Ergodická teorie - Ergodic theory

Ergodická teorie ( řecky : workργον ergon „práce“, ὁδός hodos „způsob“) je obor matematiky, který studuje statistické vlastnosti deterministických dynamických systémů ; je to studium ergodicity . V tomto kontextu statistickými vlastnostmi rozumíme vlastnosti, které jsou vyjádřeny chováním časových průměrů různých funkcí podél trajektorií dynamických systémů. Pojem deterministických dynamických systémů předpokládá, že rovnice určující dynamiku neobsahují žádné náhodné poruchy, hluk atd. Statistiky, kterými se zabýváme, jsou tedy vlastnostmi dynamiky.

Ergodická teorie, stejně jako teorie pravděpodobnosti, je založena na obecných pojmech teorie opatření . Jeho počáteční vývoj byl motivován problémy statistické fyziky .

Ústředním zájmem ergodické teorie je chování dynamického systému, když mu je umožněno běžet po dlouhou dobu. Prvním výsledkem v tomto směru je Poincaréova rekurentní věta , která tvrdí, že téměř všechny body v jakékoli podmnožině fázového prostoru nakonec sadu znovu navštíví. Systémy, pro které platí Poincarého rekurentní věta, jsou konzervativní systémy ; všechny ergodické systémy jsou tedy konzervativní.

Přesnější informace poskytují různé ergodické věty, které tvrdí, že za určitých podmínek existuje časový průměr funkce podél trajektorií téměř všude a souvisí s vesmírným průměrem. Dvě z nejdůležitějších vět jsou Birkhoff (1931) a von Neumann, které potvrzují existenci časového průměru podél každé trajektorie. U speciální třídy ergodických systémů je tento časový průměr stejný téměř pro všechny počáteční body: statisticky vzato systém, který se dlouhodobě vyvíjí, „zapomíná“ na svůj počáteční stav. Silnější vlastnosti, jako je míchání a rovnoměrná distribuce , byly také rozsáhle studovány.

Problém metrické klasifikace systémů je další důležitou součástí abstraktní ergodické teorie. Významnou roli v ergodické teorii a jejích aplikacích ve stochastických procesech hrají různé pojmy entropie pro dynamické systémy.

Pojmy ergodicity a ergodické hypotézy jsou ústředním bodem aplikací ergodické teorie. Základní myšlenkou je, že u určitých systémů je časový průměr jejich vlastností stejný jako průměr v celém prostoru. Aplikace ergodické teorie na jiné části matematiky obvykle zahrnují stanovení vlastností ergodicity pro systémy zvláštního druhu. V geometrii byly ke studiu geodetického toku na riemannianských rozdělovačích použity metody ergodické teorie , počínaje výsledky Eberharda Hopfa pro Riemannovy povrchy negativního zakřivení. Markovovy řetězce tvoří společný kontext pro aplikace v teorii pravděpodobnosti . Ergodická teorie má plodná spojení s harmonickou analýzou , Lieovou teorií ( teorie reprezentace , mříže v algebraických skupinách ) a teorií čísel (teorie diofantických aproximací , L-funkce ).

Ergodické transformace

Ergodická teorie se často zabývá ergodickými transformacemi . Intuice za takovými transformacemi, které působí na danou sadu, spočívá v tom, že odvedou důkladnou práci „promícháním“ prvků této sady (např. Je -li v sadě množství horkých ovesných vloček v misce a pokud je lžíce sirupu je vloženo do mísy, pak iterace inverzní k ergodické transformaci ovesných vloček nedovolí, aby sirup zůstal v místní podoblasti ovesných vloček, ale bude rovnoměrně distribuovat sirup po celé. Současně tyto iterace nebudou komprimovat nebo dilatovat jakoukoli část ovesných vloček: zachovávají míru hustoty.) Zde je formální definice.

Nechť T  : X → X je transformace zachovávající míru na měřicím prostoru ( X , Σ , μ ) s μ ( X ) = 1 . Pak T je ergodické, pokud pro každé E v Σ s T ⁻¹ ( E ) = E , buď μ ( E ) = 0 nebo μ ( E ) = 1 .

Příklady

Evoluce souboru klasických systémů ve fázovém prostoru (nahoře). Systémy jsou masivní částice v jednorozměrné potenciální jamce (červená křivka, nižší obrázek). Zpočátku kompaktní soubor se postupem času víří a „rozprostírá se“ ve fázovém prostoru. Toto však není ergodické chování, protože systémy nenavštěvují levý potenciál.

• Nerozumné otáčení na kruh R / Z , T : x → x + θ, kde θ je nerozumný , je ergodic. Tato transformace má ještě silnější vlastnosti jedinečné ergodicity , minimality a ekvidistribuce . Naopak, pokud θ = p / q je racionální (v nejnižších termínech), pak T je periodické, s periodou q , a proto nemůže být ergodické: pro jakýkoli interval I délky a , 0 < a <1 / q , jeho oběžná dráha pod T (to znamená, že spojení I , T ( I ), ..., T ^{q −1} ( I ), které obsahuje obraz I v libovolném počtu aplikací T ) je T -invarianční mod 0 množina, která je sjednocením q intervalů délky a , proto má míru qa striktně mezi 0 a 1.
• Nechť G být kompaktní abelian skupina , u Stabilizátory normalizovaná opatření Haar , a T skupina automorfizmus z G . Nechť G * je dvojí Pontryagin skupiny, skládající se z kontinuálních znaků z G a T * je odpovídající adjoint automorphism G *. Automorphism T je ergodic tehdy a jen tehdy, pokud je rovnost ( T *) ⁿ ( χ ) =  χ je možné pouze tehdy, když n  = 0, nebo χ je triviální charakter z G . Zejména v případě, G je N rozměrný toroid a automorphism T je reprezentována unimodular matice A, pak T je ergodic tehdy, není-li vlastní číslo z A je kořen jednoty .
• Bernoulli posun je ergodic. Obecněji ergodicita transformace posunu spojená se sekvencí iid náhodných proměnných a některých obecnějších stacionárních procesů vyplývá z Kolmogorovova zákona nula -jedna .
• Ergodicita spojitého dynamického systému znamená, že se jeho trajektorie „rozprostírají“ kolem fázového prostoru . Systém s kompaktním fázovým prostorem, který má nekonstantní první integrál, nemůže být ergodický. To platí zejména pro hamiltonovské systémy s prvním integrálem I funkčně nezávislým na hamiltonovské funkci H a kompaktní sadou úrovní X = {( p , q ): H ( p , q ) = E} konstantní energie. Liouvilleova věta naznačuje existenci konečné invariantní míry na X , ale dynamika systému je omezena na množiny úrovní I na X , proto má systém invariantní sady pozitivních, ale méně než plné míry. Vlastností spojitých dynamických systémů, která je opakem ergodicity, je úplná integrabilita .

Ergodické věty

Nechť T : X → X je transformace zachovávající míru na měřicím prostoru ( X , Σ, μ ) a předpokládejme, že ƒ je μ -integrovatelná funkce, tj. Ƒ ∈ L ¹ ( μ ). Poté definujeme následující průměry :

Časový průměr: Toto je definováno jako průměr (pokud existuje) z iterací T počínaje od nějakého počátečního bodu x :

${\ Displaystyle {\ hat {f}} (x) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \; {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0}^{n-1} f (T^{k} x).}$

Prostorový průměr: Je -li μ ( X ) konečný a nenulový, můžeme uvažovat prostorový nebo fázový průměr ƒ:

${\ Displaystyle {\ bar {f}} = {\ frac {1} {\ mu (X)}} \ int f \, d \ mu. \ quad {\ text {(Pro pravděpodobnostní prostor,}} \ mu (X) = 1.)}$

Obecně se časový průměr a průměr prostoru mohou lišit. Pokud je ale transformace ergodická a míra je neměnná, pak je časový průměr téměř všude stejný jako průměr vesmíru . Toto je oslavovaná ergodická věta, v abstraktní podobě díky George Davidu Birkhoffovi . (Birkhoffův příspěvek ve skutečnosti neuvažuje o abstraktním obecném případě, ale pouze o případu dynamických systémů vyplývajících z diferenciálních rovnic na hladkém potrubí.) Věta o ekvidistribuci je zvláštním případem ergodické věty, zabývající se konkrétně distribucí pravděpodobností na jednotce časový úsek.

Přesněji, bodová nebo silná ergodická věta uvádí, že limit v definici časového průměru ƒ existuje téměř pro každé x a že (téměř všude definovaná) limitní funkce ƒ̂ je integrovatelná:

${\ Displaystyle {\ hat {f}} \ v L^{1} (\ mu). \,}$

Dále je to T -invariant, to znamená ${\ displaystyle {\ hat {f}}}$

${\ Displaystyle {\ hat {f}} \ circ T = {\ hat {f}} \,}$

platí téměř všude, a pokud μ ( X ) je konečný, pak je normalizace stejná:

${\ Displaystyle \ int {\ hat {f}} \, d \ mu = \ int f \, d \ mu.}$

Zejména je -li T ergodické, pak ƒ̂ musí být konstanta (téměř všude), a tak to člověk má

${\ displaystyle {\ bar {f}} = {\ hat {f}} \,}$

téměř všude. Spojením prvního a posledního tvrzení a za předpokladu, že μ ( X ) je konečný a nenulový, to máme

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \; {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0}^{n-1} f (T^{k} x) = { \ frac {1} {\ mu (X)}} \ int f \, d \ mu}$

pro téměř všechna x , tj. pro všechna x kromě sady nulové míry .

U ergodické transformace se časový průměr téměř jistě rovná průměru vesmíru.

Jako příklad předpokládejme, že měřicí prostor ( X , Σ, μ ) modeluje částice plynu, jak je uvedeno výše, a nechť ƒ ( x ) označuje rychlost částice v poloze x . Pak bodově ergodické věty říkají, že průměrná rychlost všech částic v daném čase se rovná průměrné rychlosti jedné částice v čase.

Zobecněním Birkhoffovy věty je Kingmanova subaditivní ergodická věta .

Pravděpodobnostní formulace: Birkhoff – Khinchinova věta

Birkhoffova – Khinchinova věta . Nechť ƒ je měřitelné, E (| ƒ |) <∞ a T je mapa zachovávající míru. Pak s pravděpodobností 1 :

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \; {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0}^{n-1} f (T^{k} x) = E (f \ mid {\ mathcal {C}}) (x),}$

kde je podmíněno očekávání vzhledem k σ-algebry z invariantních sad T . ${\ displaystyle E (f | {\ mathcal {C}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

Důsledek ( Pointwise Ergodic Theorem ): Zejména pokud je T také ergodický, pak je triviální σ-algebra, a tedy s pravděpodobností 1: ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \; {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0}^{n-1} f (T^{k} x) = E (F).}$

Průměrná ergodická věta

Von Neumannova střední ergodická věta platí v Hilbertově prostoru.

Nechť U je unitární operátor na Hilbertově prostoru H ; obecněji izometrický lineární operátor (tj. ne nutně surjektivní lineární operátor splňující ‖ Ux ‖ = ‖ x ‖ pro všechna x v H , nebo ekvivalentně splňující U * U = I, ale ne nutně UU * = I). Nechť P je ortogonální projekce na { ψ  ∈  H  | Uψ  = ψ} = ker ( I  -  U ).

Pak pro jakékoli x v H máme:

${\ Displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} {1 \ over N} \ sum _ {n = 0}^{N-1} U^{n} x = Px,}$

kde limit je s ohledem na normu na H . Jinými slovy, sled průměrů

${\ displaystyle {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 0}^{N-1} U^{n}}$

konverguje k P v silné topologii operátora .

Skutečně není těžké vidět, že v tomto případě někdo připouští ortogonální rozklad na části z a resp. První část je neměnná ve všech dílčích částkách, jak roste, zatímco v druhé části z teleskopické série by člověk měl: ${\ displaystyle x \ v H}$${\ displaystyle \ ker (IU)}$${\ displaystyle {\ overline {\ operatorname {ran} (IU)}}}$${\ displaystyle N}$

${\ Displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} {1 \ over N} \ sum _ {n = 0}^{N-1} U^{n} (IU) = \ lim _ {N \ to \ infty} {1 \ over N} (IU^{N}) = 0}$

Tato věta se specializuje na případ, kdy Hilbertův prostor H sestává z funkcí L ² na měřicím prostoru a U je operátorem formuláře

${\ Displaystyle Uf (x) = f (Tx) \,}$

kde T je endomorfismus X , který zachovává míru , myšleno v aplikacích jako časový krok diskrétního dynamického systému. Ergodická věta pak tvrdí, že průměrné chování funkce ƒ v dostatečně velkých časových měřítcích je aproximováno ortogonální složkou ƒ, která je časově neměnná.

V další formě střední ergodické věty, ať U _t být silně kontinuální skupině jeden parametru jednotné subjektů na H . Pak operátor

${\ displaystyle {\ frac {1} {T}} \ int _ {0}^{T} U_ {t} \, dt}$

konverguje do silné topologie operátoru jako T → ∞. Ve skutečnosti se tento výsledek vztahuje také na případ silně spojité jednoparametrické poloskupiny kontrakčních operátorů na reflexním prostoru.

Poznámka: Určitou intuici střední ergodické věty lze vyvinout zvážením případu, kdy jsou komplexní čísla jednotkové délky považována za jednotné transformace v komplexní rovině (levým násobením). Pokud vybereme jeden komplexní počet jednotkových délek (které považujeme za U ), je intuitivní, že jeho síly zaplní kruh. Protože kruh je symetrický kolem 0, dává smysl, že průměry sil U budou konvergovat k 0. Také 0 je jediným pevným bodem U , a proto projekce do prostoru pevných bodů musí být nulovým operátorem (což souhlasí s právě popsaným limitem).

Konvergence ergodických prostředků v normách L ^p

Nechť ( X , Σ, μ ) je jako nad pravděpodobnostním prostorem s mírou zachovávající transformaci T a nechť 1 ≤ p ≤ ∞. Podmíněné očekávání, s ohledem na dílčí -algebra å _T z T -invariant množin je lineární projektor E _T z normy 1 Banachův prostor L ^p ( X , å, μ ) na svém uzavřeném podprostor L ^p ( X , Σ _T , μ ) Ten může být také charakterizována jako prostor všech T -invariant L ^p -functions na X . Ergodické prostředky mají jako lineární operátory na L ^p ( X , Σ, μ ) také normu jednotkového operátoru; a, jako jednoduchý důsledku Birkhoffova-Chinčinova teorém, konvergují k projektoru E _T v silné topologii operátora z L ^p -li 1 ≤ p ≤ ∞, a ve slabé topologii provozovatele , jestliže p = ∞. Více platí, pokud 1 < p ≤ ∞ pak Wiener – Yoshida – Kakutani ergodicky ovládaná konvergenční věta uvádí, že v L ^p dominují ergodické prostředky ƒ ∈ L ^p ; pokud však ƒ ∈ L ¹ , nemusí být ergodické prostředky ekvivalenty v L ^p . Nakonec, pokud se předpokládá, že ƒ je ve třídě Zygmund, je to | ƒ | log ⁺ (| ƒ |) je integrovatelný, pak v L ¹ dokonce dominují ergodické prostředky .

Pobytový čas

Nechť ( X , Σ, μ ) je měřicí prostor tak, že μ ( X ) je konečný a nenulový. Čas strávený v měřitelné sadě A se nazývá čas pobytu . Bezprostředním důsledkem ergodické věty je, že v ergodickém systému je relativní míra A stejná jako střední doba pobytu :

${\ Displaystyle {\ frac {\ mu (A)} {\ mu (X)}} = {\ frac {1} {\ mu (X)}} \ int \ chi _ {A} \, d \ mu = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \; {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0}^{n-1} \ chi _ {A} (T^{k} x) }$

pro všechny x kromě sady opatření nula, kde χ je funkce indikátoru z A .

Tyto časy výskytu měřitelného nastavené A je definován jako sada k ₁ , k ₂ , K ₃ , ..., časů K tak, že T ^k ( x ) je v A , seřazena ve vzestupném pořadí. Rozdíly mezi po sobě následujících časů výskytu R _i = K _i - k _{i -1} , se nazývají doba opakování z A . Dalším důsledkem ergodické věty je, že průměrná doba rekurence A je nepřímo úměrná míře A za předpokladu, že počáteční bod x je v A , takže k ₀ = 0.

${\ Displaystyle {\ frac {R_ {1} +\ cdots +R_ {n}} {n}} \ rightarrow {\ frac {\ mu (X)} {\ mu (A)}} \ quad {\ text { (téměř jistě)}}}$

(Viz téměř jistě .) To znamená, že čím menší je A , tím déle trvá návrat do něj.

Ergodické toky na rozdělovačích

Ergodicitu geodetického toku na kompaktních Riemannových plochách s proměnlivým negativním zakřivením a na kompaktních potrubích konstantního negativního zakřivení jakékoli dimenze prokázal Eberhard Hopf v roce 1939, i když zvláštní případy byly studovány již dříve: viz například Hadamardův kulečník (1898) a kulečník Artin (1924). Vztah mezi geodetickými toky na Riemannových plochách a jednoparametrickými podskupinami na SL (2, R ) popsali v roce 1952 SV Fomin a IM Gelfand . Článek o Anosovových tocích poskytuje příklad ergodických toků na SL (2, R ) a na Riemannových plochách negativního zakřivení. Velká část vývoje je tam popsáno zevšeobecní k hyperbolické potrubí, protože mohou být vnímány jako podílů z hyperbolického prostoru pomocí působení části mřížky v polojednoduché lži skupina SO (n, 1) . Ergodicitu geodetického toku na symetrických prostorech Riemannian prokázal FI Mautner v roce 1957. V roce 1967 DV Anosov a Ya. G. Sinai prokázal ergodicitu geodetického toku na kompaktních potrubích s proměnlivým negativním zakřivením průřezu . Kritériem jednoduchý pro ergodicita homogenního toku na homogenní prostor jednoho polojednoduché Lie skupině byl dán Calvin C. Moore v roce 1966. Mnohé z těchto vět a výsledky z této oblasti studia jsou typické teorie tuhosti .

Ve 30. letech GA Hedlund dokázal, že tok horocyklu na kompaktním hyperbolickém povrchu je minimální a ergodický. Unikátní ergodicita toku byla založena Hillel Fürstenberg v roce 1972. Ratner své věty poskytují hlavní zobecnění ergodicita pro unipotentních toků na homogenních prostorech formuláře Γ \  G , kde G je lež skupina a Γ je mříž v  G .

Za posledních 20 let se objevilo mnoho prací pokoušejících se najít větu o klasifikaci opatření podobnou Ratnerovým větám, ale pro diagonalizovatelné akce, motivované dohady Furstenberga a Margulise . Důležitý dílčí výsledek (řešení těchto dohadů s extra předpokladem pozitivní entropie) prokázal Elon Lindenstrauss a za tento výsledek mu byla v roce 2010 udělena Fieldsova medaile .

Viz také

• Teorie chaosu
• Ergodická hypotéza
• Ergodický proces
• Lyapunov čas - časový limit předvídatelnosti systému
• Maximální ergodická věta
• Ornsteinova věta o izomorfismu
• Statistická mechanika
• Symbolická dynamika
• Lindy efekt

Reference

Historické reference

• Birkhoff, George David (1931), „Důkaz ergodické věty“ , Proč. Natl. Akadem. Sci. USA , 17 (12): 656–660, Bibcode : 1931PNAS ... 17..656B , doi : 10,1073/pnas.17.12.656 , PMC  1076138 , PMID  16577406.
• Birkhoff, George David (1942), „Co je to ergodická věta?“, Amer. Matematika. Měsíčně , 49 (4): 222–226, doi : 10,2307/2303229 , JSTOR  2303229.
• von Neumann, John (1932), „Důkaz kvaziergodické hypotézy“, Proč. Natl. Akadem. Sci. USA , 18 (1): 70-82, bibcode : 1932PNAS ... 18 ... 70N , doi : 10,1073 / pnas.18.1.70 , PMC  1076162 , PMID  16577432.
• von Neumann, John (1932), "Physical Applications of the Ergodic Hypothesis", Proč. Natl. Akadem. Sci. USA , 18 (3): 263–266, Bibcode : 1932PNAS ... 18..263N , doi : 10,1073/pnas.18.3.263 , JSTOR  86260 , PMC  1076204 , PMID  16587674.
• Hopf, Eberhard (1939), „Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung“, Leipzig Ber. Verhandl. Sächs. Akad. Wiss. , 91 : 261–304.
• Fomin, Sergej V .; Gelfand, IM (1952), „Geodetické toky na potrubích konstantního negativního zakřivení“, Uspekhi Mat. Nauk , 7 (1): 118–137.
• Mautner, FI (1957), „Geodetické toky na symetrických Riemannových prostorech“, Ann. Matematika. , 65 (3): 416–431, doi : 10,2307/1970054 , JSTOR  1970054.
• Moore, CC (1966), „Ergodicita toků na homogenních prostorech“, Amer. J. Math. , 88 (1): 154–178, doi : 10,2307/2373052 , JSTOR  2373052.

Moderní reference

• DV Anosov (2001) [1994], „Ergodic theory“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Tento článek včlení materiál z ergodické věty na PlanetMath , který je chráněn licencí Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
• Vladimir Igorevich Arnol'd a André Avez, Ergodické problémy klasické mechaniky . New York: WA Benjamin. 1968.
• Leo Breiman, Pravděpodobnost . Původní vydání vydalo Addison – Wesley, 1968; přetištěno společností pro průmyslovou a aplikovanou matematiku, 1992. ISBN  0-89871-296-3 . (Viz kapitola 6.)
• Walters, Peter (1982), Úvod do ergodické teorie , texty absolventů z matematiky, 79 , Springer-Verlag , ISBN 0-387-95152-0, Zbl  0475.28009
• Tim Bedford; Michael Keane; Caroline Series, eds. (1991), Ergodická teorie, symbolická dynamika a hyperbolické prostory , Oxford University Press, ISBN 0-19-853390-X (Přehled témat v ergodické teorii; se cvičeními.)
• Karl Petersen. Ergodická teorie (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). Cambridge: Cambridge University Press. 1990.
• Joseph M. Rosenblatt a Máté Weirdl, Pointwise ergodic teorems via harmonic analysis , (1993) objevit se v Ergodic Theory and its Connections with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference , (1995) Karl E. Petersen and Ibrahim A. Salama, eds . , Cambridge University Press, Cambridge, ISBN  0-521-45999-0 . (Rozsáhlý průzkum z ergodické vlastností zobecnění tohoto equidistribution věty o posunu mapuje na jednotku intervalu . Zaměřuje se na metod vypracovaných Bourgain).
• AN Shiryaev , Pravděpodobnost , 2. vyd., Springer 1996, Sec. V.3. ISBN  0-387-94549-0 .
• Joseph D. Zund (2002), „ George David Birkhoff a John von Neumann: A Question of Priority and the Ergodic Theorems, 1931–1932 “, Historia Mathematica , 29 (2): 138–156, doi : 10,1006/hmat.2001.2338 (Podrobná diskuse o prioritě objevu a zveřejnění ergodických vět Birkhoffa a von Neumanna na základě dopisu jeho příteli Howardu Percymu Robertsonovi.)
• Andrzej Lasota, Michael C. Mackey, Chaos, Fractals a Noise: Stochastic Aspects of Dynamics . Druhé vydání, Springer, 1994.
• Jane Hawkins , Ergodic Dynamics: Od základní teorie k aplikacím , Springer, 2021. ISBN  978-3-030-59242-4

externí odkazy

• Ergodická teorie (16. června 2015) Poznámky od Cosmy Rohilly Shalizi
• Ergodická věta prochází testem ze světa fyziky