Ergodicita - Ergodicity

V matematice , ergodicita vyjadřuje myšlenku, že bod pohybující se systémem, a to buď dynamický systém nebo stochastický proces , nakonec navštívit všechny části prostoru, který systém se pohybuje, v uniformě a náhodné smyslu. To znamená, že průměrné chování systému lze odvodit z trajektorie „typického“ bodu. Ekvivalentně dostatečně velký soubor náhodných vzorků z procesu může představovat průměrné statistické vlastnosti celého procesu. Ergodicita je vlastností systému; jde o tvrzení, že systém nelze zmenšit ani zahrnout do menších komponent. Ergodická teorie je studium systémů s ergodicitou.

Ergodické systémy se vyskytují v široké škále systémů ve fyzice a v geometrii . To lze zhruba chápat jako důsledek běžného jevu: pohyb částic, to znamená geodetika na hyperbolickém potrubí, se liší; když je toto potrubí kompaktní , tj. konečné velikosti, tyto dráhy se vrátí do stejné obecné oblasti a nakonec vyplní celý prostor .

Ergodické systémy zachycují zdravý rozum, každodenní představy náhodnosti, například že kouř může zaplnit celou kouř zaplněnou místnost nebo že kovový blok může mít nakonec stejnou teplotu v celém prostoru nebo že se točí férová mince může přijít na hlavu a ocas polovinu času. Silnější koncept než ergodicita je koncept míchání , jehož cílem je matematicky popsat pojmy zdravého rozumu při míchání, jako je míchání nápojů nebo míchání přísad do vaření.

Správná matematická formulace ergodicity je založena na formálních definicích teorie opatření a dynamických systémů a spíše konkrétně na pojmu dynamického systému zachovávajícího míru . Počátky ergodicity spočívají ve statistické fyzice , kde Ludwig Boltzmann formuloval ergodickou hypotézu .

Neformální vysvětlení

Ergodicita se vyskytuje v širokém prostředí fyziky a matematiky . Všechna tato nastavení jsou sjednocena společným matematickým popisem, dynamického systému zachovávajícího míru . Neformální popis toho a definice ergodicity s ohledem na to je uveden bezprostředně níže. Následuje popis ergodicity ve stochastických procesech . Jsou jedno a totéž, přestože používají dramaticky odlišný zápis a jazyk. Následuje přehled ergodicity ve fyzice a v geometrii . Ve všech případech je pojem ergodicity přesně stejný jako pro dynamické systémy; neexistuje žádný rozdíl , kromě výhledu, zápisu, stylu myšlení a časopisů, kde jsou publikovány výsledky.

Měřicí dynamické systémy

Matematická definice ergodicity má za cíl zachytit běžné každodenní představy o náhodnosti . To zahrnuje představy o systémech, které se pohybují takovým způsobem, aby (nakonec) zaplnily celý prostor, jako je difúze a Brownův pohyb , a také pojmy míchání se zdravým rozumem, jako je míchání barev, nápojů, přísad do vaření, průmyslových míchání procesů , kouř v kouřem naplněné místnosti, prach v prstencích Saturnu a tak dále. Aby poskytly solidní matematické základy, začínají popisy ergodických systémů definicí dynamického systému zachovávajícího míru . Toto je napsáno jako

Soupravou se rozumí celkový prostor, který má být naplněn: míchací mísa, kouř naplněná místnost atd . Opatřením se rozumí definice přirozeného objemu prostoru a jeho podprostorů. Kolekce podprostorů je označena a velikost jakékoli dané podmnožiny je ; velikost je jeho objem. Naivně, je možné si představit , že je moc set of ; to úplně nefunguje, protože ne všechny podmnožiny prostoru mají objem (skvěle, paradox Banach-Tarski ). Obvykle se tedy skládá z měřitelných podmnožin - podmnožin, které mají objem. Vždy se bere jako Borelova množina - sbírka podmnožin, které lze vytvořit pomocí průsečíků , svazků a doplňků sady otevřených sad; vždy je lze považovat za měřitelné.

Časový vývoj systému je popsán na mapě . Vzhledem k určité podmnožině bude její mapa obecně zdeformovanou verzí - je rozmačkaná nebo natažená, složená nebo rozřezaná na kousky. Matematické příklady zahrnují mapy pekařské a podkovy mapy , a to jak inspirovaný chleba -making. Souprava musí mít stejný objem jako ; zmáčknutí/natažení nemění objem prostoru, pouze jeho rozložení. Takový systém je „zachování míry“ (zachování plochy, zachování objemu).

Formální problém nastává, když se člověk pokusí sladit objem sad s potřebou zachovat jejich velikost pod mapou. Problém nastává, protože obecně lze několik různých bodů v oblasti funkce mapovat na stejný bod v jejím rozsahu; to znamená, že tam může být s . Horší je, že jeden bod nemá žádnou velikost. Těmto obtížím se lze vyhnout prací s inverzní mapou ; namapuje jakoukoli danou podmnožinu na součásti, které byly sestaveny tak, aby byly: tyto části jsou . Má důležitou vlastnost, že neztratí přehled o tom, odkud věci pocházejí. Silněji má důležitou vlastnost, že jakákoli (míra zachovávající) mapa je inverzní k nějaké mapě . Správné stanovení objemu se zachováním mapa je pro nějž protože popisuje všechny kusy-díly, které pocházejí.

Nyní se člověk zajímá o studium časové evoluce systému. Pokud se sada nakonec naplní po dlouhou dobu (to znamená, že pokud se blíží všem pro velké ), systém je považován za ergodický . Pokud se každá sada chová tímto způsobem, je to systém konzervativní , postavený na rozdíl od systému disipativního , kde některé podmnožiny bloudí , kam se už nikdo nevrátí. Příkladem může být voda stékající z kopce - jakmile dojde, už se nikdy nevrátí. Jezero, které se tvoří na dně této řeky, se však může dobře promíchat. Tyto ergodické věta rozkladu uvádí, že každý ergodic systém lze rozdělit na dvě části: konzervativní straně a disipativní část.

Míchání je silnější tvrzení než ergodicita. Míchání vyžaduje, aby tato ergodická vlastnost držela mezi jakýmikoli dvěma sadami , a nejen mezi nějakou sadou a . To znamená, že vzhledem k jakýmkoli dvěma sadám se říká, že systém (topologicky) mísí, pokud existuje celé číslo , které má pro všechny a jeden . Zde označuje průnik sady a je prázdná množina . Mezi další pojmy míchání patří silné a slabé míchání, které popisují představu, že se smíšené látky mísí všude, ve stejném poměru. To může být netriviální, jak ukazuje praktická zkušenost se snahou míchat lepkavé, mazlavé látky.

Ergodické procesy

Výše uvedená diskuse apeluje na fyzický smysl svazku. Objem nemusí být doslova nějaká část 3D prostoru ; může to být nějaký abstraktní objem. To je obecně případ statistických systémů, kde je objem (míra) dán pravděpodobností. Celkový objem odpovídá pravděpodobnosti jedna. Tento vztah funguje proto, že axiomy z teorie pravděpodobnosti jsou identické s těmi z teorie míry ; to jsou Kolmogorovovy axiomy .

Myšlenka svazku může být velmi abstraktní. Zvažte například množinu všech možných převrácení coinů: množinu nekonečných sekvencí hlav a ocasů. Když tomuto prostoru přiřadíme objem 1, je jasné, že polovina všech takových sekvencí začíná hlavami a polovina začíná ocasy. Tento svazek lze rozřezat jinými způsoby: lze říci: „Nestarám se o první hody mincí; ale chci, aby z nich byly hlavy, a pak se nestarám o to, co přijde potom “. To lze zapsat jako množinu, kde je „nezáleží“ a je „hlavy“. Objem tohoto prostoru je opět (evidentně!) Poloviční.

Výše uvedené stačí k vybudování dynamického systému, který zachovává míry, jako celek. Sady nebo vyskytující se na 'tom místě se nazývají sady válců . Množina všech možných průsečíků, svazků a doplňků sad válců pak tvoří Borelovu množinu definovanou výše. Formálně řečeno, sady válců tvoří základ pro topologii v prostoru všech možných převrácení mincí s nekonečnou délkou. Míra má všechny vlastnosti zdravého rozumu, ve které bychom mohli doufat: míra válce nastaveného na v 'té poloze a v ' té poloze je zjevně 1/4 atd. Tyto vlastnosti zdravého rozumu přetrvávají pro set -plement a set-union: vše kromě pro a na místech a zjevně má objem 3/4. Všechny dohromady tvoří axiomy sigma-aditivní míry ; dynamické systémy uchovávající opatření vždy používají sigma-aditivní opatření. U mincí se tato míra nazývá Bernoulliho míra .

U procesu obracecích mincí je operátorem evoluce času operátor směny, který říká „zahoďte první minci a zbytek si nechte“. Formálně, pokud je sekvence mincí, pak . Opatření je zřejmě posune-invariant: pokud hovoříme o nějakého souboru , kde se první mince flip je „do not care“ hodnotu, pak se objem se nemění: . Abychom se vyhnuli mluvení o prvním hodu mincí, je snazší definovat to , že do první pozice vložíme hodnotu „nezáleží“ . S touto definicí to člověk zjevně má bez jakýchkoli omezení . Toto je opět příklad toho, proč se používá ve formálních definicích.

Výše uvedený vývoj přebírá náhodný proces, Bernoulliho proces, a převádí jej na dynamický systém zachovávající míru . Stejnou konverzi (ekvivalenci, izomorfismus) lze použít na jakýkoli stochastický proces . Neformální definice ergodicity tedy je, že sekvence je ergodická, pokud navštíví všechny ; takové sekvence jsou pro proces „typické“. Další je, že jeho statistické vlastnosti lze odvodit z jediného, ​​dostatečně dlouhého, náhodného vzorku procesu (tedy jednotného vzorkování všech ), nebo že jakýkoli sběr náhodných vzorků z procesu musí představovat průměrné statistické vlastnosti celého procesu ( to znamená, že vzorky odebrané rovnoměrně jsou reprezentativní jako celek.) V tomto příkladu je sekvence mincí, kde polovina jsou hlavy a polovina ocasy, „typickou“ sekvencí.

O procesu Bernoulliho je třeba učinit několik důležitých bodů. Pokud někdo napíše 0 pro ocasy a 1 pro hlavy, získá množinu všech nekonečných řetězců binárních číslic. Ty odpovídají expanzi reálných čísel na základně dvě . Explicitně, vzhledem k posloupnosti , odpovídající skutečné číslo je

Tvrzení, že Bernoulliho proces je ergodický, je ekvivalentní tvrzení, že skutečná čísla jsou rozdělena rovnoměrně. Sadu všech takových řetězců lze zapsat různými způsoby: Tato sada je sadou Cantor , někdy se jí také říká prostor Cantor, aby se předešlo záměně s funkcí Cantor

Nakonec jsou to všechno „totéž“.

Sada Cantor hraje klíčové role v mnoha odvětvích matematiky. V rekreační matematice podporuje fraktály zdvojnásobující období ; v analýze se objevuje v celé řadě vět. Klíčovým pro stochastické procesy je Woldův rozklad , který uvádí, že jakýkoli stacionární proces lze rozložit na dvojici nekorelovaných procesů, jeden deterministický a druhý proces s klouzavým průměrem .

Tyto Ornstein izomorfismus věta uvádí, že každý stacionární stochastický proces je ekvivalentní s Bernoulliho schématu (a Bernoulli proces s N -sided (a možná nekalé) herní kostku ). Mezi další výsledky patří, že každý nedisipativní ergodický systém je ekvivalentem Markovského počítadla ujetých kilometrů , někdy se mu také říká „sčítací stroj“, protože to vypadá jako doplnění základní školy, tj. Odebrání sekvence se základnou a číslicí N , přidání jedné a šíření nosit bity. Důkaz ekvivalence je velmi abstraktní; porozumění výsledku není: přidáním jednoho v každém časovém kroku se navštíví každý možný stav počítadla ujetých kilometrů, dokud se nepřetočí, a znovu nezačne. Stejně tak ergodické systémy navštěvují každý stát rovnoměrně a přecházejí do dalšího, dokud nejsou všechny navštíveny.

Systémy, které generují (nekonečné) sekvence písmen N, jsou studovány pomocí symbolické dynamiky . Mezi důležité speciální případy patří podřazení konečných typů a sofických systémů .

Ergodicita ve fyzice

Fyzikální systémy lze rozdělit do tří kategorií: klasická mechanika , která popisuje stroje s konečným počtem pohyblivých částí, kvantová mechanika , která popisuje strukturu atomů, a statistická mechanika , která popisuje plyny, kapaliny, pevné látky; to zahrnuje fyziku kondenzovaných látek . Případ klasické mechaniky je diskutován v další části o ergodicitě v geometrii. Pokud jde o kvantovou mechaniku, ačkoli existuje koncepce kvantového chaosu , neexistuje žádná jasná definice ergodocity; o čem to může být, se vášnivě diskutuje. Tato část se zabývá ergodicitou ve statistické mechanice.

Výše uvedená abstraktní definice objemu je vyžadována jako vhodné nastavení pro definice ergodicity ve fyzice . Zvažte nádobu s kapalinou , plynem nebo plazmou nebo jinou sbírku atomů nebo částic . Každá částice má 3D polohu a 3D rychlost, a je tedy popsána šesti čísly: bod v šestidimenzionálním prostoru Pokud jsou v systému tyto částice, kompletní popis vyžaduje čísla. Každý jeden systém je jen jediným bodem ve Fyzickém systému samozřejmě není vše ; pokud je to krabice šířky, výšky a délky, pak je bod v. Ani rychlosti nemohou být nekonečné: jsou škálovány pomocí nějakého měřítka pravděpodobnosti, například Boltzmann – Gibbsova míra pro plyn. Žádný-the-méně, protože v blízkosti Avogadro čísla , to je samozřejmě velmi velký prostor. Tento prostor se nazývá kanonický soubor .

O fyzickém systému se říká, že je ergodický, pokud jakýkoli reprezentativní bod systému nakonec přijde navštívit celý objem systému. U výše uvedeného příkladu to znamená, že jakýkoli daný atom nejen navštíví každou část krabice s rovnoměrnou pravděpodobností, ale také s každou možnou rychlostí, s pravděpodobností danou Boltzmannovým rozdělením pro tuto rychlost (tedy jednotnou s ohledem na to opatření). Ergodic hypotéza uvádí, že fyzikální systémy jsou vlastně ergodic. Funguje více časových měřítek: plyny a kapaliny se zdají být v krátkých časových měřítcích ergodické. Ergodicitu v pevné látce je možné chápat z hlediska vibračních režimů nebo fononů , protože atomy v pevné látce si evidentně místa nevyměňují. Brýle představují výzvu pro ergodickou hypotézu; předpokládá se, že časové škály jsou v milionech let, ale výsledky jsou sporné. Obtížné brýle představují zvláštní potíže.

Formální matematické důkazy o ergodicitě ve statistické fyzice je těžké sehnat; většina vysoce dimenzionálních mnohotělových systémů se předpokládá, že jsou ergodické, bez matematického důkazu. Výjimkou je dynamický kulečník , který modeluje srážku atomů typu kulečníková koule v ideálním plynu nebo plazmě. První věta o ergodicitě v tvrdé sféře byla pro sinajský kulečník , který považuje za původ dva míčky, z nichž jeden byl považován za nehybný. Když se druhý míč srazí, vzdaluje se; za použití periodických okrajových podmínek se pak vrátí ke srážce znovu. S odvoláním na homogenitu lze tento návrat „druhé“ koule místo toho považovat za „jen nějaký jiný atom“, který se dostal do dosahu a pohybuje se ke srážce s atomem na počátku (což lze považovat za spravedlivé „jakýkoli jiný atom“.) Toto je jeden z mála formálních důkazů, které existují; neexistují žádná ekvivalentní tvrzení, např. pro atomy v kapalině, interagující prostřednictvím van der Waalsových sil , i když by bylo rozumné věřit, že takové systémy jsou ergodické (a směšující se). Lze však uvést přesnější fyzické argumenty.

Ergodicita v geometrii

Ergodicita je široce rozšířeným jevem při studiu riemannianských variet . Rychlý sled příkladů, od jednoduchých po složité, ukazuje tento bod. Všechny níže uvedené systémy se ukázaly jako ergodické prostřednictvím přísných formálních důkazů. Iracionální rotace kruhu je ergodic: orbit na místě je taková, že nakonec každý druhý bod v kruhu je navštívil. Takové rotace jsou zvláštním případem mapy intervalové výměny . K beta expanze celé řady jsou ergodic: beta expanze reálné číslo se provádí ne v suterénních N , ale v Základní- nějakého odražené verzi rozšíření beta je deset tun mapa ; existuje celá řada dalších ergodických map jednotkového intervalu. Pohybující se do dvou dimenzí, aritmetický kulečník s iracionálními úhly je ergodický. Lze také vzít plochý obdélník, rozmačkat ho, rozříznout a znovu sestavit; toto je dříve zmíněná mapa pekaře . Jeho body lze popsat množinou bi-nekonečných řetězců ve dvou písmenech, to znamená, že se rozprostírají doleva i doprava; jako takový vypadá jako dvě kopie procesu Bernoulli. Pokud se během deformace někdo deformuje na bok, získá Arnoldovu kočičí mapu . Mapa kočky je ve většině případů prototypem jakékoli jiné podobné transformace.

U nerovných povrchů platí, že geodetický tok jakéhokoli negativně zakřiveného kompaktního Riemannova povrchu je ergodický. Povrch je „kompaktní“ v tom smyslu, že má konečný povrch. Geodetický tok je zobecněním myšlenky pohybu v „přímce“ na zakřiveném povrchu: takové přímky jsou geodetika . Jedním z prvních studovaných případů je Hadamardův kulečník , který popisuje geodetiku na povrchu Bolzy , topologicky ekvivalentní koblize se dvěma otvory. Ergodicitu lze prokázat neformálně, pokud má člověk bystrý a nějaký rozumný příklad koblihy se dvěma dírami: počínaje kdekoli a v jakémkoli směru se pokouší nakreslit přímku; vládci jsou k tomu užiteční. Netrvá dlouho a zjistíte, že se člověk nevrací do výchozího bodu. (Samozřejmě za to může i křivá kresba; proto máme důkazy.)

Tyto výsledky se rozšiřují do vyšších dimenzí. Geodetický tok pro negativně zakřivené kompaktní riemannianské rozvody je ergodický. Klasickým příkladem je Anosovův tok , což je tok horocyklu na hyperbolickém potrubí . To může být viděno jako druh Hopfovy fibrace . Takové toky se běžně vyskytují v klasické mechanice , což je studium fyziky pohybových strojů s konečnou dimenzí, např. Dvojité kyvadlo a tak dále. Klasická mechanika je postavena na symplektických potrubích . Toky v takových systémech mohou být dekonstruovány do stabilních a nestabilních potrubí ; Obecně platí, že pokud je to možné, dochází k chaotickému pohybu. Že toto je generická může být viděn tím, že poznamená, že cotangent svazek z Riemannově potrubí je (stále) symplectic potrubí; geodetický tok je dán řešením Hamilton -Jacobiho rovnic pro toto potrubí. Pokud jde o kanonické souřadnice na kotangensovém potrubí, hamiltonián nebo energie je dána vztahem

s k (převrácená hodnota) metrický tensor a na hybnost . Podobnost s kinetickou energií bodové částice je stěží náhodná; to je celý smysl toho, abychom takové věci nazývali „energií“. V tomto smyslu je chaotické chování s ergodickými oběžnými dráhami více či méně generickým jevem ve velkých geometrických plochách.

Výsledky ergonomie byly poskytnuty v translačních plochách , hyperbolických skupinách a systolické geometrii . Mezi techniky patří studium ergodických toků , Hopfův rozklad a Ambrosova – Kakutani – Krengel – Kuboova věta . Důležitou třídou systémů jsou Axiom A systémy.

Byla získána řada výsledků klasifikace i „klasifikace“. I zde platí Ornsteinova věta o izomorfismu ; opět uvádí, že většina těchto systémů je izomorfní k nějakému Bernoulliho schématu . To poměrně úhledně spojuje tyto systémy zpět do definice ergodicity uvedené pro stochastický proces v předchozí části. Výsledky antiklasifikace uvádějí, že existuje více než spočitatelně nekonečný počet nerovnoměrných ergodických dynamických systémů zachovávajících měření. To možná není úplně překvapení, protože body v sadě Cantor lze použít ke konstrukci podobných, ale odlišných systémů. Viz měr zachovávající dynamický systém pro zjišťování krátkém některých výsledků anti-klasifikace.

Ergodicita ve financích

Ergodicita je široce pozorována ve financích a investicích a mnoho teorií v těchto oblastech předpokládá ergodicitu, výslovně nebo implicitně. Ergodický předpoklad převládá v moderní teorii portfolia , modelech diskontovaných peněžních toků (DCF) a ve většině modelů agregovaných indikátorů, které mimo jiné pronikají do makroekonomie .

Situace modelované těmito teoriemi mohou být užitečné. Ale často jsou užitečné pouze po většinu, ale ne všechny, konkrétního časového období ve studii. Mohou proto postrádat některé z největších odchylek od standardního modelu, jako jsou finanční krize , dluhové krize a systémové riziko v bankovním systému, které se vyskytují jen zřídka.

Nassim Nicholas Taleb poukázal na to, že velmi důležitá část empirické reality v oblasti financí a investic je neergodická. Rovnoměrné statistické rozdělení pravděpodobností, kdy se systém nekonečně mnohokrát vrací do každého možného stavu, prostě není ten případ, který pozorujeme v situacích, kdy je dosaženo „pohlcujících stavů“, stavu, kdy je vidět zkáza . Smrt jednotlivce „Nebo úplná ztráta všeho, nebo převedení nebo rozdělení národního státu a právního režimu , který ho provázel, to vše jsou pohlcující státy. Ve financích tedy záleží na závislosti na cestě . Cesta, kde jednotlivec, firma nebo země zasáhne“ zastavit " - pohlcující bariéru ", cokoli, co brání lidem s kůží ve hře, aby se z toho vynořili a k ​​čemuž bude systém vždy inklinovat. Říkejme těmto situacím „zkáza“, protože entita nemůže z této podmínky vyjít. Ústředním problémem je, že pokud existuje možnost zničení, analýzy nákladů a přínosů již nejsou možné. “-budou neergodické. Všechny tradiční modely založené na standardní pravděpodobnostní statistice se v těchto extrémních situacích rozpadají.

Historický vývoj

Myšlenka ergodicity se zrodila v oblasti termodynamiky , kde bylo nutné dávat do souvislosti jednotlivé stavy molekul plynu s teplotou plynu jako celku a jeho časovým vývojem. Aby to bylo možné provést, bylo nutné uvést, co přesně to znamená, aby se plyny dobře mísily, aby bylo možné definovat termodynamickou rovnováhu s matematickou přísností . Jakmile byla teorie ve fyzice dobře rozvinuta , byla rychle formalizována a rozšířena, takže ergodická teorie byla dlouho nezávislou oblastí matematiky sama o sobě. Jako součást této progrese existuje více než jedna mírně odlišná definice ergodicity a množství interpretací konceptu v různých oblastech.

Například v klasické fyziky, termín znamená, že se systém uspokojuje ergodická hypotéza z termodynamiky , příslušné státní prostor je pozice a hybnost prostor . V teorii dynamických systémů je stavový prostor obvykle brán jako obecnější fázový prostor . Na druhou stranu v teorii kódování je stavový prostor často diskrétní v čase i stavu, s méně souběžnou strukturou. Ve všech těchto oborech mohou myšlenky časového průměru a průměrného souboru také nést další zavazadlo - jak je tomu u mnoha možných termodynamicky relevantních funkcí oddílů používaných k definování průměrů souborů ve fyzice, opět zpět. Teoretická formalizace konceptu jako takové také slouží jako sjednocující disciplína. V roce 1913 Michel Plancherel prokázal přísnou nemožnost ergodicity pro čistě mechanický systém.

Etymologie

Termín ergodický je obecně považován za odvozený z řeckých slov ἔργον ( ergon : „práce“) a ὁδός ( hodos : „cesta“, „cesta“), jak si je vybral Ludwig Boltzmann, když pracoval na problému ve statistické mechanice . Současně se také tvrdí, že jde o derivaci ergomonodu , kterou razil Boltzmann v relativně nejasném dokumentu z roku 1884. Zdá se, že etymologie je zpochybňována i jinými způsoby.

Definice pro systémy s diskrétním časem

Formální definice

Nechť být měřitelný prostor . Pokud je měřitelná funkce od sama sobě a na pravděpodobnostní míry na pak říkáme, že je -ergodic nebo je ergodic měřítkem , pokud konzervy a platí následující podmínka:

U jakéhokoli takového, že buď nebo .

Jinými slovy, neexistují žádné -variantní podmnožiny až do míry 0 (vzhledem k ). Připomeňme si, že zachování (neboli bytí - invariantní ) to znamená pro všechny (viz také Dynamický systém zachovávající míru ).

Příklady

Nejjednodušším příkladem je, když je konečná množina a opatření počítání . Pak vlastní mapa uchová právě tehdy, když je to bijekce, a je ergodická právě tehdy, když má pouze jednu oběžnou dráhu (to znamená, že každá taková existuje ). Například, v případě, pak cyklus je ergodic, ale permutace není (má dvě neměnné podmnožiny a ).

Ekvivalentní formulace

Výše uvedená definice připouští následující bezprostřední reformulace:

  • pro každého s máme nebo (kde označuje symetrický rozdíl );
  • pro každého, koho máme s pozitivním měřítkem ;
  • pro každé dvě sady pozitivních opatření existuje takové, že ;
  • Každá měřitelná funkce s je konstantní na podmnožině plné míry.

Důležité pro aplikace je, že podmínku v poslední charakterizaci lze omezit pouze na funkce integrovatelné do čtverců :

  • Pokud a pak je téměř všude konstantní.

Další příklady

Bernoulli řadí a podřazuje

Dovolit být konečná množina a s na míru výrobků (každý faktor je obdařen svou počítání opatření). Pak operátor směny definovaný je -ergodický.

Existuje mnoho více ergodické opatření pro mapy posunu o . Periodické sekvence dávají konečná podporovaná opatření. Ještě zajímavější je, že existují nekonečně podporované, které jsou dílčím posunem konečného typu .

Iracionální rotace

Nechť je jednotkový kruh s jeho Lebesgueovou mírou . Pro každou je rotace úhlu dána vztahem . Pokud pak, není pro Lebesgueovu míru ergodické, protože má nekonečně mnoho konečných drah. Na druhou stranu, pokud je iracionální, pak je ergodická.

Mapa Arnoldovy kočky

Nechť je 2-torus. Pak jakýkoli prvek definuje vlastní mapu od . Když člověk získá takzvanou mapu Arnoldovy kočky, která je ergodická pro Lebesgueovu míru na torusu.

Ergodické věty

Pokud je míra pravděpodobnosti v prostoru, který je pro transformaci ergodický, bodová ergodická věta G. Birkhoffa uvádí, že pro každé měřitelné funkce a pro téměř každý bod časový průměr na oběžné dráze konverguje k vesmírnému průměru . Formálně to znamená

Průměrná ergodic věta J. von Neumann je podobný, slabší výrok o průměrných překládá čtverečních-integrable funkcí.

Související vlastnosti

Husté oběžné dráhy

Bezprostředním důsledkem definice ergodicity je to, že v topologickém prostoru , a pokud je σ -algebra Borelských množin , je -ergodická, pak -téměř každá oběžná dráha je hustá na podporu .

Nejde o ekvivalenci, protože u transformace, která není jednoznačně ergodická, ale u které existuje ergodické opatření s plnou podporou , u jakéhokoli jiného ergodického opatření není toto opatření ergodické, ale jeho dráhy jsou v podpoře husté. Explicitní příklady mohou být konstruovány pomocí opatření nezměněných na směny.

Míchání

Transformace prostoru měřícího pravděpodobnost se pro danou míru mísí, pokud pro jakékoli měřitelné sady platí následující:

Je okamžité, že transformace míchání je také ergodická ( považuje se za -stabilní podmnožinu a její doplněk). Opak není pravdivý, například rotace s iracionálním úhlem v kruhu (což je podle výše uvedených příkladů ergodické) se nemíchá (po dostatečně malý interval se jeho po sobě jdoucí obrázky většinu času neprotínají). Směny Bernoulliho se mísí, stejně jako Arnoldova mapa koček.

Tento pojem míchání se někdy nazývá silné míchání, na rozdíl od slabého míchání, což znamená, že

Správná ergodicita

Transformace je prý správně ergodická, pokud nemá oběžnou dráhu plné míry. V diskrétním případě to znamená, že opatření není podporováno na konečné oběžné dráze .

Definice pro spojité dynamické systémy

Definice je v podstatě stejná pro dynamické systémy se spojitým časem jako pro jedinou transformaci. Nechť je měřitelný prostor a pro každého je pak takový systém dán rodinou měřitelných funkcí od sebe k sobě, takže pro jakýkoli vztah platí (obvykle se také požaduje, aby byla měřitelná i mapa oběžné dráhy z ). Pokud je pravděpodobnostní mírou, pak říkáme, že je -ergodická nebo je ergodická, pokud každá z nich zachovává a platí následující podmínka:

Pro všechny , pokud pro všechny máme, pak buď nebo .

Příklady

Stejně jako v diskrétním případě je nejjednodušším příkladem tranzitivní děj, například působení na kružnici dané pomocí je pro Lebesgueovu míru ergodické.

Příklad s nekonečně mnoha oběžnými dráhami udává tok po iracionálním svahu na torusu: nech a . Nechte ; pak pokud je to pro Lebesgueovo opatření ergodické.

Ergodické toky

Dalšími příklady ergodických toků jsou:

  • Kulečník v konvexních euklidovských doménách;
  • geodetická tok záporně zakřivené Riemannově sběrného potrubí konečný objem je ergodic (pro opatření normalizovaného objemu);
  • horocycle tok na hyperbolické potrubí o konečný objem je ergodic (pro opatření normalizované objem)

Ergodicita v kompaktních metrických prostorech

Pokud je kompaktní metrický prostor , je přirozeně vybaven σ-algebrou Borelských množin . Dodatečná struktura pocházející z topologie pak umožňuje mnohem podrobnější teorii ergodických transformací a měření na .

Interpretace funkční analýzy

Velmi silnou alternativní definici ergodických opatření lze poskytnout pomocí teorie Banachových prostorů . Radon měří na Banachově prostoru, jehož množina pravděpodobnosti je konvexní podmnožinou. Vzhledem k tomu, kontinuální transformace z podmnožiny všech -invariant opatření je uzavřená konvexní podmnožina, a opatření je ergodic pro tehdy a jen tehdy, pokud se jedná o krajní bod této konvexní.

Existence ergodických opatření

Ve výše uvedeném nastavení z Banach-Alaogluovy věty vyplývá, že vždy existují krajní body . Transformace kompaktního metrického prostoru tedy vždy připouští ergodická opatření.

Ergodický rozklad

Obecně invariantní míra nemusí být ergodická, ale v důsledku Choquetovy teorie může být vždy vyjádřena jako barycentrum pravděpodobnostní míry na souboru ergodických opatření. Toto se označuje jako ergodický rozklad míry.

Příklad

V případě a počítání není ergodické. Mezi ergodické opatření jsou jednotná opatření podporované z podskupin a a každý -invariant míra pravděpodobnosti lze zapsat ve formě pro některé . Jedná se zejména o ergodický rozklad počítání.

Spojité systémy

Všechno v této části se přenáší doslovně na souvislé akce kompaktních metrických prostorů nebo na nich.

Jedinečná ergodicita

Transformace je prý jednoznačně ergodická, pokud existuje jedinečné Borelovo pravděpodobnostní měřítko, pro které je ergodické .

Ve výše uvedených příkladech jsou iracionální rotace kruhu jednoznačně ergodické; posunové mapy nejsou.

Pravděpodobnostní interpretace: ergodické procesy

Pokud jde o stochastický proces v diskrétním čase v prostoru , říká se, že je ergodický, je-li společné rozdělení proměnných na invariantní podle posunové mapy . Toto je zvláštní případ výše uvedených pojmů.

Nejjednodušším případem je případ nezávislého a identicky distribuovaného procesu, který odpovídá mapě posunu popsané výše. Dalším důležitým případem je Markovův řetězec, který je podrobně popsán níže.

Podobná interpretace platí pro stochastické procesy s kontinuálním časem, i když konstrukce měřitelné struktury akce je složitější.

Ergodicita Markovových řetězců

Dynamický systém spojený s Markovovým řetězcem

Budiž konečná množina. Markov řetěz o je definována matice , kde je pravděpodobnost přechodu z k , takže pro každý máme . Stacionární opatření pro je míra pravděpodobnosti na tak, že  ; to je pro všechny .

Pomocí těchto dat můžeme definovat míru pravděpodobnosti množiny s jejím součinem σ-algebry tak, že naměříme míry válců následovně:

Stacionarita pak znamená, že opatření je pod posunovou mapou neměnné .

Kritérium pro ergodicitu

Měření je pro mapu posunu vždy ergodické, pokud je přidružený Markovův řetězec neredukovatelný (jakéhokoli stavu lze dosáhnout s kladnou pravděpodobností z jakéhokoli jiného stavu v konečném počtu kroků).

Výše uvedené hypotézy naznačují, že pro Markovův řetězec existuje jedinečné stacionární opatření. Pokud jde o matici, dostatečnou podmínkou pro to je, že 1 je jednoduché vlastní číslo matice a všechna ostatní vlastní čísla (v ) mají modul <1.

Všimněte si, že v teorii pravděpodobnosti se Markovův řetězec nazývá ergodický, pokud je navíc každý stav neperiodický (časy, kdy je pravděpodobnost návratu kladná, nejsou násobky jednoho celého čísla> 1). To není nutné, aby invariantní opatření bylo ergodické; proto jsou pojmy „ergodicity“ pro Markovův řetězec a související míra invariantní vůči posunu odlišné (ten pro řetězec je přísně silnější).

Kromě toho je kritériem „tehdy a jen tehdy“, pokud se všechny komunikující třídy v řetězci opakují a zvažujeme všechna stacionární opatření.

Příklady

Počítání opatření

Jestliže pro všechny pak stacionární míra je počítání opatření, opatření je produktem počítání opatření. Markovův řetězec je ergodický, takže příklad posunu shora je zvláštním případem kritéria.

Neergodické řetězce Markov

Markovovy řetězce s opakujícími se komunikujícími třídami nejsou neredukovatelné, nejsou ergodické, a to lze okamžitě vidět následovně. Pokud se jedná o dvě odlišné opakující se komunikující třídy, existují nenulová stacionární opatření podporovaná v daném pořadí a v podmnožinách a jsou posunově invariantní i pro měřítko 1,2 pro invariantní pravděpodobnostní měřítko . Velmi jednoduchým příkladem je řetězec daný maticí (oba stavy jsou nehybné).

Periodický řetězec

Markovův řetězec daný maticí je neredukovatelný, ale periodický. Není tedy ergodický ve smyslu Markovova řetězce, i když související míra na je pro směnovou mapu ergodická. Posun se však pro toto opatření nemíchá, stejně jako pro sady

a
máme ale

Zobecnění

Ergodické skupinové akce

Definice ergodicity má smysl i pro skupinové akce . Klasická teorie (pro invertibilní transformace) odpovídá akcím nebo .

Kvaziinvariantní opatření

U neabelských skupin nemusí existovat invariantní míry ani v kompaktních metrických prostorech. Definice ergodicity se však nezmění, pokud člověk nahradí invariantní míry kvaziinvariantními opatřeními .

Důležitými příklady jsou působení pololehké Lieovy skupiny (nebo mřížky v ní) na její Furstenbergovu hranici .

Ergodické vztahy

Měřitelný vztah ekvivalence se říká, že je ergodický, pokud jsou všechny nasycené podmnožiny buď null nebo conull.

Poznámky

Reference

externí odkazy