Tečkovaný produkt - Dot product

V matematiky je skalární součin nebo skalární součin je algebraická operace , která má dva stejné délky sekvence čísel (obvykle souřadnic vektorů ), a vrací jedno číslo. V euklidovské geometrii je široce používán bodový součin kartézských souřadnic dvou vektorů . Často se nazývá „ vnitřníprodukt (nebo jen zřídka projekční produkt ) euklidovského prostoru, i když to není jediný vnitřní produkt, který lze v euklidovském prostoru definovat (více viz Vnitřní produktový prostor ).

Algebraicky, skalární součin je součet produktů odpovídajících vstupů dvou sekvencí čísel. Geometricky je součinem euklidovských velikostí obou vektorů a kosinu úhlu mezi nimi. Tyto definice jsou ekvivalentní při použití kartézských souřadnic. V moderní geometrii jsou euklidovské prostory často definovány pomocí vektorových prostorů . V tomto případě se bodový součin používá k definování délek (délka vektoru je druhá odmocnina bodového součinu vektoru sama o sobě) a úhlů (kosinus úhlu dvou vektorů je podílem jejich bodového součinu součinem jejich délek).

Název „bodový produkt“ je odvozen od středové tečky „  ·  “, která se často používá k označení této operace; alternativní název „skalární součin“ zdůrazňuje, že výsledkem je spíše skalární než vektorový , jako je tomu v případě vektorového součinu v trojrozměrném prostoru.

Definice

Tečkový součin může být definován algebraicky nebo geometricky. Geometrická definice je založena na pojmech úhel a vzdálenost (velikost vektorů). Ekvivalence těchto dvou definic závisí na tom, že pro euklidovský prostor existuje kartézský souřadný systém .

V moderních prezentacích euklidovské geometrie jsou body prostoru definovány pomocí jejich karteziánských souřadnic a samotný euklidovský prostor je běžně identifikován se skutečným souřadnicovým prostorem R n . V takové prezentaci jsou pojmy délky a úhlů definovány pomocí bodového součinu. Délka vektoru je definována jako druhá odmocnina bodu součinu vektoru samotného a kosinus (neorientovaného) úhlu dvou vektorů délky jeden je definován jako jejich bodový součin. Ekvivalence obou definic bodového součinu je tedy součástí ekvivalence klasické a moderní formulace euklidovské geometrie.

Algebraická definice

Skalární součin dvou vektorů A = [ a 1 , 2 , ..., n ] a b = [ b 1 , b 2 , ..., b n ] je definován jako:

kde Σ označuje sčítání a n je rozměr z vektorového prostoru . Například v trojrozměrném prostoru je součin bodů vektorů [1, 3, −5] a [4, −2, −1] :

Pokud jsou vektory identifikovány pomocí řádkových matic , může být bodový součin také zapsán jako součin matice

kde označuje transpozici o .

Vyjádřením výše uvedeného příkladu tímto způsobem se matice 1 × 3 ( řádkový vektor ) vynásobí maticí 3 × 1 ( sloupcový vektor ), aby se získala matice 1 × 1, která je identifikována svým jedinečným záznamem:

.

Geometrická definice

Ilustrace ukazující, jak najít úhel mezi vektory pomocí bodového součinu
Výpočet vazebných úhlů symetrické čtyřboké molekulární geometrie pomocí bodového součinu

V euklidovském prostoru je euklidovský vektor geometrický objekt, který má velikost i směr. Vektor lze zobrazit jako šipku. Jeho velikost je jeho délka a jeho směr je směr, kterým šipka ukazuje. Velikost vektoru a je označena . Tečkový součin dvou euklidovských vektorů a a b je definován vztahem

kde θ je úhel mezi a a b .

Zejména v případě, že vektory a b jsou ortogonální (tj, jejich úhel je π / 2 nebo 90 ° C), pak se , což znamená, že

Na druhé straně, pokud jsou stejnosměrné, pak je úhel mezi nimi nulový pomocí a

To znamená, že bodový součin vektoru a sám o sobě je

který dává

vzorec pro euklidovskou délku vektoru.

Skalární projekce a první vlastnosti

Skalární projekce

Skalární výstupek (nebo skalární složka) na vektor A ve směru vektor b je dána vztahem

kde θ je úhel mezi a a b .

Z hlediska geometrické definice bodového produktu to lze přepsat

kde je jednotkový vektor ve směru b .

Distribuční právo pro bodový produkt

Tečkový součin je tedy geometricky charakterizován

Takto definovaný bodový součin je homogenní při škálování v každé proměnné, což znamená, že pro jakýkoli skalární α ,

Splňuje také distribuční zákon , což znamená, že

Tyto vlastnosti lze shrnout tak, že bodový produkt je bilineární formou . Navíc je tato bilineární forma pozitivně definitivní , což znamená, že nikdy není záporná a je nulová právě tehdy, když - nulový vektor.

Tečkový součin je tedy ekvivalentem vynásobení normy (délky) b normou projekce a přes b .

Rovnocennost definic

Pokud e 1 , ..., e n jsou standardní bázové vektory v R n , pak můžeme psát

Vektory e i jsou ortonormální základ , což znamená, že mají jednotkovou délku a jsou navzájem v pravém úhlu. Proto, protože tyto vektory mají jednotkovou délku

a protože navzájem svírají pravý úhel, pokud ij ,

Obecně tedy můžeme říci, že:

Kde δ ij je Kroneckerova delta .

Vektorové komponenty v ortonormálním základě

Také tím, že geometrické definice pro jakýkoli vektor e i a vektor A , bereme na vědomí,

kde a i je složka vektoru a ve směru e i . Poslední krok v rovnosti je patrný z obrázku.

Nyní použití distribuce geometrické verze bodového produktu dává

což je přesně algebraická definice bodového součinu. Součin geometrických bodů se tedy rovná součinu algebraických bodů.

Vlastnosti

Tečkový součin splňuje následující vlastnosti, pokud a , b , a c jsou skutečné vektory a r je skalární .

  1. Komutativní :
    což vyplývá z definice ( θ je úhel mezi a a b ):
  2. Distribuční přes vektorové přidání:
  3. Bilineární :
  4. Skalární násobení :
  5. Není asociativní, protože bodový součin mezi skalárem ( a ⋅ b ) a vektorem ( c ) není definován, což znamená, že výrazy zahrnuté v asociativní vlastnosti, ( a ⋅ b ) ⋅ c nebo a ⋅ ( b ⋅ c ) jsou oba špatně definovaní. Všimněte si však, že dříve zmíněná vlastnost skalárního násobení se někdy nazývá „asociativní zákon pro skalární a bodový součin“ nebo lze říci, že „bodový součin je asociativní s ohledem na skalární násobení“, protože c ( ab ) = ( c a ) ⋅ b = a ⋅ ( c b ).
  6. Ortogonální :
    Dva nenulové vektory a a b jsou ortogonální právě tehdy, když ab = 0 .
  7. Žádné zrušení :
    Na rozdíl od násobení obyčejných čísel, kde pokud ab = ac , pak b se vždy rovná c, pokud a není nula, bodový součin nerespektuje zákon o zrušení :
    Pokud ab = ac a a0 , pak můžeme zapsat: a ⋅ ( b - c ) = 0 podle distribučního zákona ; výsledek výše říká, že to jen znamená, že a je kolmá na ( b - c ) , což stále umožňuje ( b - c ) ≠ 0 , a proto umožňuje bc .
  8. Pravidlo produktu :
    Pokud a a b jsou (vektorově oceněné) diferencovatelné funkce , pak je derivace ( označená prvočíslem ′) ab dána pravidlem ( ab ) ′ = a ′ ⋅ b + ab .

Aplikace na kosinový zákon

Trojúhelník s vektorovými hranami a a b , oddělený úhlem θ .

Vzhledem k tomu, že jsou dva vektory a a b odděleny úhlem θ (viz obrázek vpravo), tvoří trojúhelník se třetí stranou c = a - b . Tečkový součin toho sám o sobě je:

což je zákon kosinů .

Trojitý výrobek

Existují dvě ternární operace zahrnující bodový součin a křížový součin .

Skalární trojitý produkt ze tří vektorů je definován jako

Jeho hodnota je determinantem matice, jejíž sloupce jsou karteziánské souřadnice tří vektorů. To je podepsán objem v rovnoběžnostěnu definován tří vektorů.

Vektor trojitý produkt je definován

Tuto identitu, známou také jako Lagrangeův vzorec , lze pamatovat jako „BAC minus CAB“, přičemž je třeba mít na paměti, které vektory jsou tečkované dohromady. Tento vzorec má aplikace ve zjednodušení vektorových výpočtů ve fyzice .

Fyzika

Ve fyzice , vektor velikost je skalární ve fyzikálním smyslu (tj fyzikální veličina nezávislý na souřadnicovém systému), vyjádřená jako produkt jednoho číselné hodnoty a fyzikální jednotku , ne jen číslo. Tečkový součin je v tomto smyslu také skalární, daný vzorcem, nezávislým na souřadnicovém systému. Například:

Zobecnění

Komplexní vektory

U vektorů se složitými položkami by použití dané definice bodového součinu vedlo ke zcela odlišným vlastnostem. Například bodový součin vektoru sám o sobě by byl libovolným komplexním číslem a mohl by být nulový, aniž by vektor byl nulovým vektorem (takové vektory se nazývají izotropní ); to by zase mělo důsledky pro pojmy jako délka a úhel. Vlastnosti, jako je pozitivně definovaná norma, lze zachránit za cenu vzdání se symetrických a bilineárních vlastností skalárního produktu prostřednictvím alternativní definice

kde je komplexní konjugát z . Když jsou vektory reprezentovány řádkovými vektory , může být bodový produkt vyjádřen jako maticový produkt zahrnující transpozici konjugátu , označenou horním indexem H:

V případě vektorů se skutečnými komponentami je tato definice stejná jako ve skutečném případě. Skalární součin jakéhokoli vektoru sám o sobě je nezáporné reálné číslo a kromě nulového vektoru je nenulové. Složitý skalární produkt je však spíše seskvilineární než bilineární, protože je konjugovaný lineární a není lineární v a . Skalární součin není symetrický, protože

Úhel mezi dvěma komplexními vektory je pak dán vztahem

Složitý skalární součin vede k pojmům hermitských forem a obecných vnitřních produktových prostor , které jsou široce používány v matematice a fyzice .

Součin teček komplexního vektoru je zobecněním absolutního čtverce komplexního čísla.

Vnitřní výrobek

Skalární součin zevšeobecní skalární součin k abstraktním vektorových prostorů přes pole z scalars , je buď pole reálných čísel nebo pole komplexních čísel . To je obvykle označován pomocí rohových příchytek podle .

Vnitřní součin dvou vektorů v poli komplexních čísel je obecně komplexní číslo a je místo bilineární seskvilineární . Vnitřní produktový prostor je normovaný vektorový prostor a vnitřní součin vektoru se sebou samým je skutečný a pozitivně definovaný.

Funkce

Tečkový součin je definován pro vektory, které mají konečný počet záznamů . Tak tyto vektory mohou být považovány za oddělené funkce : a length- n vektor u je, pak funkce s domény { K ∈ ℕ | 1 ≤ kn } , a u i je zápis pro obraz i použití funkce /vektor u .

Tuto představu lze zobecnit na spojité funkce : stejně jako vnitřní součin na vektorech používá součet přes odpovídající složky, vnitřní součin funkcí je definován jako integrál v určitém intervalu axb (také označován [ a , b ] ) :

Zobecněno dále na komplexní funkce ψ ( x ) a χ ( x ) , analogicky s výše uvedeným komplexním vnitřním součinem,

Funkce hmotnosti

Vnitřní produkty mohou mít váhovou funkci (tj. Funkci, která váží každý termín vnitřního výrobku hodnotou). Výslovně, skalární součin funkcí a s ohledem na váhové funkce je

Dyadika a matice

Matice mají vnitřní produkt Frobenius , který je analogický s vektorovým vnitřním produktem. Je definován jako součet součinů odpovídajících složek dvou matic A a B stejné velikosti:

(Pro skutečné matice)

Dyadics mají definovaný bodový produkt a „dvojitý“ bodový produkt, viz Dyadics § Produkt dyadického a dyadického .

Tenzory

Vnitřní součin mezi tenzorem řádu n a tenzorem řádu m je tenzor řádu n + m - 2 , podrobnosti viz Tensorová kontrakce .

Výpočet

Algoritmy

Přímý algoritmus pro výpočet součinu bodů vektorů s plovoucí desetinnou čárkou může trpět katastrofickým zrušením . Aby se tomu zabránilo, používají se přístupy, jako je Kahanův sumační algoritmus .

Knihovny

Funkce bodového produktu je zahrnuta v:

  • BLAS úroveň 1 skutečný SDOT, DDOT; komplexní CDOTU, ZDOTU = X^T * Y, CDOTC ZDOTC = X^H * Y
  • Matlab jako A ' * B nebo konjunkce (transponovat (A)) * B nebo součet (konjunktura (A). * B)
  • GNU Octave jako součet (spoj (X).* Y, dim)
  • Intel® oneAPI Math Kernel Library real p? Dot dot = sub (x) '*sub (y); komplexní p? dotc dotc = conjg (sub (x) ')*sub (y)

Viz také

Poznámky

Reference

externí odkazy