Diferenciální rovnice - Differential equation

Vizualizace přenosu tepla v plášti čerpadla, vytvořená řešením tepelné rovnice . Teplo je generováno interně v plášti a ochlazováno na hranici, což zajišťuje rovnoměrné rozložení teploty.

V matematice, diferenciální rovnice je rovnice , která se týká jedné nebo více funkcí, a jejich deriváty . V aplikacích funkce obecně představují fyzikální veličiny, deriváty představují jejich rychlost změny a diferenciální rovnice definuje vztah mezi nimi. Takové vztahy jsou běžné; diferenciální rovnice proto hrají významnou roli v mnoha oborech, včetně inženýrství , fyziky , ekonomie a biologie .

Studium diferenciálních rovnic se skládá hlavně ze studia jejich řešení (množina funkcí, které splňují každou rovnici) a vlastností jejich řešení. Pouze nejjednodušší diferenciální rovnice jsou řešitelné explicitními vzorci; nicméně mnoho vlastností řešení dané diferenciální rovnice může být určeno bez jejich přesného výpočtu.

Často, když není pro řešení k dispozici uzavřený výraz , lze řešení aproximovat numericky pomocí počítačů. Teorie dynamických systémů klade důraz na kvalitativní analýzu systémů popsaných diferenciálními rovnicemi, zatímco mnoho numerické metody byly vyvinuty s cílem určit řešení s daným stupněm přesnosti.

Dějiny

Diferenciální rovnice nejprve vstoupil do existence s vynálezem počtu podle Newtona a Leibniz . V kapitole 2 své práce z roku 1671 Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum uvedl Isaac Newton tři druhy diferenciálních rovnic:

Ve všech těchto případech y je neznámá funkce x (nebo x 1 a x 2 ) a f je daná funkce.

Tyto a další příklady řeší pomocí nekonečných řad a diskutuje o nejedinečnosti řešení.

Jacob Bernoulli navrhl Bernoulliho diferenciální rovnici v roce 1695. Toto je obyčejná diferenciální rovnice tvaru

pro který následující rok Leibniz získal řešení jeho zjednodušením.

Historicky problém vibrujících strun, jako je problém hudebního nástroje, studovali Jean le Rond d'Alembert , Leonhard Euler , Daniel Bernoulli a Joseph-Louis Lagrange . V roce 1746 objevil d'Alembert jednorozměrnou vlnovou rovnici a do deseti let Euler objevil trojrozměrnou vlnovou rovnici.

Euler-Lagrangeova rovnice byla vyvinuta v 1750s Euler a Lagrange v souvislosti s jejich studií tautochrone problému. Toto je problém určení křivky, na které vážená částice spadne do pevného bodu v pevně stanoveném čase, nezávisle na počátečním bodě. Lagrange tento problém vyřešil v roce 1755 a poslal řešení Eulerovi. Oba dále rozvíjeli Lagrangeovu metodu a aplikovali ji na mechaniku , což vedlo k formulaci Lagrangeovy mechaniky .

V roce 1822 Fourier publikoval svou práci o tepelném toku v Théorie analytique de la chaleur (Analytická teorie tepla), ve které své úvahy založil na Newtonově zákonu ochlazování , a sice, že tok tepla mezi dvěma sousedními molekulami je úměrný extrémně malý rozdíl jejich teplot. V této knize byl obsažen Fourierův návrh jeho tepelné rovnice pro vodivou difúzi tepla. Tuto parciální diferenciální rovnici nyní vyučuje každý student matematické fyziky.

Příklad

V klasické mechanice je pohyb tělesa popisován jeho polohou a rychlostí, jak se mění časová hodnota. Newtonovy zákony umožňují tyto proměnné vyjádřit dynamicky (vzhledem k poloze, rychlosti, zrychlení a různým silám působícím na těleso) jako diferenciální rovnici pro neznámou polohu tělesa jako funkci času.

V některých případech lze tuto diferenciální rovnici (nazývanou pohybová rovnice ) vyřešit výslovně.

Příkladem modelování problému reálného světa pomocí diferenciálních rovnic je stanovení rychlosti koule padající vzduchem, přičemž se zohledňuje pouze gravitace a odpor vzduchu. Zrychlení míče směrem k zemi je zrychlení v důsledku gravitace minus zpomalení v důsledku odporu vzduchu. Gravitace je považována za konstantní a odpor vzduchu lze modelovat jako úměrný rychlosti míče. To znamená, že zrychlení míče, které je derivací jeho rychlosti, závisí na rychlosti (a rychlost závisí na čase). Nalezení rychlosti jako funkce času zahrnuje řešení diferenciální rovnice a ověření její platnosti.

Typy

Diferenciální rovnice lze rozdělit do několika typů. Kromě popisu vlastností samotné rovnice mohou tyto třídy diferenciálních rovnic pomoci informovat o výběru přístupu k řešení. Běžně používané rozlišení zahrnují, zda je rovnice obyčejná nebo částečná, lineární nebo nelineární a homogenní nebo heterogenní. Tento seznam není zdaleka vyčerpávající; existuje mnoho dalších vlastností a podtříd diferenciálních rovnic, které mohou být velmi užitečné v konkrétních kontextech.

Běžné diferenciální rovnice

Obyčejná diferenciální rovnice ( ODE ) je rovnice obsahující neznámé funkce jedné reálné nebo komplexní proměnné x , jeho deriváty, a některé daných funkcí x . Neznámá funkce je obecně reprezentována proměnnou (často označovanou y ), která tedy závisí na x . Proto je x často nazýváno nezávislou proměnnou rovnice. Termín " obyčejný " je použit v kontrastu s termínem parciální diferenciální rovnice , která může být s ohledem na více než jednu nezávislou proměnnou.

Lineární diferenciální rovnice jsou diferenciální rovnice, které jsou lineární v neznámé funkci a jejích derivátech. Jejich teorie je dobře rozvinutá a v mnoha případech lze vyjádřit jejich řešení pomocí integrálů .

Většina ODE, se kterými se ve fyzice setkáváme, je lineární. Proto lze většinu speciálních funkcí definovat jako řešení lineárních diferenciálních rovnic (viz holonomická funkce ).

Protože řešení diferenciální rovnice obecně nelze vyjádřit výrazem v uzavřené formě , k řešení diferenciálních rovnic na počítači se běžně používají numerické metody .

Dílčí diferenciální rovnice

Parciální diferenciální rovnice ( PDE ) je diferenciální rovnice, který obsahuje neznámé více proměnných a jejich parciální derivace . (To je na rozdíl od běžných diferenciálních rovnic , které se zabývají funkcemi jedné proměnné a jejich derivátů.) PDE se používají k formulaci problémů zahrnujících funkce několika proměnných a jsou buď řešeny v uzavřené formě, nebo se používají k vytvoření příslušného počítače model .

PDE lze použít k popisu široké škály přírodních jevů, jako je zvuk , teplo , elektrostatika , elektrodynamika , tok tekutin , elasticita nebo kvantová mechanika . Tyto zdánlivě odlišné fyzikální jevy mohou být formalizovány podobně, pokud jde o PDE. Stejně jako běžné diferenciální rovnice často modelují jednorozměrné dynamické systémy , parciální diferenciální rovnice často modelují vícerozměrné systémy . Stochastické parciální diferenciální rovnice generalizují parciální diferenciální rovnice pro modelování náhodnosti .

Nelineární diferenciální rovnice

Nelineární diferenciální rovnice je diferenciální rovnice, která není lineární rovnice v neznámé funkce a její deriváty (linearita nebo nelinearita v argumenty funkce zde nejsou uvažovány). Existuje jen velmi málo metod řešení nelineárních diferenciálních rovnic přesně; ty, které jsou známé, obvykle závisí na rovnici, která má konkrétní symetrii . Nelineární diferenciální rovnice mohou vykazovat velmi komplikované chování po delší časové intervaly, charakteristické pro chaos . Dokonce i základní otázky existence, jedinečnosti a rozšiřitelnosti řešení pro nelineární diferenciální rovnice a dobře položená počáteční a mezní hodnota problémů pro nelineární PDE jsou těžké problémy a jejich řešení ve zvláštních případech je považováno za významný pokrok v matematice teorie (srov. Navier – Stokesova existence a hladkost ). Pokud je však diferenciální rovnice správně zformulovanou reprezentací smysluplného fyzikálního procesu, pak člověk očekává, že bude mít řešení.

Lineární diferenciální rovnice se často jeví jako aproximace nelineárních rovnic. Tyto aproximace jsou platné pouze za omezených podmínek. Například rovnice harmonického oscilátoru je aproximací nelineární kyvadlové rovnice, která platí pro oscilace s malou amplitudou (viz níže).

Pořadí rovnic

Diferenciální rovnice jsou popsány podle jejich pořadí, určeného výrazem s nejvyššími derivacemi . Rovnice obsahující pouze první derivace je diferenciální rovnicí prvního řádu , rovnice obsahující druhou derivaci je diferenciální rovnicí druhého řádu atd. Diferenciální rovnice, které popisují přírodní jevy, mají téměř vždy pouze deriváty prvního a druhého řádu, ale existují určité výjimky, například rovnice tenkého filmu , což je parciální diferenciální rovnice čtvrtého řádu.

Příklady

V první skupině příkladů u je neznámá funkce x a c a ω jsou konstanty, které mají být známy. Dvě široké klasifikace obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic sestávají z rozlišení lineárních a nelineárních diferenciálních rovnic a mezi homogenními diferenciálními rovnicemi a heterogenními .

  • Heterogenní lineární konstantní koeficient prvního řádu obyčejná diferenciální rovnice:
  • Homogenní lineární obyčejná diferenciální rovnice druhého řádu:
  • Homogenní lineární konstantní koeficient druhého řádu obyčejná diferenciální rovnice popisující harmonický oscilátor :
  • Heterogenní nelineární obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu:
  • Nelineární (v důsledku sinusové funkce) druhého řádu obyčejná diferenciální rovnice popisující pohyb kyvadla délky L :

V další skupině příkladů závisí neznámá funkce u na dvou proměnných x a t nebo x a y .

  • Homogenní lineární parciální diferenciální rovnice prvního řádu:
  • Homogenní parciální diferenciální rovnice lineárního konstantního koeficientu druhého řádu eliptického typu, Laplaceova rovnice :
  • Homogenní nelineární parciální diferenciální rovnice třetího řádu:

Existence řešení

Řešení diferenciálních rovnic není jako řešení algebraických rovnic . Nejen, že jejich řešení jsou často nejasná, ale také to, zda jsou řešení jedinečná nebo vůbec existují, jsou také pozoruhodnými předměty zájmu.

Pro problémy s počáteční hodnotou prvního řádu uvádí Peanova věta o existenci jednu sadu okolností, za nichž existuje řešení. Vzhledem k jakémukoli bodu v rovině xy definujte nějakou obdélníkovou oblast , jako je a je uvnitř . Pokud dostaneme diferenciální rovnici a podmínku, že kdy , pak existuje lokálně řešení tohoto problému, pokud a oba jsou spojité na . Toto řešení existuje v určitém intervalu se středem v . Řešení nemusí být jedinečné. ( Další výsledky viz Běžná diferenciální rovnice .)

To nám však pomáhá pouze s počátečními problémy s počáteční hodnotou . Předpokládejme, že máme lineární problém počáteční hodnoty n -tého řádu:

takové to

Pro všechny nenulové , pokud a jsou spojité v nějakém intervalu obsahujícím , je jedinečné a existuje.

Související pojmy

Spojení s diferenciálními rovnicemi

Teorie diferenciálních rovnic úzce souvisí s teorií diferenciálních rovnic , ve které souřadnice předpokládají pouze diskrétní hodnoty a vztah zahrnuje hodnoty neznámé funkce nebo funkcí a hodnoty na blízkých souřadnicích. Mnoho metod pro výpočet numerických řešení diferenciálních rovnic nebo studium vlastností diferenciálních rovnic zahrnuje aproximaci řešení diferenciální rovnice řešením odpovídající diferenciální rovnice.

Aplikace

Studium diferenciálních rovnic je široký obor v čisté a aplikované matematice , fyzice a strojírenství . Všechny tyto disciplíny se zabývají vlastnostmi diferenciálních rovnic různých typů. Čistá matematika se zaměřuje na existenci a jedinečnost řešení, zatímco aplikovaná matematika klade důraz na přísné zdůvodnění metod pro sbližování řešení. Diferenciální rovnice hrají důležitou roli při modelování prakticky každého fyzického, technického nebo biologického procesu, od nebeského pohybu, přes návrh můstku až po interakce mezi neurony. Diferenciální rovnice, jako jsou ty, které se používají k řešení problémů v reálném životě, nemusí být nutně přímo řešitelné, tj. Nemají řešení v uzavřené formě . Místo toho lze řešení aproximovat pomocí numerických metod .

Mnoho základních fyzikálních a chemických zákonů lze formulovat jako diferenciální rovnice. V biologii a ekonomii se k modelování chování komplexních systémů používají diferenciální rovnice . Matematická teorie diferenciálních rovnic se nejprve vyvinula společně s vědami, kde rovnice vznikly a kde výsledky našly uplatnění. Různé problémy, někdy pocházející z docela odlišných vědeckých oborů, však mohou vést ke vzniku stejných diferenciálních rovnic. Kdykoli k tomu dojde, lze na matematickou teorii za rovnicemi pohlížet jako na sjednocující princip různých jevů. Jako příklad uvažujme šíření světla a zvuku v atmosféře a vln na hladině rybníka. Všechny je lze popsat stejnou parciální diferenciální rovnicí druhého řádu , vlnovou rovnicí , která nám umožňuje považovat světlo a zvuk za formy vln, podobně jako známé vlny ve vodě. Vedení tepla, jehož teorii vytvořil Joseph Fourier , se řídí jinou parciální diferenciální rovnicí druhého řádu, tepelnou rovnicí . Ukazuje se, že mnoho difúzních procesů, i když jsou zdánlivě odlišné, je popsáno stejnou rovnicí; Black-Scholes rovnice v oblasti financí je například vztahující se k rovnici vedení tepla.

Počet diferenciálních rovnic, které v různých vědeckých oblastech obdržely název, je důkazem důležitosti tohoto tématu. Viz Seznam pojmenovaných diferenciálních rovnic .

Software

Některé CAS aplikace mohou řešit diferenciální rovnice. Za zmínku stojí tyto CAS software a jejich příkazy:

Viz také

Reference

Další čtení

externí odkazy