Rovnost (matematika) - Equality (mathematics)

V matematice je rovnost vztahem mezi dvěma veličinami nebo obecněji dvěma matematickými výrazy , které tvrdí, že veličiny mají stejnou hodnotu, nebo že výrazy představují stejný matematický objekt . Rovnost mezi A a B je napsáno A  =  B , a výraznější rovná B . Symbol " = " se nazývá " znaménko rovná se ". Dva objekty, které nejsou stejné, jsou prý odlišné .

Například:

  • znamená, že x a y označují stejný objekt.
  • Tyto identifikační prostředky, které v případě, x je libovolné číslo, pak oba výrazy mají stejnou hodnotu. To lze také interpretovat tak, že obě strany znaménka rovnosti představují stejnou funkci .
  • právě tehdy, pokud toto tvrzení, které používá notaci set-builderu , znamená, že pokud jsou prvky splňující vlastnosti stejné jako prvky splňující, pak obě použití notace set-builder definují stejnou sadu. Tato vlastnost je často vyjádřena jako „dvě sady, které mají stejné prvky, jsou stejné“. Je to jeden z obvyklých axiomů teorie množin , nazývaný axiom extenze .

Etymologie

Etymologie slova pochází z latinského aequalis ( „rovné“, „jako“, „srovnatelné“, „podobný“) od aequus ( „rovné“, „úroveň“, „trh“, „jen“).

Základní vlastnosti

Některé konkrétní příklady tohoto jsou:

  • Pro všechna reálná čísla a , b , a c , pokud a = b , pak a + c = b + c (zde F ( x ) je x + c );
  • Pro všechna reálná čísla a , b , a c platí , že a = b , pak a - c = b - c (zde F ( x ) je x - c );
  • Pro všechna reálná čísla a , b , a c , pokud a = b , pak ac = bc (zde F ( x ) je xc );
  • Pro všechna reálná čísla a , b , a c , pokud a = b a c není nula , pak a / c = b / c (zde F ( x ) je x / c ).
  • Reflexní vlastnost : Pro libovolné množství a , a = a .
  • Symetrická vlastnost : Pro jakákoli množství a a b platí , že a = b , pak b = a .
  • Přechodná vlastnost : Pro jakákoli množství a , b , a c , pokud a = b a b = c , pak a = c .

Tyto tři vlastnosti dělají z rovnosti vztah ekvivalence . Původně byly zahrnuty mezi axiomy Peano pro přirozená čísla. Ačkoli jsou symetrické a tranzitivní vlastnosti často považovány za základní, lze je odvodit ze substitučních a reflexních vlastností.

Rovnost jako predikát

Pokud A a B nejsou zcela specifikovány nebo závisí na některých proměnných , je rovnost návrhem , což může být u některých hodnot pravdivé a u jiných hodnot nepravdivé. Rovnost je binární relace (tj. Predikát se dvěma argumenty ), která může ze svých argumentů vytvářet pravdivostní hodnotu ( nepravdivou nebo pravdivou ). V počítačovém programování je jeho výpočet ze dvou výrazů známý jako srovnání .

Identity

Pokud lze na A a B pohlížet jako na funkce některých proměnných, pak A  =  B znamená, že A a B definují stejnou funkci. Taková rovnost funkcí se někdy nazývá identita . Příkladem je Někdy, ale ne vždy, identita je napsána pomocí trojitého pruhu :

Rovnice

Rovnice je problém najít hodnoty některých proměnných, tzv neznámé , u kterých není zadaná rovnost je pravdivá. Pod pojmem „Rovnice“ může také se odkazovat na vztah rovnosti, která je splněna pouze pro hodnoty proměnných, které se někdo zajímá. Například, je rovnice na kruhu jednotky .

Neexistuje žádný standardní zápis, který by odlišoval rovnici od identity nebo jiné použití vztahu rovnosti: je třeba uhodnout vhodnou interpretaci ze sémantiky výrazů a kontextu. U všech hodnot proměnných v dané doméně se tvrdí, že identita je pravdivá. „Rovnice“ může někdy znamenat identitu, ale častěji určuje podmnožinu proměnného prostoru jako podmnožinu, kde je rovnice pravdivá.

Shody

V některých případech lze považovat za rovnocenné dva matematické objekty, které jsou ekvivalentní pouze uvažovaným vlastnostem. V geometrii například, dva geometrické tvary se říká, že se rovná když se může pohybovat se shoduje s druhou. Pro tento druh rovnosti se také používá slovo shoda (a související symbol ).

Přibližná rovnost

Existují některé logické systémy, které nemají představu o rovnosti. To odráží nerozhodnutelnost rovnosti dvou reálných čísel , definovanou vzorci zahrnujícími celá čísla , základní aritmetické operace , logaritmus a exponenciální funkci . Jinými slovy, nemůže existovat žádný algoritmus pro rozhodování o takové rovnosti.

Binární relaceje přibližně stejná “ (označené symbolem ) mezi reálnými čísly nebo jinými věcmi, i když přesněji definován, není tranzitivní (protože mnoho malých rozdílů lze přidat až něco velkého). Rovnost je však téměř všude přechodná.

Testovanou spornou rovnost lze označit symbolem .

Vztah s ekvivalencí a izomorfismem

Rovnost je chápána jako vztah obecnějšího pojmu vztahu ekvivalence na množině: těch binárních vztahů, které jsou reflexní , symetrické a tranzitivní . Vztah identity je vztah ekvivalence. Naopak nechť R je vztah ekvivalence a označme x R třídou ekvivalence x skládající se ze všech prvků z tak, že x R z . Pak vztah x R y je ekvivalentní s rovnosti x R  =  y R . Z toho vyplývá, že rovnost je nejlepším vztahem ekvivalence na jakékoli sadě S v tom smyslu, že je to vztah, který má nejmenší třídy ekvivalence (každá třída je redukována na jeden prvek).

V některých kontextech se rovnost ostře odlišuje od rovnocennosti nebo izomorfismu . Například, jeden může rozlišovat frakce z racionálních čísel , přičemž se tyto ekvivalence třídy frakcí: frakce a jsou odlišné, jako frakce (jako různé řetězce symbolů), ale „představují“ stejný racionální číslo (stejný bod na číslo řádku ). Toto rozlišení dává vzniknout pojmu kvocientové množiny .

Podobně sady

a

nejsou stejné množiny - první se skládá z písmen, zatímco druhá se skládá z čísel - ale obě jsou sady tří prvků a jsou tedy izomorfní, což znamená, že mezi nimi existuje bijekce . Například

Existují však i jiné možnosti izomorfismu, jako např

a tyto sady nelze identifikovat, aniž bychom se takto rozhodli - jakékoli prohlášení, které je identifikuje, „závisí na volbě identifikace“. Toto rozlišení mezi rovností a izomorfismem má zásadní význam v teorii kategorií a je jednou z motivací pro rozvoj teorie kategorií.

Logické definice

Leibniz charakterizoval pojem rovnosti takto:

Vzhledem k jakémukoli x a y , x = y tehdy a jen tehdy , vzhledem k jakémukoli predikátu P , P ( x ) právě tehdy, když P ( y ).

Rovnost v teorii množin

Rovnost množin je v teorii množin axiomatizována dvěma různými způsoby, v závislosti na tom, zda jsou axiomy založeny na jazyce prvního řádu s rovností nebo bez ní.

Nastavit rovnost na základě logiky prvního řádu s rovností

V logice prvního řádu s rovností axiom extenze uvádí, že dvě sady, které obsahují stejné prvky, jsou stejnou sadou.

  • Logický axiom: x = y ⇒ ∀ z , ( zxzy )
  • Logický axiom: x = y ⇒ ∀ z , ( xzyz )
  • Axiom teorie množin: (∀ z , ( zxzy )) ⇒ x = y

Začlenění poloviny práce do logiky prvního řádu může být považováno za pouhou věc pohodlí, jak poznamenal Lévy.

"Důvod, proč se chopíme predikátového počtu prvního řádu s rovností, je věcí pohodlí; tím si ušetříme práci s definováním rovnosti a dokazováním všech jejích vlastností; toto břemeno nyní přebírá logika."

Nastavit rovnost na základě logiky prvního řádu bez rovnosti

V logice prvního řádu bez rovnosti jsou dvě sady definovány jako stejné, pokud obsahují stejné prvky. Axiom extenze pak uvádí, že dvě stejné množiny jsou obsaženy ve stejných množinách.

  • Definice teorie množin: „ x = y “ znamená ∀ z , ( zxzy )
  • Axiom teorie množin: x = y ⇒ ∀ z , ( xzyz )

Viz také

Poznámky

Reference

externí odkazy