Egyptská část - Egyptian fraction

Egyptská frakce je konečný součet různých zlomky jednotky , jako je například

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {16}}.}$

To znamená, že každá frakce ve výrazu má čitatel rovný 1 a jmenovatel, který je kladné celé číslo , a všechny jmenovatele se od sebe liší. Hodnota výrazu tohoto typu je kladné racionální číslo A/b; například výše uvedený egyptský zlomek činí43/48. Každé kladné racionální číslo může být reprezentováno egyptským zlomkem. Součty tohoto typu a podobné součty také včetně2/3 a 3/4jako summands , byly použity jako vážný zápis pro racionální čísla starými Egypťany, a pokračoval být používán jinými civilizacemi do středověku. V moderní matematické notaci byly egyptské zlomky nahrazeny vulgárními zlomky a desetinnou notací. Egyptské zlomky jsou však i nadále předmětem studia moderní teorie čísel a rekreační matematiky i moderních historických studií starověké matematiky .

Aplikace

Kromě svého historického použití mají egyptské zlomky některé praktické výhody oproti jiným reprezentacím zlomkových čísel. Například egyptské frakce mohou pomoci při dělení jídla nebo jiných předmětů na stejné podíly. Například pokud chcete rozdělit 5 pizz rovnoměrně mezi 8 strávníků, egyptský zlomek

${\ displaystyle {\ frac {5} {8}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {8}}}$

znamená, že každý host dostane polovinu pizzy plus další osminu pizzy, například rozdělením 4 pizz na 8 polovin a zbývající pizza na 8 osmin.

Podobně, i když by bylo možné rozdělit 13 pizz mezi 12 strávníků tím, že by každému hostovi dali jednu pizzu a rozdělili zbývající pizzu na 12 částí (možná ji zničili), dalo by se poznamenat, že

${\ displaystyle {\ frac {13} {12}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}}}$

a rozdělte 6 pizzy na poloviny, 4 na třetiny a zbývající 3 na čtvrtiny, a poté dejte každému večeři jednu polovinu, jednu třetinu a jednu čtvrtinu.

Egyptské frakce mohou poskytnout řešení hádanek na spalování lana , u nichž se má určitá doba trvání zapálením nerovnoměrných lan, která vyhoří po jednotkové době. Jakýkoli racionální zlomek jednotky času lze měřit roztažením zlomku na součet jednotkových zlomků a následným spálením lana pro každý zlomek jednotky tak, aby vždy mělo současně osvětlené body, kde hoří. Pro tuto aplikaci není nutné, aby se jednotkové zlomky navzájem odlišovaly. Toto řešení však může vyžadovat nekonečný počet kroků opětovného osvětlení. ${\ displaystyle 1 / x}$${\ displaystyle x}$

Raná historie

Egyptská zlomková notace byla vyvinuta v Egyptské říši uprostřed . Pět raných textů, ve kterých se objevují egyptské zlomky, byl Egyptský matematický kožený válec , Moskevský matematický papyrus , Reisnerův papyrus , Kahunův papyrus a Akhmimská dřevěná deska . Pozdější text, Rhind Mathematical Papyrus , představil vylepšené způsoby psaní egyptských zlomků. Rhindův papyrus napsal Ahmes a pochází z druhého přechodného období ; obsahuje tabulku rozšíření egyptských zlomků pro racionální čísla2/n, stejně jako 84 slovních úloh . Řešení každého problému byla napsána v písařské zkratce, přičemž konečné odpovědi na všech 84 problémů byly vyjádřeny v egyptské zlomkové notaci.2/ntabulky podobné těm na Rhindově papyru se objevují také na některých dalších textech. Jak však ukazuje Kahunský papyrus , zákoníci při svých výpočtech používali i vulgární zlomky .

Zápis

Zápis zlomky jednotky použité v jejich egyptské frakce notaci, v hieroglyf skriptu, Egypťané umístil hieroglyf

( er , „[jeden] mezi“ nebo případně re , ústa) nad číslem, které představuje převrácenou část tohoto čísla. Podobně v hieratickém skriptu nakreslili čáru přes písmeno představující číslo. Například:

${\ displaystyle = {\ frac {1} {3}}}$

${\ displaystyle = {\ frac {1} {10}}}$

Egypťané měli speciální symboly 1/2, 2/3, a 3/4 které byly použity ke zmenšení velikosti čísel větších než 1/2když byla taková čísla převedena do egyptské zlomkové řady. Zbývající počet po odečtení jedné z těchto speciálních zlomků byl zapsán jako součet odlišných jednotkových zlomků podle obvyklé egyptské zlomkové notace.

${\ displaystyle = {\ frac {1} {2}}}$

${\ displaystyle = {\ frac {2} {3}}}$

${\ displaystyle = {\ frac {3} {4}}}$

Egypťané také používali alternativní notaci upravenou ze Staré říše k označení speciální sady zlomků formuláře 1/2 ^k(pro k = 1, 2, ..., 6) a součty těchto čísel, což jsou nutně dyadická racionální čísla . Tito byli nazvaní “zlomky Horus-Eye” po teorii (nyní zdiskreditované), že byly založeny na částech symbolu Eye of Horus . Byly použity ve Střední říši ve spojení s pozdější notací pro egyptské frakce k rozdělení hekatu , což je primární staroegyptský objemový ukazatel pro obilí, chléb a další malá množství objemu, jak je popsáno v Akhmimské dřevěné desce . Pokud zbyl zbytek po vyjádření množství ve zlomcích hekatu v Eye of Horus, zbytek byl napsán pomocí obvyklé egyptské zlomkové notace jako násobky ro , jednotka rovná se1/320 hekata.

Výpočtové metody

Moderní historici matematiky studovali papyrus Rhind a další starověké zdroje ve snaze objevit metody, které Egypťané používali při výpočtu s egyptskými zlomky. Studie v této oblasti se zejména soustředila na pochopení tabulek rozšíření čísel formuláře2/nv papoušku Rhind. Ačkoli lze tyto expanze obecně popsat jako algebraické identity, metody používané Egypťany nemusí těmto identitám přímo odpovídat. Rozšíření v tabulce navíc neodpovídají žádné jediné identitě; spíše se různé identity shodují s expanzemi pro primární a pro složené jmenovatele a více než jedna identita odpovídá číslům každého typu:

• Pro malé liché hlavní jmenovatele p expanze

${\ displaystyle {\ frac {2} {p}} = {\ frac {1} {\, {\ frac {p + 1} {2}} \,}} + {\ frac {1} {p {\ frac {p + 1} {2}}}}}$

byl použit.

• U větších hlavních jmenovatelů rozšíření formy

${\ displaystyle {\ frac {2} {p}} = {\ frac {1} {A}} + {\ frac {2A-p} {Ap}}}$

bylo použito, kde A je číslo s mnoha děliteli (například praktickým číslem ) mezip/2a str . Zbývající termín2 A - str/Ap byla rozšířena o číslo 2 A - str/Apjako součet dělitelů A a tvoří zlomekd/Apza každého takového dělitele d v tomto součtu. Jako příklad lze uvést Ahmesovu expanzi1/24 + 1/111 + 1/296 pro 2/37odpovídá tomuto vzoru s A = 24 a2 A - str/Ap= 11 = 3 + 8 , jako1/24 + 1/111 + 1/296 = 1/24 + 3/24 × 37 + 8/24 × 37. Může existovat mnoho různých expanzí tohoto typu pro dané p ; jak však poznamenal KS Brown, expanze zvolená Egypťany byla často ta, která způsobila, že největší jmenovatel byl co nejmenší ze všech expanzí odpovídajících tomuto vzoru.

• U složených jmenovatelů, vyjádřených jako p × q , lze expandovat2/pq pomocí identity

${\ displaystyle {\ frac {2} {pq}} = {\ frac {1} {aq}} + {\ frac {1} {apq}} \ quad {\ text {kde}} a = {\ frac { p + 1} {2}}}$

Například použití této metody pro pq = 21 dává p = 3 , q = 7 a a =3 + 1/2= 2 , produkující expanzi2/21 = 1/14 + 1/42z papyrusu Rhind. Někteří autoři dali přednost této expanzi jako2/A × A/pq, kde A = p + 1 ; nahrazení druhého funkčního období tímto produktemp/pq + 1/pq, uplatnění distribučního práva na produkt a zjednodušení vede k výrazu ekvivalentnímu prvnímu zde popsanému rozšíření. Zdá se, že tato metoda byla použita pro mnoho složených čísel v Rhindově papyru, ale existují výjimky, zejména2/35, 2/91, a 2/95.

• Lze také rozšířit 2/pq tak jako 1/pr + 1/qr, kde r =p + q/2. Například Ahmes expanduje2/35 = 1/30 + 1/42, kde p = 5 , q = 7 a r =5 + 7/2= 6 . Pozdější písaři použili obecnější formu této expanze,

${\ displaystyle {\ frac {n} {pq}} = {\ frac {1} {pr}} + {\ frac {1} {qr}} \ quad {\ text {kde}} r = {\ frac { p + q} {n}}}$

který funguje, když p + q je násobek n .

• U některých dalších složených jmenovatelů expanze pro 2/pq má formu rozšíření pro 2/qs každým jmenovatelem vynásobeným p . Například 95 = 5 × 19 a2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114(jak lze zjistit pomocí metody pro prvočísla s A = 12 ), tak2/95 = 1/5 × 12 + 1/5 × 76 + 1/5 × 114 = 1/60 + 1/380 + 1/570. Tento výraz lze zjednodušit sonce1/380 + 1/570 = 1/228, ale papoušek Rhind používá zjednodušenou formu.
• Konečná (hlavní) expanze na papyrusu Rhind, 2/101, nezapadá do žádné z těchto forem, ale místo toho používá expanzi

${\ displaystyle {\ frac {2} {p}} = {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {2p}} + {\ frac {1} {3p}} + {\ frac {1} {6p}}}$

které lze použít bez ohledu na hodnotu p . To znamená,2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606. Související rozšíření bylo také použito v Egyptské matematické kožené roli pro několik případů.

Pozdější použití

Egyptská frakce notace pokračoval být použit v řeckých časů a do středověku, a to navzdory stížnostem již v Ptolemaios ‚s Almagest o těžkopádnosti notace v porovnání s alternativami, jako jsou babylonského base-60 notace . Související problémy rozkladu na jednotkové zlomky studoval také v Indii v 9. století Jainský matematik Mahāvīra . Důležitý text středověké evropské matematiky, Liber Abaci (1202) Leonarda z Pisy (běžněji známý jako Fibonacci), poskytuje určitý vhled do využití egyptských zlomků ve středověku a zavádí témata, která v moderní době zůstávají důležitá matematické studium těchto sérií.

Primárním předmětem Liber Abaci jsou výpočty zahrnující desítkovou a vulgární notaci zlomků, které nakonec nahradily egyptské zlomky. Fibonacci sám použil složitou notaci pro zlomky zahrnující kombinaci smíšené radixové notace se součty zlomků. Mnoho výpočtů v celé Fibonacciho knize zahrnuje čísla představovaná jako egyptské zlomky a jedna část této knihy poskytuje seznam metod pro převod vulgárních zlomků na egyptské zlomky. Pokud číslo již není zlomkem jednotky, první metodou v tomto seznamu je pokus rozdělit čitatele na součet dělitelů jmenovatele; to je možné, kdykoli je jmenovatelem praktické číslo , a Liber Abaci obsahuje tabulky rozšíření tohoto typu pro praktická čísla 6, 8, 12, 20, 24, 60 a 100.

Dalších několik metod zahrnuje algebraické identity, jako je

${\ displaystyle {\ frac {a} {ab-1}} = {\ frac {1} {b}} + {\ frac {1} {b (ab-1)}}}$

Například Fibonacci představuje zlomek 8/11 rozdělením čitatele na součet dvou čísel, z nichž každé dělí jedno plus jmenovatel: 8/11 = 6/11 + 2/11. Fibonacci aplikuje algebraickou identitu výše na každou z těchto dvou částí a vytváří expanzi8/11 = 1/2 + 1/22 + 1/6 + 1/66. Fibonacci popisuje podobné metody pro jmenovatele, které jsou o dvě nebo tři menší než číslo s mnoha faktory.

Ve vzácném případě, že všechny ostatní metody selžou, Fibonacci navrhuje „chamtivý“ algoritmus pro výpočet egyptských zlomků, ve kterém si jeden opakovaně zvolí jednotkový zlomek s nejmenším jmenovatelem, který není větší než zbývající zlomek, který má být rozšířen: to znamená, v modernější notaci nahradíme zlomekX/y expanzí

${\ displaystyle {\ frac {x} {y}} = {\ frac {1} {\, \ levý \ lceil {\ frac {y} {x}} \ pravý \ rceil \,}} + {\ frac { (-y) \, {\ bmod {\,}} x} {y \ vlevo \ lceil {\ frac {y} {x}} \ vpravo \ rceil}}}$

kde ⌈ ⌉ představuje funkci stropu ; protože (- y ) mod x < x , tato metoda přináší konečnou expanzi.

Fibonacci navrhuje přechod na jinou metodu po první takové expanzi, ale uvádí také příklady, ve kterých byla tato chamtivá expanze iterována, dokud nebylo zkonstruováno úplné rozšíření egyptské frakce: 4/13 = 1/4 + 1/18 + 1/468 a 17/29 = 1/2 + 1/12 + 1/348.

Ve srovnání se staroegyptskými expanzemi nebo s modernějšími metodami může tato metoda způsobit expanze, které jsou poměrně dlouhé, s velkými jmenovateli, a sám Fibonacci si všiml nešikovnosti expanzí produkovaných touto metodou. Například chamtivá metoda se rozšiřuje

${\ displaystyle {\ frac {5} {121}} = {\ frac {1} {25}} + {\ frac {1} {757}} + {\ frac {1} {763 \, 309}} + {\ frac {1} {873 \, 960 \, 180 \, 913}} + {\ frac {1} {1 \, 527 \, 612 \, 795 \, 642 \, 093 \, 418 \, 846 \ , 225}}}$

zatímco jiné metody vedou ke kratší expanzi

${\ displaystyle {\ frac {5} {121}} = {\ frac {1} {33}} + {\ frac {1} {121}} + {\ frac {1} {363}}}$

Sylvestrovu sekvenci 2, 3, 7, 43, 1807, ... lze zobrazit jako generovanou nekonečným chamtivým rozšířením tohoto typu pro číslo 1, kde v každém kroku zvolíme jmenovatele ⌊y/X⌋ + 1 místo ⌈y/X⌉ a někdy se chamtivý algoritmus Fibonacciho připisuje Jamesi Josephovi Sylvestrovi .

Po jeho popisu chamtivého algoritmu navrhuje Fibonacci ještě další metodu rozšiřující zlomek A/bhledáním čísla c majícího mnoho dělitelů, sb/2< c < b , nahrazeníA/b podle ac/před naším letopočtem, a rozšíření střídavého proudu jako součet dělitelů BC , podobné metodě navržené Hultschem a Bruinsem k vysvětlení některých expanzí v papoušku Rhind.

Moderní teorie čísel

Ačkoli egyptské zlomky se již nepoužívají ve většině praktických aplikací matematiky, moderní teoretici čísel pokračovali ve studiu mnoha různých problémů, které s nimi souvisejí. Patří mezi ně problémy ohraničení délky nebo maximálního jmenovatele v reprezentacích egyptských zlomků, hledání expanzí určitých zvláštních forem nebo ve kterých jsou všechny jmenovatele nějakého zvláštního typu, ukončení různých metod pro expanzi egyptských zlomků a ukázání, že expanze existují pro všechny dostatečně hustá sada dostatečně hladkých čísel .

• Jedna z prvních publikací Paula Erdőse dokázala, že není možné, aby harmonický postup vytvořil egyptskou zlomkovou reprezentaci celého čísla . Důvodem je, že nutně bude alespoň jeden jmenovatel postupu dělitelný prvočíslem, které nerozděluje žádného jiného jmenovatele. Poslední publikace Erdőse, téměř 20 let po jeho smrti, dokazuje, že každé celé číslo má zastoupení, ve kterém jsou všichni jmenovatelé produkty tří prvočísel.
• Erdős-Graham domněnka v kombinatorické teorie čísel uvádí, že v případě, že celá čísla větší než 1, jsou rozděleny do konečně mnoha podskupin, pak jeden z podskupin má konečnou podmnožinu sebe, jejichž součet reciprocals ku jedné. To znamená, že pro každé r > 0 a každé r -barvení celých čísel větších než jedna existuje konečná monochromatická podmnožina S těchto celých čísel taková, že

${\ displaystyle \ sum _ {n \ v S} {\ frac {1} {n}} = 1}$

Domněnka byla prokázána v roce 2003 Ernestem S. Crootem, III .

• Známův problém a primární pseudoperfektní čísla úzce souvisí s existencí egyptských zlomků formy

${\ displaystyle \ sum {\ frac {1} {x_ {i}}} + \ prod {\ frac {1} {x_ {i}}} = 1}$

Například primární pseudoperfektní číslo 1806 je produktem prvočísel 2, 3, 7 a 43 a vede k egyptskému zlomku 1 =1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1806.

• Egyptské zlomky jsou obvykle definovány jako vyžadující rozlišování všech jmenovatelů, ale tento požadavek lze zmírnit, aby umožňoval opakované jmenovatele. Tato uvolněná forma egyptských zlomků však neumožňuje zastoupení žádného čísla s použitím menšího počtu zlomků, protože jakoukoli expanzi s opakovanými zlomky lze převést na egyptský zlomek stejné nebo menší délky opakovanou aplikací náhrady

${\ displaystyle {\ frac {1} {k}} + {\ frac {1} {k}} = {\ frac {2} {k + 1}} + {\ frac {2} {k (k + 1 )}}}$

jestliže k je liché, nebo jednoduše nahrazením1/k + 1/k podle 2/kpokud k je sudé. Tento výsledek poprvé prokázal Takenouchi (1921) .

• Graham a Jewett dokázali, že je podobně možné přeměnit expanze s opakovanými jmenovateli na (delší) egyptské zlomky prostřednictvím nahrazení

${\ displaystyle {\ frac {1} {k}} + {\ frac {1} {k}} = {\ frac {1} {k}} + {\ frac {1} {k + 1}} + { \ frac {1} {k (k + 1)}}.}$

Tato metoda může vést k dlouhým expanzím s velkými jmenovateli, jako např

${\ displaystyle {\ frac {4} {5}} = {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {30}} + {\ frac {1} {31}} + {\ frac {1} {32}} + {\ frac {1} {42} } + {\ frac {1} {43}} + {\ frac {1} {56}} + {\ frac {1} {930}} + {\ frac {1} {931}} + {\ frac { 1} {992}} + {\ frac {1} {1806}} + {\ frac {1} {865 \, 830}}}$

Botts (1967) původně použil tuto náhradní techniku, aby ukázal, že jakékoli racionální číslo má reprezentace egyptských zlomků s libovolně velkými minimálními jmenovateli.

• Libovolný zlomek X/y má egyptské zlomkové zastoupení, ve kterém je maximální jmenovatel ohraničen

${\ displaystyle O \ left (y \ log y \ left (\ log \ log y \ right) ^ {4} \ left (\ log \ log \ log y \ right) ^ {2} \ right)}$

a reprezentace maximálně

${\ displaystyle O \ left ({\ sqrt {\ log y}} \ right)}$

podmínky. Počet termínů musí být někdy alespoň úměrný log log y ; například to platí pro zlomky v posloupnosti1/2, 2/3, 6/7, 42/43, 1806/1807, ... jejichž jmenovatelé tvoří Sylvestrovu sekvenci . Předpokládalo se, že O (log log y ) výrazů vždy stačí. Je také možné najít reprezentace, ve kterých je maximální jmenovatel i počet výrazů malý.

• Graham (1964) charakterizoval čísla, která lze reprezentovat egyptskými zlomky, ve kterých jsou všichni jmenovatelé n- tou mocí. Racionální číslo q lze konkrétně představovat jako egyptský zlomek se čtvercovými jmenovateli právě tehdy, když q leží v jednom ze dvou pootevřených intervalů

${\ displaystyle \ left [0, {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} - 1 \ right) \ cup \ left [1, {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} \že jo)}$

• Martin (1999) ukázal, že jakýkoli racionální číslo má velmi husté expanze, s použitím konstantní zlomek jmenovatelích až do N žádného dostatečně velké N .
• Expanze Engel , někdy nazývaná egyptský produkt , je formou expanze egyptských zlomků, ve které je každý jmenovatel násobkem předchozího:

${\ displaystyle x = {\ frac {1} {a_ {1}}} + {\ frac {1} {a_ {1} a_ {2}}} + {\ frac {1} {a_ {1} a_ { 2} a_ {3}}} + \ cdots}$

Kromě toho je požadováno , aby posloupnost multiplikátorů a _i neklesala. Každé racionální číslo má konečnou expanzi Engel, zatímco iracionální čísla mají nekonečnou expanzi Engel.

• Anshel & Goldfeld (1991) studují čísla, která mají několik různých egyptských zlomkových reprezentací se stejným počtem termínů a stejným produktem jmenovatelů; například jeden z příkladů, které dodávají, je

${\ displaystyle {\ frac {5} {12}} = {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {10}} + {\ frac {1} {15}} = {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {20}}}$

Na rozdíl od starých Egypťanů umožňují v těchto expanzích opakovat jmenovatele. Vztahují se jejich výsledky tohoto problému k charakterizaci bezplatných produktů z Abelian skupin malým počtem číselných parametrů: hodnosti komutátoru podskupiny , počet termínů v bezplatném produktu, a produkt pořadích faktorů.

• Počet různých n -TERM egyptských frakcí reprezentací číslo jedna je ohraničen nahoře a dole dvojité exponenciální funkce v n .

Otevřené problémy

Navzdory značnému úsilí matematiků zůstávají některé významné problémy s egyptskými zlomky nevyřešené.

• Erdős-Straus domněnka je délka nejkratší expanze na zlomek formuláře4/n. Provádí expanzi

${\ displaystyle {\ frac {4} {n}} = {\ frac {1} {x}} + {\ frac {1} {y}} + {\ frac {1} {z}}}$

existují pro každé n ? Je známo, že platí pro všechna n <10 ¹⁷ a pro všechny kromě mizivě malého zlomku možných hodnot n , ale obecná pravda domněnky zůstává neznámá.

• Není známo, zda pro každou frakci se zvláštním jmenovatelem existuje zvláštní chamtivá expanze . Pokud je Fibonacciho chamtivá metoda upravena tak, aby vždy zvolila co nejmenší lichý jmenovatel, za jakých podmínek tento upravený algoritmus způsobí konečnou expanzi? Samozřejmou nutnou podmínkou je, že výchozí zlomekX/ymají lichého jmenovatele y a je domněnka, ale není známo, že je to také dostatečná podmínka. Je známo, že každýX/ys lichým y má expanzi do odlišných zlomků lichých jednotek, konstruovaných pomocí jiné metody než chamtivý algoritmus.
• Je možné použít algoritmy vyhledávání hrubou silou k nalezení egyptské zlomkové reprezentace daného čísla s nejmenším počtem možných výrazů nebo s minimalizací největšího jmenovatele; takové algoritmy však mohou být docela neefektivní. Existence polynomiálních časových algoritmů pro tyto problémy nebo obecněji výpočetní složitost těchto problémů zůstává neznámá.

Guy (2004) popisuje tyto problémy podrobněji a uvádí řadu dalších otevřených problémů.

Viz také

• Seznam součtů vzájemných

Poznámky

Reference

externí odkazy

• Brown, Kevin, egyptské zlomky jednotek.
• Eppstein, David , egyptské frakce.
• Knott, Ron, egyptské zlomky.
• Weisstein, Eric W. , „Egyptian Fraction“ , MathWorld
• Giroux, André, egyptské frakcea Zeleny, Enrique, Algorithms for Egyptian Fractions, Wolfram Demonstrace projektu , na základě programů David Eppstein .