnost platí pouze tehdy, když je platná věta o střední hodnotě pro integrály.

Symetrie

První Brillouinova zóna mřížky FCC , zkrácený osmistěn , zobrazující štítky symetrie pro čáry a body vysoké symetrie

Existuje velké množství systémů a typů stavů, pro které lze provádět výpočty DOS.

Některé systémy kondenzované hmoty mají strukturní symetrii v mikroskopickém měřítku, kterou lze využít ke zjednodušení výpočtu jejich hustot stavů. Ve sféricky symetrických systémech jsou integrály funkcí jednorozměrné, protože všechny proměnné ve výpočtu závisí pouze na radiálním parametru disperzní relace. Kapaliny , sklenice a amorfní pevné látky jsou příklady symetrického systému, jehož disperzní vztahy mají rotační symetrii.

Osmistěn.

Měření na prášcích nebo polykrystalických vzorcích vyžadují vyhodnocovací a výpočetní funkce a integrály rozptylových vztahů sledovaného systému v celé doméně , nejčastěji v Brillouinově zóně . Někdy je symetrie systému vysoká, což způsobí, že se tvar funkcí popisujících disperzní vztahy systému mnohokrát objeví v celé doméně disperzního vztahu. V takových případech lze úsilí o výpočet systému DOS výrazně snížit, pokud je výpočet omezen na omezenou zónu nebo základní doménu . Brillouinova zóna obličejové kubické mřížky (FCC) na obrázku vpravo má 48násobnou symetrii bodové skupiny O _h s plnou oktaedrickou symetrií . Tato konfigurace znamená, že integraci přes celou doménu Brillouinovy zóny lze snížit na 48. část celé Brillouinovy zóny. Jak ukazuje periodická tabulka krystalové struktury , existuje mnoho prvků s krystalovou strukturou FCC, jako je diamant , křemík a platina a jejich Brillouinovy zóny a disperzní vztahy mají tuto 48násobnou symetrii. Dvě další známé krystalové struktury jsou kubická mřížka (BCC) zaměřená na tělo a šestihranná uzavřená zabalená struktura (HCP) s kubickou a šestihrannou mřížkou. Struktura BCC má 24násobnou pyritohedrální symetrii bodové skupiny T _h . Struktura HCP má 12násobnou prizmatickou dihedrickou symetrii bodové skupiny D _3h . Úplný seznam vlastností symetrie skupiny bodů lze najít v tabulkách znaků skupiny bodů .

Obecně je jednodušší vypočítat DOS, když je symetrie systému vyšší a počet topologických dimenzí rozptylového vztahu je nižší. DOS disperzních vztahů s rotační symetrií lze často vypočítat analyticky. Tento výsledek je šťastný, protože mnoho praktických materiálů, jako je ocel a křemík, má vysokou symetrii.

V systémech anizotropních kondenzovaných látek, jako je jediný krystal sloučeniny, mohla být hustota stavů odlišná v jednom krystalografickém směru než v jiném. To způsobí, že anizotropní hustota stavů bude obtížnější vizualizovat, a mohou vyžadovat metody, jako je výpočet DOS pouze pro konkrétní body nebo směry, nebo výpočet projektované hustoty stavů (PDOS) na konkrétní orientaci krystalu.

k -prostory topologie

Obrázek 1: Sférický povrch v k -prostoru pro elektrony ve třech rozměrech.

Hustota stavů závisí na rozměrových mezích samotného objektu. V systému popsaném třemi ortogonálními parametry (3 dimenze) jsou jednotkami DOS Energie ⁻¹ Objem ¹ , ve dvourozměrném systému jsou jednotkami DOS Energie ⁻¹ Plocha ⁻¹ , v jednorozměrném systému jsou jednotky DOS je Energie ⁻¹ Délka ⁻¹ . Referenční objem je objem k- prostoru; prostor uzavřený na konstantní energie povrchu systému odvozen přes disperzní relace , která se týká E na K . Příklad trojrozměrného k- prostoru je uveden na obr. 1. Je vidět, že rozměrnost systému omezuje hybnost částic uvnitř systému.

Hustota vlnových vektorových stavů (koule)

Výpočet pro DOS začíná počítáním N povolených stavů v určitém k, které jsou obsaženy v [ k , k + dk ] uvnitř objemu systému. Tento postup se provádí diferenciací celého objemu k-prostoru v n-dimenzích v libovolném k vzhledem k . Objem, plocha nebo délka ve 3, 2 nebo 1-rozměrných sférických k- prostorech jsou vyjádřeny ${\ displaystyle \ Omega _ {n, k}}$

{\ displaystyle \ Omega _ {n} (k) = c_ {n} k ^ {n}}

pro n-dimenzionální k -prostor s topologicky stanovenými konstantami

{\ displaystyle c_ {1} = 2, \ c_ {2} = \ pi, \ c_ {3} = {\ frac {4 \ pi} {3}}}

pro lineární, diskové a sférické symetrické tvarované funkce v 1, 2 a 3-rozměrných euklidovských k -prostorech.

Podle tohoto schématu je hustota stavů vlnových vektorů N prostřednictvím diferenciace vzhledem k k vyjádřena ${\ displaystyle \ Omega _ {n, k}}$

{\ displaystyle N_ {n} (k) = {\ frac {{\ rm {d}} \ Omega _ {n} (k)} {{\ rm {d}} k}} = n \; c_ {n } \; k ^ {n-1}}

1, 2 a 3-dimenzionální hustota stavů vlnových vektorů pro čáru, disk nebo kouli je výslovně zapsána jako

{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} N_ {1} (k) & = 2 \\ N_ {2} (k) & = 2 \ pi k \\ N_ {3} (k) & = 4 \ pi k ^ {2} \ end {zarovnáno}}}

Jeden stav je dostatečně velký, aby obsahoval částice mající vlnovou délku λ. Vlnová délka souvisí s k prostřednictvím vztahu.

{\ displaystyle k = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}}

V kvantovém systému bude délka λ záviset na charakteristickém rozestupu systému L, který omezuje částice. Konečně je hustota stavů N násobena faktorem , kde s je konstantní faktor degenerace, který odpovídá za vnitřní stupně volnosti v důsledku takových fyzikálních jevů, jako je spin nebo polarizace. Pokud takový jev neexistuje, pak . V _k je objem v k-prostoru, jehož vlnovody jsou menší než nejmenší možné vlnovody, o nichž rozhoduje charakteristická vzdálenost systému. ${\ displaystyle s / V_ {k}}$ ${\ displaystyle s = 1}$

Hustota energetických stavů

Chcete-li dokončit výpočet pro DOS, najděte počet stavů na jednotku objemu vzorku při energii uvnitř intervalu . Obecná forma systému DOS je uvedena jako ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle [E, E + dE]}$

{\ displaystyle D_ {n} \ left (E \ right) = {\ frac {{\ rm {d}} \ Omega _ {n} (E)} {{\ rm {d}} E}}}

Schéma načrtnuté zatím platí pouze pro monotónně rostoucí a sféricky symetrické disperzní vztahy. Obecně disperzní vztah není sféricky symetrický a v mnoha případech také kontinuálně neroste. Pro expresi D jako funkci E, na inverzní vztah disperze musí být substituovány do exprese jako funkce k dostat exprese jako funkce energie. Pokud disperzní vztah není sféricky symetrický nebo kontinuálně stoupající a nelze jej snadno převrátit, pak ve většině případů musí být DOS vypočítán numericky. Podrobnější derivace jsou k dispozici. ${\ displaystyle E (k)}$ ${\ displaystyle E (k)}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {n} (k)}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {n} (E)}$

Disperzní vztahy

Disperzní vztah pro elektrony v pevné látce je dán strukturou elektronového pásma .

Kinetická energie částice závisí na velikosti a směru vln vektoru k , vlastnosti částice a prostředí, ve kterém se částice pohybující se. Například kinetická energie elektronu ve Fermiho plynu je dána vztahem

{\ displaystyle E = E_ {0} + {\ frac {\ doleva (\ hbar k \ doprava) ^ {2}} {2m}} \,}

kde m je hmotnost elektronu . Disperzní vztah je sféricky symetrická parabola a neustále roste, takže lze snadno vypočítat DOS.

Obrázek 2: Monatomický řetězový disperzní vztah fononu

Pro podélné fonony v řetězci atomů je disperzní vztah kinetické energie v 1rozměrném k -prostoru, jak je znázorněno na obrázku 2, dán vztahem

{\ displaystyle E = 2 \ hbar \ omega _ {0} \ left | \ sin \ left ({\ frac {ka} {2}} \ right) \ right |}

kde je frekvence oscilátoru, hmotnost atomů, konstanta meziatomové síly a meziatomové vzdálenosti. Pro malé hodnoty disperzní relace je spíše lineární: ${\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ sqrt {k _ {\ rm {F}} / m}}}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle k _ {\ rm {F}}}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle k \ ll \ pi / a}$

{\ displaystyle E = \ hbar \ omega _ {0} ka}

Když je energie ${\ displaystyle k \ cca \ pi / a}$

{\ displaystyle E = 2 \ hbar \ omega _ {0} \ left | \ cos \ left ({\ frac {\ pi -ka} {2}} \ right) \ right |}

S transformací a malou lze tento vztah transformovat na ${\ displaystyle q = k- \ pi / a}$ ${\ displaystyle q}$

{\ displaystyle E = 2 \ hbar \ omega _ {0} \ vlevo [1- \ vlevo ({\ frac {qa} {2}} \ vpravo) ^ {2} \ vpravo]}

Izotropní disperzní vztahy

Dva zde uvedené příklady lze vyjádřit jako

{\ displaystyle E = E_ {0} + c_ {k} k ^ {p}}

Tento výraz je jakousi disperzní relací, protože vzájemně souvisí se dvěma vlnovými vlastnostmi a je izotropní, protože ve výrazu se objevuje pouze délka a ne směr vlnového vektoru. Velikost vlnového vektoru souvisí s energií jako:

{\ displaystyle k = \ left ({\ frac {E-E_ {0}} {c_ {k}}} \ right) ^ {\ frac {1} {p}} \,}

Objem n-rozměrného k- prostoru obsahující vlnové vektory menší než k je tedy objem :

{\ displaystyle \ Omega _ {n} (k) = c_ {n} k ^ {n}}

Substituce vztahu izotropní energie udává objem obsazených stavů

{\ displaystyle \ Omega _ {n} (E) = {\ frac {c_ {n}} {{c_ {k}} ^ {\ frac {n} {p}}}}} \ left (E-E_ {0 } \ right) ^ {\ frac {n} {p}} \,}

Diferenciace tohoto objemu s ohledem na energii dává výraz pro DOS vztahu izotropní disperze

{\ displaystyle D_ {n} \ left (E \ right) = {\ frac {d} {dE}} \ Omega _ {n} (E) = {\ frac {nc_ {n}} {p {c_ {k }} ^ {\ frac {n} {p}}}} \ vlevo (E-E_ {0} \ vpravo) ^ {{\ frac {n} {p}} - 1}}

Parabolická disperze

Obrázek 3: DOS volného elektronu v trojrozměrném k-prostoru

V případě vztahu parabolické disperze ( p = 2), který platí pro volné elektrony ve Fermiho plynu, je výsledná hustota stavů pro elektrony v n-dimenzionálních systémech ${\ displaystyle D_ {n} \ vlevo (E \ vpravo)}$

{\ displaystyle {\ begin {aligned} D_ {1} \ left (E \ right) & = {\ frac {1} {\ sqrt {c_ {k} \ left (E-E_ {0} \ right)}} } \\ D_ {2} \ left (E \ right) & = {\ frac {\ pi} {c_ {k}}} \\ D_ {3} \ left (E \ right) & = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {E-E_ {0}} {c_ {k} ^ {3}}}} \. \ end {zarovnáno}}}

pro , s pro . ${\ displaystyle E> E_ {0}}$ ${\ displaystyle D (E) = 0}$ ${\ displaystyle E <E_ {0}}$

V jednorozměrných systémech se DOS rozbíhá ve spodní části pásma, když klesá . V 2-dimenzionálních systémech se DOS ukázal být nezávislý . Konečně pro trojrozměrné systémy DOS stoupá jako druhá odmocnina energie. ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle E_ {0}}$ ${\ displaystyle E}$

Včetně prefaktoru je výraz pro 3D DOS ${\ displaystyle s / V_ {k}}$

{\ displaystyle N (E) = {\ frac {V} {2 \ pi ^ {2}}} \ vlevo ({\ frac {2m} {\ hbar ^ {2}}} \ vpravo) ^ {\ frac { 3} {2}} {\ sqrt {E-E_ {0}}}}

,

kde je celkový objem a zahrnuje 2násobnou degeneraci spinu. ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle N (E-E_ {0})}$

Lineární disperze

V případě lineárního vztahu ( p = 1), který platí pro fotony , akustické fonony nebo pro některé speciální druhy elektronických pásů v pevné látce, souvisí DOS v 1, 2 a 3 dimenzionálních systémech s energií jako :

{\ displaystyle {\ begin {aligned} D_ {1} \ left (E \ right) & = {\ frac {1} {c_ {k}}} \\ D_ {2} \ left (E \ right) & = {\ frac {2 \ pi} {c_ {k} ^ {2}}} \ left (E-E_ {0} \ right) \\ D_ {3} \ left (E \ right) & = {\ frac { 4 \ pi} {c_ {k} ^ {3}}} \ vlevo (E-E_ {0} \ vpravo) ^ {2} \ end {zarovnáno}}}

Distribuční funkce

Hustota stavů hraje důležitou roli v kinetické teorii pevných látek . Produktem hustoty stavů a funkce rozdělení pravděpodobnosti je počet obsazených stavů na jednotku objemu při dané energii pro systém v tepelné rovnováze. Tato hodnota je široce používána pro zkoumání různých fyzikálních vlastností hmoty. Následuje příklad použití dvou běžných distribučních funkcí, jak aplikace distribuční funkce na hustotu stavů může vést k fyzikálním vlastnostem.

Obrázek 4: The Rozdělení pravděpodobnosti Fermi-Dirac, hustota států a jejich produkt pro polovodič. Dolní zelený lalok zobrazuje energii díry , a proto se používá jako distribuční funkce.

{\ displaystyle f (-x)}

Statistika Fermi – Dirac : Funkce distribuce pravděpodobnosti Fermi – Dirac, obr. 4, se používá k nalezení pravděpodobnosti, že fermion obsadí určitý kvantový stav v systému při tepelné rovnováze. Fermiony jsou částice, které se řídí Pauliho vylučovacím principem (např. Elektrony, protony, neutrony). Distribuční funkci lze zapsat jako

{\ displaystyle f _ {\ mathrm {FD}} (E) = {\ frac {1} {\ exp \ left ({\ frac {E- \ mu} {k _ {\ mathrm {B}} T}} \ vpravo ) +1}}}

.

${\ displaystyle \ mu}$ je chemický potenciál (označovaný také jako E _F a nazývaný Fermiho úroveň, když T = 0), je Boltzmannova konstanta a teplota. Obr. 4 ukazuje, jak produkt distribuční funkce Fermi-Dirac a trojrozměrná hustota stavů pro polovodič mohou poskytnout vhled do fyzikálních vlastností, jako je koncentrace nosiče a mezery v energetickém pásmu. ${\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}}}$ ${\ displaystyle T}$

Statistika Bose – Einstein : Funkce distribuce pravděpodobnosti Bose – Einstein se používá k nalezení pravděpodobnosti, že boson obsadí určitý kvantový stav v systému při tepelné rovnováze. Bosony jsou částice, které se neřídí Pauliho vylučovacím principem (např. Fonony a fotony). Distribuční funkci lze zapsat jako

{\ displaystyle f _ {\ mathrm {BE}} (E) = {\ frac {1} {\ exp \ left ({\ frac {E- \ mu} {k _ {\ rm {B}} T}} \ right ) -1}}}

Z těchto dvou distribucí je možné vypočítat vlastnosti, jako je vnitřní energie , počet částic , měrná tepelná kapacita a tepelná vodivost . Vztahy mezi těmito vlastnostmi a součinem hustoty stavů a rozdělení pravděpodobnosti, označující hustotu stavů místo , jsou dány vztahem ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle g (E)}$ ${\ displaystyle D (E)}$

{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} U & = \ int E \, f (E) \, g (E) \, {\ rm {d}} E \\ N & = \ int f (E) \, g ( E) \, {\ rm {d}} E \\ C & = {\ frac {\ částečné} {\ částečné T}} \ int E \, f (E) \, g (E) \, {\ rm { d}} E \\ k & = {\ frac {1} {d}} {\ frac {\ částečný} {\ částečný T}} \ int Ef (E) \, g (E) \, \ nu (E) \, \ Lambda (E) \, {\ rm {d}} E \ end {zarovnáno}}}

${\ displaystyle d}$ Je rozměrnost, je rychlost zvuku a je střední volná dráha . ${\ displaystyle \ nu}$ ${\ displaystyle \ Lambda}$

Aplikace

Hustota stavů se objevuje v mnoha oblastech fyziky a pomáhá vysvětlit řadu kvantově mechanických jevů.

Kvantování

Výpočet hustoty stavů pro malé struktury ukazuje, že distribuce elektronů se mění s redukcí dimenzionality. U kvantových drátů se DOS pro určité energie ve skutečnosti stává vyšší než DOS u objemových polovodičů a u kvantových teček se elektrony kvantizují na určité energie.

Fotonické krystaly

Hustotu fotonů stavů lze manipulovat pomocí periodických struktur s délkovými měřítky v řádu vlnové délky světla. Některé struktury mohou zcela bránit šíření světla určitých barev (energií) a vytvářet mezeru fotonického pásma: DOS je pro tyto fotonové energie nulový. Jiné struktury mohou bránit šíření světla pouze v určitých směrech a vytvářet zrcadla, vlnovody a dutiny. Takové periodické struktury jsou známé jako fotonické krystaly . V nanostrukturovaných médiích je koncept lokální hustoty států (LDOS) často důležitější než koncept DOS, protože DOS se od bodu k bodu značně liší.

Výpočetní výpočet

Zajímavé systémy jsou obecně složité, například sloučeniny, biomolekuly, polymery atd. Kvůli složitosti těchto systémů je analytický výpočet hustoty stavů ve většině případů nemožný. Počítačové simulace nabízejí sadu algoritmů pro vyhodnocení hustoty stavů s vysokou přesností. Jeden z těchto algoritmů se nazývá Wangův a Landauův algoritmus .

V rámci Wangova a Landauova schématu jsou vyžadovány jakékoli předchozí znalosti o hustotě států. Jeden postupuje následovně: nákladová funkce (například energie) systému je diskretizována. Pokaždé, když je dosaženo bin i, aktualizuje se histogram hustoty stavů o ${\ displaystyle g (i)}$

{\ displaystyle g (i) \ pravá šipka g (i) + f}

kde f se nazývá modifikační faktor. Jakmile je každý bin v histogramu navštíven určitý počet opakování (10–15), faktor modifikace se sníží o některé kritérium, například

{\ displaystyle f_ {n + 1} \ rightarrow {\ frac {1} {2}} f_ {n}}

kde n označuje n -tý krok aktualizace. Simulace končí, když je například faktor úpravy menší než určitá prahová hodnota . ${\ displaystyle f_ {n} <10 ^ {- 8}}$

Algoritmus Wang a Landau má oproti jiným běžným algoritmům, jako jsou multikanonické simulace a paralelní temperování, některé výhody . Například hustota stavů se získá jako hlavní produkt simulace. Simulace Wang a Landau jsou navíc zcela nezávislé na teplotě. Tato funkce umožňuje vypočítat hustotu stavů systémů s velmi drsnou energetickou krajinou, jako jsou proteiny.

Matematicky je hustota stavů formulována jako věž krycích map.

Místní hustota států

Důležitým rysem definice systému DOS je, že jej lze rozšířit na jakýkoli systém. Jednou z jeho vlastností je translační neměnnost, což znamená, že hustota stavů je homogenní a je stejná v každém bodě systému. Ale toto je jen konkrétní případ a LDOS poskytuje širší popis s heterogenní hustotou stavů v systému.

Pojem

Místní hustota stavů (LDOS) popisuje hustotu stavů vyřešenou v prostoru. Například ve vědě o materiálech je tento termín užitečný při interpretaci dat ze skenovacího tunelového mikroskopu (STM), protože tato metoda je schopná zobrazovat elektronové hustoty států s atomovým rozlišením. Podle krystalové struktury lze tuto veličinu předpovědět výpočetními metodami, například pomocí funkční teorie hustoty .

Obecná definice

V lokální hustotě stavů je příspěvek každého stavu vážen hustotou jeho vlnové funkce v bodě. se stává ${\ displaystyle N (E)}$ ${\ displaystyle n (E, x)}$

{\ displaystyle n (E, x) = \ součet _ {n} | \ phi _ {n} (x) | ^ {2} \ delta (E- \ varepsilon _ {n})}

faktor znamená, že každý stát přispívá více v regionech, kde je vysoká hustota. Průměrné překročení tohoto výrazu obnoví obvyklý vzorec pro DOS. LDOS je užitečný v nehomogenních systémech, kde obsahuje více informací než samostatně. ${\ displaystyle | \ phi _ {n} (x) | ^ {2}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle n (E, x)}$ ${\ displaystyle n (E)}$

Pro jednorozměrný systém se zdí dávají sinusové vlny

{\ displaystyle n_ {1D} (E, x) = {\ frac {2} {\ pi \ hbar}} {\ sqrt {\ frac {2m} {E}}} \ sin ^ {2} {kx}}

kde . ${\ displaystyle k = {\ sqrt {2mE}} / \ hbar}$

V trojrozměrném systému s výrazem je ${\ displaystyle x> 0}$

{\ displaystyle n_ {3D} (E, x) = \ left (1 - {\ frac {\ sin {2kx}} {2kx}} \ right) n_ {3D} (E)}

Ve skutečnosti můžeme zobecnit lokální hustotu stavů dále na

{\ displaystyle n (E, x, x ') = \ součet _ {n} \ phi _ {n} (x) \ phi _ {n} ^ {*} (x') \ delta (E- \ varepsilon _ {n})}

tomu se říká spektrální funkce a je to funkce s každou vlnovou funkcí zvlášť ve své vlastní proměnné. V pokročilejší teorii je spojena s funkcemi Green a poskytuje kompaktní zastoupení některých výsledků, jako je optická absorpce .

Vesmír vyřešil místní hustotu států. Sekvence obrazů s proměnlivým předpětím hradel v MOSFETu nanodrátů při předpětí odtoku Vd = 0,6V. Všimněte si omezených energetických hladin, jak se pohybují s rostoucí předpětí brány.

Polovodičová zařízení

LDOS lze použít k získání zisku do polovodičového zařízení. Například obrázek vpravo ilustruje LDOS tranzistoru, jak se zapíná a vypíná v balistické simulaci. LDOS má jasnou hranici ve zdroji a odtoku, což odpovídá umístění okraje pásma. V kanálu se DOS zvyšuje, jak se zvyšuje hradlové napětí a potenciální bariéra klesá.

Optika a fotonika

V optice a fotonice se koncept lokální hustoty stavů týká stavů, které mohou být obsazeny fotonem. U světla se obvykle měří fluorescenčními metodami, skenovacími metodami blízkého pole nebo katodoluminiscenčními technikami. U různých fotonických struktur mají LDOS odlišné chování a řídí spontánní emise různými způsoby. U fotonických krystalů se očekává téměř nulový LDOS, který způsobuje inhibici spontánní emise. LDOS jsou stále ve fotonických krystalech, ale nyní jsou v dutině. V tomto případě může být LDOS mnohem vylepšenější a jsou úměrné vylepšení Purcell spontánní emise. Podobné zlepšení LDOS se také očekává v plazmonické dutině. V neuspořádaných fotonických nanostrukturách se však LDOS chovají odlišně. Kolísají prostorově a jejich statistika je úměrná rozptylové síle struktur. Kromě toho je vztah se střední volnou cestou rozptylu triviální, protože LDOS může být stále silně ovlivněn krátkými detaily silných poruch ve formě silného zvýšení emise Purcellu. a konečně, u plazmonické poruchy je tento účinek mnohem silnější pro fluktuace LDOS, protože jej lze pozorovat jako silnou lokalizaci blízkého pole.

Viz také

Reference

Další čtení

Chen, Gang. Transport a přeměna energie v nanoměřítku. New York: Oxford, 2005
Streetman, Ben G. a Sanjay Banerjee. Elektronická zařízení v pevné fázi. Horní sedlo, NJ: Prentice Hall, 2000.
Muller, Richard S. a Theodore I. Kamins. Elektronika zařízení pro integrované obvody. New York: John Wiley and Sons, 2003.
Kittel, Charles a Herbert Kroemer. Tepelná fyzika. New York: WH Freeman and Company, 1980
Sze, Simon M. Fyzika polovodičových součástek. New York: John Wiley and Sons, 1981

externí odkazy

Online přednáška: ECE 606 Přednáška 8: Hustota států M. Alam
Vědci osvětlili zářící materiály Jak měřit fotonický LDOS

Languages

In other projects