Einstein – Infeld – Hoffmannova rovnice - Einstein–Infeld–Hoffmann equations

Tyto Einstein-Infeld-Hoffmann pohybové rovnice , společně odvozené od Albert Einstein , Leopold Infeld a Banesh Hoffmann , jsou diferenciální rovnice pohybu popisující přibližné dynamiky systému bodu, jako hmot v důsledku jejich vzájemných gravitačních interakcí, včetně obecného relativistická účinky. Využívá post-newtonovskou expanzi prvního řádu a je tedy platný v limitu, kde jsou rychlosti těles malé ve srovnání s rychlostí světla a kde jsou gravitační pole na ně působící odpovídajícím způsobem slabá.

Vzhledem k systému N těles označených indexy A  = 1, ...,  N je barycentrický vektor zrychlení tělesa A dán vztahem:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ vec {a}} _ {A} & = \ sum _ {B \ not = A} {\ frac {Gm_ {B} {\ vec {n}} _ {BA }} {r_ {AB} ^ {2}}} \\ & {} \ quad {} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ sum _ {B \ not = A} {\ frac {Gm_ {B} {\ vec {n}} _ {BA}} {r_ {AB} ^ {2}}} \ left [v_ {A} ^ {2} + 2v_ {B} ^ {2} -4 ({\ vec {v}} _ {A} \ cdot {\ vec {v}} _ {B}) - {\ frac {3} {2}} ({\ vec {n}} _ {AB} \ cdot {\ vec {v}} _ {B}) ^ {2} \ vpravo. \\ & {} \ qquad {} \ vlevo. {} - 4 \ sum _ {C \ not = A} {\ frac { Gm_ {C}} {r_ {AC}}} - \ sum _ {C \ not = B} {\ frac {Gm_ {C}} {r_ {BC}}} + {\ frac {1} {2}} (({{vec {x}} _ {B} - {\ vec {x}} _ {A}) \ cdot {\ vec {a}} _ {B}) \ right] \\ & {} \ quad {} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ sum _ {B \ not = A} {\ frac {Gm_ {B}} {r_ {AB} ^ {2}}} \ left [ {\ vec {n}} _ {AB} \ cdot (4 {\ vec {v}} _ {A} -3 {\ vec {v}} _ {B}) \ doprava] ({\ vec {v} } _ {A} - {\ vec {v}} _ {B}) \\ & {} \ quad {} + {\ frac {7} {2c ^ {2}}} \ sum _ {B \ not = A} {\ frac {Gm_ {B} {\ vec {a}} _ {B}} {r_ {AB}}} + O (c ^ {- 4}) \ end {zarovnáno}}}$

kde:

${\ displaystyle {\ vec {x}} _ {A}}$ je barycentrický poziční vektor těla A

${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {A} = d {\ vec {x}} _ {A} / dt}$ je barycentrický vektor rychlosti těla A

${\ displaystyle {\ vec {a}} _ {A} = d ^ {2} {\ vec {x}} _ {A} / dt ^ {2}}$ je barycentrický zrychlovací vektor těla A

${\ displaystyle r_ {AB} = | {\ vec {x}} _ {A} - {\ vec {x}} _ {B} |}$ je souřadnicová vzdálenost mezi tělesy A a B

${\ displaystyle {\ vec {n}} _ {AB} = ({\ vec {x}} _ {A} - {\ vec {x}} _ {B}) / r_ {AB}}$ je jednotkový vektor směřující z těla B do těla A

${\ displaystyle m_ {A}}$ je hmotnost těla A.

${\ displaystyle c}$ je rychlost světla

${\ displaystyle G}$ je gravitační konstanta

a velká O notace se používá k označení, že podmínky řádu c ⁻⁴ nebo vyšší byly vynechány.

Zde použité souřadnice jsou harmonické . První člen na pravé straně je newtonovské gravitační zrychlení v  A ; v limitu jako c  → ∞ obnovíme Newtonův zákon pohybu.

Zrychlení určitého tělesa závisí na zrychlení všech ostatních těles. Protože množství na levé straně se objevuje také na pravé straně, musí být tento systém rovnic vyřešen iterativně. V praxi poskytuje newtonovské zrychlení místo skutečného zrychlení dostatečnou přesnost.

Reference

Další čtení

• Einstein, A .; Infeld, L .; Hoffmann, B. (1938). "Gravitační rovnice a problém pohybu". Annals of Mathematics . Druhá série. 39 (1): 65–100. Bibcode : 1938AnMat..39 ... 65E . doi : 10,2307 / 1968714 . JSTOR   1968714 .
• Kovalevsky, Jean; Seidelmann, P. Kenneth (2004). Základy astrometrie . New York: Cambridge University Press . p.  173 . ISBN   0521642167 .
• Landau, Lev; Lifshitz, Evgeny (1971). Klasická teorie polí . Oxford: Pergamon Press . p. 337.