Eliptická geometrie - Elliptic geometry

Eliptická geometrie je příkladem geometrie, ve které Euclidův paralelní postulát neplatí. Místo toho, jako v sférické geometrii , neexistují žádné rovnoběžné čáry, protože jakékoli dvě čáry se musí protnout. Na rozdíl od sférické geometrie se však obvykle předpokládá, že se dvě čáry protnou v jednom bodě (spíše než ve dvou). Z tohoto důvodu je eliptická geometrie popsaná v tomto článku někdy označována jako jednoduchá eliptická geometrie, zatímco sférická geometrie je někdy označována jako dvojitá eliptická geometrie .

Vzhled této geometrie v devatenáctém století stimuloval rozvoj neeuklidovské geometrie obecně, včetně hyperbolické geometrie .

Eliptická geometrie má řadu vlastností, které se liší od vlastností klasické euklidovské rovinné geometrie. Například součet vnitřních úhlů libovolného trojúhelníku je vždy větší než 180 °.

Definice

V eliptické geometrii se musí protínat dvě přímky kolmé k dané přímce. Ve skutečnosti se všechny kolmice na jedné straně protínají v jednom bodě nazývaném absolutní pól této přímky. V bodě se také protínají kolmice na druhé straně. Na rozdíl od sférické geometrie jsou však póly na obou stranách stejné. Důvodem je, že v eliptické geometrii neexistují žádné antipodální body . Toho je například dosaženo v hypersférickém modelu (popsaném níže) tím, že „body“ v naší geometrii jsou ve skutečnosti dvojice opačných bodů na kouli. Důvodem je to, že umožňuje eliptické geometrii uspokojit axiom, že jakýmkoli dvěma body prochází jedinečná čára.

Každý bod odpovídá absolutní polární linii, jejíž je absolutním pólem. Jakýkoli bod na této polární linii tvoří absolutní konjugovaný pár s pólem. Taková dvojice bodů je ortogonální a vzdálenost mezi nimi je kvadrant .

Vzdálenost mezi dvojicí bodů je úměrná úhlu mezi jejich absolutní Poláry.

Jak vysvětluje HSM Coxeter :

Název „eliptický“ je možná zavádějící. Neznamená to žádné přímé spojení s křivkou nazývanou elipsa, ale pouze dosti přitažlivou analogii. Centrální kužel se nazývá elipsa nebo hyperbola, protože nemá žádnou asymptotu nebo dvě asymptoty . Analogicky se říká, že neeuklidovská rovina je eliptická nebo hyperbolická, protože každá z jejích čar neobsahuje žádný bod v nekonečnu nebo dva body v nekonečnu.

Dva rozměry

Eliptické letadlo

Eliptická rovina je skutečná projektivní rovina opatřená metrikou : Kepler a Desargues použili gnomonickou projekci k přiřazení roviny σ k bodům na polokouli, která je k ní dotyčná . S O středem polokoule určuje bod P v σ přímku OP protínající polokouli a libovolná přímka L ⊂ σ určuje rovinu OL, která protíná polokouli v polovině velkého kruhu . Pologule je ohraničena rovinou procházející O a rovnoběžná s σ. Této rovině neodpovídá žádná obyčejná přímka σ; místo toho je k σ připojena čára v nekonečnu . Protože každá přímka v tomto prodloužení σ odpovídá rovině procházející O, a protože jakákoli dvojice takových rovin se protíná v přímce procházející O, lze dojít k závěru, že každá dvojice přímek v prodloužení se protíná: průsečík leží tam, kde je rovina průsečík se setkává s σ nebo přímkou ​​v nekonečnu. Axiom projektivní geometrie, vyžadující protnutí všech párů čar v rovině, je tedy potvrzen.

Vzhledem k tomu, P a Q v σ, eliptická vzdálenost mezi nimi je mírou úhlu POQ , obvykle měřeného v radiánech. Arthur Cayley zahájil studium eliptické geometrie, když napsal „O definici vzdálenosti“. Tento podnik do abstrakce v geometrii následovali Felix Klein a Bernhard Riemann, což vedlo k neeuklidovské geometrii a riemannianské geometrii .

Srovnání s euklidovskou geometrií

Porovnání eliptické, euklidovské a hyperbolické geometrie ve dvou dimenzích

V euklidovské geometrii lze postavu neomezeně zvětšovat nebo zmenšovat a výsledné obrazce jsou podobné, tj. Mají stejné úhly a stejné vnitřní proporce. V eliptické geometrii tomu tak není. Například na sférickém modelu vidíme, že vzdálenost mezi jakýmikoli dvěma body musí být striktně menší než polovina obvodu koule (protože jsou identifikovány antipodální body). Řádkový segment proto nelze zvětšovat do nekonečna. Geometr měřící geometrické vlastnosti prostoru, který obývá, může prostřednictvím měření detekovat, že existuje určitá stupnice vzdálenosti, která je vlastností prostoru. Na stupnicích mnohem menších, než je tato, je prostor přibližně plochý, geometrie je přibližně euklidovská a postavy lze zvětšovat a zmenšovat, přičemž zůstávají přibližně podobné.

Velká část euklidovské geometrie se přenáší přímo do eliptické geometrie. V eliptické geometrii například platí první a čtvrtý Euclidův postulát, že mezi jakýmikoli dvěma body je jedinečná přímka a že všechny pravé úhly jsou stejné. Postulát 3, že je možné sestrojit kružnici s jakýmkoli daným středem a poloměrem, se nezdaří, pokud „jakýkoli poloměr“ znamená „jakékoli skutečné číslo“, ale platí, pokud je chápán jako „délka libovolného daného úsečky“. Proto jakýkoli výsledek v euklidovské geometrii, který vyplývá z těchto tří postulátů, bude platit v eliptické geometrii, jako je tvrzení 1 z knihy I prvků , která uvádí, že vzhledem k libovolnému úsečkovému segmentu může být vytvořen rovnostranný trojúhelník se segmentem jako jeho základnou.

Eliptická geometrie je také jako euklidovská geometrie v tom, že prostor je spojitý, homogenní, izotropní a bez hranic. Izotropie je zaručena čtvrtým postulátem, že všechny pravé úhly jsou stejné. Pro příklad homogenity si povšimněte, že Euclidův návrh I.1 naznačuje, že stejný rovnostranný trojúhelník lze sestrojit na jakémkoli místě, nejen na místech, která jsou nějakým způsobem zvláštní. Nedostatek hranic vyplývá z druhého postulátu, rozšiřitelnosti úsečky.

Jedním ze způsobů, kterými se eliptická geometrie liší od euklidovské geometrie, je to, že součet vnitřních úhlů trojúhelníku je větší než 180 stupňů. V sférickém modelu lze například sestrojit trojúhelník s vrcholy v místech, kde tři kladné karteziánské souřadnicové osy protínají kouli, a všechny tři její vnitřní úhly jsou 90 stupňů, součet 270 stupňů. U dostatečně malých trojúhelníků lze přebytek přes 180 stupňů libovolně zmenšit.

Pythagorova věta selže v eliptické geometrii. Ve výše popsaném trojúhelníku 90 ° –90 ° –90 ° mají všechny tři strany stejnou délku, a v důsledku toho nevyhovují . Pythagorův výsledek je získán na hranici malých trojúhelníků.

Poměr obvodu kruhu k jeho ploše je menší než v euklidovské geometrii. Obecně se plocha a objem nemění jako druhá a třetí mocnina lineárních dimenzí.

Eliptický prostor (3D případ)

Poznámka: Tato část používá termín „eliptický prostor“ k označení konkrétně 3-dimenzionální eliptické geometrie. To je v kontrastu s předchozí částí, která byla o 2-dimenzionální eliptické geometrii. K objasnění tohoto prostoru slouží čtveřice.

Eliptický prostor může být konstruován podobným způsobem jako konstrukce trojrozměrného vektorového prostoru: s třídami ekvivalence . Jeden používá směrované oblouky na velké kruhy koule. Protože směrované úsečky jsou ekvipolentní, když jsou rovnoběžné, stejné délky a podobně orientované, tak směrované oblouky nacházející se na velkých kruzích jsou ekvipolentní, když mají stejnou délku, orientaci a velký kruh. Tyto vztahy ekvipolence vytvářejí 3D vektorový prostor, respektive eliptický prostor.

Přístup k eliptické vesmírné struktuře je zajištěn vektorovou algebrou Williama Rowana Hamiltona : představil si sféru jako doménu odmocnin minus jedné. Potom Eulerův vzorec (kde r je na kouli) představuje velký kruh v rovině obsahující 1 a r . Opačné body r a - r odpovídají opačně směřujícím kruhům. Oblouk mezi θ a φ je vyrovnaný s jedním mezi 0 a φ - θ. V eliptickém prostoru je délka oblouku menší než π, takže oblouky mohou být parametrizovány pomocí θ v [0, π) nebo (–π/2, π/2].

Pro Říká se, že modul nebo norma z je jedna (Hamilton to nazval tenzorem z). Ale protože r se pohybuje nad koulí ve 3-prostoru, exp (θ r) se pohybuje nad koulí ve 4-prostoru, nyní nazývané 3-koule , protože její povrch má tři rozměry. Hamilton nazval své algebraické čtveřice a rychle se z toho stal užitečný a oslavovaný nástroj matematiky. Jeho prostor čtyř dimenzí se vyvíjí v polárních souřadnicích s t v kladných reálných číslech .

Při provádění trigonometrie na Zemi nebo na nebeské sféře jsou strany trojúhelníků velké kruhové oblouky. Prvním úspěchem čtveřic bylo vykreslení sférické trigonometrie na algebru. Hamilton nazval čtveřici normy jedna versor , a to jsou body eliptického prostoru.

S pevným r , versors

tvoří eliptickou čáru . Vzdálenost od do 1 je a . Pro libovolný versor  u bude vzdálenost ta θ, pro kterou cos θ = ( u + u )/2, protože toto je vzorec pro skalární část jakéhokoli kvaternionu.

Eliptický pohyb je popsán mapování čtveřice

kde u a v jsou fixní versory.

Vzdálenosti mezi body jsou stejné jako mezi body obrazu eliptického pohybu. V případě, že u a v jsou navzájem kvarterní konjugáty, pohyb je prostorová rotace a jejich vektorová část je osa rotace. V případě u = 1 se eliptický pohyb nazývá pravý Cliffordův překlad nebo parataxe . Případ v = 1 odpovídá levému Cliffordovu překladu.

Eliptické čáry skrz versor  u mohou mít formu

nebo za pevné  r .

Jsou to pravé a levé Cliffordovy překlady  u podél eliptické linie skrz 1. Eliptický prostor je tvořen ze S 3 identifikací antipodálních bodů.

Eliptický prostor má speciální struktury zvané rovnoběžky Clifford a povrchy Clifford .

Versorové body eliptického prostoru jsou mapovány Cayleyovou transformací na ℝ 3 pro alternativní reprezentaci prostoru.

Prostory vyšší dimenze

Hypersférický model

Hypersférický model je zobecněním sférického modelu na vyšší dimenze. Body n -dimenzionálního eliptického prostoru jsou páry jednotkových vektorů ( x , -x ) v R n +1 , tj. Dvojice opačných bodů na povrchu jednotkové koule v ( n  + 1) -dimenzionálním prostoru ( n -dimenzionální hypersphere). Čáry v tomto modelu jsou velké kruhy , tj. Průsečíky hypersféry s plochými hyperplochami dimenze n procházející počátkem.

Projektivní eliptická geometrie

V projektivním modelu eliptické geometrie se jako body modelu používají body n -rozměrného reálného projektivního prostoru . Modeluje abstraktní eliptickou geometrii, která je také známá jako projektivní geometrie .

Body n -dimenzionálního projektivního prostoru mohou být identifikovány čarami skrz původ v ( n  + 1) -dimenzionálním prostoru a mohou být reprezentovány nejedinečně nenulovými vektory v R n +1 , s tím, že u a λ u , pro libovolný nenulový skalární  λ , představují stejný bod. Vzdálenost je definována pomocí metriky

to znamená, že vzdálenost mezi dvěma body je úhel mezi jejich odpovídajícími čarami v R n +1 . Vzorec vzdálenosti je v každé proměnné homogenní, přičemž du , μ v ) = d ( u ,  v ), pokud λ a μ jsou nenulové skaláry, definuje tedy vzdálenost v bodech projektivního prostoru.

Pozoruhodnou vlastností projektivní eliptické geometrie je, že pro sudé rozměry, jako je rovina, není geometrie orientovatelná . Jejich identifikací se vymaže rozdíl mezi otáčením ve směru a proti směru hodinových ručiček.

Stereografický model

Model představující stejný prostor jako hypersférický model lze získat pomocí stereografické projekce . Nechť E n představuje R n ∪ {∞}, tj. N -rozměrný reálný prostor rozšířený o jeden bod v nekonečnu. Můžeme definovat metriku, akordickou metriku , na E n pomocí

kde u a v jsou libovolné dva vektory v R n a je obvyklou euklidovskou normou. Také definujeme

Výsledkem je metrický prostor na E n , který představuje vzdálenost po tětivě odpovídajících bodů na hypersférickém modelu, na který se bijektivně mapuje stereografickou projekcí. Pokud použijeme metriku, získáme model sférické geometrie

Eliptická geometrie se z toho získá identifikací bodů u a - u a vzdáleností od v k tomuto páru bude minimální vzdálenost od v do každého z těchto dvou bodů.

Vlastní konzistence

Protože sférickou eliptickou geometrii lze modelovat například jako sférický podprostor euklidovského prostoru, vyplývá z toho, že pokud je euklidovská geometrie soběstačná, je sférická eliptická geometrie také. Proto není možné prokázat paralelní postulát na základě dalších čtyř postulátů euklidovské geometrie.

Tarski dokázal, že elementární euklidovská geometrie je úplná : existuje algoritmus, který pro každý návrh může ukázat, že je pravdivý nebo nepravdivý. (To neporušuje Gödelovu větu , protože euklidovská geometrie nedokáže popsat dostatečné množství aritmetiky, aby mohla věta platit.) Z toho tedy vyplývá, že elementární eliptická geometrie je také sama o sobě konzistentní a úplná.

Viz také

Poznámky

Reference

externí odkazy