Donskerova věta - Donsker's theorem

Donsker princip invariance pro jednoduchou náhodnou procházku na .${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

V teorii pravděpodobnosti je Donskerova věta (také známá jako Donskerův princip invariance nebo funkční centrální limitní věta ), pojmenovaná po Monroe D. Donskerovi , funkční rozšíření centrální limitní věty .

Nechť je posloupnost nezávislých a identicky distribuovaných (iid) náhodných proměnných s průměrem 0 a rozptylem 1. Nechť . Stochastický proces je známý jako náhodná procházka . Definujte difuzně zmenšenou náhodnou procházku (proces částečného součtu) podle ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, \ ldots}$${\ Displaystyle S_ {n}: = \ sum _ {i = 1}^{n} X_ {i}}$${\ Displaystyle S: = (S_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

${\ Displaystyle W^{(n)} (t): = {\ frac {S _ {\ lfloor nt \ rfloor}} {\ sqrt {n}}}, \ qquad t \ in [0,1].}$

Centrální limitní věta tvrdí, že konverguje v distribuci na standardní Gaussova náhodné veličiny jako . Princip Donskerovy invariance rozšiřuje tuto konvergenci na celou funkci . Přesněji řečeno, ve své moderní podobě Donskerův princip invariance uvádí, že: Jako náhodné proměnné přijímající hodnoty v prostoru Skorokhod se náhodná funkce konverguje v distribuci na standardní Brownův pohyb jako${\ Displaystyle W^{(n)} (1)}$ ${\ Displaystyle W (1)}$${\ displaystyle n \ to \ infty}$${\ Displaystyle W^{(n)}: = (W^{(n)} (t)) _ {t \ in [0,1]}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} [0,1]}$${\ displaystyle W^{(n)}}$ ${\ Displaystyle W: = (W (t)) _ {t \ in [0,1]}}$${\ Displaystyle n \ do \ infty.}$

Dějiny

Nechť F _n je empirická distribuční funkce posloupnosti iid náhodných proměnných s distribuční funkcí F. Definujte středovou a zmenšenou verzi F _n pomocí ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, \ ldots}$

${\ Displaystyle G_ {n} (x) = {\ sqrt {n}} (F_ {n} (x) -F (x))}$

indexovaný x  ∈  R . Klasickou centrální limitní větou pro pevné x náhodná proměnná G _n ( x ) konverguje v distribuci na Gaussovu (normální) náhodnou proměnnou G ( x ) s nulovým průměrem a rozptylem F ( x ) (1 -  F ( x ) ) jak roste velikost vzorku n .

Věta (Donsker, Skorokhod, Kolmogorov) Posloupnost G _n ( x ), jako náhodných prvků Skorokhodova prostoru , konverguje v distribuci do Gaussova procesu G s nulovým průměrem a kovariancí danou ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} (-\ infty, \ infty)}$

${\ displaystyle \ operatorname {cov} [G (s), G (t)] = E [G (s) G (t)] = \ min \ {F (s), F (t) \}-F ( s)}$${\ displaystyle {F} (t).}$

Proces G ( x ) lze zapsat jako B ( F ( x )), kde B je standardní Brownův můstek na jednotkovém intervalu.

Kolmogorov (1933) ukázal, že když je F spojitý , supremum a supremum absolutní hodnoty konverguje v distribuci k zákonům stejných funkcionálů Brownova můstku B ( t ), viz Kolmogorov – Smirnovův test . V roce 1949 se Doob zeptal, zda konvergence v distribuci platí pro obecnější funkcionály, a tak formuloval problém slabé konvergence náhodných funkcí ve vhodném funkčním prostoru . ${\ displaystyle \ scriptstyle \ sup _ {t} G_ {n} (t)}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ sup _ {t} | G_ {n} (t) |}$

V roce 1952 Donsker uvedl a prokázal (ne zcela správně) obecné rozšíření heuristického přístupu Doob – Kolmogorov. V původním příspěvku Donsker dokázal, že konvergence zákona G _n k Brownovu mostu platí pro rovnoměrné [0,1] rozdělení s ohledem na rovnoměrnou konvergenci v t v intervalu [0,1].

Donskerova formulace však nebyla zcela správná kvůli problému měřitelnosti funkcionálů nespojitých procesů. V roce 1956 Skorokhod a Kolmogorov definovali oddělitelnou metriku d , nazývanou Skorokhodova metrika , na prostoru càdlàg funkcí na [0,1], takže konvergence pro d na spojitou funkci je ekvivalentní konvergenci pro sup normu, a ukázala, že G _n konverguje zákonem k Brownovu mostu. ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} [0,1]}$

Později Dudley přeformuloval Donskerův výsledek, aby se vyhnul problému měřitelnosti a potřebě metriky Skorokhod. Lze dokázat, že existuje X _i , iid uniformní v [0,1] a sekvence vzorkových spojitých Brownových můstků B _n , takže

${\ displaystyle \ | G_ {n} -B_ {n} \ | _ {\ infty}}$

je měřitelný a konverguje s pravděpodobností na 0. Vylepšenou verzí tohoto výsledku, která poskytuje více podrobností o rychlosti konvergence, je aproximace Komlós – Major – Tusnády .

Viz také

• Glivenkova – Cantelliho věta
• Kolmogorov – Smirnovův test

Reference