Diferencovatelná funkce - Differentiable function

Diferencovatelná funkce

V matematice je diferencovatelnou funkcí jedné skutečné proměnné funkce, jejíž derivace existuje v každém bodě její domény . Jinými slovy, graf z diferencovatelné funkce má non- vertikální tečny na každém vnitřním bodu ve svém oboru. Diferencovatelná funkce je hladká (funkce je místně dobře aproximována jako lineární funkce v každém vnitřním bodě) a neobsahuje žádný zlom, úhel ani hrot .

Pokud $x 0$ je vnitřní bod v oblasti funkce $f$ , pak se $f$ říká, že je diferencovatelný v $x 0,$ pokud derivát existuje. Jinými slovy, graf $f$ má v bodě nesvislou tečnou $($ $x$ $0$ $,$ $f$ $($ $x$ $0$ $))$ . ${\ displaystyle f '(x_ {0})}$

Diferencovatelnost reálných funkcí jedné proměnné

Funkce definovaná v otevřené sadě je diferencovatelná v případě, že je derivátem ${\ Displaystyle f: U \ subset \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle a \ v U}$

{\ Displaystyle f '(a) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a+h) -f (a)} {h}}}

existuje. To znamená, že funkce je spojitá v $a$ .

Tato funkce $f$ je diferencovatelná na $U$ , pokud je diferencovatelná v každém bodě $U$ . V tomto případě je tedy derivace $f$ funkcí od $U$ do ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

Diferencovatelná funkce je nutně spojitá (v každém bodě, kde je diferencovatelná). Je spojitě diferencovatelný, pokud je jeho derivát také spojitou funkcí.

Odlišitelnost a kontinuita

Funkce absolutní hodnoty je spojitá (tj. Nemá žádné mezery). Je diferencovatelný všude kromě bodu

x

= 0, kde při překročení osy

y

prudce zatáčí.

Hrot na grafu spojité funkce. Na nule je funkce spojitá, ale není diferencovatelná.

Pokud je $f$ diferencovatelné v bodě $x 0$ , pak $f$ musí být také spojité v $x 0$ . Zejména každá diferencovatelná funkce musí být spojitá v každém bodě její domény. Konverze neplatí : spojitá funkce nemusí být odlišitelná. Například funkce s ohybem, vrcholem nebo svislou tečnou může být spojitá, ale v místě anomálie není odlišitelná.

Většina funkcí, které se v praxi vyskytují, má deriváty ve všech bodech nebo téměř v každém bodě. Výsledek Stefana Banacha však uvádí, že množina funkcí, které mají v určitém bodě derivaci, je v prostoru všech spojitých funkcí mizivou množinou . Neformálně to znamená, že diferencovatelné funkce jsou mezi spojitými funkcemi velmi atypické. Prvním známým příkladem funkce, která je spojitá všude, ale nikde ji nelze odlišit, je funkce Weierstrass .

Třídy diferenciace

Diferencovatelné funkce lze lokálně aproximovat lineárními funkcemi.

Funkce s pro a je odlišitelná. Tato funkce však není průběžně odlišitelná.

{\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}

{\ Displaystyle f (x) = x^{2} \ sin \ left ({\ tfrac {1} {x}} \ right)}

{\ displaystyle x \ neq 0}

{\ displaystyle f (0) = 0}

Říká se, že funkce je ${\ displaystyle f}$ spojitě diferencovatelný, pokud derivátexistuje a sám je spojitou funkcí. Ačkoli derivát diferencovatelné funkce nikdy nemáskokovou diskontinuitu, je možné, že derivace má zásadní diskontinuitu. Například funkce ${\ displaystyle f^{\ prime} (x)}$

{\ Displaystyle f (x) \; = \; {\ begin {cases} x^{2} \ sin (1/x) & {\ text {if}} x \ neq 0 \\ 0 & {\ text {if }} x = 0 \ end {případů}}}

je diferencovatelný na 0, protože

{\ Displaystyle f '(0) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ left ({\ frac {\ varepsilon ^{2} \ sin (1/\ varepsilon) -0} {\ varepsilon}} \ right ) = 0,}

existuje. Nicméně, pro pravidla diferenciace vyplývá,

{\ Displaystyle x \ neq 0,}

{\ Displaystyle f '(x) = 2x \ sin (1/x)-\ cos (1/x)}

který nemá žádné omezení, nicméně Darbouxova věta naznačuje, že derivace jakékoli funkce splňuje závěr věty o mezilehlých hodnotách .

{\ Displaystyle x \ až 0.}

Podobně tomu, jak kontinuální funkce se uvádí, že z třídy ${\ displaystyle C^{0},}$ nepřetržitě derivací funkce jsou někdy označována jako třída ${\ Displaystyle C^{1}.}$ funkcí A je z třídy ${\ displaystyle C^{2}}$ v případě, že první a druhá derivace funkce jak existují a jsou spojité. Obecněji se o funkci říká, že má třídu, ${\ displaystyle C^{k}}$ pokud všechny první derivace existují a jsou spojité. Pokud pro všechna kladná celá čísla existují deriváty , funkce je

plynulá nebo ekvivalentní třídy

{\ displaystyle k}

{\ Displaystyle f^{\ prime} (x), f^{\ prime \ prime} (x), \ ldots, f^{(k)} (x)}

{\ displaystyle f^{(n)}}

{\ displaystyle n,}

${\ Displaystyle C^{\ infty}.}$

Rozlišitelnost ve vyšších dimenzích

Funkce více proměnných $f : R m \to R n$ se říká, že je diferencovatelná v bodě $x 0$ , pokud existuje na lineární mapu $J : R m \to R n$ takové, že

{\ Displaystyle \ lim _ {\ mathbf {h} \ to \ mathbf {0}} {\ frac {\ | \ mathbf {f} (\ mathbf {x_ {0}} +\ mathbf {h})-\ mathbf {f} (\ mathbf {x_ {0}})-\ mathbf {J} \ mathbf {(h)} \ | _ {\ mathbf {R} ^{n}}} {\ | \ mathbf {h} \ | _ {\ mathbf {R} ^{m}}}} = 0.}

Pokud je funkce diferencovatelná v $x 0$ , pak všechny parciální derivace existují v $x 0$ a lineární mapa $J$ je dána jakobiánskou maticí . Podobnou formulaci vyšší dimenzionální derivace poskytuje základní přírůstkové lemma nalezené v kalkulu s jednou proměnnou.

Pokud všechny parciální derivace funkce existují v sousedství bodu $x 0$ a jsou spojité v bodě $x 0$ , pak je funkce v tomto bodě $x 0$ diferencovatelná .

Existence dílčích derivací (nebo dokonce všech směrových derivací ) však obecně nezaručuje, že je funkce v určitém bodě odlišitelná. Například funkce $f : R 2 \to R$ definována pomocí

{\ Displaystyle f (x, y) = {\ begin {cases} x & {\ text {if}} y \ neq x^{2} \\ 0 & {\ text {if}} y = x^{2} \ end {cases}}}

není diferencovatelný v $(0, 0)$ , ale všechny parciální derivace a směrové derivace v tomto bodě existují. Pro souvislý příklad funkce

{\ Displaystyle f (x, y) = {\ begin {cases} y^{3}/(x^{2}+y^{2}) & {\ text {if}} (x, y) \ neq (0,0) \\ 0 & {\ text {if}} (x, y) = (0,0) \ end {případy}}}

není diferencovatelné v $(0, 0)$ , ale opět existují všechny parciální derivace a směrové derivace.

Diferencovatelnost v komplexní analýze

V komplexní analýze je komplexová diferencovatelnost definována pomocí stejné definice jako reálné funkce s jednou proměnnou. To umožňuje možnost dělení komplexních čísel. Říká se tedy, že funkce je diferencovatelná, když ${\ Displaystyle f: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle x = a}$

{\ Displaystyle f '(a) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a+h) -f (a)} {h}}.}

Ačkoli tato definice vypadá podobně jako odlišitelnost reálných funkcí s jednou proměnnou, je to však restriktivnější podmínka. Funkce , která je v určitém bodě komplexně diferencovatelná, je v tomto bodě automaticky diferencovatelná, pokud je zobrazena jako funkce . Důvodem je, že to znamená složitá odlišnost ${\ Displaystyle f: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle x = a}$ ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^{2} \ to \ mathbb {R} ^{2}}$

{\ Displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {| f (a+h) -f (a) -f '(a) h |} {| h |}} = 0.}

Funkce však může být diferencovatelná jako funkce s více proměnnými, aniž by byla komplexně diferencovatelná. Například je diferencovatelný v každém bodě, vnímán jako 2-proměnná reálná funkce , ale není komplexně diferencovatelný v žádném bodě. ${\ Displaystyle f: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f (z) = {\ frac {z+{\ overline {z}}} {2}}}$ ${\ Displaystyle f (x, y) = x}$

Jakákoli funkce, která je komplexně diferencovatelná v sousedství bodu, se v tomto bodě nazývá holomorfní . Taková funkce je nutně nekonečně odlišitelná a ve skutečnosti analytická .

Diferencovatelné funkce na sběrných potrubích

Pokud M je diferencovatelná potrubí , skutečný nebo komplexní hodnotou funkce f na M se říká, že je diferencovatelná v bodě P, pokud je diferencovatelná s ohledem na některé (nebo všechna) koordinuje graf definovaný kolem p . Obecněji řečeno, pokud M a N jsou diferencovatelné rozmanité funkce, funkce f : M → N se říká, že je diferencovatelná v bodě p, pokud je diferencovatelná vzhledem k některým (nebo jakýmkoli) souřadnicovým grafům definovaným kolem p a f ( p ).

Languages

In other projects