Einsteinovy ​​koeficienty - Einstein coefficients

Einsteinovy ​​koeficienty jsou matematické veličiny, které jsou měřítkem pravděpodobnosti absorpce nebo emise světla atomem nebo molekulou. Einstein A koeficienty jsou vztaženy k rychlosti spontánní emise světla a Einstein B koeficienty se vztahují k absorpci a stimulované emise světla.

Spektrální čáry

Ve fyzice člověk přemýšlí o spektrální čáře ze dvou hledisek.

Emisní čára se vytvoří, když atom nebo molekula provede přechod z konkrétní diskrétní energetické úrovně E ₂ atomu na nižší energetickou úroveň E ₁ , přičemž emituje foton určité energie a vlnové délky. Spektrum mnoha takových fotonů bude vykazovat špičku emisí na vlnové délce spojené s těmito fotony.

Absorpční čára se vytvoří, když atom nebo molekula přechází z nižšího, E ₁ do vyššího diskrétního energetického stavu E ₂ , přičemž foton je v procesu absorbován. Tyto absorbované fotony obecně pocházejí z kontinuálního záření pozadí (celé spektrum elektromagnetického záření) a spektrum bude vykazovat pokles kontinuálního záření na vlnové délce spojené s absorbovanými fotony.

Tyto dva stavy musí být vázanými stavy, ve kterých je elektron vázán k atomu nebo molekule, takže přechod je někdy označován jako přechod „vázaný -vázaný“, na rozdíl od přechodu, ve kterém je elektron vysunut z atomu zcela (přechod „bez vazby“) do stavu kontinua , zanechává ionizovaný atom a generuje kontinuální záření.

Foton s energií, která se rovná rozdílu E ₂ - E ₁ mezi úrovněmi energie se uvolní nebo absorbována v tomto procesu. Frekvence ν, při které se spektrální čára vyskytuje, souvisí s energií fotonu podle Bohrovy frekvenční podmínky E ₂ - E ₁ = hν kde h označuje Planckovu konstantu .

Emisní a absorpční koeficienty

Atomová spektrální čára se týká emisních a absorpčních událostí v plynu, ve kterém je hustota atomů ve stavu horní energie pro linku a je hustota atomů ve stavu s nižší energií pro linku. ${\ displaystyle n_ {2}}$${\ displaystyle n_ {1}}$

Emise záření atomové linie na frekvenci ν lze popsat emisním koeficientem s jednotkami energie/(čas × objem × pevný úhel). ε dt dV dΩ je pak energie emitovaná objemovým prvkem v čase do pevného úhlu . Pro záření atomové linie, ${\ Displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle dV}$${\ displaystyle dt}$${\ Displaystyle d \ Omega}$

${\ Displaystyle \ epsilon = {\ frac {h \ nu} {4 \ pi}} n_ {2} A_ {21},}$

kde je Einsteinův koeficient pro spontánní emise, který je stanoven vnitřními vlastnostmi příslušného atomu pro dvě relevantní energetické hladiny. ${\ displaystyle A_ {21}}$

Absorpci záření atomové linie lze popsat absorpčním koeficientem s jednotkami 1/délka. Výraz κ 'dx udává podíl intenzity absorbované pro světelný paprsek na frekvenci ν při cestovní vzdálenosti dx . Absorpční koeficient je dán vztahem ${\ displaystyle \ kappa}$

${\ Displaystyle \ kappa '= {\ frac {h \ nu} {4 \ pi}} (n_ {1} B_ {12} -n_ {2} B_ {21}),}$

kde a jsou Einsteinovy ​​koeficienty pro absorpci fotonů a indukované emise. Stejně jako koeficient jsou i tyto stanoveny vnitřními vlastnostmi příslušného atomu pro dvě relevantní energetické hladiny. Pro termodynamiku a pro použití Kirchhoffova zákona je nutné, aby celková absorpce byla vyjádřena jako algebraický součet dvou složek, popsaných příslušně a , které lze považovat za pozitivní a negativní absorpci, což jsou přímé fotony absorpce a co se běžně nazývá stimulovaná nebo indukovaná emise. ${\ displaystyle B_ {12}}$${\ displaystyle B_ {21}}$${\ displaystyle A_ {21}}$${\ displaystyle B_ {12}}$${\ displaystyle B_ {21}}$

Výše uvedené rovnice ignorovaly vliv tvaru spektroskopické čáry . Abychom byli přesní, je třeba výše uvedené rovnice vynásobit (normalizovaným) tvarem spektrální čáry, v takovém případě se jednotky změní tak, aby zahrnovaly výraz 1/Hz.

Za podmínek termodynamické rovnováhy poskytují hustoty čísel a Einsteinovy ​​koeficienty a spektrální hustota energie dostatečné informace k určení míry absorpce a emisí. ${\ displaystyle n_ {2}}$${\ displaystyle n_ {1}}$

Podmínky rovnováhy

Hustoty čísel a jsou stanoveny fyzickým stavem plynu, ve kterém se spektrální čára vyskytuje, včetně místního spektrálního záření (nebo, v některých prezentacích, lokální spektrální hustoty záření ). Když je tento stav buď přísnou termodynamickou rovnováhou , nebo stavem takzvané „místní termodynamické rovnováhy“, pak distribuce atomových stavů excitace (která zahrnuje a ) určuje, že rychlosti atomových emisí a absorpcí budou takové, že Kirchhoffův zákon rovnosti radiační absorpce a emisivity platí. V přísné termodynamické rovnováze je radiační pole označováno jako záření černého tělesa a je popsáno Planckovým zákonem . Pro lokální termodynamickou rovnováhu nemusí být radiační pole pole černého tělesa, ale míra interatomických srážek musí výrazně překročit rychlost absorpce a emise kvant světla, aby interatomické srážky zcela dominovaly rozložení stavů atomového buzení. Nastávají okolnosti, za nichž místní termodynamická rovnováha nepřevládá, protože silné radiační efekty převyšují tendenci k Maxwellově -Boltzmannově distribuci molekulárních rychlostí. Například v atmosféře Slunce dominuje velká síla záření. V horních vrstvách Země je ve výškách nad 100 km rozhodující vzácnost mezimolekulárních srážek. ${\ displaystyle n_ {2}}$${\ displaystyle n_ {1}}$${\ displaystyle n_ {2}}$${\ displaystyle n_ {1}}$

V případech termodynamické rovnováhy a lokální termodynamické rovnováhy lze početní hustoty atomů, excitovaných i nevzrušených, vypočítat z Maxwellovy -Boltzmannovy distribuce , ale pro jiné případy (např. Lasery ) je výpočet složitější.

Einsteinovy ​​koeficienty

V roce 1916 Albert Einstein navrhl, že při tvorbě atomové spektrální čáry dochází ke třem procesům. Tyto tři procesy jsou označovány jako spontánní emise, stimulovaná emise a absorpce. S každým je spojen Einsteinův koeficient, který je měřítkem pravděpodobnosti, že k danému konkrétnímu procesu dojde. Einstein zvažoval případ izotropního záření o frekvenci ν a spektrální hustotě energie ρ ( ν ) .

Různé formulace

Hilborn porovnával různé formulace derivací pro Einsteinovy ​​koeficienty od různých autorů. Například Herzberg pracuje s ozářením a vlnovým číslem; Yariv pracuje s energií na jednotku objemu na jednotku frekvenčního intervalu, jako je tomu v novější (2008) formulaci. Mihalas & Weibel-Mihalas pracují se zářením a frekvencí; také Chandrasekhar; také Goody & Yung; Loudon používá úhlovou frekvenci a záření.

Spontánní emise

Spontánní emise je proces, při kterém se elektron „spontánně“ (tj. Bez jakéhokoli vnějšího vlivu) rozkládá z vyšší energetické úrovně na nižší. Proces je popsán Einsteinovým koeficientem A ₂₁ ( s ⁻¹ ), který udává pravděpodobnost za jednotku času, že se elektron ve stavu 2 s energií samovolně rozpadne na stav 1 s energií , přičemž emituje foton s energií E ₂ - E ₁ = hν . Vzhledem k principu neurčitosti energie a času přechod ve skutečnosti produkuje fotony v úzkém rozsahu frekvencí nazývaných spektrální šířka čáry . Pokud je hustota čísel atomů ve stavu i , pak změna hustoty počtu atomů ve stavu 2 za jednotku času v důsledku spontánní emise bude ${\ displaystyle E_ {2}}$${\ displaystyle E_ {1}}$${\ displaystyle n_ {i}}$

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {dn_ {2}} {dt}} \ right) _ {\ text {spontánní}} =-A_ {21} n_ {2}.}$

Stejný proces má za následek zvýšení populace státu 1:

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {dn_ {1}} {dt}} \ right) _ {\ text {spontánní}} = A_ {21} n_ {2}.}$

Stimulované emise

Stimulovaná emise (také známá jako indukovaná emise) je proces, při kterém je elektron vyvolán skokem z vyšší energetické hladiny na nižší přítomností elektromagnetického záření na (nebo blízké) frekvenci přechodu. Z termodynamického hlediska je tento proces nutno považovat za negativní absorpci. Proces je popsán Einsteinovým koeficientem (m ³ J ⁻¹ s ⁻² ), který udává pravděpodobnost za jednotku času na jednotku spektrálního záření radiačního pole, že elektron ve stavu 2 s energií se rozpadne do stavu 1 s energií , emitující foton s energií E ₂ - E ₁ = hν . Změna hustoty počtu atomů ve stavu 1 za jednotku času v důsledku indukované emise bude ${\ displaystyle B_ {21}}$${\ displaystyle E_ {2}}$${\ displaystyle E_ {1}}$

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {dn_ {1}} {dt}} \ right) _ {\ text {neg. absorbovat.}} = B_ {21} n_ {2} \ rho (\ nu),}$

kde označuje záření v šířce pásma 1 Hz pole izotropního záření při frekvenci přechodu (viz Planckův zákon ). ${\ displaystyle \ rho (\ nu)}$

Stimulovaná emise je jedním ze základních procesů, které vedly k vývoji laseru . Laserové záření je však velmi daleko od současného případu izotropního záření.

Absorpce fotonů

Absorpce je proces, při kterém je foton absorbován atomem, což způsobí, že elektron přeskočí z nižší energetické úrovně na vyšší. Proces je popsán Einsteinovým koeficientem (m ³ J ⁻¹ s ⁻² ), který udává pravděpodobnost za jednotku času na jednotku spektrálního záření radiačního pole, že elektron ve stavu 1 s energií pohltí foton s energií E ₂ - E ₁ = hν a skočte do stavu 2 s energií . Změna hustoty počtu atomů ve stavu 1 za jednotku času v důsledku absorpce bude ${\ displaystyle B_ {12}}$${\ displaystyle E_ {1}}$${\ displaystyle E_ {2}}$

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {dn_ {1}} {dt}} \ right) _ {\ text {pos. absorbovat.}} =-B_ {12} n_ {1} \ rho (\ nu).}$

Podrobné vyvážení

Einsteinovy ​​koeficienty jsou pevné pravděpodobnosti za čas spojené s každým atomem a nezávisí na stavu plynu, jehož jsou atomy součástí. Jakýkoli vztah, který můžeme odvodit mezi koeficienty na řekněme termodynamické rovnováze, tedy bude platit univerzálně.

Při termodynamické rovnováze budeme mít jednoduché vyvažování, ve kterém je čistá změna počtu všech excitovaných atomů nulová, přičemž je vyvážena ztrátou a ziskem v důsledku všech procesů. S ohledem na vázané přechody budeme mít také podrobné vyvažování , které uvádí, že čistá výměna mezi libovolnými dvěma úrovněmi bude vyvážená. Důvodem je, že pravděpodobnost přechodu nemůže být ovlivněna přítomností nebo nepřítomností jiných excitovaných atomů. Podrobná rovnováha (platí pouze v rovnováze) vyžaduje, aby časová změna počtu atomů na úrovni 1 v důsledku výše uvedených tří procesů byla nulová:

${\ Displaystyle 0 = A_ {21} n_ {2}+B_ {21} n_ {2} \ rho (\ nu) -B_ {12} n_ {1} \ rho (\ nu).}$

Spolu s podrobným vyvažováním můžeme při teplotě T použít k odvození našich znalostí o rovnovážné energetické distribuci atomů, jak je uvedeno v Maxwellově -Boltzmannově distribuci , a o rovnovážné distribuci fotonů, jak je uvedeno v Planckově zákonu záření černého tělesa. univerzální vztahy mezi Einsteinovými koeficienty.

Z Boltzmannovy distribuce máme pro počet excitovaných atomových druhů i :

${\ displaystyle {\ frac {n_ {i}} {n}} = {\ frac {g_ {i} e^{-E_ {i}/kT}} {Z}},}$

kde n je celková hustota čísel atomových druhů, excitovaných a nevzrušených, k je Boltzmannova konstanta , T je teplota , je degenerace (také nazývaná multiplicita) stavu i a Z je funkce rozdělení . Z Planckova zákona záření černého tělesa při teplotě T máme pro spektrální záření (záření je energie za jednotku času na jednotku pevného úhlu na jednotku projektované oblasti, když je integrována v příslušném spektrálním intervalu) na frekvenci ν${\ displaystyle g_ {i}}$

${\ Displaystyle \ rho _ {\ nu} (\ nu, T) = F (\ nu) {\ frac {1} {e^{h \ nu /kT} -1}},}$

kde

${\ Displaystyle F (\ nu) = {\ frac {2h \ nu ^{3}} {c ^{3}}},}$

kde je rychlost světla a je Planckova konstanta . ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle h}$

Dosazením těchto výrazů do rovnice podrobného vyvažování a pamatováním na to, že E ₂ - E ₁ = hν přináší

${\ Displaystyle A_ {21} g_ {2} e^{-h \ nu /kT}+B_ {21} g_ {2} e^{-h \ nu /kT} {\ frac {F (\ nu)} {e^{h \ nu /kT} -1}} = B_ {12} g_ {1} {\ frac {F (\ nu)} {e^{h \ nu /kT} -1}},}$

oddělující se na

${\ Displaystyle A_ {21} g_ {2} (e^{h \ nu /kT} -1)+B_ {21} g_ {2} F (\ nu) = B_ {12} g_ {1} e^{ h \ nu /kT} F (\ nu).}$

Výše uvedená rovnice musí platit při jakékoli teplotě, takže

${\ displaystyle B_ {21} g_ {2} = B_ {12} g_ {1},}$

a

${\ displaystyle -A_ {21} g_ {2}+B_ {21} g_ {2} F (\ nu) = 0.}$

Proto jsou tři Einsteinovy ​​koeficienty vzájemně propojeny vztahem

${\ displaystyle {\ frac {A_ {21}} {B_ {21}}} = F (\ nu)}$

a

${\ displaystyle {\ frac {B_ {21}} {B_ {12}}} = {\ frac {g_ {1}} {g_ {2}}}.}$

Když je tento vztah vložen do původní rovnice, lze také najít vztah mezi a zahrnující Planckův zákon . ${\ displaystyle A_ {21}}$${\ displaystyle B_ {12}}$

Silné stránky oscilátoru

Síla oscilátoru je definována následujícím vztahem k průřezu pro absorpci: ${\ displaystyle f_ {12}}$${\ Displaystyle \ sigma}$

${\ Displaystyle \ sigma = {\ frac {e^{2}} {4 \ varepsilon _ {0} m_ {e} c}} \, f_ {12} \, \ phi _ {\ nu} = {\ frac {\ pi e^{2}} {2 \ varepsilon _ {0} m_ {e} c}} \, f_ {12} \, \ phi _ {\ omega},}$

kde je elektronový náboj, je hmotnost elektronu a jsou normalizované distribuční funkce ve frekvenci a úhlové frekvenci. To umožňuje vyjádření všech tří Einsteinových koeficientů pomocí síly jednoho oscilátoru spojené s konkrétní atomovou spektrální čárou: ${\ displaystyle e}$${\ displaystyle m_ {e}}$${\ displaystyle \ phi _ {\ nu}}$${\ displaystyle \ phi _ {\ omega}}$

${\ Displaystyle B_ {12} = {\ frac {e^{2}} {4 \ varepsilon _ {0} m_ {e} h \ nu}} f_ {12},}$

${\ Displaystyle B_ {21} = {\ frac {e^{2}} {4 \ varepsilon _ {0} m_ {e} h \ nu}} {\ frac {g_ {1}} {g_ {2}} } f_ {12},}$

${\ Displaystyle A_ {21} = {\ frac {2 \ pi \ nu^{2} e^{2}} {\ varepsilon _ {0} m_ {e} c^{3}}} {\ frac {g_ {1}} {g_ {2}}} f_ {12}.}$

Viz také

Reference

Citovaná bibliografie

Jiné čtení

externí odkazy

• Emisní spektra z různých světelných zdrojů