Staroegyptská matematika - Ancient Egyptian mathematics

Starověká egyptská matematika je matematika, která byla vyvinuta a používána ve starověkém Egyptě c. 3000 až c. 300  př. N. L. , Od Staré egyptské říše až zhruba do začátku helénistického Egypta . Starověcí Egypťané používali numerický systém pro počítání a řešení písemných matematických úloh, často zahrnujících násobení a zlomky . Důkazy pro egyptskou matematiku jsou omezeny na omezené množství dochovaných pramenů napsaných na papyru . Z těchto textů je známo, že staří Egypťané rozuměli pojmům geometrie , jako je určování povrchové plochy a objemu trojrozměrných tvarů užitečných pro architektonické inženýrství a algebry , jako je metoda falešné polohy a kvadratické rovnice .

Přehled

Písemné důkazy o používání matematiky se datují nejméně do roku 3200 př. N. L. Se štítky ze slonoviny nalezenými v Tomb Uj v Abydosu . Zdá se, že tyto štítky byly použity jako štítky pro hrobové zboží a některé jsou opatřeny čísly. Další důkazy o použití číselného systému základny 10 lze nalézt na Narmer Macehead, který zobrazuje nabídky 400 000 volů, 1 422 000 koz a 120 000 vězňů.

Důkazů o využití matematiky ve Staré říši (asi 2690–2180 př. N. L.) Je málo, ale lze je odvodit z nápisů na zdi poblíž mastaba v Meidum, která poskytuje vodítka pro sklon mastaby. Čáry v diagramu jsou rozmístěny ve vzdálenosti jednoho lokte a ukazují použití této měrné jednotky .

Nejstarší pravdivé matematické dokumenty pocházejí z 12. dynastie (c. 1990–1800 př. N. L.). Do tohoto období pochází moskevský matematický papyrus , egyptská matematická kožená role , matematické papíry Lahun, které jsou součástí mnohem větší sbírky Kahun Papyri a berlínský papyrus 6619 . Rhind matematický papyrus , který se datuje do Second středním období (c. 1650 př.nl) je řekl, aby byl založený na starší matematického textu z 12. dynastie.

Moskevský matematický papyrus a Rhindův matematický papyrus jsou takzvané matematické problémové texty. Skládají se ze souboru problémů s řešením. Tyto texty mohl napsat učitel nebo student zabývající se řešením typických matematických problémů.

Zajímavou vlastností staroegyptské matematiky je používání jednotkových zlomků. Egypťané používali nějaký speciální zápis pro zlomky jako např1/2, 1/3 a 2/3 a v některých textech pro 3/4, ale jiné zlomky byly všechny zapsány jako jednotkové zlomky formuláře1/nnebo součty takových jednotkových zlomků. Skriptové používali tabulky, které jim pomohly pracovat s těmito zlomky. Egyptský matematický kožený hod je například tabulkou jednotkových zlomků, které jsou vyjádřeny jako součty jiných zlomků jednotek. Rhindův matematický papyrus a některé další texty obsahují2/nstoly. Tyto tabulky umožnily zákoníkům přepsat jakýkoli zlomek formuláře1/n jako součet jednotkových zlomků.

Během Nové říše (asi 1550–1070 př. N. L.) Jsou matematické problémy zmíněny v literárním Papyrus Anastasi I a Papyrus Wilbour z doby Ramesse III zaznamenává pozemní měření. V dělnické vesnici Deir el-Medina bylo nalezeno několik ostraků, které zaznamenávaly rekordní množství nečistot odstraněných při těžbě hrobek.

Prameny

Současnému chápání staroegyptské matematiky brání nedostatek dostupných zdrojů. Zdroje, které existují, zahrnují následující texty (které jsou obecně datovány do Říše středu a Druhého přechodného období):

• Moskva matematický papyrus
• Egyptian Matematický Leather Roll
• The Lahun Mathematical Papyri
• Berlin Papyrus 6619 , psaný asi 1800 BC
• Akhmim Dřevěný Tablet
• Reisner Papyrus , starý k brzy dvanácté dynastie Egypta a našel v Nag el-Deir, starobylé město Slabý
• Rhind matematický papyrus (RMP), datovaný od Second středním období (c. 1650 př.nl), ale jeho autor, Ahmes , identifikuje ho jako kopie nyní ztraceného Middle Kingdom papyru. RMP je největší matematický text.

Z Nové říše existuje několik matematických textů a nápisů souvisejících s výpočty:

• Papyrus Anastasi I , literární text psaný jako (fiktivního) dopisu, který napsal písař jménem Hori a adresována písař jménem Amenemope. Část dopisu popisuje několik matematických problémů.
• Ostracon Senmut 153, text psaný hieraticky
• Ostracon Turin 57170, text psaný hieraticky
• Ostraca od Deir el-Medina obsahuje výpočty. Ostracon IFAO 1206 například ukazuje výpočet objemů, pravděpodobně souvisejících s těžbou hrobky.

Číslovky

Staroegyptské texty mohly být psány buď hieroglyfy, nebo hieraticky . V obou reprezentacích byl číselný systém vždy uveden v základu 10. Číslo 1 bylo znázorněno jednoduchým tahem, číslo 2 bylo reprezentováno dvěma tahy atd. Čísla 10, 100, 1000, 10 000 a 100 000 měla své vlastní hieroglyfy. Číslo 10 je kulhat pro dobytek, číslo 100 je reprezentován stočeného provazu, číslo 1000 je reprezentována lotosového květu, číslo 10000 je reprezentován prstu, číslo 100000 je reprezentována žábou a milion byl zastoupen bohem s rukama zdviženýma v adoraci.

Hieroglyfy pro egyptské číslice

1	10	100	1000	10 000	100 000	1 000 000

Deska stéla staré říše princezna Neferetiabet (datováno 2590–2565 př. N. L.) Z jejího hrobu v Gíze, malba na vápenci, nyní v Louvru

Egyptské číslice pocházejí z předdynastického období . Štítky ze slonoviny od Abydos zaznamenávají použití tohoto číselného systému. Je také běžné vidět číslice v nabídkách scén k označení počtu nabízených položek. Králova dcera Neferetiabet je zobrazena s nabídkou 1000 volů, chleba, piva atd.

Egyptský číselný systém byl aditivní. Velká čísla byla reprezentována sbírkami glyfů a hodnota byla získána jednoduchým sčítáním jednotlivých čísel dohromady.

Tato scéna zobrazuje počet dobytka (okopírovaný egyptologem Lepsiusem ). Ve středním registru vidíme vlevo 835 rohatých skotů, hned za nimi je asi 220 zvířat (krav?) A napravo 2235 koz. Ve spodním registru vidíme vlevo 760 oslů a vpravo 974 koz.

Egypťané téměř výhradně používali zlomky formuláře 1/n. Jednou výraznou výjimkou je zlomek2/3, který se často nachází v matematických textech. Velmi zřídka byl k označení použit speciální glyf3/4. Zlomek1/2byl reprezentován glyfem, který mohl znázorňovat kus prádla složený na dvě části. Zlomek2/3byl reprezentován glyfem pro ústa se 2 (různě velkými) tahy. Zbytek frakcí byl vždy reprezentován ústy nadřazenými číslu.

Hieroglyfy pro některé zlomky

1/2	1/3	2/3	1/4	1/5

Násobení a dělení

Egyptské násobení bylo provedeno opakovaným zdvojnásobením počtu, který má být vynásoben (multiplikand), a volbou, které z zdvojení sečtou (v podstatě forma binární aritmetiky), což je metoda, která spojuje Starou říši. Multiplicand byl napsán vedle obrázku 1; multiplikátor byl poté přidán k sobě a výsledek zapsán vedle čísla 2. Proces pokračoval, dokud zdvojení nepřineslo číslo větší než polovinu multiplikátoru . Poté by se zdvojnásobená čísla (1, 2 atd.) Opakovaně odečítala od multiplikátoru, aby se vybralo, které z výsledků stávajících výpočtů by se měly sečíst a vytvořit odpověď.

Jako zkratka pro větší čísla lze multiplikátor také okamžitě vynásobit 10, 100, 1 000, 10 000 atd.

Například problém 69 na papíře Rhind (RMP) poskytuje následující ilustraci, jako by byly použity hieroglyfické symboly (spíše než skutečné hieratické písmo RMP).

Pro znásobení 80 × 14
Egyptský výpočet			Moderní výpočet
Výsledek	Násobitel		Výsledek	Násobitel
			80	1
			800	10
			160	2
			320	4
			1120	14

Označuje mezivýsledky, které jsou přidány společně k vytvoření konečnou odpověď.

Výše uvedenou tabulku lze také použít k dělení 1120 na 80. Tento problém bychom vyřešili nalezením kvocientu (80) jako součtu těch multiplikátorů 80, které sečtou až 1120. V tomto případě by to přineslo kvocient 10 + 4 = 14. Složitější příklad dělícího algoritmu poskytuje Problém 66. Celkem 365 tun tuku má být rozděleno rovnoměrně během 365 dnů.

Dělení 3200 na 365

1	365
2	730
4	1460
8	2920
2/3	243+1/3
1/10	36+1/2
1/2190	1/6

Písař by nejprve zdvojnásobil 365, dokud nebude dosaženo největšího možného násobku 365, který je menší než 3200. V tomto případě 8krát 365 je 2920 a další přidání násobků 365 by jasně dalo hodnotu větší než 3200. Dále je poznamenal, že 2/3 + 1/10 + 1/2190krát 365 nám dává hodnotu 280, kterou potřebujeme. Proto jsme zjistili, že 3200 děleno 365 se musí rovnat 8 + 2/3 + 1/10 + 1/2190.

Algebra

Problémy egyptské algebry se objevují jak v Rhindově matematickém papyru, tak v moskevském matematickém papyru i v několika dalších zdrojích.

Aha
Doba : Nová říše (1550–1069 př. N. L.)
Egyptské hieroglyfy

Aha problémy zahrnují nalezení neznámých veličin (označovaných jako Aha), pokud je uveden součet množství a jeho části. Rhind matematický papyrus také obsahuje čtyři z těchto typů problémů. Problémy 1, 19 a 25 moskevského papyru jsou problémy Aha. Například problém 19 žádá člověka, aby vypočítal odebrané množství 1+1/2krát a sečteno na 4, aby bylo 10. Jinými slovy, v moderní matematické notaci jsme požádáni o vyřešení lineární rovnice :

${\ displaystyle {\ frac {3} {2}} \ times x+4 = 10. \}$

Řešení těchto Aha problémů zahrnuje techniku ​​zvanou metoda falešné polohy . Tato technika se také nazývá metoda falešného předpokladu. Písař by do problému nahradil počáteční odhad odpovědi. Řešení pomocí falešného předpokladu by bylo úměrné skutečné odpovědi a písař by našel odpověď pomocí tohoto poměru.

Matematické spisy ukazují, že zákoníci používali (nejméně) běžné násobky, aby proměnili problémy se zlomky v problémy pomocí celých čísel. V této souvislosti jsou vedle zlomků zapsána červená pomocná čísla.

Použití Horových frakcí oka ukazuje určitou (rudimentární) znalost geometrické progrese. Znalosti o aritmetických postupech jsou patrné také z matematických zdrojů.

Kvadratické rovnice

Starověcí Egypťané byli první civilizací, která vyvinula a vyřešila ( kvadratické ) rovnice druhého stupně . Tato informace se nachází ve fragmentu berlínského papyru . Egypťané navíc řeší algebraické rovnice prvního stupně nalezené v Rhindově matematickém papyru .

Geometrie

Obrázek problému 14 z moskevského matematického papyru . Problém obsahuje diagram udávající rozměry zkrácené pyramidy.

Ze starověkého Egypta existuje jen omezený počet problémů, které se týkají geometrie. Geometrické problémy se objevují jak v Moskevském matematickém papyru (MMP), tak v Rhindově matematickém papyru (RMP). Příklady ukazují, že staří Egypťané věděli, jak vypočítat oblasti několika geometrických tvarů a objemy válců a pyramid.

• Plocha:
  • Trojúhelníky: Zákoníci zaznamenávají problémy s výpočtem oblasti trojúhelníku (RMP a MMP).
  • Obdélníky: Problémy týkající se plochy obdélníkového pozemku se objevují v RMP a MMP. Podobný problém se objevuje v Lahun Mathematical Papyri v Londýně.
  • Kruhy: Problém 48 RMP porovnává plochu kruhu (aproximovanou osmiúhelníkem) a jeho ohraničující čtverec. Výsledek tohoto problému je použit v problému 50, kde písař najde oblast kulatého pole o průměru 9 khet.
  • Hemisféra: Problém 10 v MMP zjišťuje oblast polokoule.
• Svazky:
  • Válcové sýpky : Několik problémů počítá objem válcových sýpek (RMP 41–43), zatímco problém 60 RMP se zdá, že se místo pyramidy týká pilíře nebo kužele. Je poměrně malý a strmý, se sekcí (převráceným sklonem) čtyř palem (na loket). V oddíle IV.3 Lahun Mathematical Papyri je objem sýpky s kruhovou základnou nalezen stejným postupem jako RMP 43.
  • Obdélníkové sýpky: Několik problémů v moskevském matematickém papyru (problém 14) a v Rhindově matematickém papyru (čísla 44, 45, 46) počítá objem obdélníkové sýpky.
  • Zkrácená pyramida (frustum): Objem zkrácené pyramidy je vypočítán v MMP 14.

Sekvence

Problém 56 RMP naznačuje porozumění myšlence geometrické podobnosti. Tento problém popisuje poměr běh/vzestup, známý také jako seqed. Takový vzorec by byl potřebný pro stavbu pyramid. V dalším problému (Problém 57) se výška pyramidy vypočítá z délky základny a seked (egyptský pro převrácenou hodnotu sklonu), zatímco problém 58 udává délku základny a výšku a pomocí těchto měření vypočítat seqed. V úloze 59 část 1 počítá seqed, zatímco druhá část může být výpočet pro kontrolu odpovědi: Pokud postavíte pyramidu se základní stranou 12 [loktů] a seqed 5 dlaní 1 prst; jaká je jeho nadmořská výška?

Viz také

• Červené pomocné číslo
• Dějiny matematiky
  • Historie geometrie
• Egyptské hieroglyfy a přepis staroegyptštiny
• Staroegyptské jednotky měření a technologie
• Matematika a architektura

Reference

Další čtení

externí odkazy

• Egyptská aritmetika
• Úvod do rané matematiky