Einstein – Cartanova teorie - Einstein–Cartan theory

V teoretické fyzice je Einsteinova – Cartanova teorie , známá také jako Einsteinova – Cartanova – Sciama – Kibbleova teorie , klasická gravitační teorie podobná obecné relativitě . Teorii poprvé navrhl Élie Cartan v roce 1922. Einsteinova – Cartanova teorie je nejjednodušší Poincaré teorií měřidla .

Přehled

Einsteinova -Cartanova teorie se liší od obecné relativity dvěma způsoby: (1) je formulována v rámci Riemann -Cartanovy geometrie, která má lokálně měřenou Lorentzovu symetrii, zatímco obecná relativita je formulována v rámci Riemannovy geometrie, která není ; (2) je položena další sada rovnic, které se vztahují k torzi na spin. Tento rozdíl lze zohlednit

obecná relativita (Einstein – Hilbert) → obecná relativita (Palatini) → Einstein – Cartan

nejprve přeformulováním obecné relativity na geometrii Riemann – Cartan, nahrazením akce Einstein – Hilbert nad Riemannovou geometrií akcí Palatiniho nad geometrií Riemann – Cartan; a za druhé, odstranění nulového torzního omezení z Palatiniho akce, což má za následek další sadu rovnic pro spin a torzi, stejně jako přidání dalších termínů souvisejících s rotací do samotných Einsteinových rovnic pole.

Teorie obecné relativity byla původně formulovány v nastavení Riemannian geometrie u působením Einstein-Hilbert , z nichž vznikají na Einstein polních rovnic . V době své původní formulace neexistoval koncept Riemann -Cartanovy geometrie. Nebylo ani dostatečné povědomí o pojmu symetrie měřidla, aby bylo možné pochopit, že riemannianské geometrie nemají potřebnou strukturu pro ztělesnění lokálně měřené Lorentzovy symetrie , která by byla nutná k tomu, aby bylo možné vyjádřit rovnice kontinuity a zákony zachování pro rotaci a zesílení symetrie, nebo k popisu spinorů v zakřivených časoprostorových geometriích. Výsledkem přidání této infrastruktury je Riemann -Cartanova geometrie. Zejména, aby bylo možné popsat spinory, vyžaduje začlenění spinové struktury , která k vytvoření takové geometrie stačí.

Hlavní rozdíl mezi geometrií Riemann-Cartan a Riemannian je v tom, že v prvním případě je afinní spojení nezávislé na metrice, zatímco v druhém je odvozeno z metriky jako spojení Levi-Civita , rozdíl mezi těmito dvěma bytostmi označováno jako zkroucení . Zejména antisymetrická část spojení (označovaná jako torze ) je pro připojení Levi-Civita nulová, což je jedna z definujících podmínek pro taková spojení.

Vzhledem k tomu, že zkroucení může být vyjádřeno lineárně ve smyslu torze, pak je také možné přímo převést akci Einstein – Hilbert do geometrie Riemann – Cartan, výsledkem je Palatiniho akce (viz také Palatiniho variace ). Je odvozen přepsáním akce Einstein – Hilbert z hlediska afinního spojení a poté odděleně vytvořením omezení, které nutí jak torzi, tak i zkroucení na nulu, což tedy vynutí, aby se afinní spojení rovnalo spojení Levi-Civita. Protože se jedná o přímý překlad akčních a polních rovnic obecné relativity, vyjádřený pomocí spojení Levi-Civita, lze to považovat za samotnou teorii obecné relativity, transponovanou do rámce Riemannovy-Cartanovy geometrie.

Einstein -Cartanova teorie uvolňuje tento stav a podle toho uvolňuje předpoklad obecné relativity, že afinní spojení má mizející antisymetrickou část ( torzní tenzor ). Použitá akce je stejná jako akce Palatini, kromě toho, že je odstraněno omezení na kroucení. Výsledkem jsou dva rozdíly od obecné relativity: (1) rovnice pole jsou nyní vyjádřeny spíše afinním spojením než spojením Levi-Civita, a tak mají v Einsteinových polních rovnicích další pojmy zahrnující kontorzi, které nejsou přítomny v polní rovnice odvozené z Palatiniho formulace; (2) nyní je k dispozici další sada rovnic, které spojují torzi s vnitřní hybností momentu ( spin ) hmoty, a to stejným způsobem, jakým je afinní spojení spojeno s energií a hybností hmoty. V Einsteinově -Cartanově teorii je torze nyní proměnnou v principu stacionárního působení, která je spojena se zakřivenou časoprostorovou formulací spin ( spinový tenzor ). Tyto extra rovnice vyjadřují torzi lineárně ve smyslu spinového tenzoru spojeného se zdrojem hmoty, což znamená, že torze je obecně nenulová uvnitř hmoty.

Důsledkem linearity je, že mimo hmotu existuje nulová torze, takže vnější geometrie zůstává stejná, jaká by byla popsána v obecné relativitě. Rozdíly mezi Einsteinovou -Cartanovou teorií a obecnou relativitou (formulované buď jako akce Einsteina -Hilberta na Riemannovu geometrii, nebo Palatiniho akcí na Riemannovu -Cartanovu geometrii) spočívají pouze na tom, co se stane s geometrií uvnitř zdrojů hmoty. To znamená: „torze se nešíří“. Byly zváženy zobecnění akce Einstein -Cartan, které umožňují šíření torze.

Protože geometrie Riemann -Cartan mají Lorentzovu symetrii jako symetrii místního rozchodu, je možné formulovat související zákony zachování. Zejména považování metrických a torzních tenzorů za nezávislé proměnné dává správné zobecnění zákona zachování pro celkový (orbitální plus vnitřní) moment hybnosti na přítomnost gravitačního pole.

Dějiny

Tuto teorii poprvé navrhl Élie Cartan v roce 1922 a vysvětlil ji v následujících letech. Albert Einstein se k teorii přidružil v roce 1928 během svého neúspěšného pokusu porovnat torzi s tenzorem elektromagnetického pole jako součást jednotné teorie pole. Tato myšlenková linie ho přivedla k související, ale odlišné teorii teleparallelismu .

Dennis Sciama a Tom Kibble se v 60. letech k teorii nezávisle vrátili a v roce 1976 byl vydán důležitý přehled.

Einsteinova-Cartanova teorie byla historicky zastíněna svým protějškem bez kroucení a dalšími alternativami, jako je Brans-Dickeova teorie, protože torze podle všeho poskytovala malý prediktivní přínos na úkor sledovatelnosti jejích rovnic. Vzhledem k tomu, že teorie Einstein -Cartan je čistě klasická, neřeší také plně problém kvantové gravitace . V Einsteinově -Cartanově teorii se Diracova rovnice stává nelineární, a proto by princip superpozice používaný v obvyklých kvantovacích technikách nefungoval. V poslední době je zájem o teorii Einsteina a Cartana veden ke kosmologickým důsledkům, a to je nejdůležitější, vyhýbání se gravitační singularitě na počátku vesmíru. Teorie je považována za životaschopnou a zůstává aktivním tématem ve fyzikální komunitě.

Polní rovnice

Tyto Einstein polní rovnice obecné relativity lze odvodit postulovat na akci Einstein-Hilbertovy být skutečný účinek časoprostoru a potom se mění, že opatření, pokud jde o metrický tensor. Polní rovnice Einstein-Cartanovy teorie pocházejí z úplně stejného přístupu, kromě toho, že se předpokládá obecné asymetrické afinní spojení než symetrické spojení Levi-Civita (tj. Předpokládá se, že časoprostor má kromě zakřivení i torzi ), a poté metrika a torze se mění nezávisle.

Nechť představují Lagrangeovy hustoty hmoty a představují Lagrangeovy hustoty gravitačním poli. Lagrangeova hustota pro gravitační pole v Einsteinově -Cartanově teorii je úměrná Ricciho skaláru :

kde je determinant metrického tenzoru a je fyzikální konstanta zahrnující gravitační konstantu a rychlost světla . Podle Hamiltonova principu kolísání celkového působení na gravitační pole a hmotu zmizí:

Variace vzhledem k metrickému tenzoru poskytuje Einsteinovy ​​rovnice:

kde je Ricciho tenzor a je kanonický tenzor napětí - energie - hybnost . Ricciho tenzor již není symetrický, protože spojení obsahuje nenulový torzní tenzor; proto pravá strana rovnice nemůže být ani symetrická, což znamená, že musí zahrnovat asymetrický příspěvek, který může být ukázán ve vztahu k spinovému tenzoru . Tento kanonický tenzor energie – hybnosti souvisí se známějším tenzorem symetrické energie – hybnosti podle Belinfante – Rosenfeldovy procedury .

Variace vzhledem k torznímu tenzoru poskytuje rovnice připojení Cartanova spinu

kde je spinový tenzor . Protože torzní rovnice je spíše algebraickou vazbou než parciální diferenciální rovnicí , torzní pole se nešíří jako vlna a mizí mimo hmotu. Proto lze v zásadě torze z teorie algebraicky eliminovat ve prospěch spinového tenzoru, který generuje efektivní nelineární vlastní interakci „spin-spin“ uvnitř hmoty.

Vyhýbání se zvláštnostem

Věty o singularitě, které jsou založeny na a formulovány v rámci riemannovské geometrie (např. Věty singularity Penrose -Hawking ), nemusí v geometrii Riemann -Cartan platit. V důsledku toho je Einsteinova-Cartanova teorie schopna vyhnout se obecně relativistickému problému singularity při Velkém třesku . Minimální vazba mezi torzními a Diracovými spinory generuje efektivní nelineární samočinnou interakci spin-spin, která se při extrémně vysokých hustotách stává významnou uvnitř fermionické hmoty. Taková interakce je se domníval, nahradí jedinečný velký třesk se hrot-jako Big Bounce na minimum, ale konečné měřítko , ve kterém se osoba pozorovatelný vesmír byl smluvní. Tento scénář také vysvětluje, proč se současný vesmír v největších měřítcích jeví jako prostorově plochý, homogenní a izotropní, což představuje fyzickou alternativu ke kosmické inflaci . Torze umožňuje prostorové prodloužení fermionů namísto „bodových“ , což pomáhá vyhnout se vzniku singularit, jako jsou černé díry, a odstraňuje ultrafialovou divergenci v kvantové teorii pole. Podle obecné relativity tvoří gravitační kolaps dostatečně kompaktní hmoty singulární černou díru. V teorii Einstein -Cartan místo toho kolaps dosáhne odrazu a vytvoří pravidelný Einsteinův -Rosenův most ( červí díru ) do nového, rostoucího vesmíru na druhé straně horizontu událostí .

Viz také

Reference

Další čtení