Eliptický integrál - Elliptic integral

V integrálním počtu je eliptický integrál jednou z řady souvisejících funkcí definovaných jako hodnota určitých integrálů. Původně jim vznikly v souvislosti s problémem najít délku oblouku a jako elipsy a byly poprvé studovány Giulio Fagnano a Leonhard Euler ( c.  1750 ). Moderní matematika definuje „eliptický integrál“ jako jakoukoli funkci f, kterou lze vyjádřit ve formě

kde R je racionální funkce jejích dvou argumentů, P je polynom stupně 3 nebo 4 bez opakovaných kořenů a c je konstanta.

Obecně platí, že integrály v této formě nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí . Výjimky z tohoto obecného pravidla jsou, když P má opakované kořeny, nebo když R ( x , y ) neobsahuje žádné zvláštní síly y . S vhodným redukčním vzorcem však lze každý eliptický integrál přivést do formy, která zahrnuje integrály nad racionálními funkcemi a tři kanonické formy Legendre (tj. Eliptické integrály prvního, druhého a třetího druhu).

Kromě níže uvedené formy Legendre mohou být eliptické integrály vyjádřeny také v Carlsonově symetrickém tvaru . Další vhled do teorie eliptického integrálu lze získat studiem mapování Schwarz – Christoffel . Historicky byly eliptické funkce objeveny jako inverzní funkce eliptických integrálů.

Argumentová notace

Neúplné eliptické integrály jsou funkcí dvou argumentů; kompletní eliptické integrály jsou funkce jednoho argumentu. Tyto argumenty jsou vyjádřeny mnoha různými, ale ekvivalentními způsoby (dávají stejný eliptický integrál). Většina textů dodržuje kanonické schéma pojmenování pomocí následujících konvencí pojmenování.

Pro vyjádření jednoho argumentu:

Každá z výše uvedených tří veličin je zcela určena kteroukoli z ostatních (vzhledem k tomu, že nejsou nezáporné). Lze je tedy použít zaměnitelně.

Druhý argument lze také vyjádřit jako φ , amplitudu nebo jako x nebo u , kde x = sin φ = sn u a sn je jednou z jakobiánských eliptických funkcí .

Určení hodnoty kteréhokoli z těchto veličin určuje ostatní. Všimněte si, že u závisí také na m . Některé další vztahy zahrnující u zahrnují

Ta se někdy nazývá delta amplituda a píše se jako Δ ( φ ) = dn u . Někdy se literatura také zmiňuje o doplňkovém parametru , doplňkovém modulu nebo doplňkovém modulárním úhlu . Ty jsou dále definovány v článku o čtvrtletních obdobích .

Neúplný eliptický integrál prvního druhu

Neúplný eliptický integrál prvního druhu F je definován jako

Toto je trigonometrická forma integrálu; dosazením t = sin θ a x = sin φ získáme Legendrovu normální formu:

Ekvivalentně, pokud jde o amplitudu a modulární úhel, má:

V této notaci použití svislé čáry jako oddělovače naznačuje, že argument následující za ním je „parametr“ (jak je definováno výše), zatímco zpětné lomítko označuje, že se jedná o modulární úhel. Použití středníku znamená, že argument, který jej předchází, je sinus amplitudy:

Toto potenciálně matoucí použití různých oddělovačů argumentů je u eliptických integrálů tradiční a velká část zápisu je kompatibilní s tím, který se používá v referenční knize Abramowitze a Steguna a který se používá v integrálních tabulkách od Gradshteyna a Ryzhika .

S x = sn ( u , k ) má jeden:

To znamená, že Jacobiho eliptické funkce jsou inverzní k eliptické integrály.

Neúplný eliptický integrál prvního druhu má následující větu sčítání:

Eliptický modul lze transformovat tímto způsobem:

Varianty notace

V literatuře existují ještě další konvence pro notaci eliptických integrálů. Často se setkáváme se zápisem se zaměňovanými argumenty, F ( k , φ ) ; a podobně E ( k , φ ) pro integrál druhého druhu. Abramowitz a Stegun dosadili integrál prvního druhu, F ( φ , k ) , za argument φ ve své definici integrálů druhého a třetího druhu, ledaže by za tímto argumentem následovala svislá čára: tj. E ( F ( φ , k ) | k 2 ) pro E ( φ | k 2 ) . Navíc jejich úplné integrály používají parametr k 2 jako argument namísto modulu k , tj. K ( k 2 ) místo K ( k ) . A integrál třetího druhu definovaný Gradshteynem a Ryzhikem , Π ( φ , n , k ) , dává amplitudu φ na první místo, ne na „charakteristickou“ n .

Při používání těchto funkcí tedy musíme být opatrní při zápisu, protože různé renomované odkazy a softwarové balíčky používají v definicích eliptických funkcí různé konvence. Například některé odkazy a Wolfram je Mathematica software a Wolfram Alpha , definovat celý eliptický integrál prvního druhu, pokud jde o parametr m , namísto eliptické modulu k .

Neúplný eliptický integrál druhého druhu

Neúplný eliptický integrál druhého druhu E ve formě trigonometrické je

Dosazením t = sin θ a x = sin φ získáme Legendrovu normální formu:

Ekvivalentně, pokud jde o amplitudu a modulární úhel:

Mezi vztahy s Jacobiho eliptickými funkcemi patří

Délka poledníku od rovníku do zeměpisné šířky φ se píše jako E :

kde a je poloviční hlavní osa a e je výstřednost .

Neúplný eliptický integrál druhého druhu má následující větu sčítání:

Eliptický modul lze transformovat tímto způsobem:

Neúplný eliptický integrál třetího druhu

Neúplné eliptický integrál třetího druhu n je

nebo

Číslo n se nazývá charakteristika a může nabývat jakékoli hodnoty, nezávisle na ostatních argumentech. Všimněte si však, že hodnota Π (1; π/2| m ) je nekonečný, pro jakýkoli m .

Vztah k Jacobským eliptickým funkcím je

Délka poledníku od rovníku do zeměpisné šířky φ souvisí také se zvláštním případem Π :

Kompletní eliptický integrál prvního druhu

Graf úplného eliptického integrálu prvního druhu K ( k )

O eliptických integrálech se říká, že jsou „úplné“, když je amplituda φ =π/2a tedy x = 1 . Kompletní eliptický integrál prvního druhu K tedy může být definována jako

nebo kompaktněji, pokud jde o neúplný integrál prvního druhu jako

Lze jej vyjádřit jako výkonovou řadu

kde P n je Legendrovy polynomy , což odpovídá

kde n !! označuje dvojitý faktoriál . Z hlediska Gaussovy hypergeometrické funkce lze úplný eliptický integrál prvního druhu vyjádřit jako

Úplný eliptický integrál prvního druhu se někdy nazývá čtvrtinové období . Lze jej vypočítat velmi efektivně z hlediska aritmeticko-geometrického průměru :

Podrobnosti viz Carlson (2010 , 19.8).

Modul lze proto transformovat tímto způsobem:

Tento výraz je platný pro všechna n ∈ ℕ a 0 ≤ k ≤ 1:

Vztah k funkci Jacobi theta

Vztah k Jacobiho theta funkci je dán vztahem

kde nome q je

Asymptotické výrazy

Tato aproximace má relativní přesnost lepší než 3 × 10 −4 pro k <1/2. Ponechání pouze prvních dvou členů je správné s přesností 0,01 pro k <1/2.

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice pro eliptický integrál prvního druhu je

Druhým řešením této rovnice je . Toto řešení tento vztah splňuje

Pokračující zlomek

Řetězový zlomek expanze je:

kde nome je q = q ( k ) .

Kompletní eliptický integrál druhého druhu

Spiknutí úplného eliptického integrálu druhého druhu

Kompletní eliptický integrál druhého druhu E je definován jako

nebo kompaktněji, pokud jde o neúplný integrál druhého druhu E ( φ , k ) jako

Pro elipsy s hlavní poloosa a a semi-vedlejší ose B a excentricitou e = 1 - b 2 / 2 , kompletní eliptický integrál druhého druhu E ( e ) se rovná jedné čtvrtině obvod c z elipsa měřená v jednotkách poloviční hlavní osy a . Jinými slovy:

Úplný eliptický integrál druhého druhu lze vyjádřit jako výkonovou řadu

což odpovídá

Z hlediska Gaussovy hypergeometrické funkce lze úplný eliptický integrál druhého druhu vyjádřit jako

Modul lze transformovat tímto způsobem:

Výpočet

Stejně jako integrál prvního druhu lze kompletní eliptický integrál druhého druhu vypočítat velmi efektivně pomocí aritmeticko-geometrického průměru ( Carlson 2010 , 19.8).

Definovat sekvence a , kde je to , a opakování vztahy , HOLD. Dále definujte . Podle definice,

.

Také . Pak

V praxi by aritmeticko-geometrický průměr byl jednoduše vypočítán až do určitého limitu. Tento vzorec kvadraticky konverguje pro všechny . Pro další urychlení výpočtu lze použít relaci .

Derivační a diferenciální rovnice

Druhým řešením této rovnice je E ( 1 - k 2 ) - K ( 1 - k 2 ) .

Kompletní eliptický integrál třetího druhu

Graf celého eliptického integrálu třetího druhu s několika pevnými hodnotami

Kompletní eliptický integrál třetího druhu n může být definována jako

Všimněte si, že někdy je eliptický integrál třetího druhu definován inverzním znaménkem pro charakteristiku n ,

Stejně jako úplné eliptické integrály prvního a druhého druhu lze úplný eliptický integrál třetího druhu vypočítat velmi efektivně pomocí aritmeticko-geometrického průměru ( Carlson 2010 , 19.8).

Částečné derivace

Funkční vztahy

Legendrov vztah :

Viz také

Reference

externí odkazy