Dělení nulou - Division by zero

Funkce

y =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} 1/X

. Jak se

x

blíží

0

zprava,

y se

blíží nekonečnu. Jak se

x

blíží

0

zleva,

y se

blíží zápornému nekonečnu.

V matematiky , dělení nulou je rozdělení , kde dělitel (jmenovatel) je nulový . Takové rozdělení lze formálně vyjádřit jako kde $a$ je dividenda (čitatel). V běžném aritmetický výraz nemá žádný význam, protože neexistuje číslo, které, po vynásobení $0$ , dává (za předpokladu ), a tak dělení nulou je definována . Protože jakékoli číslo vynásobené nulou je nula, není výraz také definován; když je to forma limitu , je to neurčitá forma . Historicky jeden z prvních zaznamenaných odkazů na matematickou nemožnost přiřazení hodnoty je obsažen v kritice anglo-irského filozofa George Berkeleyho ohledně nekonečně malého počtu v roce 1734 v The Analyst („duchové zesnulých veličin“). ${\ textstyle {\ tfrac {a} {0}}}$ ${\ textstyle a \ neq 0}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {0} {0}}}$ ${\ textstyle {\ tfrac {a} {0}}}$

Existují matematické struktury, ve kterých je definováno pro některé $a$ , například v Riemannově sféře ( model rozšířené komplexní roviny ) a projektivně rozšířené reálné přímce ; takové struktury však nesplňují všechna běžná pravidla aritmetiky ( axiomy pole ). ${\ textstyle {\ tfrac {a} {0}}}$

V práci na počítači , je chyba programu může být výsledkem pokusu o dělení nulou. V závislosti na programovacím prostředí a typu čísla (např. Plovoucí desetinná čárka , celé číslo ) děleného nulou může generovat kladné nebo záporné nekonečno podle standardu IEEE 754 s plovoucí desetinnou čárkou, generovat výjimku , generovat chybovou zprávu , způsobit, že program ukončit, vyústit ve speciální hodnotu bez čísla nebo havárii .

Elementární aritmetika

Když je rozdělení vysvětleno na elementární aritmetické úrovni, je často považováno za rozdělení sady objektů na stejné části. Jako příklad zvažte, že máte deset cookies, a tyto cookies mají být rozděleny rovnoměrně pěti lidem u stolu. Každá osoba by dostala cookies. Podobně, pokud je u stolu deset cookies a pouze jedna osoba u stolu, tato osoba by cookies obdržela . ${\ displaystyle {\ tfrac {10} {5}} = 2}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {10} {1}} = 10}$

Takže pro dělení nulou, jaký je počet cookies, které každý dostane, když je 10 cookies rovnoměrně rozděleno mezi 0 lidí u stolu? V otázce lze určit konkrétní slova, která problém zvýrazní. Problémem této otázky je „kdy“. Neexistuje způsob, jak distribuovat 10 cookies nikomu. Takže alespoň v elementární aritmetice se říká, že je buď nesmyslný, nebo nedefinovaný. ${\ displaystyle {\ tfrac {10} {0}}}$

Pokud existuje, řekněme, 5 cookies a 2 lidé, problém je v „rovnoměrném rozdělení“. V libovolném celočíselném rozdělení 5 věcí na 2 části bude buď jedna z částí oddílu obsahovat více prvků než druhá, nebo bude existovat zbytek (psaný jako5/2= 2 r1). Nebo problém s 5 cookies a 2 lidmi lze vyřešit rozkrojením jednoho cookie na polovinu, což zavádí myšlenku zlomků (5/2= 2+1/2). Problém s 5 cookies a 0 lidmi na druhé straně nelze vyřešit žádným způsobem, který by zachoval význam „rozděluje“.

V elementární algebře je dalším způsobem pohledu na dělení nulou to, že dělení lze vždy zkontrolovat pomocí násobení. Vzhledem k10/0příklad výše, nastavení x =10/0, pokud x se rovná deseti děleno nulou, pak x krát nula se rovná deseti, ale neexistuje žádné x, které při vynásobení nulou dává deset (nebo jakékoli jiné číslo než nula). Pokud místo x =10/0, x =0/0, pak každé x splňuje otázku 'jaké číslo x , vynásobené nulou, dává nulu?'

Počáteční pokusy

Brahmasphutasiddhanta of Brahmagupta (c. 598-668) je nejčasnější textu k léčbě nulu jako číslo v jeho vlastní pravý, a vymezit operace zahrnující nulu. Autor nedokázal ve svých textech vysvětlit dělení nulou: jeho definici lze snadno prokázat, že vede k algebraickým absurditám. Podle Brahmagupta,

Kladné nebo záporné číslo při dělení nulou je zlomek s nulou jako jmenovatelem. Nula dělená záporným nebo kladným číslem je buď nula, nebo je vyjádřena jako zlomek s nulou jako čitatelem a konečným množstvím jako jmenovatelem. Nula dělená nulou je nula.

V roce 830 se Mahāvīra neúspěšně pokusil napravit Brahmaguptovu chybu ve své knize Ganita Sara Samgraha : „Číslo zůstává beze změny, pokud je děleno nulou.“

Algebra

Čtyři základní operace - sčítání, odčítání, násobení a dělení - aplikované na celá čísla (kladná celá čísla), s určitými omezeními, v elementární aritmetice se používají jako rámec pro podporu rozšíření oblasti čísel, na kterou se vztahují. Aby například bylo možné odečíst jakékoli celé číslo od jiného, musí být sféra čísel rozšířena na celou sadu celých čísel , aby bylo možné začlenit záporná celá čísla. Podobně, aby se podpořilo dělení jakéhokoli celého čísla jakýmkoli jiným, musí se sféra čísel rozšířit na racionální čísla . Během tohoto postupného rozšiřování číselného systému je dbáno na to, aby „rozšířené operace“ při aplikaci na starší čísla nepřinesly různé výsledky. Volně řečeno, protože dělení nulou nemá žádný význam (není definováno ) v celém nastavení čísel, toto zůstává pravdivé, protože nastavení se rozšiřuje na skutečná nebo dokonce komplexní čísla .

Vzhledem k tomu, že se rozšiřuje oblast čísel, na které lze tyto operace aplikovat, dochází také ke změnám ve způsobu zobrazení operací. Například v oblasti celých čísel již odčítání není považováno za základní operaci, protože může být nahrazeno přidáním podepsaných čísel. Podobně, když se oblast čísel rozšíří o racionální čísla, je dělení nahrazeno násobením určitými racionálními čísly. V souladu s touto změnou úhlu pohledu se otázka „Proč nemůžeme dělit nulou?“ Stává „Proč nemůže mít racionální číslo nulový jmenovatel?“. Odpověď na tuto revidovanou otázku vyžaduje přesné zkoumání definice racionálních čísel.

V moderním přístupu ke konstrukci pole reálných čísel se racionální čísla jeví jako mezistupeň ve vývoji, který je založen na teorii množin. Za prvé, přirozená čísla (včetně nuly) jsou stanovena na axiomatickém základě, jako je Peanoův axiový systém, a poté je toto rozšířeno na kruh celých čísel . Dalším krokem je definovat racionální čísla, přičemž je třeba mít na paměti, že to musí být provedeno pouze pomocí sad a operací, které již byly vytvořeny, konkrétně sčítání, násobení a celá čísla. Počínaje sadou uspořádaných dvojic celých čísel, ${(a, b)}$ s $b \neq 0$ , definujte binární relaci na této sadě pomocí $(a, b) ≃ (c, d) právě$ tehdy, pokud $ad = bc$ . Tento vztah je ukázán jako vztah ekvivalence a jeho třídy ekvivalence jsou pak definovány jako racionální čísla. Je ve formálním důkazu, že tento vztah je vztahem ekvivalence, že je potřeba požadavek, aby druhá souřadnice nebyla nula (pro ověření tranzitivity ).

Výše uvedené vysvětlení může být pro mnohé účely příliš abstraktní a technické, ale pokud člověk předpokládá existenci a vlastnosti racionálních čísel, jak se běžně děje v elementární matematice, „důvod“, že dělení nulou není povoleno, je skrytý před pohledem. V tomto nastavení však lze poskytnout (nekompromisní) odůvodnění.

Vyplývá to z vlastností číselné soustavy, kterou používáme (tj. Celá čísla, racionály, reálná čísla atd.), Pokud $b \neq 0,$ pak rovnice $A / b = c$ je ekvivalentní $a = b \times c$ . Za předpokladu, že $A / 0$ je číslo $c$ , pak to musí být $a = 0 \times c = 0$ . Jediné číslo $c$ by však muselo být určeno rovnicí $0 = 0 \times c$ , ale každé číslo této rovnici vyhovuje, takže nemůžeme přiřadit číselnou hodnotu $0 / 0$ .

Dělení jako inverzní násobení

Pojem, který vysvětluje dělení v algebře, je, že jde o inverzní násobení. Například,

{\ displaystyle {\ frac {6} {3}} = 2}

protože

2

je hodnota, pro kterou je neznámé množství v

{\ displaystyle? \ times 3 = 6}

je pravda. Ale ten výraz

{\ displaystyle {\ frac {6} {0}} = \, x}

vyžaduje nalezení hodnoty pro neznámé množství v

{\ displaystyle x \ times 0 = 6.}

Ale jakékoli číslo vynásobené

0

je

0,

a proto neexistuje žádné číslo, které by rovnici řešilo.

Výraz

{\ displaystyle {\ frac {0} {0}} = \, x}

vyžaduje nalezení hodnoty pro neznámé množství v

{\ displaystyle x \ times 0 = 0.}

Opět platí, že jakékoli číslo vynásobené

0

je

0,

a tak tentokrát každé číslo řeší rovnici místo toho, aby existovalo jediné číslo, které lze brát jako hodnotu

0 / 0

.

Obecně nelze jedné hodnotě přiřadit zlomek, kde je jmenovatel $0,$ takže hodnota zůstává nedefinována.

Bludy

Důvodem, proč nedovolit dělení nulou, je to, že pokud by to bylo povoleno, vyvstalo by mnoho absurdních výsledků (tj. Klamy ). Při práci s číselnými veličinami je snadné určit, kdy dochází k nezákonnému pokusu o dělení nulou. Zvažte například následující výpočet.

S předpoklady:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} 0 \ times 1 & = 0, \\ 0 \ times 2 & = 0, \ end {aligned}}}

platí následující:

{\ displaystyle 0 \ times 1 = 0 \ times 2.}

Vydělením obou stran nulou získáte:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {0 \ times 1} {0}} & = {\ frac {0 \ times 2} {0}} \\ [6px] {\ frac {0} {0 }} \ times 1 & = {\ frac {0} {0}} \ times 2. \ end {aligned}}}

Zjednodušeně to přináší:

{\ Displaystyle 1 = 2.}

Blud je zde předpoklad, že dělení 0 nulou je legitimní operace se stejnými vlastnostmi jako dělení jakýmkoli jiným číslem.

Je však možné zamaskovat dělení nulou v algebraickém argumentu, což vede k neplatným důkazům, že například $1 = 2$ , například následující:

Nechť

1 = x

.

Vynásobením $x$ získáte

{\ displaystyle x = x^{2}.}

Odečtením

1

z každé strany získáte

{\ Displaystyle x-1 = x^{2} -1.}

Vydělte obě strany

x - 1

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {x-1} {x-1}} & = {\ frac {x^{2} -1} {x-1}} \\ [6pt] & = {\ frac {(x+1) (x-1)} {x-1}}, \ end {zarovnaný}}}

což zjednodušuje na

{\ Displaystyle 1 = x+1.}

Ale protože

x = 1

,

{\ Displaystyle 1 = 1+1 = 2.}

K skrytému dělení nulou dochází od $x - 1 = 0,$ když $x = 1$ .

Analýza

Prodloužená skutečná linie

Na první pohled se jeví jako možné definovat / 0 uvážením limitu z a / b jako b blíží 0.

Pro každé kladné a je limit zprava

{\ Displaystyle \ lim _ {b \ to 0^{+}} {a \ over b} =+\ infty}

limit zleva však je

{\ Displaystyle \ lim _ {b \ to 0^{-}} {a \ over b} =-\ infty}

a tak je nedefinováno (limit je také nedefinovaný pro záporné a ). ${\ Displaystyle \ lim _ {b \ to 0} {a \ over b}}$

Kromě toho neexistuje žádná zřejmá definice 0/0, kterou lze odvodit z uvažování limitu poměru. Omezení

{\ Displaystyle \ lim _ {(a, b) \ to (0,0)} {a \ over b}}

neexistuje. Limity formuláře

{\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {f (x) \ over g (x)}}

ve kterém se f ( x ) i g ( x ) blíží 0, protože x se blíží 0, se může rovnat jakékoli skutečné nebo nekonečné hodnotě, nebo nemusí vůbec existovat, v závislosti na konkrétních funkcích f a g .

Zvažte například:

{\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 1} {x^{2} -1 \ over x-1}}

To se zpočátku jeví jako neurčité. Nicméně:

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} & = \ lim _ {x \ to 1} {(x-1) (x+1) \ over x-1} \\ & = \ lim _ {x \ to 1} {(x+1)} \\ & = 2 \ konec {zarovnáno}}}

a tak limit existuje a je roven . ${\ displaystyle 2}$

Tyto a další podobné skutečnosti ukazují, že výraz nelze dobře definovat jako limit. ${\ displaystyle {\ frac {0} {0}}}$

Formální operace

Formální výpočet je prováděn za použití pravidel aritmetika, bez ohledu na to, zda je výsledek výpočtu je dobře definován. Tak, to je někdy užitečné přemýšlet o / 0, kde ≠ 0, jak je . Toto nekonečno může být buď pozitivní, negativní nebo bez znaménka, v závislosti na kontextu. Formálně například: ${\ displaystyle \ infty}$

{\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {{\ frac {1} {x}} = {\ frac {\ lim \ limits _ {x \ to 0} {1}} {\ lim \ limits _ { x \ až 0} {x}}}} = \ infty.}

Jako u všech formálních výpočtů mohou být získány neplatné výsledky. Logicky přísný (na rozdíl od formálního) výpočtu by tvrdil pouze to

{\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0^{+}} {\ frac {1} {x}} =+\ infty ~ {\ text {and}} ~ \ lim _ {x \ to 0^{- }} {\ frac {1} {x}} =-\ infty.}

Protože se jednostranné limity liší, oboustranný limit ve standardním rámci reálných čísel neexistuje. Také zlomek 1/0 je ponechán nedefinovaný v prodloužené reálné linii , proto to a

{\ Displaystyle {\ frac {\ lim \ limits _ {x \ to 0} 1} {\ lim \ limits _ {x \ to 0} x}}}

jsou nesmyslné výrazy .

Projekčně prodloužená skutečná linie

Sada je projektivně prodloužená reálná čára , což je jednobodové zhutnění skutečné čáry. Zde se rozumí nekonečno bez znaménka , nekonečné množství, které není ani pozitivní ani negativní. Toto množství splňuje , což je v této souvislosti nezbytné. V této struktuře, může být definována pro nenulový , a když není . Je to přirozený způsob, jak zobrazit rozsah tečných funkcí a kotangentních funkcí trigonometrie : $tan ($ $x$ $) se$ blíží k jednomu bodu v nekonečnu, když se $x$ blíží buď $+$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ cup \ {\ infty \}}$ ${\ displaystyle \ infty}$ ${\ Displaystyle -\ infty = \ infty}$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {0}} = \ infty}$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {\ infty}} = 0}$ ${\ displaystyle \ infty}$ $π / 2$ nebo $- π / 2$ z obou směrů.

Tato definice vede k mnoha zajímavým výsledkům. Výsledná algebraická struktura však není pole a nelze od ní očekávat, že se bude chovat jako jedna. Například je v tomto prodloužení skutečné linky nedefinováno. ${\ displaystyle \ infty +\ infty}$

Riemannova sféra

Sada je Riemannova sféra , která má zásadní význam v komplexní analýze . I zde je nekonečno bez znaménka - nebo, jak se v této souvislosti často nazývá, bod v nekonečnu . Tato sada je analogický s projektivně prodloužené reálné ose, kromě toho, že je založen na pole z komplexních čísel . V Riemannově sféře, a , ale a jsou nedefinovány. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \}}$ ${\ displaystyle \ infty}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {0}} = \ infty}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ infty}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {0} {0}}}$ ${\ displaystyle 0 \ times \ infty}$

Rozšířená nezáporná řada reálných čísel

Záporná reálná čísla lze zahodit a zavést nekonečno, což vede k množině $[0, \infty]$ , kde dělení nulou lze přirozeně definovat jako $A / 0 = \infty$ pro pozitivní $a$ . Ačkoli to dělá dělení definováno ve více případech než obvykle, odčítání je místo toho v mnoha případech ponecháno nedefinované, protože neexistují žádná záporná čísla.

Algebra pro pokročilé

Ačkoli dělení nulou nelze rozumně definovat skutečnými čísly a celými čísly, je možné jej důsledně definovat nebo podobné operace v jiných matematických strukturách.

Nestandardní analýza

V hyperreálných číslech a surrealistických číslech je dělení nulou stále nemožné, ale dělení nenulovým nekonečně malým číslem je možné.

Distribuční teorie

V teorii distribuce lze rozšířit funkci na distribuci v celém prostoru reálných čísel (ve skutečnosti pomocí Cauchyových hlavních hodnot ). Nemá však smysl žádat „hodnotu“ tohoto rozdělení v x = 0; sofistikovaná odpověď se týká singulární podpory distribuce. ${\ textstyle {\ frac {1} {x}}}$

Lineární algebra

V maticové algebře (nebo lineární algebry obecně), je možné definovat pseudo-dělení, nastavením na / b = ab ⁺ , ve kterém b ⁺ představuje pseudoinverze o b . Je dokázáno, že pokud existuje b ⁻¹ , pak b ⁺ = b ⁻¹ . Pokud se b rovná 0, pak b ⁺ = 0.

Abstraktní algebra

Jakýkoli číselný systém, který tvoří komutativní kruh - například celá čísla, reálná čísla a komplexní čísla - lze rozšířit na kolo, ve kterém je vždy možné dělení nulou; v takovém případě má však „rozdělení“ trochu jiný význam.

Pojmy aplikované na standardní aritmetiku jsou podobné těm v obecnějších algebraických strukturách, jako jsou prstence a pole . V poli je každý nenulový prvek při násobení invertovatelný; jak je uvedeno výše, dělení způsobuje problémy pouze při pokusu o dělení nulou. Totéž platí pro šikmé pole (které se z tohoto důvodu nazývá dělící prstenec ). V jiných prstencích však může dělení nenulovými prvky také představovat problémy. Například prstenec Z /6 Z celých čísel mod 6. Význam výrazu by měl být řešením x rovnice . Ale v kruhu Z /6 Z je 2 nulovým dělitelem . Tato rovnice má dvě různá řešení, $x$ $= 1$ a $x$ $= 4$ , takže výraz není definován . ${\ textstyle {\ frac {2} {2}}}$ ${\ displaystyle 2x = 2}$ ${\ textstyle {\ frac {2} {2}}}$

V teorii pole je výraz pouze zkratkou pro formální výraz ab ⁻¹ , kde b ⁻¹ je multiplikativní inverze b . Protože axiomy pole zaručují pouze existenci takových inverzí pro nenulové prvky, tento výraz nemá žádný význam, když b je nula. Moderní texty, které definují pole jako speciální typ prstence, obsahují axiom $0 \neq 1$ pro pole (nebo jeho ekvivalent), takže nulový kruh je vyloučen z toho, že je pole. V nulovém kruhu je možné dělení nulou, což ukazuje, že ostatní axiomy pole nejsou dostatečné k vyloučení dělení nulou v poli. ${\ textstyle {\ frac {a} {b}}}$

Počítačová aritmetika

Většina kalkulaček, jako je tento Texas Instruments TI-86 , zastaví provádění a zobrazí chybovou zprávu, když se uživatel nebo spuštěný program pokusí dělit nulou.

Dělení nulou na kalkulačce Android 2.2.1 ukazuje symbol nekonečna.

Standard IEEE s plovoucí desetinnou čárkou , podporovaný téměř všemi moderními jednotkami s plovoucí desetinnou čárkou , určuje, že každá aritmetická operace s pohyblivou řádovou čárkou, včetně dělení nulou, má dobře definovaný výsledek. Standard podporuje podepsanou nulu , stejně jako nekonečno a NaN ( ne číslo ). Existují dvě nuly: +0 ( kladná nula ) a -0 ( záporná nula ), což při dělení odstraňuje nejednoznačnost. V aritmetice IEEE 754 je a ÷ +0 kladné nekonečno, když a je kladné, záporné nekonečno, když a je záporné, a NaN, když a = ± 0. Znaky nekonečna se místo toho mění dělením −0 .

Odůvodněním této definice je zachování znaménka výsledku v případě aritmetického podtečení . Například při výpočtu s jednou přesností 1 /( x /2), kde x = ± 2 ⁻¹⁴⁹ , výpočet x /2 přetéká a vytváří ± 0 se shodou znaménka x a výsledek bude ± ∞ se shodou znamének x . Znaménko se bude shodovat se znaménkem přesného výsledku ± 2 ¹⁵⁰ , ale velikost přesného výsledku je příliš velká na to, aby ji bylo možné znázornit, takže k označení přetečení se používá nekonečno.

Celé dělení nulou se obvykle zpracovává odlišně od plovoucí desetinné čárky, protože pro výsledek neexistuje celočíselná reprezentace. Některé procesory generují výjimku při pokusu o dělení celého čísla nulou, ačkoli jiné budou jednoduše pokračovat a vygenerují nesprávný výsledek pro dělení. Výsledek závisí na tom, jak je dělení implementováno, a může být buď nula, nebo někdy největší možné celé číslo.

Kvůli nesprávným algebraickým výsledkům přiřazení jakékoli hodnoty k dělení nulou mnoho počítačových programovacích jazyků (včetně těch, které používají kalkulačky ) výslovně zakázalo provedení operace a může předčasně zastavit program, který se o to pokusí, někdy hlásí „Dělit nulou“ "chyba. V těchto případech, pokud je pro dělení nulou požadováno nějaké zvláštní chování, musí být podmínka výslovně testována (například pomocí příkazu if ). Některé programy (zejména ty, které používají aritmetiku s pevnou řádovou čárkou, kde není k dispozici žádný vyhrazený hardware s plovoucí desetinnou čárkou) budou používat chování podobné standardu IEEE s použitím velkých kladných a záporných čísel k aproximaci nekonečna. V některých programovacích jazycích má pokus o dělení nulou za následek nedefinované chování . Grafický programovací jazyk Scratch 2.0 a 3.0 používaný v mnoha školách vrací Infinity nebo −Infinity v závislosti na znaménku dividendy.

V aritmetice dvou komplementů se pokusy o dělení nejmenšího celého čísla se znaménkem −1 účastní podobných problémů a řeší se stejným rozsahem řešení, od explicitních chybových podmínek po nedefinované chování .

Většina kalkulaček buď vrátí chybu, nebo uvede, že 1/0 není definována; některé kalkulačky grafů TI a HP však vyhodnotí (1/0) ² až ∞.

Microsoft Math a Mathematica se vrací ComplexInfinityza 1/0. Maple a SageMath vrací chybovou zprávu pro 1/0 a nekonečno pro 1/0,0 (0,0 říká těmto systémům, že místo algebraické aritmetiky používají aritmetiku s pohyblivou řádovou čárkou).

Některé moderní kalkulačky umožňují dělení nulou ve zvláštních případech, kde to bude užitečné pro studenty a pravděpodobně v kontextu pochopeno matematiky. Některé kalkulačky, online kalkulačka Desmos je jedním příkladem, umožňují arktangens (1/0). Studenti se často učí, že inverzní kotangensová funkce, arkotangens , by měla být vypočítána tak, že vezmeme arktangens reciproční, a tak kalkulačka může povolit arktangens (1/0), což dává výstup , což je správná hodnota arkotangensu 0. The matematické odůvodnění je, že limita, kdy x jde na nulu, je arktangens 1/x . ${\ displaystyle {\ tfrac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ pi} {2}}}$

Historické nehody

21. září 1997 svrhla chyba dělení nulou ve „Remote Data Base Manager“ na palubě USS Yorktown (CG-48) všechny stroje v síti, což způsobilo selhání pohonného systému lodi.

Viz také

Reference

Poznámky

Prameny

Bunch, Bryan (1997) [1982], Matematické klamy a paradoxy , Dover, ISBN 978-0-486-29664-7
Klein, Felix (1925), Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint / Arithmetic, Algebra, Analysis , translation by Hedrick, ER; Noble, CA (3. vyd.), Dover
Hamilton, AG (1982), Numbers, Sets, and Axioms , Cambridge University Press, ISBN 978-0521287616
Henkin, Leon; Smith, Norman; Varineau, Verne J .; Walsh, Michael J. (2012), Retracing Elementary Mathematics , Literary Licensing LLC, ISBN 978-1258291488
Patrick Suppes 1957 (vydání Dover 1999), Úvod do logiky , Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-40687-3 (pbk.). Tato kniha je tištěná a snadno dostupná. Suppesův §8.5 Problém rozdělení podle nuly začíná takto: „Že v tomto nejlepším ze všech možných světů, i v matematice, není všechno nejlepší, je dobře ilustrováno naléhavým problémem definování fungování dělení v elementární teorii. aritmetiky “(str. 163). Ve svém §8.7 Pět přístupů k rozdělení nulou poznamenává, že „... neexistuje jednotně uspokojivé řešení“ (str. 166)
Schumacher, Carol (1996), Kapitola nula: Základní pojmy abstraktní matematiky , Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-82653-1
Charles Seife 2000, Zero: The Biography of a Dangerous Idea , Penguin Books, NY, ISBN 0-14-029647-6 (pbk.). Tato oceněná kniha je velmi přístupná. Spolu s fascinující historií (pro někoho) odporného pojmu a jiného kulturního bohatství popisuje, jak je nula špatně aplikována s ohledem na násobení a dělení.
Alfred Tarski 1941 (edice Dover 1995), Úvod do logiky a do metodiky deduktivních věd , Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-28462-X (pbk.). Tarskiho definice §53, jejichž definice obsahuje znak identity, pojednává o tom, jak dochází k chybám (alespoň s ohledem na nulu). Končí svou kapitolu „(Diskuse o tomto poměrně obtížném problému [přesně jedno číslo splňující definiens] zde bude vynecháno.*)“ (Str. 183). * Ukazuje na cvičení č. 24 (str. 189), kde žádá důkaz o následujícím: „V sekci 53 byla jako příklad uvedena definice čísla„ 0 “. Pro jistotu tato definice neznamená vést k rozporu, měla by mu předcházet následující věta: Existuje přesně jedno číslo x takové, že pro jakékoli číslo y má: y + x = y “

Další čtení

Jakub Czajko (červenec 2004) „ O kantorském časoprostoru nad číselnými soustavami s dělením nulou “, Chaos, Solitons a Fractals , svazek 21, číslo 2, strany 261–271.
Ben Goldacre (2006-12-07). „Matematický profesor se dělí nulou, říká BBC“ .
Chcete -li pokračovat v kontinuitě Metaphysica 6, s. 91–109, filozofický dokument z roku 2005, znovu zavedl (starověkou indickou) myšlenku použitelného celého čísla rovnajícího se 1/0, v modernějším (kantorském) stylu.

Languages

In other projects