Funkce Dirac delta - Dirac delta function

Diferenciální rovnice
Diferenciální rovnice Navier – Stokes používané k simulaci proudění vzduchu kolem překážky
Rozsah Přírodní vědy Inženýrství Astronomie Fyzika Chemie Biologie Geologie Aplikovaná matematika Mechanika kontinua Teorie chaosu Dynamické systémy Společenské vědy Ekonomika Populační dynamika
Klasifikace
Typy Obyčejný Částečný Diferenciálně-algebraické Integro-diferenciál Frakční Lineární Nelineární Podle typu proměnné Závislé a nezávislé proměnné Autonomní Komplex Spojeno / odpojeno Přesný Homogenní  / nehomogenní Funkce Objednat Operátor Zápis
Vztah k procesům Rozdíl (diskrétní analog) Stochastický Stochastické částečné Zpoždění
Řešení
Existence a jedinečnost Picardova – Lindelöfova věta Peano věta o existenci Carathéodoryho věta o existenci Cauchyho – Kowalevského věta
Obecná témata Wronský Fázový portrét Fázový prostor Lyapunov  / Asymptotická  / Exponenciální stabilita Míra konvergence Série  / Integrovaná řešení Numerická integrace Funkce Dirac delta
Metody řešení Inspekce Metoda charakteristik Euler Exponenciální vzorec odezvy Konečný rozdíl  ( Crank – Nicolson ) Konečný element Nekonečný prvek Konečný objem Galerkin Petrov – Galerkin Integrující faktor Integrální transformace Poruchová teorie Runge – Kutta Oddělení proměnných Neurčené koeficienty Variace parametrů
Lidé Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
proti t E

V matematiky je funkce Dirac delta ( δ funkce ), také známý jako impulsní symbolu, je generalizovaná funkcí nebo distribuci nad reálnými čísly , jejichž hodnota je nula všude kromě na nulu, a jehož integrální po celé reálné ose je roven do jednoho. To může také být interpretován jako lineární funkční , který mapuje každou funkci na hodnotu nula, nebo jako slabé hranice části sekvence z bump funkcí , které jsou k nule přes většinu z reálné ose, s vysokou hrotem na původu. Bump funkcím se proto někdy říká „přibližné“ nebo „rodící se“ delta funkce.

Funkci delta představil fyzik Paul Dirac jako nástroj pro normalizaci stavových vektorů. Má také využití v teorii pravděpodobnosti a zpracování signálu . Protože to není skutečná matematická funkce , někteří matematici proti tomu protestovali jako nesmysl, dokud Laurent Schwartz nerozvinul teorii rozdělení.

Funkce Kroneckerova delta , která je obvykle definována v diskrétní doméně a nabývá hodnot 0 a 1, je diskrétním analogem Diracovy delta funkce.

Motivace a přehled

Graf funkce delta je obvykle myšlenka jako po celou x aretačním kroužkem a pozitivní y aretačním kroužkem. Diracova delta se používá k modelování funkce vysokého úzkého hrotu ( impuls ) a dalších podobných abstrakcí , jako je bodový náboj , hmota bodu nebo elektronový bod. Například k výpočtu dynamiky příslušníky kulečníková koule úderu, lze aproximovat sílu dopadu pomocí delta funkce. Přitom člověk nejen zjednodušuje rovnice, ale je také schopen vypočítat pohyb koule pouze uvažováním celkového impulsu srážky bez podrobného modelu veškerého pružného přenosu energie na subatomárních úrovních (například) .

Abychom byli konkrétní, předpokládejme, že kulečníková koule je v klidu. Časem je zasažen jiným míčem, který mu dodá hybnost P , in . Výměna hybnosti není ve skutečnosti okamžitá, je zprostředkována elastickými procesy na molekulární a subatomární úrovni, ale pro praktické účely je vhodné považovat tento přenos energie za efektivně okamžitý. Síla je tedy . (Jednotky jsou .) ${\ displaystyle t = 0}$ ${\ displaystyle {\ text {kg m}}/{\ text {s}}}$${\ Displaystyle P \ delta (t)}$${\ Displaystyle \ delta (t)}$${\ displaystyle \ mathrm {s} ^{-1}}$

Chcete -li tuto situaci modelovat přísněji, předpokládejme, že síla je místo toho rovnoměrně rozložena v malém časovém intervalu . To znamená, ${\ displaystyle \ Delta t}$

${\ Displaystyle F _ {\ Delta t} (t) = {\ begin {cases} P/\ Delta t & 0 <t \ leq \ Delta t, \\ 0 & {\ text {else}}. \ end {cases}}}$

Integrace pak zjistí hybnost kdykoli t :

${\ Displaystyle p (t) = \ int _ {0}^{t} F _ {\ Delta t} (\ tau) \, d \ tau = {\ begin {cases} P & t> \ Delta t \\ Pt/\ Delta t & 0 <t \ leq \ Delta t \\ 0 & {\ text {jinak.}} \ End {cases}}}$

Modelová situace okamžitého přenosu hybnosti nyní vyžaduje vzít limit jako dávání ${\ displaystyle \ Delta t \ to 0}$

${\ Displaystyle p (t) = {\ begin {cases} P & t> 0 \\ 0 & t \ leq 0. \ end {cases}}}$

Zde jsou funkce považovány za užitečné aproximace myšlenky okamžitého přenosu hybnosti. ${\ displaystyle F _ {\ Delta t}}$

Funkce delta nám umožňuje sestrojit idealizovaný limit těchto aproximací. Bohužel skutečný limit funkcí (ve smyslu bodové konvergence ) je všude nula, kromě jediného bodu, kde je nekonečný. Abychom správně rozuměli funkci delta, měli bychom místo toho trvat na této vlastnosti ${\ textstyle \ lim _ {\ Delta t \ to 0} F _ {\ Delta t}}$

${\ Displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} F _ {\ Delta t} (t) \, dt = P,}$

který platí pro všechny , by se měl i nadále držet v limitu. V rovnici se tedy rozumí, že mez je vždy vzata mimo integrál . ${\ displaystyle \ Delta t> 0}$${\ textstyle F (t) = P \ delta (t) = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} F _ {\ Delta t} (t)}$

V aplikované matematice, jak jsme to udělali zde, je delta funkce často manipulována jako druh limitu ( slabý limit ) posloupnosti funkcí, z nichž každý člen má na počátku vysoký bod: například posloupnost Gaussovské distribuce se soustředily na počátek s rozptylem směřujícím k nule.

Navzdory svému názvu není funkce delta skutečně funkcí, alespoň ne obvyklou s doménou a rozsahem v reálných číslech . Například objekty f ( x ) = δ ( x ) a g ( x ) = 0 jsou všude stejné, s výjimkou bodu x = 0, ale mají integrály, které jsou různé. Podle Lebesgueovy integrační teorie platí , že pokud f a g jsou funkce takové, že f = g téměř všude , pak je f integrovatelné právě tehdy, když je g integrovatelné a integrály f a g jsou totožné. Přísný přístup k tomu, aby Diracova delta funkce byla sama o sobě matematickým objektem, vyžaduje teorii míry nebo teorii distribucí .

Dějiny

Joseph Fourier představil to, čemu se nyní říká Fourierova integrální věta, ve svém pojednání Théorie analytique de la chaleur ve formě:

${\ Displaystyle f (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ \ d \ alpha \, f (\ alpha) \ \ int _ { -\ infty}^{\ infty} dp \ \ cos (px-p \ alpha) \,}$

což se rovná zavedení funkce δ ve tvaru:

${\ Displaystyle \ delta (x- \ alpha) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} dp \ \ cos (px-p \ alpha) \. }$

Později Augustin Cauchy vyjádřil větu pomocí exponenciálů:

${\ Displaystyle f (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ e^{ipx} \ left (\ int _ {-\ infty} ^{\ infty} e^{-ip \ alpha} f (\ alpha) \, d \ alpha \ right) \, dp.}$

Cauchy poukázal na to, že za určitých okolností je pořadí integrace v tomto výsledku významné (kontrast Fubiniho věty ).

Jak je odůvodněno pomocí teorie distribucí , Cauchyovu rovnici lze přeskupit tak, aby se podobala Fourierově původní formulaci, a vystavit δ -funkci jako

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} f (x) & = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{ipx} \ left (\ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-ip \ alpha} f (\ alpha) \, d \ alpha \ right) \, dp \\ [4pt] & = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ left (\ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{ipx} e^{-ip \ alpha} \, dp \ vpravo) f (\ alpha) \, d \ alpha = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ delta (x- \ alpha) f (\ alpha) \, d \ alpha, \ end {zarovnáno} }}$

kde funkce δ je vyjádřena jako

${\ Displaystyle \ delta (x- \ alpha) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{ip (x- \ alpha)} \, dp \.}$

Přísná interpretace exponenciální formy a různá omezení funkce f nezbytné pro její aplikaci trvala několik století. Problémy s klasickou interpretací jsou vysvětleny následovně:

Největší nevýhodou klasické Fourierovy transformace je poměrně úzká třída funkcí (originálů), pro které ji lze efektivně vypočítat. Totiž je nutné, aby tyto funkce dostatečně rychle klesaly na nulu (v sousedství nekonečna), aby byla zajištěna existence Fourierova integrálu. Například Fourierova transformace takových jednoduchých funkcí, jako jsou polynomy, v klasickém smyslu neexistuje. Rozšíření klasické Fourierovy transformace na distribuce značně rozšířilo třídu funkcí, které bylo možné transformovat, a to odstranilo mnoho překážek.

Další vývoj zahrnoval zobecnění Fourierova integrálu, „počínaje Plancherelovou průlomovou teorií L ² (1910), pokračující Wienerovou a Bochnerovou tvorbou (kolem roku 1930) a kulminující sloučením do teorie distribucí L. Schwartze (1945) ... “, a vedoucí k formálnímu rozvoji funkce Diracovy delty.

V textu Augustina Louise Cauchyho z roku 1827 se výslovně objevuje nekonečně malý vzorec pro nekonečně vysokou funkci jednotkové impulzní delty (nekonečně malá verze Cauchyho distribuce ) . Siméon Denis Poisson zvažoval problém v souvislosti se studiem šíření vln stejně jako Gustav Kirchhoff o něco později. Kirchhoff a Hermann von Helmholtz také představili jednotkový impuls jako limit Gaussianů , což také odpovídalo pojmu lorda Kelvina o bodovém zdroji tepla. Na konci 19. století používal Oliver Heaviside formální Fourierovu sérii k manipulaci s jednotkovým impulzem. Funkce Diracovy delty jako takové byla zavedena jako „pohodlný zápis“ Paulem Diracem v jeho vlivné knize z roku 1930 Zásady kvantové mechaniky . Říkal tomu „delta funkce“, protože ho používal jako spojitý analog diskrétní Kroneckerovy delty .

Definice

O Diracově deltě lze volně uvažovat jako o funkci na reálné přímce, která je všude nulová, kromě jejího počátku, kde je nekonečná,

${\ Displaystyle \ delta (x) = {\ begin {cases}+\ infty, & x = 0 \\ 0, & x \ neq 0 \ end {cases}}}$

a který je také omezen na uspokojení identity

${\ Displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ delta (x) \, dx = 1.}$

Toto je pouze heuristická charakteristika. Diracova delta není funkcí v tradičním smyslu, protože žádná funkce definovaná na skutečných číslech tyto vlastnosti nemá. Funkce Dirac delta může být přísně definována buď jako distribuce, nebo jako míra .

Jako měřítko

Jedním ze způsobů, jak důsledně zachytit pojem Diracovy delta funkce, je definovat míru , nazývanou Diracova míra , která přijímá jako argument podmnožinu A skutečné linie R a vrací δ ( A ) = 1, pokud 0 ∈ A , a δ ( A ) = 0 jinak. Pokud je funkce delta koncipována jako modelování idealizované hmotný bod při 0 ° C, pak δ ( ) představuje hmotnost, které je součástí A . Lze pak definovat integrál proti δ jako integrál funkce proti tomuto rozdělení hmotnosti. Formálně Lebesgueův integrál poskytuje potřebné analytické zařízení. Lebesgueův integrál s ohledem na míru δ splňuje

${\ Displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} f (x) \, \ delta \ {dx \} = f (0)}$

pro všechny souvisle kompaktně podporované funkce f . Míra δ není absolutně spojitá s ohledem na Lebesgueovu míru - ve skutečnosti je to singulární míra . V důsledku toho delta opatření nemá derivát Radon -Nikodym (s ohledem na Lebesgueovu míru) - žádnou skutečnou funkci, pro kterou by vlastnost

${\ Displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} f (x) \ delta (x) \, dx = f (0)}$

drží. Výsledkem je, že tato notace je praktickým zneužitím notace a není standardním ( Riemann nebo Lebesgue ) integrálem.

Jako měřítko pravděpodobnosti na R je delta opatření charakterizováno kumulativní distribuční funkcí , což je funkce jednotkového kroku .

${\ Displaystyle H (x) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} x \ geq 0 \\ 0 & {\ text {if}} x <0. \ end {cases}}}$

To znamená, že H ( x ) je integrálem funkce kumulativního indikátoru 1 _{(−∞, x ]} vzhledem k míře δ ;

${\ Displaystyle H (x) = \ int _ {\ mathbf {R}} \ mathbf {1} _ {(--infty, x]} (t) \, \ delta \ {dt \} = \ delta (- \ infty, x],}$

posledně jmenovaný je měřítkem tohoto intervalu; formálněji δ ((−∞, x ]) . Integraci delta funkce proti spojité funkci lze tedy správně chápat jako Riemann – Stieltjesův integrál :

${\ Displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} f (x) \ delta \ {dx \} = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} f (x) \, dH (x ).}$

Všechny vyšší momenty z delta jsou nulové. Zejména charakteristická funkce a funkce generující moment jsou obě stejné jako jedna.

Jako distribuce

V teorii distribucí není generalizovaná funkce považována za funkci sama o sobě, ale pouze za to, jak ovlivňuje jiné funkce, když je „integrována“ proti nim. V souladu s touto filozofií stačí ke správné definici funkce delta říci, co je „integrál“ funkce delta proti dostatečně „dobré“ testovací funkci  φ . Testovací funkce jsou také známé jako bump funkce . Pokud je funkce delta již chápána jako míra, pak Lebesgueův integrál testovací funkce proti této míře dodává potřebný integrál.

Typický prostor testovacích funkcí se skládá ze všech hladkých funkcí na R s kompaktní podporou, které mají tolik derivací, kolik je potřeba. Distribuce Dirac delta je lineární funkce v prostoru testovacích funkcí a je definována

${\ Displaystyle \ delta [\ varphi] = \ varphi (0)}$

( 1 )

pro každou testovací funkci . ${\ Displaystyle \ varphi}$

Aby δ byla správně distribucí, musí být spojitá ve vhodné topologii na prostoru testovacích funkcí. Obecně platí, že pro lineární funkční S na prostoru testovacích funkcí k definování rozdělení je nutné a dostatečné, že pro každé kladné celé číslo N existuje celé číslo M _N a konstanta C _N takové, že pro každou testovací funkci φ , jeden má nerovnost

${\ Displaystyle \ left | S [\ varphi] \ right | \ leq C_ {N} \ sum _ {k = 0}^{M_ {N}} \ sup _ {x \ in [-N, N]} \ vlevo | \ varphi ^{(k)} (x) \ vpravo |.}$

S delta distribuci, jeden má takovou nerovnost (s C _N = 1) s M _N = 0 pro všechny N . Tak δ je distribuce řádu nula. Je to navíc distribuce s kompaktní podporou ( podpora je {0}).

Delta distribuci lze také definovat několika ekvivalentními způsoby. Například se jedná o distribuční derivát z kroku funkce Heaviside . To znamená, že pro každou testovací funkci φ má jeden

${\ Displaystyle \ delta [\ varphi] =-\ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ varphi '(x) H (x) \, dx.}$

Intuitivně, pokud by byla povolena integrace po částech , měl by se tento integrál zjednodušit na

${\ Displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ varphi (x) H '(x) \, dx = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ varphi (x) \ delta (x) \, dx,}$

a skutečně je pro Stieltjesův integrál povolena určitá forma integrace po částech, a v takovém případě člověk má

${\ Displaystyle-\ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ varphi '(x) H (x) \, dx = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ varphi (x) \ , dH (x).}$

V kontextu teorie míry vede Diracovo opatření k distribuci integrací. Naopak rovnice ( 1 ) definuje Daniellův integrál v prostoru všech kompaktně podporovaných spojitých funkcí φ, které lze pomocí Rieszovy věty o reprezentaci reprezentovat jako Lebesgueův integrál φ týkající se nějaké radonové míry .

Obecně platí, že když je použit termín „ Diracova delta funkce “, znamená to spíše distribuce než míry, Diracova míra je jedním z několika termínů pro odpovídající pojem v teorii opatření. Některé zdroje mohou také používat termín Dirac delta distribution .

Zobecnění

Delta funkce může být definována v n -rozměrném euklidovském prostoru R ⁿ jako míra taková, že

${\ Displaystyle \ int _ {\ mathbf {R} ^{n}} f (\ mathbf {x}) \ delta \ {d \ mathbf {x} \} = f (\ mathbf {0})}$

pro každou kompaktně podporovanou spojitou funkci f . Jako měřítko je n -dimenzionální delta funkce součinem 1 -rozměrných delta funkcí v každé proměnné zvlášť. Formálně tedy s x = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) má jeden

${\ Displaystyle \ delta (\ mathbf {x}) = \ delta (x_ {1}) \ delta (x_ {2}) \ cdots \ delta (x_ {n}).}$

( 2 )

Delta funkce může být také definována ve smyslu rozdělení přesně jako výše v jednorozměrném případě. I přes široké použití v technických kontextech by ( 2 ) mělo být zacházeno opatrně, protože produkt distribucí lze definovat pouze za docela úzkých okolností.

Pojem Diracovy míry má smysl na každé sadě. Takže pokud X je množina, x ₀ ∈ X je označený bod a Σ je jakýkoliv sigma algebry podmnožin X , pak se míra definována na sady ∈ å podle

${\ Displaystyle \ delta _ {x_ {0}} (A) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} x_ {0} \ in A \\ 0 & {\ text {if}} x_ {0 } \ notin A \ end {cases}}}$

je míra delta nebo jednotková hmotnost koncentrovaná na x ₀ .

Další běžnou generalizací funkce delta je diferencovatelný variátor, kde lze také díky distribuovatelné struktuře využít většinu jejích distribučních vlastností . Funkce delta na potrubí M se středem v bodě x ₀ ∈ M je definována jako následující rozdělení:

${\ Displaystyle \ delta _ {x_ {0}} [\ varphi] = \ varphi (x_ {0})}$

( 3 )

Pro všechny podporované kompaktně hladké reálných funkcí cp na M . Běžným zvláštním případem této konstrukce je ten, ve kterém M je otevřená množina v euklidovském prostoru R ⁿ .

Na místně kompaktním Hausdorffově prostoru X je Diracova delta míra soustředěná v bodě x je radonová míra spojená s Daniell integrálem ( 3 ) na kompaktně podporovaných spojitých funkcích φ . Na této úrovni obecnosti již není kalkul jako takový možný, nicméně jsou k dispozici různé techniky z abstraktní analýzy. Například mapování je kontinuální vkládání X do prostoru konečných radonových měr na X , vybavených jeho vágní topologií . Kromě toho je konvexní obal z obrazu X podle tohoto zakotvení je hustá v prostoru pravděpodobnostních opatření na X . ${\ displaystyle x_ {0} \ mapsto \ delta _ {x_ {0}}}$

Vlastnosti

Škálování a symetrie

Funkce delta splňuje následující vlastnost škálování pro nenulovou skalární α:

${\ Displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ delta (\ alpha x) \, dx = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ delta (u) \, {\ frac {du} {| \ alpha |}} = {\ frac {1} {| \ alpha |}}}}$

a tak

${\ Displaystyle \ delta (\ alpha x) = {\ frac {\ delta (x)} {| \ alpha |}}.}$

( 4 )

Důkaz:

Zejména funkce delta je rovnoměrné rozdělení v tom smyslu

${\ Displaystyle \ delta (-x) = \ delta (x)}$

který je homogenní stupně −1.

Algebraické vlastnosti

Distribuční produkt z delta s x se rovná nule:

${\ Displaystyle x \ delta (x) = 0.}$

A naopak, pokud xf ( x ) = xg ( x ) , kde f a g jsou rozdělení, pak

${\ Displaystyle f (x) = g (x)+c \ delta (x)}$

pro nějakou konstantu c .

Překlad

Integrál časově zpožděné Diracovy delty je

${\ Displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} f (t) \ delta (tT) \, dt = f (T).}$

Toto je někdy označováno jako vlastnost prosévání nebo vlastnost vzorkování . Funkce delta se říká, že „tříbil ven“ hodnotě na t = T .

Z toho vyplývá, že účinek konvoluce funkce f ( t ) s časově zpožděnou Diracovou deltou je na časové zpoždění f ( t ) o stejnou hodnotu: ${\ Displaystyle \ delta _ {T} (t) = \ delta (tT)}$

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} (f*\ delta _ {T}) (t) \ & {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {-\ infty}^{\ infty} f (\ tau) \ delta (tT- \ tau) \, d \ tau \\ & = \ int \ limits _ {-\ infty}^{\ infty} f (\ tau) \ delta (\ tau- (tT)) \, d \ tau \ qquad {\ text {since}} ~ \ delta (-x) = \ delta (x) ~~ {\ text {od (4)}} \\ & = f (tT ). \ end {aligned}}}$

To platí za přesné podmínky, že f je temperované rozdělení (viz diskuse o Fourierově transformaci níže ). Jako zvláštní případ například máme identitu (chápanou ve smyslu distribuce)

${\ Displaystyle \ int _ { -\ infty}^{\ infty} \ delta (\ xi -x) \ delta (x- \ eta) \, dx = \ delta (\ eta -\ xi).}$

Kompozice s funkcí

Obecněji může být rozdělení delta složeno s hladkou funkcí g ( x ) takovým způsobem, že platí známý vzorec změny proměnných, že

${\ Displaystyle \ int _ {\ mathbf {R}} \ delta {\ bigl (} g (x) {\ bigr)} f {\ bigl (} g (x) {\ bigr)} \ left | g '( x) \ vpravo | dx = \ int _ {g (\ mathbf {R})} \ delta (u) f (u) \, du}$

za předpokladu, že g je spojitě diferencovatelná funkce s g 'nikde nula. To znamená, že existuje jedinečný způsob, jak distribuci přiřadit význam , aby tato identita platila pro všechny kompaktně podporované testovací funkce f . Proto musí být doména rozdělena, aby se vyloučil bod g ′ = 0. Toto rozdělení splňuje δ ( g ( x )) = 0, pokud g není nikde nula, a jinak pokud g má skutečný kořen v x ₀ , pak ${\ Displaystyle \ delta \ circ g}$

${\ Displaystyle \ delta (g (x)) = {\ frac {\ delta (x-x_ {0})} {| g '(x_ {0}) |}}.}$

Je tedy přirozené definovat kompozici δ ( g ( x )) pro spojitě diferencovatelné funkce g pomocí

${\ Displaystyle \ delta (g (x)) = \ sum _ {i} {\ frac {\ delta (x-x_ {i})} {| g '(x_ {i}) |}}}}$

kde součet sahá přes všechny kořeny (tj. všechny různé) g ( x ), o kterých se předpokládá, že jsou jednoduché . Tak například

${\ Displaystyle \ delta \ left (x ^{2}-\ alpha ^{2} \ right) = {\ frac {1} {2 | \ alpha |}} {\ Big [} \ delta \ left (x+\ alfa \ right)+\ delta \ left (x- \ alpha \ right) {\ Big]}.}$

V integrální formě lze generalizovanou vlastnost škálování zapsat jako

${\ Displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} f (x) \, \ delta (g (x)) \, dx = \ sum _ {i} {\ frac {f (x_ {i} )} {| g '(x_ {i}) |}}.}$

Vlastnosti v n rozměrech

Distribuce delta v n -dimenzionálním prostoru splňuje místo toho následující vlastnost škálování,

${\ Displaystyle \ delta (\ alpha \ mathbf {x}) = | \ alpha |^{-n} \ delta (\ mathbf {x}) ~,}$

takže δ je homogenní rozdělení stupně - n .

Při jakémkoli odrazu nebo rotaci ρ je funkce delta invariantní,

${\ Displaystyle \ delta (\ rho \ mathbf {x}) = \ delta (\ mathbf {x}) ~.}$

Stejně jako v případě jedné proměnné je možné definovat složení δ pomocí bi-Lipschitzovy funkce g : R ⁿ → R ⁿ jedinečně tak, aby identita

${\ Displaystyle \ int _ {\ mathbf {R} ^{n}} \ delta (g (\ mathbf {x})) \, f (g (\ mathbf {x})) \ left | \ det g '( \ mathbf {x}) \ right | \, d \ mathbf {x} = \ int _ {g (\ mathbf {R} ^{n})} \ delta (\ mathbf {u}) f (\ mathbf {u }) \, d \ mathbf {u}}$

pro všechny kompaktně podporované funkce f .

Pomocí vzorce coarea z teorie geometrických opatření lze také definovat složení delta funkce s ponořením z jednoho euklidovského prostoru do jiného s jinou dimenzí; výsledkem je typ proudu . Ve zvláštním případě kontinuálně diferencovatelné funkce g : R ⁿ → R tak, aby se sklon o g nikde nula, následující identita drží

${\ Displaystyle \ int _ {\ mathbf {R} ^{n}} f (\ mathbf {x}) \, \ delta (g (\ mathbf {x})) \, d \ mathbf {x} = \ int _ {g^{-1} (0)} {\ frac {f (\ mathbf {x})} {| \ mathbf {\ nabla} g |}} \, d \ sigma (\ mathbf {x})}$

kde integrál vpravo je nad g ⁻¹ (0), ( n -1) -dimenzionální povrch definovaný g ( x ) = 0 s ohledem na míru obsahu Minkowski . Toto je známé jako integrál jednoduché vrstvy .

Obecněji řečeno, je-li S je hladký nadplochy z R ⁿ , pak můžeme spojit k S distribuce, který integruje jakýkoliv kompaktně podporováno hladké funkce g nad S :

${\ Displaystyle \ delta _ {S} [g] = \ int _ {S} g (\ mathbf {s}) \, d \ sigma (\ mathbf {s})}$

kde σ je nadplochy opatření spojená s S . Toto zobecnění je spojena s teorie potenciálu z jednoduchých vrstev potenciálů na S . Pokud D je doména v R ⁿ s hladkým ohraničující S , pak δ _S se rovná normální derivátu z funkce indikátoru části D v distribučním smyslu,

${\ Displaystyle -\ int _ {\ mathbf {R} ^{n}} g (\ mathbf {x}) \, {\ frac {\ částečná 1_ {D} (\ mathbf {x})} {\ částečná n }} \, d \ mathbf {x} = \ int _ {S} \, g (\ mathbf {s}) \, d \ sigma (\ mathbf {s}),}$

kde n je vnější normál. Důkaz najdete např. V článku o funkci povrchové delty .

Fourierova transformace

Funkce delta je temperovaná distribuce , a proto má dobře definovanou Fourierovu transformaci . Formálně člověk najde

${\ Displaystyle {\ widehat {\ delta}} (\ xi) = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-2 \ pi ix \ xi} \ delta (x) \, dx = 1 .}$

Správně řečeno, Fourierova transformace distribuce je definována uložením sebe-sousedství Fourierovy transformace v rámci dualistického párování temperovaných distribucí se Schwartzovými funkcemi . Je tedy definováno jako uspokojivé jedinečné temperované rozdělení ${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$${\ displaystyle {\ widehat {\ delta}}}$

${\ Displaystyle \ langle {\ widehat {\ delta}}, \ varphi \ rangle = \ langle \ delta, {\ widehat {\ varphi}} \ rangle}$

pro všechny funkce Schwartz . A skutečně z toho vyplývá, že${\ Displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle {\ widehat {\ delta}} = 1.}$

V důsledku této identity je konvoluce funkce delta s jakoukoli jinou temperovanou distribucí S jednoduše S :

${\ Displaystyle S*\ delta = S.}$

To znamená, že δ je prvek identity pro konvoluci na temperovaných distribucích a ve skutečnosti je prostor kompaktně podporovaných distribucí pod konvolucí asociativní algebrou s funkcí delta funkce. Tato vlastnost je zásadní při zpracování signálu , protože konvoluce s temperovaným rozdělením je lineární časově invariantní systém a aplikace lineárního časově invariantního systému měří jeho impulsní odezvu . Impulsní odezvu lze vypočítat na libovolný požadovaný stupeň přesnosti výběrem vhodné aproximace pro δ , a jakmile je známa, charakterizuje systém úplně. Viz teorie systému LTI § Impulsní odezva a konvoluce .

Inverzní Fourierova transformace temperovaného rozdělení f ( ξ ) = 1 je delta funkce. Formálně je to vyjádřeno

${\ Displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} 1 \ cdot e^{-2 \ pi ix \ xi} \, d \ xi = \ delta (x)}$

a přísněji z toho plyne od

${\ Displaystyle \ langle 1, {\ widehat {f}} \ rangle = f (0) = \ langle \ delta, f \ rangle}$

pro všechny funkce Schwartz f .

V těchto termínech, funkce delta poskytuje sugestivní prohlášení o majetku orthogonality jádra Fourier na výzkum . Formálně jeden má

${\ Displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{i2 \ pi \ xi _ {1} t} \ left [e^{i2 \ pi \ xi _ {2} t} \ right] ^{*} \, dt = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-i2 \ pi (\ xi _ {2}-\ xi _ {1}) t} \, dt = \ delta (\ xi _ {2}-\ xi _ {1}).}$

To je samozřejmě zkratka pro tvrzení, že Fourierova transformace temperované distribuce

${\ Displaystyle f (t) = e^{i2 \ pi \ xi _ {1} t}}$

je

${\ displaystyle {\ widehat {f}} (\ xi _ {2}) = \ delta (\ xi _ {1}-\ xi _ {2})}$

což opět následuje uložením sebe-sousedství Fourierovy transformace.

Podle analytické pokračování Fourierovy transformace je Laplaceova transformace funkce delta je zjištěno, že

${\ Displaystyle \ int _ {0}^{\ infty} \ delta (ta) e^{-st} \, dt = e^{-sa}.}$

Distribuční deriváty

Distribuční derivát Diracovy delta distribuce je distribuce δ ′ definovaná na kompaktně podporovaných hladkých testovacích funkcích φ pomocí

${\ Displaystyle \ delta '[\ varphi] =-\ \ delta [\ varphi'] =-\ varphi '(0).}$

První rovnost je druh integrace po částech, protože kdyby δ tehdy byla skutečná funkce

${\ Displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ delta '(x) \ varphi (x) \, dx =-\ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ delta (x) \ varphi '(x) \, dx.}$

K -The derivát delta je definován stejně jako distribuce uvedené na testovacích funkcemi

${\ Displaystyle \ delta ^{(k)} [\ varphi] = (-1) ^{k} \ varphi ^{(k)} (0).}$

Zejména δ je nekonečně odlišitelná distribuce.

První derivací funkce delta je distribuční limit rozdílových kvocientů:

${\ Displaystyle \ delta '(x) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ delta (x+h)-\ delta (x)} {h}}.}$

Přesněji řečeno, jeden má

${\ Displaystyle \ delta '= \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {1} {h}} (\ tau _ {h} \ delta -\ delta)}$

kde τ _h je operátor překlad, definovaná na funkcemi ▼ se _h cp ( x ) = cp ( x + h ) , a na distribuční S pomocí

${\ Displaystyle (\ tau _ {h} S) [\ varphi] = S [\ tau _ {-h} \ varphi].}$

V teorii elektromagnetismu první derivace delta funkce představuje bodový magnetický dipól umístěný na počátku. V souladu s tím se označuje jako dipólová nebo dubletová funkce .

Derivace delta funkce splňuje řadu základních vlastností, včetně:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} & {\ frac {d} {dx}} \ delta (-x) = {\ frac {d} {dx}} \ delta (x) \\ [8pt] & \ delta '(-x) =-\ delta' (x) \\ [8pt] & x \ delta '(x) =-\ delta (x). \ end {aligned}}}$

Poslední z těchto vlastností lze snadno prokázat aplikací distribuční derivační definice, Liebnitzovy věty a linearity vnitřního produktu:

Navíc konvoluce δ ′ s kompaktně podporovanou hladkou funkcí f je

${\ Displaystyle \ delta ' *f = \ delta *f' = f ',}$

což vyplývá z vlastností distribučního derivátu konvoluce.

Vyšší rozměry

Obecněji platí, že na otevřené množině U v n -dimenzionálním euklidovském prostoru R ⁿ je Diracova delta distribuce soustředěná v bodě a ∈ U definována

${\ Displaystyle \ delta _ {a} [\ varphi] = \ varphi (a)}$

Pro všechny cp ∈ S ( U ) , prostor všech hladkých kompaktně podporované funkce na U . Pokud α = ( α ₁ , ..., α _n ) je jakýkoliv multi-index a ∂ ^α označuje spojené smíšené parciální derivace operátor, pak α th derivace ∂ ^α ó z delta _a je dána vztahem

${\ Displaystyle \ left \ langle \ partial ^{\ alpha} \ delta _ {a}, \ varphi \ right \ rangle = (-1) ^{| \ alpha |} \ left \ langle \ delta _ {a}, \ částečné ^{\ alpha} \ varphi \ right \ rangle = (-1) ^{| \ alpha |} \ částečné ^{\ alpha} \ varphi (x) {\ Big |} _ {x = a} {\ text {pro všechny}} \ varphi \ v S (U).}$

To znamená, že α th derivace δ _a je rozdělení, jehož hodnota na jakékoli testovací funkci φ je α th derivace φ na a (s příslušným kladným nebo záporným znaménkem).

První dílčí derivace delta funkce jsou považovány za dvojité vrstvy podél souřadnicových rovin. Obecněji je normální derivát jednoduché vrstvy nesené na povrchu dvojitou vrstvou nesenou na tomto povrchu a představuje laminární magnetický monopól. Vyšší deriváty delta funkce jsou ve fyzice známé jako multipoly .

Vyšší deriváty vstupují do matematiky přirozeně jako stavební kameny kompletní struktury rozdělení s bodovou podporou. Jestliže S je jakékoli rozdělení na U podporované na množině { a } sestávající z jednoho bodu, pak existuje celé číslo m a koeficienty c _α takové, že

${\ Displaystyle S = \ sum _ {| \ alpha | \ leq m} c _ {\ alpha} \ částečná ^{\ alpha} \ delta _ {a}.}$

Reprezentace funkce delta

Na funkci delta lze pohlížet jako na limit posloupnosti funkcí

${\ Displaystyle \ delta (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0^{+}} \ eta _ {\ varepsilon} (x),}$

kde η _ε ( x ) se někdy říká rodící se delta funkce. Tato hranice je míněna ve slabém smyslu: buď to

${\ Displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0^{+}} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ eta _ {\ varepsilon} (x) f (x) \, dx = f ( 0)}$

( 5 )

pro všechny spojité funkce f s kompaktní podporou , nebo že tento limit platí pro všechny hladké funkce f s kompaktní podporou. Rozdíl mezi těmito dvěma mírně odlišnými způsoby slabé konvergence je často jemný: první je konvergence ve vágní topologii opatření a druhá konvergence ve smyslu distribucí .

Přibližování identity

Rodící se delta funkce η _ε může být typicky konstruována následujícím způsobem. Nechť η je absolutně integrovatelná funkce na R celkového integrálu 1, a definuj

${\ Displaystyle \ eta _ {\ varepsilon} (x) = \ varepsilon ^{-1} \ eta \ left ({\ frac {x} {\ varepsilon}} \ right).}$

V n dimenzích se místo toho používá škálování

${\ Displaystyle \ eta _ {\ varepsilon} (x) = \ varepsilon ^{-n} \ eta \ left ({\ frac {x} {\ varepsilon}} \ right).}$

Potom jednoduchá změna proměnných ukazuje, že η _ε má také integrál 1. Lze ukázat, že ( 5 ) platí pro všechny spojité kompaktně podporované funkce f , a tak η _ε slabě konverguje k δ ve smyslu opatření.

Takto konstruované η _ε jsou známé jako přiblížení identity . Tato terminologie je dána tím, že prostor L ¹ ( R ) absolutně integrovatelných funkcí je uzavřen pod operací konvoluce funkcí: f ∗ g ∈ L ¹ ( R ), kdykoli jsou f a g v L ¹ ( R ). V L ¹ ( R ) pro konvoluční produkt však neexistuje žádná identita : žádný prvek h takový, že f ∗ h = f pro všechna f . Nicméně sekvence η _{ε přibližuje} takové identitě v tom smyslu, že

${\ Displaystyle f*\ eta _ {\ varepsilon} \ to f \ quad {\ text {as}} \ varepsilon \ to 0.}$

Tento limit platí ve smyslu střední konvergence (konvergence v L ¹ ). K zajištění bodové konvergence téměř všude jsou zapotřebí další podmínky týkající se η _ε , například to, že se jedná o mollifier spojený s kompaktně podporovanou funkcí .

Pokud je počáteční η = η ₁ sama hladká a kompaktně podepřená, pak se posloupnost nazývá mollifier . Standardní mollifier se získá volbou r být vhodně normalizovanou funkci bump , například

${\ Displaystyle \ eta (x) = {\ begin {cases} e^{-{\ frac {1} {1- | x |^{2}}}} & {\ text {if}} | x | < 1 \\ 0 & {\ text {if}} | x | \ geq 1. \ end {cases}}}$

V některých situacích, jako je numerická analýza , je žádoucí lineární aproximace identity po částech . Toho lze dosáhnout tím, že η ₁ považujeme za funkci klobouku . S touto volbou η ₁ má člověk

${\ Displaystyle \ eta _ {\ varepsilon} (x) = \ varepsilon ^{-1} \ max \ left (1- \ left | {\ frac {x} {\ varepsilon}} \ right |, 0 \ right) }$

které jsou všechny spojité a kompaktně podepřené, i když ne hladké, a tudíž ani ne mollifier.

Pravděpodobnostní úvahy

V kontextu teorie pravděpodobnosti je přirozené uložit další podmínku, že počáteční η ₁ v aproximaci identity by měla být kladná, protože taková funkce pak představuje rozdělení pravděpodobnosti . Konvoluce s distribucí pravděpodobnosti je někdy příznivá, protože nevede k překročení nebo podtržení, protože výstup je konvexní kombinací vstupních hodnot, a proto spadá mezi maximum a minimum vstupní funkce. Vezmeme -li η ₁ jako jakékoli rozdělení pravděpodobnosti a ponecháme -li η _ε ( x ) = η ₁ ( x / ε ) / ε, jak je uvedeno výše, povede to k aproximaci identity. Obecně to konverguje rychleji na delta funkci, pokud má navíc η průměr 0 a má malé vyšší momenty. Například, je-li η ₁ je rovnoměrné rozdělení na [-1/2, 1/2] , také známý jako obdélníkové funkce , pak:

${\ Displaystyle \ eta _ {\ varepsilon} (x) = {\ frac {1} {\ varepsilon}} \ \ operatorname {rect} \ left ({\ frac {x} {\ varepsilon}} \ right) = {\ začít {cases} {\ frac {1} {\ varepsilon}}, &-{\ frac {\ varepsilon} {2}} <x <{\ frac {\ varepsilon} {2}} \\ 0, & {\ text {else}}. \ end {cases}}}$

Další příklad je s půlkruhovou distribucí Wigner

${\ Displaystyle \ eta _ {\ varepsilon} (x) = {\ begin {cases} {\ frac {2} {\ pi \ varepsilon ^{2}}} {\ sqrt {\ varepsilon ^{2} -x ^ {2}}}, &-\ varepsilon <x <\ varepsilon \\ 0, & {\ text {else}} \ end {cases}}}$

Toto je spojité a kompaktně podporované, ale není to mollifier, protože není hladké.

Poloskupiny

Vznikající delta funkce často vznikají jako konvoluční pologrupy . To se rovná dalšímu omezení, které musí splňovat konvoluce η _ε s η _δ

${\ Displaystyle \ eta _ {\ varepsilon}*\ eta _ {\ delta} = \ eta _ {\ varepsilon +\ delta}}$

pro všechna ε , δ > 0 . Konvoluční pologrupy v L ^1, které tvoří rodící se delta funkci, jsou vždy aproximací identity ve výše uvedeném smyslu, nicméně podmínka semigroup je docela silné omezení.

V praxi vznikají poloskupiny aproximující delta funkci jako základní řešení nebo Greenovy funkce pro fyzicky motivované eliptické nebo parabolické parciální diferenciální rovnice . V kontextu aplikované matematiky vznikají pologrupy jako výstup lineárního časově invariantního systému . Abstraktně, pokud A je lineární operátor působící na funkce x , pak konvoluční poloskupina vzniká řešením počátečního problému s hodnotou

${\ Displaystyle {\ begin {cases} {\ dfrac {\ partial} {\ partial t}} \ eta (t, x) = A \ eta (t, x), \ quad t> 0 \\ [5pt] \ styl zobrazení \ lim _ {t \ až 0^{+}} \ eta (t, x) = \ delta (x) \ end {případy}}}$

ve kterém je limit jako obvykle chápán ve slabém smyslu. Nastavením η _ε ( x ) = η ( ε , x ) získáte přidruženou rodící se funkci delta.

Některé příklady fyzicky důležitých semigroup konvoluce vyplývající z takového zásadního řešení zahrnují následující.

Tepelné jádro

Teplo jádro , definovaný

${\ Displaystyle \ eta _ {\ varepsilon} (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ varepsilon}}}} \ mathrm {e} ^{-{\ frac {x ^{2}} {2 \ varepsilon}}}}}$

představuje teplotu v nekonečném drátu v čase t > 0, pokud je jednotka tepelné energie uložena na počátku drátu v čase t = 0. Tato poloskupina se vyvíjí podle jednorozměrné tepelné rovnice :

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečný u} {\ částečný t}} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ částečný ^{2} u} {\ částečný x ^{2}}} .}$

V teorii pravděpodobnosti , r | _e ( x ) je normální rozdělení z rozptylu e a střední 0. představuje hustotu pravděpodobnosti v čase t = epsilon polohy částice začíná na počátku následující standardní Brownova pohybu . V této souvislosti je podmínka poloskupiny pak výrazem Markovovy vlastnosti Brownova pohybu.

Ve vyšších dimenzích euklidovského prostoru R ⁿ je tepelné jádro

${\ displaystyle \ eta _ {\ varepsilon} = {\ frac {1} {(2 \ pi \ varepsilon) ^{n/2}}}} mathrm {e} ^{-{\ frac {x \ cdot x} {2 \ varepsilon}}},}$

a má stejnou fyzickou interpretaci, mutatis mutandis . Představuje také rodící se delta funkci ve smyslu, že η _ε → δ ve smyslu distribuce jako ε → 0 .

Poissonovo jádro

Kernel Poisson

${\ Displaystyle \ eta _ {\ varepsilon} (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ mathrm {Im} \ left \ {{\ frac {1} {x- \ mathrm {i} \ varepsilon }} \ right \} = {\ frac {1} {\ pi}} {\ frac {\ varepsilon} {\ varepsilon ^{2}+x ^{2}}} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {-\ infty} ^{\ infty} \ mathrm {e} ^{\ mathrm {i} \ xi x- | \ varepsilon \ xi |} \, d \ xi}$

je základní řešení Laplaceovy rovnice v horní polorovině. Představuje elektrostatický potenciál v semi-nekonečné desce, jejíž potenciál podél okraje je pevně držen ve funkci delta. Poissonovo jádro je také úzce spjato s distribucí Cauchy a funkcí Epanechnikovova a Gaussova jádra . Tato poloskupina se vyvíjí podle rovnice

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečný u} {\ částečný t}} =-\ vlevo (-{\ frac {\ částečný^{2}} {\ částečný x^{2}}} \ pravý)^{\ frac {1} {2}} u (t, x)}$

kde operátor je přísně definován jako Fourierův multiplikátor

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ left [\ left (-{\ frac {\ partial^{2}} {\ partial x^{2}}} \ right)^{\ frac {1} {2 }} f \ right] (\ xi) = | 2 \ pi \ xi | {\ mathcal {F}} f (\ xi).}$

Oscilační integrály

V oblastech fyziky, jako je šíření vln a mechanika vln , jsou zapojené rovnice hyperbolické, a proto mohou mít více singulárních řešení. V důsledku toho jsou rodící se delta funkce, které vznikají jako základní řešení souvisejících Cauchyho problémů, obecně oscilační integrály . Jako příklad, který pochází z roztoku Euler-Tricomi rovnice z transsonických dynamiky plynů , je přepočtou funkce vzdušný

${\ Displaystyle \ varepsilon ^{-1/3} \ operatorname {Ai} \ left (x \ varepsilon ^{-1/3} \ right).}$

Ačkoli používáme Fourierovu transformaci, je snadné vidět, že to v jistém smyslu generuje poloskupinu - není absolutně integrovatelná, a proto nemůže definovat poloskupinu ve výše uvedeném silném smyslu. Mnoho rodících se delta funkcí konstruovaných jako oscilační integrály konverguje pouze ve smyslu distribucí (příkladem je jádro Dirichlet níže), nikoli ve smyslu opatření.

Dalším příkladem je Cauchyův problém pro vlnovou rovnici v R ¹⁺¹ :

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} c^{-2} {\ frac {\ částečná^{2} u} {\ částečná t^{2}}}-\ Delta u & = 0 \\ u = 0, \ quad {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} = \ delta & \ qquad {\ text {for}} t = 0. \ end {aligned}}}$

Řešení u představuje posunutí z rovnováhy nekonečného elastického řetězce s počáteční poruchou na počátku.

Mezi další aproximace identity tohoto druhu patří funkce sinc (široce používaná v elektronice a telekomunikacích)

${\ displaystyle \ eta _ {\ varepsilon} (x) = {\ frac {1} {\ pi x}} \ sin \ left ({\ frac {x} {\ varepsilon}} \ right) = {\ frac { 1} {2 \ pi}} \ int _ {-{\ frac {1} {\ varepsilon}}}^{\ frac {1} {\ varepsilon}} \ cos (kx) \, dk}$

a Besselova funkce

${\ Displaystyle \ eta _ {\ varepsilon} (x) = {\ frac {1} {\ varepsilon}} J _ {\ frac {1} {\ varepsilon}} \ \ left ({\ frac {x+1} {\ varepsilon}} \ right).}$

Rozklad v rovinné vlně

Jeden přístup ke studiu lineární parciální diferenciální rovnice

${\ Displaystyle L [u] = f,}$

kde L je diferenciální operátor na R ⁿ , je nejprve hledat základní řešení, což je řešení rovnice

${\ Displaystyle L [u] = \ delta.}$

Když je L obzvláště jednoduché, lze tento problém často vyřešit přímo pomocí Fourierovy transformace (jako v případě již zmíněného Poissonova jádra a tepelného jádra). U složitějších operátorů je někdy jednodušší nejprve zvážit rovnici formuláře

${\ Displaystyle L [u] = h}$

kde h je funkce rovinné vlny , což znamená, že má formu

${\ Displaystyle h = h (x \ cdot \ xi)}$

pro nějaký vektor ξ. Taková rovnice může být vyřešen (v případě, že koeficienty L jsou analytické funkce ) pomocí Cauchy-Kovalevskaya teorém , nebo (v případě, že koeficienty L jsou konstantní) od kvadratuře. Pokud tedy lze delta funkci rozložit na rovinné vlny, pak lze v zásadě řešit lineární parciální diferenciální rovnice.

Takový rozklad funkce delta na rovinné vlny byl součástí obecné techniky, kterou nejprve zavedl v zásadě Johann Radon a poté ji v této formě vyvinul Fritz John ( 1955 ). Vyberte k tak, aby n + k bylo sudé celé číslo, a pro reálné číslo s vložte

${\ Displaystyle g (s) = \ operatorname {Re} \ left [{\ frac {-s^{k} \ log (-is)} {k! (2 \ pi i)^{n}}} \ right ] = {\ begin {cases} {\ frac {| s |^{k}} {4k! (2 \ pi i)^{n-1}}} & n {\ text {odd}} \\ [5pt] -{\ frac {| s |^{k} \ log | s |} {k! (2 \ pi i)^{n}}} & n {\ text {sudý.}} \ end {případy}}}$

Potom δ získáme aplikací síly Laplaciána na integrál vzhledem k jednotkové sféře měříme dω g ( x · ξ ) pro ξ v jednotkové sféře S ^{n −1} :

${\ Displaystyle \ delta (x) = \ Delta _ {x}^{(n+k)/2} \ int _ {S^{n-1}} g (x \ cdot \ xi) \, d \ omega _ {\ xi}.}$

Laplacian je zde interpretován jako slabá derivace, takže tato rovnice je brána tak, že pro jakoukoli testovací funkci  φ ,

${\ Displaystyle \ varphi (x) = \ int _ {\ mathbf {R} ^{n}} \ varphi (y) \, dy \, \ Delta _ {x} ^{\ frac {n+k} {2 }} \ int _ {S^{n-1}} g ((xy) \ cdot \ xi) \, d \ omega _ {\ xi}.}$

Výsledek vyplývá ze vzorce pro newtonovský potenciál (základní řešení Poissonovy rovnice). Toto je v podstatě forma inverzního vzorce pro radonovou transformaci, protože získává hodnotu φ ( x ) ze svých integrálů nad hyperplanes. Například pokud n je liché a k = 1 , pak integrál na pravé straně je

${\ displaystyle {\ begin {aligned} & c_ {n} \ Delta _ {x}^{\ frac {n+1} {2}} \ iint _ {S^{n-1}} \ varphi (y) | (yx) \ cdot \ xi | \, d \ omega _ {\ xi} \, dy \\ [5pt] = {} & c_ {n} \ Delta _ {x}^{(n+1)/2} \ int _ {S^{n-1}} \, d \ omega _ {\ xi} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} | p | R \ varphi (\ xi, p+x \ cdot \ xi) \, dp \ end {zarovnáno}}}$

kde Rφ ( ξ , p ) je radonová transformace φ :

${\ Displaystyle R \ varphi (\ xi, p) = \ int _ {x \ cdot \ xi = p} f (x) \, d^{n-1} x.}$

Alternativní ekvivalentní vyjádření rozkladu rovinných vln od Gelfand & Shilov (1966–1968 , I, §3.10) je

${\ Displaystyle \ delta (x) = {\ frac {(n-1)!} {(2 \ pi i)^{n}}} \ int _ {S^{n-1}} (x \ cdot \ xi)^{-n} \, d \ omega _ {\ xi}}$

pro n sudý, a

${\ Displaystyle \ delta (x) = {\ frac {1} {2 (2 \ pi i)^{n-1}}}} \ int _ {S^{n-1}} \ delta^{(n- 1)} (x \ cdot \ xi) \, d \ omega _ {\ xi}}$

pro n liché.

Fourierova jádra

Při studiu Fourierových řad spočívá hlavní otázka v určení, zda a v jakém smyslu Fourierova řada spojená s periodickou funkcí konverguje k funkci. N tý částečný součet Fourierovy řady funkčního f o období 2 n je definován konvolucí (v intervalu [-π, π] ) s jádrem Dirichlet :

${\ Displaystyle D_ {N} (x) = \ sum _ {n = -N}^{N} e^{inx} = {\ frac {\ sin \ left (\ left (N+{\ frac {1} { 2}} \ right) x \ right)} {\ sin (x/2)}}}.}$

Tím pádem,

${\ Displaystyle s_ {N} (f) (x) = D_ {N}*f (x) = \ sum _ {n = -N}^{N} a_ {n} e^{inx}}$

kde

${\ Displaystyle a_ {n} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {-\ pi}^{\ pi} f (y) e^{-iny} \, dy.}$

Základní výsledek elementární Fourierovy řady uvádí, že jádro Dirichlet má tendenci k násobku delta funkce jako N → ∞ . To je interpretováno ve smyslu distribuce, že

${\ Displaystyle s_ {N} (f) (0) = \ int _ {\ mathbf {R}} D_ {N} (x) f (x) \, dx \ to 2 \ pi f (0)}$

pro každou kompaktně podporovanou hladkou funkci f . Formálně tedy člověk má

${\ Displaystyle \ delta (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} e^{inx}}$

na intervalu  [−π, π] .

Navzdory tomu výsledek neplatí pro všechny kompaktně podporované spojité funkce: to znamená, že D _N nekonverguje slabě ve smyslu opatření. Nedostatek konvergence Fourierovy řady vedl k zavedení různých metod sčítatelnosti, které produkují konvergenci. Metoda souhrnu Cesàra vede k jádru Fejér

${\ Displaystyle F_ {N} (x) = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 0}^{N-1} D_ {n} (x) = {\ frac {1} { N}} \ left ({\ frac {\ sin {\ frac {Nx} {2}}} {\ sin {\ frac {x} {2}}}} \ right)^{2}.}$

Na jádra Fejér tendenci delta funkce v silnějším smyslu, že

${\ Displaystyle \ int _ {\ mathbf {R}} F_ {N} (x) f (x) \, dx \ to 2 \ pi f (0)}$

pro každou kompaktně podporovanou spojitou funkci f . Z toho vyplývá, že Fourierova řada jakékoli spojité funkce je Cesàro sčítatelná s hodnotou funkce v každém bodě.

Hilbertova vesmírná teorie

Distribuce Dirac delta je hustě definovaný neomezený lineární funkční na Hilbertově prostoru L ² ze čtvercového integrovatelných funkcí . Hladké kompaktně podporované funkce jsou ve skutečnosti husté v L ² a působení distribuce delta na takové funkce je dobře definováno. V mnoha aplikacích je možné identifikovat podprostory L ² a poskytnout silnější topologii, na které funkce delta definuje ohraničenou lineární funkci .

Sobolevovy prostory

Sobolev vkládání teorém pro Soboleových prostorů na reálné ose R znamená, že jakékoliv čtverečních integrovatelná funkce f tak, že

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {H^{1}}^{2} = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} | {\ widehat {f}} (\ xi) |^{2 } (1+ | \ xi |^{2}) \, d \ xi <\ infty}$

je automaticky kontinuální a zejména uspokojuje

${\ Displaystyle \ delta [f] = | f (0) | <C \ | f \ | _ {H^{1}}.}$

Tak δ je omezená lineární funkční na Sobolev prostoru H ¹ . Ekvivalentně δ je prvek spojitého duálního prostoru H ⁻¹ z H ¹ . Obecněji řečeno, v n rozměrech má jeden δ ∈ H ^{- s} ( R ⁿ ) za předpokladu  s > n  / 2 .

Prostory holomorfních funkcí

V komplexní analýze vstupuje funkce delta prostřednictvím Cauchyho integrálního vzorce , který tvrdí, že pokud D je doména v komplexní rovině s hladkou hranicí, pak

${\ Displaystyle f (z) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ mast _ {\ partial D} {\ frac {f (\ zeta) \, d \ zeta} {\ zeta -z} }, \ quad z \ v D}$

pro všechny holomorfních funkcí F v D , které jsou kontinuální o uzavření D . Výsledkem je, že delta funkce δ _z je v této třídě holomorfních funkcí reprezentována Cauchyovým integrálem:

${\ Displaystyle \ delta _ {z} [f] = f (z) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ mast _ {\ partial D} {\ frac {f (\ zeta) \, d \ zeta} {\ zeta -z}}.}$

Kromě toho, ať H ² (∂ D ) je Hardy prostor se skládá z uzávěru v L ² (∂ D ) všech holomorfních funkcí v D kontinuální až do hranice D . Pak se funkce v H ² (∂ D ) jednoznačně rozšíří na holomorfní funkce v D a Cauchyův integrální vzorec nadále platí. Zejména pro z ∈ D je delta funkce δ _z spojitá lineární funkční na H ² (∂ D ). To je zvláštní případ situace z více komplexních proměnných , ve kterých, na hladké domény D je Szegö jádro hraje roli Cauchy integrálu.

Řešení identity

Vzhledem k tomu, kompletní ortonormální báze sadu funkcí { φ _n } v Hilbertově prostoru, například, normalizované vektory příslušníky kompaktní operátora vlastním adjoint , jakýkoliv vektor, f může být vyjádřena jako

${\ Displaystyle f = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} \ alpha _ {n} \ varphi _ {n}.}$

Koeficienty {α _n } se nacházejí jako

${\ Displaystyle \ alpha _ {n} = \ langle \ varphi _ {n}, f \ rangle,}$

který může být reprezentován zápisem:

${\ Displaystyle \ alpha _ {n} = \ varphi _ {n}^{\ dagger} f,}$

forma Bracetova zápisu Diraca. Přijetím tohoto zápisu, expanze f vezme Dyadická tvar:

${\ Displaystyle f = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} \ varphi _ {n} \ left (\ varphi _ {n}^{\ dagger} f \ right).}$

Nechal jsem označují operátor identity na Hilbert prostoru, výraz

${\ Displaystyle I = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} \ varphi _ {n} \ varphi _ {n}^{\ dagger},}$

se nazývá řešení identity . Když je Hilbertův prostor prostor L ² ( D ) čtvercově integrovatelných funkcí v doméně D , množství:

${\ Displaystyle \ varphi _ {n} \ varphi _ {n}^{\ dagger},}$

je integrální operátor a výraz pro f lze přepsat

${\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} \ int _ {D} \, \ left (\ varphi _ {n} (x) \ varphi _ {n}^{* } (\ xi) \ vpravo) f (\ xi) \, d \ xi.}$

Pravá strana konverguje k f ve smyslu L ² . Nemusí to platit v bodovém smyslu, i když f je spojitá funkce. Přesto je běžné zneužívat notaci a psát

${\ Displaystyle f (x) = \ int \, \ delta (x- \ xi) f (\ xi) \, d \ xi,}$

což má za následek reprezentaci funkce delta:

${\ Displaystyle \ delta (x- \ xi) = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} \ varphi _ {n} (x) \ varphi _ {n}^{*} (\ xi).}$

Při vhodném upraveném Hilbertově prostoru (Φ, L ² ( D ), Φ*), kde Φ ⊂ L ² ( D ) obsahuje všechny kompaktně podporované hladké funkce, se toto součty mohou sbíhat v Φ*, v závislosti na vlastnostech báze φ _n . Ve většině případů praktického zájmu pochází ortonormální základ od integrálního nebo diferenciálního operátoru, v takovém případě se řada sbíhá ve smyslu distribuce .

Nekonečně malé funkce delta

Cauchy použil nekonečně malý α k zapsání jednotkového impulsu, nekonečně vysoké a úzké delta funkce Diracového typu δ _α vyhovující v řadě článků v roce 1827. Cauchy definoval v Cours d'Analyse (1827) nekonečně malé z hlediska tendence sekvence na nulu. Totiž, taková nulová sekvence se stane nekonečně malou v terminologii Cauchyho a Lazare Carnota . ${\ textstyle \ int F (x) \ delta _ {\ alpha} (x) = F (0)}$

Nestandardní analýza umožňuje přísně zacházet s infinitesimals. Článek Yamashity (2007) obsahuje bibliografii o moderních Diracových delta funkcích v kontextu nekonečně malého obohaceného kontinua poskytovaného hyperrealy . Zde může být Diracova delta dána skutečnou funkcí, mající tu vlastnost, že pro každou skutečnou funkci F má, jak předpokládali Fourier a Cauchy. ${\ textstyle \ int F (x) \ delta _ {\ alpha} (x) = F (0)}$

Hřeben Dirac

Takzvaný jednotný „sled pulsů“ měření Diracovy delty, který je známý jako Diracovský hřeben nebo Shahova distribuce, vytváří funkci vzorkování , často používanou při zpracování digitálního signálu (DSP) a při analýze diskrétního časového signálu. Hřeben Dirac je uveden jako nekonečný součet , jehož limit je chápán ve smyslu distribuce,

${\ displaystyle \ operatorname {III} (x) = \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} \ delta (xn),}$

což je posloupnost bodových hmot na každém z celých čísel.

Až do celkové normalizační konstanty je Diracov hřeben roven vlastní Fourierově transformaci. To je důležité, protože pokud je nějaká funkce Schwartz , pak periodizace ze je dán konvolucí ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle (f*\ operatorname {III}) (x) = \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} f (xn).}$

Zejména,

${\ displaystyle (f*\ operatorname {III})^{\ wedge} = {\ widehat {f}} {\ widehat {\ operatorname {III}}} = {\ widehat {f}} \ operatorname {III}}$

je přesně Poissonův součtový vzorec . Obecněji platí, že tento vzorec zůstává pravdivý, pokud jde o temperovanou distribuci rychlého klesání nebo, ekvivalentně, pokud jde o pomalu rostoucí, běžnou funkci v prostoru temperovaných distribucí. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle {\ widehat {f}}}$

Sokhotski – Plemeljova věta

Sokhotski-Plemelj věta , významný v kvantové mechaniky, se týká funkce delta do rozvodné pv 1 / x je hlavní hodnota Cauchy funkce 1 / x , definovanou

${\ Displaystyle \ left \ langle \ operatorname {pv} {\ frac {1} {x}}, \ varphi \ right \ rangle = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0^{+}} \ int _ {| x |> \ varepsilon} {\ frac {\ varphi (x)} {x}} \, dx.}$

Sokhotského vzorec to říká

${\ Displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0^{+}} {\ frac {1} {x \ pm i \ varepsilon}}} = \ operatorname {pv} {\ frac {1} {x}} \ mp i \ pi \ delta (x),}$

Zde je limit chápán ve smyslu distribuce, že pro všechny kompaktně podporované hladké funkce f ,

${\ Displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0^{+}} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} {\ frac {f (x)} {x \ pm i \ varepsilon}} \, dx = \ mp i \ pi f (0)+\ lim _ {\ varepsilon \ to 0^{+}} \ int _ {| x |> \ varepsilon} {\ frac {f (x)} {x}} \, dx.}$

Vztah k Kroneckerově deltě

Kronecker delta δ _ij je množství definované

${\ Displaystyle \ delta _ {ij} = {\ begin {cases} 1 & i = j \\ 0 & i \ not = j \ end {cases}}}$

pro všechna celá čísla i , j . Tato funkce pak splňuje následující analogii prosévající vlastnosti: pokud existuje nějaká dvojnásobně nekonečná posloupnost , pak ${\ displaystyle (a_ {i}) _ {i \ in \ mathbf {Z}}}$

${\ Displaystyle \ sum _ {i =-\ infty}^{\ infty} a_ {i} \ delta _ {ik} = a_ {k}.}$

Podobně pro jakoukoli skutečnou nebo komplexní oceňovanou spojitou funkci f na R splňuje Diracova delta prosévací vlastnost

${\ Displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} f (x) \ delta (x-x_ {0}) \, dx = f (x_ {0}).}$

Toto ukazuje funkci Kronecker delta jako diskrétní analog funkce Dirac delta.

Aplikace

Teorie pravděpodobnosti

V teorii pravděpodobnosti a statistikách se Diracova delta funkce často používá k reprezentaci diskrétního rozdělení nebo částečně diskrétního, částečně spojitého rozdělení pomocí funkce hustoty pravděpodobnosti (která se normálně používá k reprezentaci absolutně spojitých rozdělení). Například funkci hustoty pravděpodobnosti f ( x ) diskrétního rozdělení sestávajícího z bodů x = { x ₁ , ..., x _n }, s odpovídajícími pravděpodobnostmi p ₁ , ..., p _n , lze zapsat jako

${\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {i = 1}^{n} p_ {i} \ delta (x-x_ {i}).}$

Jako další příklad zvažte rozdělení, ve kterém 6/10 času vrací standardní normální rozdělení a 4/10 času vrací přesně hodnotu 3,5 (tj. Částečně spojité, částečně diskrétní rozdělení směsi ). Hustotní funkci této distribuce lze zapsat jako

${\ Displaystyle f (x) = 0,6 \, {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}}+0,4 \, \ delta (x-3,5).}$

Funkce delta se také používá k reprezentaci výsledné funkce hustoty pravděpodobnosti náhodné proměnné, která je transformována spojitě diferencovatelnou funkcí. Pokud Y = g ( X ) je spojitá diferencovatelná funkce, pak lze hustotu Y zapsat jako

${\ Displaystyle f_ {Y} (y) = \ int _ {-\ infty}^{+\ infty} f_ {X} (x) \ delta (yg (x)) dx.}$

Funkce delta se používá také v úplně jiným způsobem reprezentovat místní čas o difuzního procesu (jako Brownova pohybu ). Místní čas stochastického procesu B ( t ) je dán vztahem

${\ Displaystyle \ ell (x, t) = \ int _ {0}^{t} \ delta (xB (s)) \, ds}$

a představuje množství času, které proces stráví v bodě x v rozsahu procesu. Přesněji, v jedné dimenzi lze tento integrál zapsat

${\ Displaystyle \ ell (x, t) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0^{+}} {\ frac {1} {2 \ varepsilon}} \ int _ {0}^{t} \ mathbf { 1} _ {[x- \ varepsilon, x+\ varepsilon]} (B (s)) \, ds}$

kde 1 _{[ x - ε , x + ε ]} je indikátorová funkce intervalu [ x - ε , x + ε ] .

Kvantová mechanika

Funkce delta je v kvantové mechanice účelná . Vlnová funkce částice dává amplitudu pravděpodobnost nalezení částice v dané oblasti prostoru. Vlnové funkce se předpokládá, že prvky Hilbertova prostoru L ² ze čtvercových-integrovatelných funkcí , a celková pravděpodobnost nalezení částice v daném intervalu je integrál velikosti vlnové funkce na druhou přes interval. Sada { } vlnových funkcí je ortonormální, pokud jsou normalizovány ${\ Displaystyle | \ varphi _ {n} \ rangle}$

${\ Displaystyle \ langle \ varphi _ {n} \ mid \ varphi _ {m} \ rangle = \ delta _ {nm}}$

kde je Kroneckerova delta. Sada funkcí ortonormálních vln je v prostoru čtvercově integrovatelných funkcí úplná, pokud lze jakoukoli vlnovou funkci vyjádřit jako lineární kombinaci { } s komplexními koeficienty: ${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ Displaystyle | \ varphi _ {n} \ rangle}$

${\ Displaystyle \ psi = \ sum c_ {n} \ varphi _ {n},}$

s . Kompletní ortonormální systémy vlnové funkce se objeví přirozeně jako eigenfunctions z hamiltoniánu (jednoho vázaného systému ) v kvantové mechanice, že opatření na snížení energetické hladiny, které se nazývají vlastní čísla. Soubor vlastních čísel je v tomto případě znám jako spektrum hamiltoniánu. V notaci bra -ket , jak je uvedeno výše , tato rovnost znamená vyřešení identity: ${\ Displaystyle c_ {n} = \ langle \ varphi _ {n} | \ psi \ rangle}$

${\ Displaystyle I = \ sum | \ varphi _ {n} \ rangle \ langle \ varphi _ {n} |.}$

Zde se předpokládá, že vlastní čísla jsou diskrétní, ale množina vlastních čísel pozorovatelného může být spojitá spíše než diskrétní. Příkladem je pozorovatelná poloha , Qψ ( x ) = x ψ ( x ) . Spektrum polohy (v jedné dimenzi) je celá skutečná čára a nazývá se spojité spektrum . Na rozdíl od hamiltoniánu však operátorovi polohy chybí správné vlastní funkce. Konvenčním způsobem, jak tento nedostatek překonat, je rozšířit třídu dostupných funkcí tím, že umožníme také distribuce: to znamená nahradit Hilbertův prostor kvantové mechaniky vhodným zmanipulovaným Hilbertovým prostorem . V této souvislosti má operátor polohy kompletní sadu vlastních distribucí, označených body y skutečné čáry, dané

${\ Displaystyle \ varphi _ {y} (x) = \ delta (xy).}$

Vlastní funkce polohy jsou označeny v Diracově notaci a jsou známé jako vlastní stavy polohy. ${\ Displaystyle \ varphi _ {y} = | y \ rangle}$

Podobné úvahy platí pro vlastní stavy operátora hybnosti nebo pro jakýkoli jiný nezávislý nevázaný operátor P v Hilbertově prostoru za předpokladu, že spektrum P je spojité a neexistují zdegenerovaná vlastní čísla. V takovém případě existuje množina Ω reálných čísel (spektrum) a sbírka φ _y distribucí indexovaných prvky Ω, takže

${\ Displaystyle P \ varphi _ {y} = y \ varphi _ {y}.}$

To znamená, že φ _y jsou vlastní vektory P . Pokud jsou vlastní vektory normalizovány tak, že

${\ Displaystyle \ langle \ varphi _ {y}, \ varphi _ {y '} \ rangle = \ delta (y-y')}$

ve smyslu rozdělení pak pro jakoukoli testovací funkci ψ,

${\ Displaystyle \ psi (x) = \ int _ {\ Omega} c (y) \ varphi _ {y} (x) \, dy}$

kde

${\ Displaystyle c (y) = \ langle \ psi, \ varphi _ {y} \ rangle.}$

To znamená, že stejně jako v diskrétním případě existuje řešení identity

${\ Displaystyle I = \ int _ {\ Omega} | \ varphi _ {y} \ rangle \, \ langle \ varphi _ {y} | \, dy}$

kde integrál oceňovaný operátorem je opět chápán ve slabém smyslu. Pokud má spektrum P spojité i diskrétní části, pak rozlišení identity zahrnuje součet přes diskrétní spektrum a integrál přes spojité spektrum.

Funkce delta má také mnohem více specializovaných aplikací v kvantové mechanice, například modely delta potenciálu pro jamku s jednoduchým a dvojitým potenciálem.

Strukturální mechanika

Funkci delta lze ve strukturní mechanice použít k popisu přechodových nebo bodových zatížení působících na konstrukce. Lze zapsat řídící rovnici jednoduché soustavy hmota - pružina buzené náhlým silovým impulzem I v čase t = 0

${\ Displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^{2} \ xi} {\ mathrm {d} t ^{2}}}+k \ xi = I \ delta (t),}$

kde m je hmotnost, £ vychýlení a k na pružinovou konstantu .

Jako další příklad je rovnice řídící statickou výchylku štíhlého paprsku podle Eulerovy -Bernoulliho teorie ,

${\ Displaystyle EI {\ frac {\ mathrm {d} ^{4} w} {\ mathrm {d} x ^{4}}} = q (x),}$

kde EI je ohybová tuhost paprsku, w k vychýlení , x prostorové souřadnici a q ( x ) na rozložení zatížení. Pokud je paprsek zatížen bodovou silou F při x = x ₀ , je zapsáno rozdělení zatížení

${\ Displaystyle q (x) = F \ delta (x-x_ {0}).}$

Protože integrace delta funkce má za následek krokovou funkci Heaviside , vyplývá z toho, že statická výchylka štíhlého paprsku vystaveného vícenásobnému bodovému zatížení je popsána množinou po částech polynomů .

Bodový moment působící na paprsek lze také popsat pomocí funkcí delta. Uvažujme dvě protichůdné bodové síly F ve vzdálenosti d od sebe. Poté vytvoří moment M = Fd působící na paprsek. Nyní je vzdálenost d přiblíží limitu nula, přičemž M je udržována konstantní. Rozložení zatížení za předpokladu, že moment ve směru hodinových ručiček působí na x = 0, je zapsáno

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} q (x) & = \ lim _ {d \ to 0} {\ Big (} F \ delta (x) -F \ delta (xd) {\ Big)} \\ [ 4pt] & = \ lim _ {d \ až 0} \ vlevo ({\ frac {M} {d}} \ delta (x)-{\ frac {M} {d}} \ delta (xd) \ vpravo) \\ [4pt] & = M \ lim _ {d \ to 0} {\ frac {\ delta (x)-\ delta (xd)} {d}} \\ [4pt] & = M \ delta '(x ). \ end {aligned}}}$

Bodové momenty tak mohou být reprezentovány derivací funkce delta. Integrace rovnice paprsku opět vede k polynomiální výchylce po částech .

Viz také

• Atom (teorie měření)
• Delta potenciál
• Dirac opatření
• Zásadní řešení
• Greenova funkce
• Laplacian indikátoru

Poznámky

Reference

• Aratyn, Henrik; Rasinariu, Constantin (2006), Krátký kurz matematických metod s Maple , World Scientific, ISBN 978-981-256-461-0.
• Arfken, GB ; Weber, HJ (2000), Mathematical Methods for Physicists (5th ed.), Boston, Massachusetts: Academic Press , ISBN 978-0-12-059825-0.
• Bracewell, RN (1986), Fourierova transformace a její aplikace (2. vydání), McGraw-Hill.
• Córdoba, A. (1988), „La formule sommatoire de Poisson“, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 306 : 373–376.
• Courant, Richard ; Hilbert, David (1962), Metody matematické fyziky, svazek II , Wiley-Interscience.
• Davis, Howard Ted; Thomson, Kendall T (2000), Lineární algebra a lineární operátory ve strojírenství s aplikacemi v Mathematica , Academic Press, ISBN 978-0-12-206349-7
• Dieudonné, Jean (1976), Pojednání o analýze. Sv. II , New York: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-215502-4, MR  0530406.
• Dieudonné, Jean (1972), Pojednání o analýze. Sv. III , Boston, Massachusetts: Academic Press, MR  0350769
• Dirac, Paul (1930), The Principles of Quantum Mechanics (1st ed.), Oxford University Press.
• Driggers, Ronald G. (2003), Encyclopedia of Optical Engineering , CRC Press, Bibcode : 2003eoe..book ..... D , ISBN 978-0-8247-0940-2.
• Duistermaat, Hans ; Kolk (2010), Distribuce: Teorie a aplikace , Springer.
• Federer, Herbert (1969), Geometric theory theory , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 153 , New York: Springer-Verlag, str. Xiv+676, ISBN 978-3-540-60656-7, MR  0257325.
• Gannon, Terry (2008), "Vertex operator algebras" , Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, ISBN 978-1400830398.
• Gelfand, IM ; Shilov, GE (1966–1968), zobecněné funkce , 1–5 , Academic Press, ISBN 9781483262246.
• Hartmann, William M. (1997), Signály, zvuk a vjem , Springer, ISBN 978-1-56396-283-7.
• Hazewinkel, Michiel (2011). Encyklopedie matematiky . 10 . Springer. ISBN 978-90-481-4896-7. OCLC  751862625 .
• Hewitt, E ; Stromberg, K (1963), Reálná a abstraktní analýza , Springer-Verlag.
• Hörmander, L. (1983), Analýza lineárních parciálních diferenciálních operátorů I , Grundl. Matematika. Wissenschaft., 256 , Springer, doi : 10.1007/978-3-642-96750-4 , ISBN 978-3-540-12104-6, MR  0717035.
• Isham, CJ (1995), Přednášky o kvantové teorii: matematické a strukturální základy , Imperial College Press, ISBN 978-81-7764-190-5.
• John, Fritz (1955), Rovinné vlny a sférické prostředky aplikované na parciální diferenciální rovnice , Interscience Publishers, New York-London, ISBN 9780486438047, MR  0075429.
• Lang, Serge (1997), Pregraduate analysis , Pregraduate Texts in Mathematics (2. vyd.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4757-2698-5 , ISBN 978-0-387-94841-6, MR  1476913.
• Lange, Rutger-Jan (2012), „Teorie potenciálu, integrály cest a Laplacián indikátoru“, Journal of High Energy Physics , 2012 (11): 29–30, arXiv : 1302.0864 , Bibcode : 2012JHEP ... 11. .032L , doi : 10.1007/JHEP11 (2012) 032 , S2CID  56188533.
• Laugwitz, D. (1989), „Definitivní hodnoty nekonečných součtů: aspekty základů nekonečně malé analýzy kolem roku 1820“, Arch. Hist. Přesně Sci. , 39 (3): 195–245, doi : 10,1007/BF00329867 , S2CID  120890300.
• Levin, Frank S. (2002), „Funkce a úplnost souřadnicových prostorových vln“ , Úvod do kvantové teorie , Cambridge University Press, s. 109 a násl. , ISBN 978-0-521-59841-5
• Li, YT; Wong, R. (2008), „Integrální a sériové znázornění funkce Diracovy delty“, Commun. Pure Appl. Anální. , 7 (2): 229–247, arXiv : 1303.1943 , doi : 10,3934/cpaa.2008.7.229 , MR  2373214 , S2CID  119319140.
• de la Madrid, R .; Bohm, A .; Gadella, M. (2002), „Rigged Hilbert Space Treatment of Continuous Spectrum“, Fortschr. Fyz. , 50 (2): 185–216, arXiv : quant-ph/0109154 , Bibcode : 2002ForPh..50..185D , doi : 10.1002/1521-3978 (200203) 50: 2 <185 :: AID-PROP185> 3.0 .CO; 2-S.
• McMahon, D. (2005-11-22), „An Introduction to State Space“ (PDF) , Quantum Mechanics Demystified, A Self-Teaching Guide , Demystified Series, New York: McGraw-Hill, p. 108, doi : 10.1036/0071455469 , ISBN 978-0-07-145546-6, vyvolány 2008-03-17.
• van der Pol, Balth .; Bremmer, H. (1987), Operational calculus (3rd ed.), New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0327-6, MR  0904873.
• Rudin, W. (1991), Funkční analýza (2. vyd.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054236-5.
• Vallée, Olivier; Soares, Manuel (2004), Airy functions and applications to physics , London: Imperial College Press, ISBN 9781911299486.
• Saichev, AI; Woyczyński, Wojbor Andrzej (1997), „Kapitola 1: Základní definice a operace“ , Distribuce ve fyzikálních a inženýrských vědách: Distribuční a fraktální kalkul, integrální transformace a vlnky , Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3924-2
• Schwartz, L. (1950), Théorie des distributions , 1 , Hermann.
• Schwartz, L. (1951), Théorie des distributions , 2 , Hermann.
• Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.
• Strichartz, R. (1994), Průvodce distribuční teorií a Fourierovými transformacemi , CRC Press, ISBN 978-0-8493-8273-4.
• Vladimirov, VS (1971), Rovnice matematické fyziky , Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-1713-1.
• Weisstein, Eric W. „Funkce Delta“ . MathWorld .
• Yamashita, H. (2006), „Pointwise analysis of scalar fields: A nonstandard approach“, Journal of Mathematical Physics , 47 (9): 092301, Bibcode : 2006JMP .... 47i2301Y , doi : 10.1063/1.2339017
• Yamashita, H. (2007), "Komentář k" Bodová analýza skalárních polí: nestandardní přístup "[J. Math. Phys. 47, 092301 (2006)]", Journal of Mathematical Physics , 48 (8): 084101, Bibcode : 2007JMP .... 48h4101Y , doi : 10,1063/1,2771422

externí odkazy

• Média související s distribucí Dirac na Wikimedia Commons
• "Delta-function" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Video lekce KhanAcademy.org
• Funkce Dirac Delta , návod k funkci Dirac delta.
• Video přednášky - Přednáška 23 , přednáška Arthura Mattucka .
• Měření Diracovy delty je hyperfunkce
• Ukazujeme existenci jedinečného řešení a analyzujeme aproximaci konečných prvků, když je zdrojovým termínem Diracovo delta měřítko
• Non-Lebesgue opatření na R. Lebesgue-Stieltjes opatření, Dirac delta opatření.