Divize algebra - Division algebra

V oblasti matematiky zvané abstraktní algebra je divizní algebra zhruba řečeno algebra nad polem, ve kterém je dělení , s výjimkou nuly, vždy možné.

Definice

Formálně začínáme nenulovou algebrou D nad polem . Říkáme D divize algebry pokud z nějakého prvku A v D a jakékoli nenulové prvek b v D existuje právě jeden prvek x v D s a = bx a přesně jeden prvek y v D, tak, že je = Yb .

U asociativních algeber lze definici zjednodušit následovně: nenulová asociativní algebra nad polem je algebra dělení právě tehdy , má-li prvek multiplikativní identity 1 a každý nenulový prvek a má multiplikativní inverzi (tj. prvek x s ax = xa = 1 ).

Algebry asociativního dělení

Nejznámějšími příklady asociativních divize algebry jsou ty skutečné konečných-dimenzionální (to znamená, algebry nad terénní výzkum z reálných čísel , která jsou finite- rozměrný jako vektorový prostor přes reals). Frobeniova věta uvádí, že až do izomorfismu tam jsou tři takové algebry: samotní reals (rozměr 1), pole komplexních čísel (rozměr 2), a čtveřice (rozměr 4).

Wedderburnova malá věta říká, že pokud D je algebra konečného dělení, pak D je konečné pole .

Přes algebraicky uzavřené pole K (například komplexní čísla C ) neexistují žádné konečně-dimenzionální asociativní dělení algeber, kromě samotného K.

Algebry asociativního dělení nemají nulové dělitele . Konečný-rozměrný unital asociativní algebra (po jakémkoliv oboru) je rozdělení algebra právě tehdy, když to nemá žádné nulové dělitele.

Kdykoliv je asociativní unital algebra přes pole F a S je jednoduchý modul přes A , pak endomorphism kroužek z S je rozdělení algebry přes F ; každá asociativní divizní algebra nad F vzniká tímto způsobem.

Centrum asociativního rozdělení algebry D přes pole K je pole obsahující K . Dimenze takové algebry přes její střed, je-li konečná, je dokonalým čtvercem : rovná se čtverci dimenze maximálního podpole D nad středem. Vzhledem k tomu, pole F , je Brauer ekvivalence tříd jednoduchých (obsahuje pouze triviální oboustranné ideály) asociativní divize algebry, jejichž centrem je F a které jsou konečný-rozměrné nad F může být obrácená do skupiny, do skupiny Brauer pole F .

Jeden způsob, jak konstruovat konečně-dimenzionální asociativní dělení algebry nad libovolnými poli, je dán kvaternionovými algebrami (viz také čtveřice ).

Pro nekonečně dimenzionální asociativní dělení algebry jsou nejdůležitější případy, kdy má prostor určitou rozumnou topologii . Viz například normované dělení algeber a Banachovy algebry .

Ne nutně asociativní divizní algebry

Pokud se algebra dělení nepředpokládá jako asociativní, obvykle se místo toho vloží nějaká slabší podmínka (například alternativita nebo asociativita síly ). Seznam takových podmínek naleznete v algebře nad polem .

Nad realitami existují (až do izomorfismu) pouze dvě unitární komutativní konečně-dimenzionální dělení algebry: samotné reality a komplexní čísla. Samozřejmě jsou obě asociativní. U neasociativního příkladu zvažte komplexní čísla s násobením definovaným převzetím komplexního konjugátu obvyklého násobení:

${\ displaystyle a * b = {\ overline {ab}}.}$

Toto je komutativní neasociativní divizní algebra dimenze 2 nad reálemi a nemá žádný jednotkový prvek. Existuje nekonečně mnoho dalších neizomorfních komutativních, neasociativních, konečně-dimenzionálních reálných divizních algeber, ale všechny mají dimenzi 2.

Ve skutečnosti je každá konečně-dimenzionální skutečná komutativní divize algebra buď 1- nebo 2-dimenzionální. Toto je známé jako Hopfova věta a bylo prokázáno v roce 1940. Důkaz používá metody z topologie . Ačkoli byl nalezen pozdější důkaz pomocí algebraické geometrie , není znám žádný přímý algebraický důkaz. Základní věta algebry je důsledkem Hopf teorému.

Když upustil od požadavku komutativity, Hopf zobecnil svůj výsledek: Jakákoli konečněrozměrná algebra reálného dělení musí mít dimenzi o síle 2.

Pozdější práce ukázala, že jakákoli konečněrozměrná algebra reálného dělení musí být dimenze 1, 2, 4 nebo 8. Toto nezávisle prokázali Michel Kervaire a John Milnor v roce 1958, opět s použitím technik algebraické topologie , zejména K -teorie . Adolf Hurwitz v roce 1898 ukázal, že identita platí pouze pro dimenze 1, 2, 4 a 8. (Viz Hurwitzova věta .) Výzvu sestrojit dělící algebru tří dimenzí řešilo několik raných matematiků. Kenneth O. May zkoumal tyto pokusy v roce 1966. ${\ displaystyle q {\ overline {q}} = {\ text {součet čtverců}}}$

Jakákoli skutečná konečně-dimenzionální dělicí algebra nad reálemi musí být

• isomorphic to R or C if unitary and commutative (equivalently: asociative and commutative)
• je izomorfní pro čtveřice, pokud je nekomutativní, ale asociativní
• je izomorfní s oktoniony, pokud není asociativní, ale alternativní .

O dimenzi konečněrozměrné algebry A nad polem K je známo následující :

• dim A = 1, pokud je K algebraicky uzavřeno ,
• dim A = 1, 2, 4 nebo 8, pokud je K skutečně uzavřeno , a
• Pokud K , ani algebraicky ani skutečný zavřené, pak existuje nekonečně mnoho rozměrů, ve kterém existují divize algebry nad K. .

Viz také

• Normovaná divizní algebra
• Divize (matematika)
• Divizní prsten
• Semifield
• Cayley – Dicksonova konstrukce

Poznámky

Reference

• Cohn, Paul Moritz (2003). Základní algebra: skupiny, kroužky a pole . London: Springer-Verlag. doi : 10,1007 / 978-0-85729-428-9 . ISBN 978-1-85233-587-8. MR  1935285 .
• Lam, Tsit-Yuen (2001). První kurz v nekomutativních kruzích . Postgraduální texty z matematiky . 131 (2. vydání). Springer. ISBN 0-387-95183-0.

externí odkazy

• „Division algebra“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]