Disjoint union - Disjoint union

V matematiky , je nesouvislý unii (nebo diskriminované unie ) z rodiny souborů je soubor s prosté zobrazení každého do A , tak, že obrazy těchto injekcí tvoří oddíl z A, (to znamená, že každý prvek A patří přesně jeden z těchto obrázků). Nespojité spojení rodiny párových disjunktních množin je jejich sjednocením . Z hlediska teorie kategorií je disjunktní sjednocení je vedlejší produkt v kategorii souborů . Odpojená unie je tedy definována až do bijekce. ${\ displaystyle (A_ {i} \ colon i \ in I)}$${\ Displaystyle A = \ bigsqcup _ {i \ in I} A_ {i},}$${\ displaystyle A_ {i}}$

Standardní způsob budování disjunktní unie je definovat A jako množinu uspořádaných párů ( x , i ) tak, že a injektivní funkce pomocí${\ displaystyle x \ v A_ {i},}$${\ displaystyle A_ {i} \ do A}$${\ Displaystyle x \ mapsto (x, i).}$

Příklad

Zvažte sady a . Prvky množiny můžeme indexovat podle původu sady vytvořením přidružených sad ${\ displaystyle A_ {0} = \ {5,6,7 \}}$${\ displaystyle A_ {1} = \ {5,6 \}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} A_ {0}^{*} & = \ {(5,0), (6,0), (7,0) \} \\ A_ {1}^{*} & = \ {(5,1), (6,1) \}, \ end {zarovnáno}}}$

kde druhý prvek v každé dvojici odpovídá dolnímu indexu sady původu (např. in odpovídá indexu v atd.). Odpojenou unii pak lze vypočítat následovně: ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle (5,0)}$${\ displaystyle A_ {0}}$${\ displaystyle A_ {0} \ sqcup A_ {1}}$

${\ Displaystyle A_ {0} \ sqcup A_ {1} = A_ {0}^{*} \ cup A_ {1}^{*} = \ {(5,0), (6,0), (7, 0), (5,1), (6,1) \}.}$

Definice teorie množin

Formálně, nech být rodina sady indexovaných The disjunktní sjednocení této rodiny je sada ${\ Displaystyle \ left \ {A_ {i}: i \ in I \ right \}}$${\ Displaystyle I.}$

${\ Displaystyle \ bigsqcup _ {i \ in I} A_ {i} = \ bigcup _ {i \ in I} \ left \ {(x, i): x \ in A_ {i} \ right \}.}$

Prvky disjunktního spojení jsou uspořádané páry Zde slouží jako pomocný index, který udává, ze kterého prvku pochází. ${\ displaystyle (x, i).}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle x}$

Každá ze sad je kanonicky izomorfní k množině ${\ displaystyle A_ {i}}$

${\ Displaystyle A_ {i}^{*} = \ left \ {(x, i): x \ in A_ {i} \ right \}.}$

Prostřednictvím tohoto izomorfismu lze uvažovat o tom, že je kanonicky zakotven v disjunktním spojení. U souborů a jsou disjunktní, i když sady a nejsou. ${\ displaystyle A_ {i}}$${\ Displaystyle i \ neq j,}$${\ displaystyle A_ {i}^{*}}$${\ displaystyle A_ {j}^{*}}$${\ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle A_ {j}}$

V krajním případě, kdy každý z rovná nějaké pevné sady pro každý nesouvislý unie je kartézský součin of a : ${\ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle i \ v I,}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle I}$

${\ Displaystyle \ bigsqcup _ {i \ in I} A_ {i} = A \ times I.}$

Člověk může příležitostně vidět notaci

${\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} A_ {i}}$

pro disjunktní spojení rodiny množin nebo zápis pro disjunktní spojení dvou množin. Tento zápis má naznačovat skutečnost, že mohutnost disjunktního svazku je součtem kardinalit pojmů v rodině. Srovnejte to s notací pro karteziánský součin rodiny množin. ${\ displaystyle A+B}$

Odpojené odbory se také někdy píší resp${\ displaystyle \ biguplus _ {i \ in I} A_ {i}}$${\ Displaystyle \ \ cdot \! \! \! \! \! \ bigcup _ {i \ in I} A_ {i}.}$

V jazyce teorie kategorií je disjunktní unie koproduktem v kategorii množin . Splňuje tedy související univerzální vlastnost . To také znamená, že disjunktní sjednocení je kategorické dual z kartézského součinu konstrukce. Další podrobnosti najdete v koproduktu .

Pro mnoho účelů není konkrétní výběr pomocného indexu důležitý a ve zjednodušujícím zneužití zápisu lze s indexovanou rodinou zacházet jednoduše jako se sadou množin. V tomto případě je označována jako kopie z a zápis je někdy používán. ${\ displaystyle A_ {i}^{*}}$${\ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle {\ underset {A \ in C} {\, \, \ bigcup \ nolimits ^{*} \!}} A}$

Úhel pohledu na teorii kategorií

V teorii kategorií je disjunktní unie definována jako koprodukt v kategorii množin.

Jako takový je disjunktní unie definována až do izomorfismu a výše uvedená definice je mimo jiné pouze jednou realizací koproduktu. Když jsou sady párově disjunktní, obvyklé spojení je další realizací koproduktu. To odůvodňuje druhou definici v předstihu.

Tento kategorický aspekt disjunktní unie vysvětluje, proč se často používá místo toho k označení koproduktu . ${\ displaystyle \ coprod}$${\ displaystyle \ bigsqcup}$

Viz také

• Koprodukt  -kategorie-teoretická konstrukce
• Přímý limit
• Disjoint union (topologie)
• Nespojité spojení grafů
• Rozdělení sady  - matematické způsoby seskupování prvků sady
• Typ součtu
• Tagged union  - Datová struktura používaná k uchování hodnoty, která může nabývat několika různých, ale pevných typů
• Union (počítačová věda)

Reference

• Lang, Serge (2004), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Opravený čtvrtý tisk, revidované třetí vydání.), New York: Springer-Verlag, str. 60, ISBN 978-0-387-95385-4
• Weisstein, Eric W. „Disjoint Union“ . MathWorld .