Diferenciální topologie - Differential topology

V matematice , diferenciální topologie je pole, které se zabývají topologické vlastnosti a hladký vlastnosti na hladkých varietách . V tomto smyslu je diferenciální topologie odlišná od úzce související oblasti diferenciální geometrie , která se týká geometrických vlastností hladkých potrubí, včetně pojmů velikosti, vzdálenosti a tuhého tvaru. Pro srovnání se diferenciální topologie zabývá hrubšími vlastnostmi, jako je počet otvorů v potrubí, typ homotopy nebo topologie skupiny diffeomorphism . Protože mnoho z těchto hrubších vlastností může být zachyceno algebraicky , má diferenciální topologie silné vazby na algebraickou topologii .

Teorii Morse funkce výšky podniku na torus můžete popsat svůj homotopy typ .

Ústředním cílem oboru diferenciální topologie je klasifikace všech hladkých potrubí až po diffeomorfismus . Vzhledem k tomu, že dimenze je invariantem hladkých potrubí až po typ diffeomorfismu, je tato klasifikace často studována klasifikací ( spojených ) potrubí v každé dimenzi zvlášť:

V dimenzi 1 jsou jedinými hladkými rozdělovači až do diffeomorfismu kruh , skutečná číselná řada a umožňující hranici , polouzavřený interval a plně uzavřený interval . ${\ Displaystyle [0,1)}$ ${\ Displaystyle [0,1]}$
V dimenzi 2 je každý uzavřený povrch klasifikován až na diffeomorfismus podle svého rodu , počtu otvorů (nebo ekvivalentně podle jeho Eulerovy charakteristiky ) a podle toho, zda je orientovatelný či nikoli . Toto je slavná klasifikace uzavřených povrchů . Již ve druhé dimenzi se klasifikace nekompaktních povrchů stává obtížnou kvůli existenci exotických prostor, jako je Jacobův žebřík .
V dimenzi 3, William Thurston ‚S geometrization domněnka , svědčí Grigorij Perelman , dává částečnou klasifikaci kompaktních tří variet. Součástí této věty je Poincaréova domněnka , která říká, že jakýkoli uzavřený, jednoduše spojený trojdílný potrubí je homeomorfní (a ve skutečnosti diffeomorfní) do 3 sféry .

Cobordism ( W , M , N ), který zobecňuje ponětí o difeomorfismus.

Od dimenze 4 je klasifikace mnohem obtížnější ze dvou důvodů. Za prvé, každá konečně představená skupina se jeví jako základní skupina nějakého 4-varietního , a protože základní skupina je diffeomorphism invariantní, dělá to klasifikaci 4-variet různou stejně obtížnou jako klasifikace finálně prezentovaných skupin. Na problém slovo pro skupiny , která je ekvivalentní k váhavý problém , že je nemožné zařadit takové skupiny, takže celý topologický zařazení je nemožné. Za druhé, počínaje čtvrtou dimenzí je možné mít hladké rozvody, které jsou homeomorfní, ale s výraznými nediomoromickými hladkými strukturami . To platí i pro euklidovský prostor , který připouští mnoho exotických struktur. To znamená, že studium diferenciální topologie v dimenzích 4 a vyšších musí využívat nástroje skutečně mimo oblast pravidelné souvislé topologie topologických variet . Jedním z ústředních otevřených problémů v diferenciální topologii je čtyřrozměrná hladká Poincarého domněnka , která se ptá, zda je každá hladká 4-varieta, která je homeomorfní pro 4 sféru , také odlišná. To znamená, že 4-sféra připouští více než jednu hladkou strukturu ? Tato domněnka je pravdivá v dimenzích 1, 2 a 3, podle výše uvedených výsledků klasifikace, ale je známo, že je nepravdivá v dimenzi 7 kvůli Milnorovým sférám . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{4}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{4}}$

Mezi důležité nástroje při studiu diferenciální topologie hladkých variet patří konstrukce hladkých topologických invarianty takových variet, jako je de Rhamova kohomologie nebo forma průniku , a také vyhlazitelné topologické konstrukce, jako je teorie hladké chirurgie nebo konstrukce cobordismů . Teorii Morse je důležitým nástrojem, který studie hladké variety by s ohledem na kritické body z funkcí differentiable na potrubí, což dokazuje, jak hladký struktura potrubí vstupuje do sadu nástrojů k dispozici. Často může být použito více geometrických nebo analytických technik, a to vybavením hladkého potrubí riemannianskou metrikou nebo studiem diferenciální rovnice . Je třeba dbát na to, aby výsledné informace nebyly citlivé na tuto volbu extra struktury, a aby skutečně odrážely pouze topologické vlastnosti podkladového hladkého potrubí. Například Hodge teorém poskytuje geometrické a analytický výklad de Rham cohomology a kalibrační teorie byla používána Simon Donaldson prokázat fakta o tvaru křižovatky jednoduše připojí 4-variet. V některých případech se mohou objevit techniky ze současné fyziky , například topologická teorie kvantového pole , které lze použít k výpočtu topologických invarianty hladkých prostorů.

Mezi slavné věty v diferenciální topologii patří Whitneyho věta o zabudování, věta o chlupatých koulích , Hopfova věta , Poincaré – Hopfova věta , Donaldsonova věta a Poincaréova domněnka .

Popis

Diferenciální topologie považuje za definované vlastnosti a struktury, které vyžadují pouze hladkou strukturu na potrubí. Hladké rozvody jsou „měkčí“ než rozdělovače s extra geometrickými strukturami, které mohou působit jako překážky určitých typů ekvivalencí a deformací, které existují v diferenciální topologii. Například objem a Riemannovo zakřivení jsou invarianty, které dokážou odlišit různé geometrické struktury na stejném hladkém potrubí - to znamená, že určité plyny lze plynule „zploštit“, ale může to vyžadovat zkreslení prostoru a ovlivnění zakřivení nebo objemu.

Na druhou stranu hladké rozdělovače jsou tuhší než topologické rozvody . John Milnor zjistil, že některé sféry mají více než jednu hladkou strukturu - viz Exotická sféra a Donaldsonova věta . Michel Kervaire vystavoval topologické potrubí bez hladké struktury. Některé konstrukce hladké variabilní teorie, jako je existence tečných svazků , lze provádět v topologickém prostředí s mnohem větší pracností, jiné nikoli.

Jedním z hlavních témat v diferenciální topologii je studium speciálních druhů hladkých mapování mezi sběrnými potrubími, jmenovitě ponoření a ponoření , a průsečíků dílčích potrubí prostřednictvím transverzality . Obecněji se člověk zajímá o vlastnosti a invarianty hladkých variet, které jsou přenášeny diffeomorfismy , dalším zvláštním druhem hladkého mapování. Teorie Morse je další větev diferenciální topologie, ve kterém je topologické informace o potrubí odvozenou od změn v hodnosti o Jacobian funkce.

Seznam témat diferenciální topologie najdete v následujícím odkazu: Seznam témat diferenciální geometrie .

Diferenciální topologie versus diferenciální geometrie

Diferenciální topologie a diferenciální geometrie jsou nejprve charakterizovány jejich podobností . Oba studují především vlastnosti diferencovatelných variet, někdy s různými strukturami, které jsou na ně kladeny.

Animace šálku kávy transformujícího se do tvaru koblihy

Jeden zásadní rozdíl spočívá v povaze problémů, které se každý subjekt snaží řešit. V jednom pohledu se diferenciální topologie odlišuje od diferenciální geometrie tím, že studuje především ty problémy, které jsou ze své podstaty globální . Zvažte příklad šálku kávy a koblihy. Z hlediska diferenciální topologie jsou kobliha a šálek kávy stejné (v jistém smyslu). Toto je však neodmyslitelně globální pohled, protože diferenciální topolog nemůže žádným způsobem zjistit, zda jsou tyto dva objekty stejné (v tomto smyslu), a to tak, že se podívají jen na malý ( místní ) kousek některého z nich. Musí mít přístup ke každému celému ( globálnímu ) objektu.

Z hlediska diferenciální geometrie se šálek kávy a kobliha liší, protože není možné otáčet šálkem kávy tak, aby se její konfigurace shodovala s konfigurací koblihy. Toto je také globální způsob uvažování o problému. Důležitým rozdílem je však to, že geometr k tomu nepotřebuje celý objekt. Když se například podívají na malý kousek držadla, mohou rozhodnout, že se šálek kávy liší od koblihy, protože rukojeť je tenčí (nebo více zakřivená) než jakýkoli kus koblihy.

Stručně řečeno, diferenciální topologie studuje struktury na potrubích, která v jistém smyslu nemají žádnou zajímavou místní strukturu. Diferenciální geometrie studuje struktury na varietách, které mají zajímavou lokální (nebo někdy dokonce nekonečně malou) strukturu.

Matematičtěji je například problém konstrukce diffeomorfismu mezi dvěma varietami stejné dimenze ze své podstaty globální, protože lokálně dvě taková potrubí jsou vždy diffeomorfní. Podobně je problém výpočtu veličiny na rozdělovacím potrubí, které je invariantní při diferencovatelných mapováních, ze své podstaty globální, protože jakýkoli lokální invariant bude triviální v tom smyslu, že je již uveden v topologii . Diferenciální topologie se navíc nutně neomezuje pouze na studium diffeomorfismu. Například symplektická topologie - podskupina diferenciální topologie - studuje globální vlastnosti symplektických variet . Diferenciální geometrie se zabývá problémy-které mohou být místní nebo globální-které mají vždy nějaké netriviální lokální vlastnosti. Diferenciální geometrie tedy může studovat diferencovatelné potrubí vybavené spojením , metrikou (což může být Riemannian , pseudo-Riemannian nebo Finsler ), zvláštním druhem distribuce (jako je struktura CR ) atd. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

Tento rozdíl mezi diferenciální geometrií a diferenciální topologií je rozmazaný, nicméně v otázkách specificky týkajících se místních invariantů difeomorfismu, jako je tečný prostor v bodě. Diferenciální topologie se také zabývá takovými otázkami, které se konkrétně týkají vlastností diferencovatelných mapování (například tangentový svazek , paprskové svazky , Whitneyova věta o rozšíření atd.). ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

Rozdíl je stručný v abstraktních pojmech:

Diferenciální topologie je studium (nekonečně malých, lokálních a globálních) vlastností struktur na potrubích, která mají pouze triviální lokální moduly .
Diferenciální geometrie je taková studie struktur na potrubích, která mají jeden nebo více netriviálních lokálních modulů.

Viz také

Poznámky

Reference

Bloch, Ethan D. (1996). První kurz geometrické topologie a diferenciální geometrie . Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3840-5.
Hirsch, Morris (1997). Diferenciální topologie . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90148-0.
Lashof, Richard (prosinec 1972). „Tečný svazek topologického potrubí“. American Mathematical Monthly . 79 (10): 1090–1096. doi : 10,2307/2317423 . JSTOR 2317423 .
Kervaire, Michel A. (prosinec 1960). „Rozvod, který nepřipouští žádnou odlišitelnou strukturu“. Komentáře Mathematici Helvetici . 34 (1): 257–270. doi : 10,1007/BF02565940 .

externí odkazy

„Differential topology“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]

Languages

In other projects