Elektromagnetický tenzor - Electromagnetic tensor

Články o
Elektromagnetismus
Elektřina Magnetismus Dějiny Učebnice
Elektrostatika Elektrický náboj Coulombův zákon Dirigent Hustota náboje Permitivita Elektrický dipólový moment Elektrické pole Elektrický potenciál Elektrický tok  / potenciální energie Elektrostatický výboj Gaussův zákon Indukce Izolátor Hustota polarizace Statická elektřina Triboelektřina
Magnetostatika Ampereův zákon Biot – Savartův zákon Gaussův zákon pro magnetismus Magnetické pole Magnetický tok Magnetický dipólový moment Magnetická propustnost Magnetický skalární potenciál Magnetizace Magnetomotorická síla Potenciál magnetického vektoru Pravidlo pravé ruky
Elektrodynamika Lorentzův silový zákon Elektromagnetická indukce Faradayův zákon Lenzův zákon Zdvihový proud Maxwellovy rovnice Elektromagnetické pole Elektromagnetický puls Elektromagnetická radiace Maxwellův tenzor Poyntingův vektor Liénard – Wiechertův potenciál Jefimenkovy rovnice Vířivý proud Londýnské rovnice Matematické popisy elektromagnetického pole
Elektrická síť Střídavý proud Kapacita Stejnosměrný proud Elektrický proud Elektrolýza Hustota proudu Joule topení Elektromotorická síla Impedance Indukčnost Ohmův zákon Paralelní obvod Odpor Rezonanční dutiny Sériový obvod Napětí Vlnovody
Koviantní formulace Elektromagnetický tenzor ( tenzor napětí-energie ) Čtyřproudové Elektromagnetický čtyři potenciál
Vědci Ampér Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Jindřich Hertz Joule Lenz Lorentz Maxwell Ørsted Ohm Ritchie Savart Zpěvák Tesla Volta Weber
proti t E

V elektromagnetismu je elektromagnetický tenzor nebo tenzor elektromagnetického pole (někdy nazývaný tenzor intenzity pole , Faradayův tenzor nebo Maxwellův bivektor ) matematický objekt, který popisuje elektromagnetické pole v časoprostoru. Polní tenzor byl poprvé použit poté, co Hermann Minkowski představil čtyřrozměrnou tenzorovou formulaci speciální relativity . Tenzor umožňuje psát související fyzikální zákony velmi stručně.

Definice

Elektromagnetické tenzor, obvykle označené F , je definována jako vnější derivát z elektromagnetického čtyř možností , A , diferenciální 1-formě:

${\ displaystyle F \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ mathrm {d} A.}$

Proto F je rozdíl 2-form to jest, antisymmetric pozice-2 tensor pole, na Minkowski prostor. Ve formě komponenty,

${\ displaystyle F _ {\ mu \ nu} = \ částečné _ {\ mu} A _ {\ nu} - \ částečné _ {\ nu} A _ {\ mu}.}$

kde je čtyři gradient a je čtyři potenciál . ${\ displaystyle \ částečné}$${\ displaystyle A}$

SI jednotky pro Maxwellovy rovnice a částicové fyziky je znamení konvence pro podpis z Minkowski prostoru (+ - - -) , bude použit v celém tomto článku.

Vztah s klasickými poli

Tyto elektrické a magnetické pole může být získána ze složek elektromagnetického tenzoru. Vztah je nejjednodušší v kartézských souřadnicích :

${\ displaystyle E_ {i} = cF_ {0i},}$

kde c je rychlost světla a

${\ displaystyle B_ {i} = - {\ frac {1} {2}} \ epsilon _ {ijk} F ^ {jk},}$

kde je tenzor Levi-Civita . To dává pole v určitém referenčním rámci; pokud se změní referenční rámec, komponenty elektromagnetického tenzoru se transformují kovariantně a pole v novém rámci budou dána novými komponentami. ${\ displaystyle \ epsilon _ {ijk}}$

V kontrariantní maticové formě

${\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {bmatrix} 0 & -E_ {x} / c & -E_ {y} / c & -E_ {z} / c \\ E_ {x} / c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} \\ E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ {x} \\ E_ {z} / c & -B_ {y} & B_ {x} & 0 \ end {bmatrix}}.}$

Kovarianční forma je dána snížením indexu ,

${\ displaystyle F _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ alpha \ nu} F ^ {\ beta \ alpha} \ eta _ {\ mu \ beta} = {\ begin {bmatrix} 0 & E_ {x} / c & E_ {y} / c & E_ {z} / c \\ - E_ {x} / c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} \\ - E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ {x} \\ - E_ {z} / c & -B_ {y} & B_ {x} a 0 \ end {bmatrix}}.}$

Faradayův tenzorový Hodge dual je

${\ displaystyle {G ^ {\ alpha \ beta} = {\ frac {1} {2}} \ epsilon ^ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} F _ {\ gamma \ delta} = {\ begin {bmatrix} 0 & -B_ {x} & - B_ {y} & - B_ {z} \\ B_ {x} & 0 & E_ {z} / c & -E_ {y} / c \\ B_ {y} & - E_ {z} / c & 0 & E_ {x} / c \\ B_ {z} & E_ {y} / c & -E_ {x} / c & 0 \ end {bmatrix}}}}$

Od nynějška v tomto článku, když jsou zmíněna elektrická nebo magnetická pole, předpokládá se kartézský souřadný systém a elektrická a magnetická pole jsou vzhledem k referenčnímu rámci souřadnicového systému, jako ve výše uvedených rovnicích.

Vlastnosti

Maticová forma tenzoru pole poskytuje následující vlastnosti:

1. Antisymetrie :
   $${\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = - F ^ {\ nu \ mu}}$$

   
2. Šest nezávislých komponent: V kartézských souřadnicích se jedná pouze o tři prostorové komponenty elektrického pole ( E _x , E _y , E _z ) a magnetického pole ( B _x , B _y , B _z ).
3. Skalární součin: Pokud jeden tvoří vnitřní produkt intenzity pole tensor v Lorentz invariantu je tvořen
   $${\ displaystyle F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu} = 2 \ vlevo (B ^ {2} - {\ frac {E ^ {2}} {c ^ {2}}} \ vpravo) }$$

   
   což znamená, že toto číslo se nemění z jednoho referenčního rámce na jiný.
4. Pseudoskalární invariant: Produkt tenzorus jeho Hodgeovým duálním dává Lorentzův invariant :${\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle G ^ {\ mu \ nu}}$
   $${\ displaystyle G _ {\ gamma \ delta} F ^ {\ gamma \ delta} = {\ frac {1} {2}} \ epsilon _ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} F ^ {\ alpha \ beta} F ^ {\ gamma \ delta} = - {\ frac {4} {c}} \ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {E} \,}$$

   
   kde je symbol Levi-Civita 4. úrovně . Znaménko pro výše uvedené závisí na konvenci použité pro symbol Levi-Civita. Konvence použitá zde je .${\ displaystyle \ epsilon _ {\ alfa \ beta \ gama \ delta}}$${\ displaystyle \ epsilon _ {0123} = - 1}$
5. Určující :
   $${\ displaystyle \ det \ left (F \ right) = {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ left (\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {E} \ right) ^ {2}}$$

   
   což je úměrné čtverci výše uvedeného invariantu.
6. Stopa :
   $${\ displaystyle F = {{F} ^ {\ mu}} _ {\ mu} = 0}$$

   
   což se rovná nule.

Význam

Tento tenzor zjednodušuje a redukuje Maxwellovy rovnice jako čtyři rovnice vektorového počtu do dvou rovnic tenzorového pole. V elektrostatice a elektrodynamice jsou Gaussův zákon a Ampereho cirkulární zákon respektive:

${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho} {\ epsilon _ {0}}}, \ quad \ nabla \ times \ mathbf {B} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ částečné \ mathbf {E}} {\ částečné t}} = \ mu _ {0} \ mathbf {J}}$

a redukovat na nehomogenní Maxwellovu rovnici:

${\ displaystyle \ částečné _ {\ alfa} F ^ {\ alfa \ beta} = \ mu _ {0} J ^ {\ beta}}$, kde je čtyřproud .${\ displaystyle J ^ {\ alpha} = (c \ rho, \ mathbf {J})}$

V magnetostatice a magnetodynamice platí Gaussův zákon pro magnetismus a Maxwellova-Faradayova rovnice :

${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0, \ quad {\ frac {\ částečné \ mathbf {B}} {\ částečné t}} + \ nabla \ krát \ mathbf {E} = 0}$

které redukují na identitu Bianchi :

${\ displaystyle \ částečné _ {\ gamma} F _ {\ alpha \ beta} + \ částečné _ {\ alpha} F _ {\ beta \ gamma} + \ částečné _ {\ beta} F _ {\ gamma \ alfa} = 0}$

nebo pomocí indexové notace s hranatými závorkami pro antisymetrickou část tenzoru:

${\ displaystyle \ částečné _ {[\ alfa} F _ {\ beta \ gamma]} = 0}$

Relativita

Tenzor pole odvozuje svůj název od skutečnosti, že se zjistí, že elektromagnetické pole dodržuje zákon transformace tenzoru , přičemž tato obecná vlastnost fyzikálních zákonů byla rozpoznána po příchodu speciální relativity . Tato teorie stanovila, že všechny zákony fyziky by měly mít ve všech souřadnicových systémech stejnou formu - to vedlo k zavedení tenzorů . Tenzorový formalismus také vede k matematicky jednodušší prezentaci fyzikálních zákonů.

Nehomogenní Maxwellova rovnice vede k rovnici kontinuity :

${\ displaystyle \ částečné _ {\ alpha} J ^ {\ alpha} = J ^ {\ alpha} {} _ {, \ alpha} = 0}$

z čehož vyplývá zachování poplatku .

Maxwellovy zákony výše je možné zobecnit na zakřiveném spacetime jednoduchou náhradou parciální derivace s kovariantní deriváty :

${\ displaystyle F _ {[\ alpha \ beta; \ gamma]} = 0}$ a ${\ displaystyle F ^ {\ alpha \ beta} {} _ {; \ alpha} = \ mu _ {0} J ^ {\ beta}}$

kde notace středník představuje kovariantní derivaci, na rozdíl od částečné derivace. Tyto rovnice jsou někdy označovány jako Maxwellovy rovnice zakřiveného prostoru . Druhá rovnice opět znamená zachování náboje (v zakřiveném časoprostoru):

${\ displaystyle J ^ {\ alpha} {} _ {; \ alpha} \, = 0}$

Lagrangeova formulace klasického elektromagnetismu

Klasický elektromagnetismus a Maxwellovy rovnice lze odvodit z akce :

${\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int \ left (- {\ begin {matrix} {\ frac {1} {4 \ mu _ {0}}} \ end {matrix}} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu} -J ^ {\ mu} A _ {\ mu} \ vpravo) \ mathrm {d} ^ {4} x \,}$

kde

${\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {4} x \;}$   je v prostoru a čase.

To znamená, že Lagrangeova hustota je

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ mathcal {L}} & = - {\ frac {1} {4 \ mu _ {0}}} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu} -J ^ {\ mu} A _ {\ mu} \\ & = - {\ frac {1} {4 \ mu _ {0}}} \ vlevo (\ částečný _ {\ mu} A _ {\ nu} - \ částečný _ {\ nu} A _ {\ mu} \ pravý) \ levý (\ částečný ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ částečný ^ {\ nu} A ^ {\ mu} \ pravý) -J ^ {\ mu} A _ {\ mu} \\ & = - {\ frac {1} {4 \ mu _ {0}}} \ left (\ částečné _ {\ mu} A _ {\ nu} \ částečné ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ částečné _ {\ nu} A _ {\ mu} \ částečné ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ částečné _ {\ mu} A _ {\ nu} \ částečné ^ {\ nu} A ^ {\ mu} + \ částečné _ {\ nu} A _ {\ mu} \ částečné ^ {\ nu} A ^ {\ mu} \ vpravo) -J ^ {\ mu} A _ {\ mu } \\\ end {zarovnáno}}}$

Dva střední členy v závorkách jsou stejné, stejně jako dva vnější členy, takže Lagrangeova hustota je

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - {\ frac {1} {2 \ mu _ {0}}} \ vlevo (\ částečný _ {\ mu} A _ {\ nu} \ částečný ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ částečné _ {\ nu} A _ {\ mu} \ částečné ^ {\ mu} A ^ {\ nu} \ pravé) -J ^ {\ mu} A _ {\ mu}.}$

Dosazením do Euler-Lagrangeovy pohybové rovnice pro pole:

${\ displaystyle \ částečné _ {\ mu} \ vlevo ({\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné (\ částečné _ {\ mu} A _ {\ nu})}} \ vpravo) - {\ frac {\ částečné {\ mathcal {L}}} {\ částečné A _ {\ nu}}} = 0}$

Euler-Lagrangeova rovnice se tedy stává:

${\ displaystyle - \ částečné _ {\ mu} {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ vlevo (\ částečné ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ částečné ^ {\ nu} A ^ {\ mu} \ right) + J ^ {\ nu} = 0. \,}$

Množství v závorkách výše je pouze tenzor pole, takže se to nakonec zjednoduší

${\ displaystyle \ částečné _ {\ mu} F ^ {\ mu \ nu} = \ mu _ {0} J ^ {\ nu}}$

Tato rovnice je dalším způsobem, jak napsat dvě nehomogenní Maxwellovy rovnice (jmenovitě Gaussův zákon a Ampereho zákon o oběhu ) pomocí substitucí:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {1} {c}} E ^ {i} & = - F ^ {0i} \\\ epsilon ^ {ijk} B_ {k} & = - F ^ { ij} \ end {zarovnáno}}}$

kde i, j, k nabývají hodnot 1, 2 a 3.

Hamiltonova forma

Hamiltonovský hustota může být dosaženo obvyklým vztahu

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ phi ^ {i}, \ pi _ {i}) = \ pi _ {i} {\ dot {\ phi}} ^ {i} (\ phi ^ {i }, \ pi _ {i}) - {\ mathcal {L}}}$.

Kvantová elektrodynamika a teorie pole

Lagrangián z kvantové elektrodynamiky přesahuje klasický Lagrangian založena v relativity zahrnout vytvoření a zničení fotonů (a elektrony):

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ bar {\ psi}} \ vlevo (i \ hbar c \, \ gamma ^ {\ alpha} D _ {\ alpha} -mc ^ {2} \ vpravo) \ psi - {\ frac {1} {4 \ mu _ {0}}} F _ {\ alpha \ beta} F ^ {\ alpha \ beta},}$

kde první část na pravé straně, obsahující Diracův spinor , představuje pole Dirac . V kvantové teorii pole se používá jako šablona pro tenzor intenzity pole měřidla. Tím, že je zaměstnán vedle místní interakce Lagrangian, opakuje svou obvyklou roli v QED. ${\ displaystyle \ psi}$

Viz také

• Klasifikace elektromagnetických polí
• Kovarianční formulace klasického elektromagnetismu
• Tenzor elektromagnetického napětí a energie
• Tenzor síly gluonového pole
• Ricciho počet
• Riemann – Silbersteinův vektor

Poznámky

Reference

• Brau, Charles A. (2004). Moderní problémy klasické elektrodynamiky . Oxford University Press . ISBN 0-19-514665-4.
• Jackson, John D. (1999). Klasická elektrodynamika . John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-30932-X.
• Peskin, Michael E .; Schroeder, Daniel V. (1995). Úvod do teorie kvantového pole . Perseus Publishing. ISBN 0-201-50397-2.