Diamantová krychle - Diamond cubic

Rotující model diamantové krychlové krystalové struktury
3D model diamantové mřížky typu koule a hůl
Pól ve stereografické projekci diamantové mřížky ukazující trojnásobnou symetrii ve směru [111]

Diamant krychlový krystalová struktura je opakující se vzor 8 atomů, že některé materiály mohou přijmout, jak se ztuhnout. Zatímco první známý příklad byl diamant , ostatní prvky ve skupině 14 rovněž přijmout tuto strukturu, včetně a-cínu , na polovodičů křemík a germanium , a křemík-germanium slitin v jakémkoliv poměru. Existují také krystaly, jako je vysokoteplotní forma cristobalitu , které mají podobnou strukturu, s jedním druhem atomu (jako je křemík v cristobalitu) v polohách atomů uhlíku v diamantu, ale s jiným druhem atomu (jako např. kyslík) na půli cesty mezi nimi (viz Kategorie: Minerály ve vesmírné skupině 227 ).

Ačkoli se tato struktura často nazývá diamantová mřížka , není to mřížka v technickém smyslu tohoto slova používaného v matematice.

Krystalografická struktura

Vizualizace diamantové krychlové jednotkové buňky: 1. Součásti jednotkové buňky, 2. Jedna buňka, 3. Mřížka 3 × 3 × 3 jednotkových buněk

Diamondova kubická struktura je v prostorové skupině Fd 3 m ( skupina prostorů 227), která navazuje na kubickou mřížku Bravais zaměřenou na obličej . Mřížka popisuje opakující se vzor; u diamantových krychlových krystalů je tato mřížka „ozdobena“ motivem dvou čtyřstěnně vázaných atomů v každé primitivní buňce , oddělených1/4šířky jednotkové buňky v každé dimenzi. Na diamantovou mřížku lze pohlížet jako na dvojici protínajících se kubických mříží se středem tváří , přičemž každá je oddělena1/4šířky jednotkové buňky v každé dimenzi. Mnoho sloučeninových polovodičů , jako je arsenid galia , β- karbid křemíku a antimonid india, přijímá analogickou strukturu zinku , kde každý atom má nejbližší sousedy odlišného prvku. Prostorová skupina Zincblende je F 4 3m, ale mnoho jejích strukturních vlastností je velmi podobné diamantové struktuře.

Atomová balení faktor z kubické struktury diamantu (podíl prostoru, který by byl zaplněn oblastech, které jsou zaměřeny na vrcholech konstrukce a jsou tak velké, jak je to možné bez překrývání) jeπ 3/16≈ 0,34, výrazně menší (což naznačuje méně hustou strukturu) než faktory balení pro krychlové mříže zaměřené na obličej a na tělo . Struktury zincblende mají vyšší faktory balení než 0,34 v závislosti na relativních velikostech jejich dvousložkových atomů.

Vzdálenosti prvního, druhého, třetího, čtvrtého a pátého nejbližšího souseda v jednotkách konstanty krychlové mřížky jsou 3/4, 2/2, 11/4, 1 a 19/4, resp.

Matematická struktura

Matematicky lze bodům diamantové krychlové struktury přiřadit souřadnice jako podmnožinu trojrozměrné celočíselné mřížky pomocí buňky krychlové jednotky o čtyřech jednotkách napříč. S těmito souřadnicemi mají body struktury souřadnice ( xyz ) splňující rovnice

x = y = z (mod 2) a
x + y + z = 0 nebo 1 (mod 4).

Existuje osm bodů (modulo 4), které splňují tyto podmínky:

(0,0,0), (0,2,2), (2,0,2), (2,2,0),
(3,3,3), (3,1,1), (1,3,1), (1,1,3)

Všechny ostatní body ve struktuře lze získat přidáním násobků čtyř do souřadnic x , y a z těchto osmi bodů. Sousední body v této struktuře jsou v celočíselné mřížce ve vzdálenosti 3 od sebe; okraje diamantové struktury leží podél tělesových úhlopříček kostek celočíselné mřížky. Tato struktura může být zmenšen na krychlové jednotkové buňky, která je nějaké číslo A jednotek přes vynásobením všechny souřadnice podle A/4.

Alternativně může být každý bod diamantové krychlové struktury dán čtyřrozměrnými celočíselnými souřadnicemi, jejichž součet je buď nula nebo jedna. Dva body sousedí v diamantové struktuře právě tehdy, pokud se jejich čtyřrozměrné souřadnice v jedné souřadnici liší o jeden. Celkový rozdíl v hodnotách souřadnic mezi libovolnými dvěma body (jejich čtyřrozměrná vzdálenost na Manhattanu ) udává počet hran v nejkratší cestě mezi nimi v diamantové struktuře. Čtyři nejbližší sousedy každého bodu lze v tomto souřadnicovém systému získat přidáním jedné ke každé ze čtyř souřadnic nebo odečtením jedné od každé ze čtyř souřadnic, protože součet souřadnic je nula nebo jedna. Tyto čtyřrozměrné souřadnice lze pomocí vzorce převést na trojrozměrné souřadnice

( a , b , c , d ) → ( a + b - c - d , a - b + c - d , - a + b + c - d ).

Protože diamantová struktura tvoří podmnožinu čtyřrozměrné celočíselné mřížky zachovávající vzdálenost , jedná se o částečnou krychli .

Ještě další koordinace diamantové krychle zahrnuje odstranění některých hran z trojrozměrného mřížkového grafu. V této koordinatizaci, která má zkreslenou geometrii od standardní diamantové krychlové struktury, ale má stejnou topologickou strukturu, jsou vrcholy diamantové krychle reprezentovány všemi možnými body 3d mřížky a hrany diamantové krychle jsou reprezentovány podmnožinou 3D hrany mřížky.

Diamantová krychle se někdy nazývá „diamantová mřížka“, ale matematicky to není mřížka : neexistuje translační symetrie, která by například přenesla bod (0,0,0) do bodu (3,3,3) . Nicméně, to je ještě velmi symetrická struktura: jakýkoliv incident dvojice vrcholu a hrany mohou být transformovány do jiných dopadajícího páru o kongruencí z euklidovském prostoru . Diamantový krystal jako síť ve vesmíru má navíc silnou izotropní vlastnost. Totiž pro jakékoli dva vrcholy x a y krystalové sítě a pro jakékoli uspořádání hran sousedících s x a jakékoli uspořádání hran sousedících s y existuje shoda zachovávající síť, přičemž x na y a každý x -okraj na podobně objednaný y -okraj. Dalším (hypotetickým) krystalem s touto vlastností je Lavesův graf (také nazývaný krystal K 4 , (10,3) -a nebo diamantové dvojče).

Mechanické vlastnosti

Pevnost v tlaku a tvrdost diamantu a různých dalších materiálů, jako je nitrid boru (který má blízkou strukturu zinku ) je přičítána diamantové krychlové struktuře.

Příklad diamantového krychlového příhradového systému odolávajícího stlačení

Podobně příhradové systémy, které následují diamantovou krychlovou geometrii, mají vysokou schopnost odolat stlačení tím, že minimalizují nevyztuženou délku jednotlivých vzpěr . Diamantová kubická geometrie byla také zvažována za účelem zajištění strukturální tuhosti, i když se ukázalo, že pro tento účel jsou účinnější struktury složené ze skeletových trojúhelníků , jako je například oktetový vazník .

Viz také

Reference

externí odkazy

  • Média související s Diamond Cubic na Wikimedia Commons
  • Software pro konstrukci samovolných náhodných procházek po diamantové krychlové mřížce