Sudé a liché funkce - Even and odd functions
V matematiky , i funkce a liché funkce jsou funkce, které splňují určité symetrie vztahy, pokud jde o užívání aditivní inverze . Jsou důležité v mnoha oblastech matematické analýzy , zejména v teorii mocninných řad a Fourierových řad . Jsou pojmenovány pro paritu mocnin výkonových funkcí, které splňují každou podmínku: funkce je sudá funkce, pokud n je sudé celé číslo , a to je lichá funkce, pokud n je liché celé číslo.
Definice a příklady
Rovnost a lichost jsou obecně považovány za skutečné funkce , tedy za funkce reálné proměnné se skutečnou hodnotou. Koncepty však mohou být obecněji definovány pro funkce, jejichž doména i codomain mají pojem aditivní inverze . To zahrnuje abelianské skupiny , všechny prsteny , všechna pole a všechny vektorové prostory . Skutečná funkce může být například lichá nebo sudá (nebo žádná), stejně jako složitá funkce vektorové proměnné atd.
Uvedené příklady jsou reálné funkce, které ilustrují symetrii jejich grafů .
Rovnoměrné funkce
Nechť f je funkce reálné proměnné se skutečnou hodnotou. Pak f je, i když následující rovnice platí pro všechna x tak, že x a - x v doméně f :
|
|
( Rov. 1 ) |
nebo ekvivalentně, pokud pro všechna taková x platí následující rovnice :
Geometricky je graf sudé funkce symetrický vzhledem k ose y , což znamená, že její graf zůstává nezměněn po odrazu o ose y .
Příklady sudých funkcí jsou:
Zvláštní funkce
Opět nechť f je funkce reálné proměnné se skutečnou hodnotou. Pak f je zvláštní, v případě, že následující rovnice platí pro všechny x tak, že x a - x jsou v oblasti f :
|
|
( Rov. 2 ) |
nebo ekvivalentně, pokud pro všechna taková x platí následující rovnice :
Geometricky má graf liché funkce rotační symetrii s ohledem na počátek , což znamená, že jeho graf zůstává nezměněn po otočení o počátek o 180 stupňů .
Příklady lichých funkcí jsou:
- Funkce identity
- sinus
- hyperbolický sinus
- Chybová funkce
Základní vlastnosti
Jedinečnost
- Pokud je funkce sudá i lichá, je rovna 0 všude, kde je definována.
- Pokud je funkce lichá, je absolutní hodnotou této funkce sudá funkce.
Sčítání a odčítání
- Součet dvou sudých funkcí je sudá.
- Součet dvou lichých funkcí je lichý.
- Rozdíl mezi dvěma lichých funkcí je lichý.
- Rozdíl mezi dvěma sudými funkcemi je sudý.
- Součet sudé a liché funkce není sudý nebo lichý, pokud se jedna z funkcí v dané doméně nerovná nule .
Násobení a dělení
- Produkt dvou sudých funkcí je sudá funkce.
- To znamená, že produkt libovolného počtu sudých funkcí je také sudá funkce.
- Produktem dvou lichých funkcí je sudá funkce.
- Produkt sudé funkce a liché funkce je lichá funkce.
- Kvocient dvou sudých funkcí je sudá funkce.
- Kvocient dvou lichých funkcí je sudá funkce.
- Kvocient sudé funkce a liché funkce je lichá funkce.
Složení
- Složení dvou sudých funkcí je sudá.
- Složení dvou lichých funkcí je liché.
- Složení sudé funkce a liché funkce je sudé.
- Složení jakékoli funkce se sudou funkcí je sudé (ale ne naopak).
Sudý - lichý rozklad
Každá funkce může být jednoznačně rozložena jako součet sudé a liché funkce, které se nazývají sudá část a lichá část funkce; pokud jeden definuje
|
|
( Rov. 3 ) |
a
|
|
( Rovnice 4 ) |
pak je sudé, liché a
Naopak, pokud
kde g je sudé a h je liché, pak a od té doby
Například hyperbolický kosinus a hyperbolický sinus lze považovat za sudou a lichou část exponenciální funkce, protože první je sudá funkce, druhá lichá a
- .
Další algebraické vlastnosti
- Libovolná lineární kombinace sudých funkcí je sudá a sudé funkce tvoří vektorový prostor nad reálemi . Podobně je libovolná lineární kombinace lichých funkcí lichá a liché funkce také tvoří vektorový prostor nad reálemi. Ve skutečnosti je vektorový prostor všech reálných funkcí je přímý součet z podprostorů sudých a lichých funkcí. Toto je abstraktnější způsob vyjádření vlastnosti v předchozí části.
- Prostor funkcí lze touto vlastností, stejně jako některými z výše uvedených, považovat za odstupňovanou algebru nad reálnými čísly.
- Sudé funkce tvoří komutativní algebru nad reálemi. Liché funkce však netvoří algebru nad reálemi, protože nejsou uzavřeny při násobení.
Analytické vlastnosti
Funkce lichá nebo sudá neznamená odlišnost nebo dokonce kontinuitu . Například Dirichletova funkce je sudá, ale nikde není spojitá.
V následující části předpokládají vlastnosti zahrnující deriváty , Fourierovy řady , Taylorovy řady atd., Že tyto pojmy jsou definovány z funkcí, které jsou zvažovány.
Základní analytické vlastnosti
- Derivát sudého funkce je lichý.
- Derivace liché funkce je sudá.
- Integrální z lichého funkce z - A do + A je nula (kde je konečný, a funkce nemá žádné vertikální asymptoty mezi - A a A ). Pro lichou funkci, která je integrovatelná v symetrickém intervalu, je například výsledek integrálu v tomto intervalu nula; to je
- .
- Integrál sudé funkce od - A do + A je dvojnásobek integrálu od 0 do + A (kde A je konečný a funkce nemá svislá asymptota mezi - A a A. To platí i tehdy, když A je nekonečný, ale pouze pokud integrál konverguje); to je
- .
Série
- Série Maclaurin sudého funkce zahrnuje pouze i síly.
- Maclaurinova řada liché funkce zahrnuje pouze liché síly.
- Fourierova řada z periodické i funkce zahrnuje pouze cos termíny.
- Fourierova řada periodické liché funkce obsahuje pouze sinusové členy.
- Fourierova transformace čistě real-oceňují i funkce je reálné a dokonce. (viz Fourierova analýza § Vlastnosti symetrie )
- Fourierova transformace čistě skutečné hodnoty liché funkce je imaginární a lichá. (viz Fourierova analýza § Vlastnosti symetrie )
Harmonické
Při zpracování signálu , harmonické zkreslení dochází, když sinusová vlna je signál vysílán přes paměťovou méně nelineární systém , to znamená, že systém, jehož výstup v čase t závisí pouze na vstupu v čase t a nezávisí na vstupu na jakékoli předchozí krát. Takový systém je popsán funkcí odezvy . Typ vytvářených harmonických závisí na funkci odezvy f :
- Když je funkce odezvy sudá, výsledný signál bude sestávat pouze z rovnoměrných harmonických vstupních sinusových vln;
- Zásadní je liché harmonické, takže nebude přítomna.
- Jednoduchým příkladem je plnovlnný usměrňovač .
- Složka představuje ofset DC, vzhledem k jednostranný charakter i-symetrických přenosových funkcí.
- Pokud je lichý, výsledný signál bude sestávat pouze z lichých harmonických vstupních sinusových vln;
- Výstupní signál bude půlvlnný symetrický .
- Jednoduchým příkladem je oříznutí symetrického push-pull zesilovače .
- Pokud je asymetrický, může výsledný signál obsahovat sudé nebo liché harmonické;
- Jednoduché příklady jsou poloviny vlny usměrňovač, a výstřižek v asymetrickém třídy A zesilovač .
U složitějších průběhů to neplatí. Pilu obsahuje jak liché a sudé harmonické, například. Po sudé-symetrické plné vlně usměrnění se z ní stane trojúhelníková vlna , která kromě DC offsetu obsahuje pouze liché harmonické.
Zobecnění
Vícerozměrné funkce
Rovnoměrná symetrie:
Funkce se nazývá dokonce symetrická, pokud:
Zvláštní symetrie:
Funkce se nazývá lichá symetrická, pokud:
Funkce s komplexní hodnotou
Definice sudé a liché symetrie pro funkce s reálným argumentem s komplexní hodnotou jsou podobné reálnému případu, ale zahrnují komplexní konjugaci .
Rovnoměrná symetrie:
Komplexní funkce skutečného argumentu se nazývá dokonce symetrická, pokud:
Zvláštní symetrie:
Komplexní funkce skutečného argumentu se nazývá lichá symetrická, pokud:
Posloupnosti konečné délky
Definice liché a sudé symetrie jsou rozšířeny na N- bodové posloupnosti (tj. Funkce formuláře ) takto:
Rovnoměrná symetrie:
A N -bodu sekvence je nazýván i symetrický pokud
Taková sekvence se často nazývá palindromická sekvence ; viz také palindromický polynom .
Zvláštní symetrie:
N -bodu sled se nazývá zvláštní symetrický pokud
Taková sekvence se někdy nazývá anti-palindromická sekvence ; viz také antipalindromický polynom .
Viz také
- Hermitovská funkce pro zobecnění ve složitých číslech
- Taylor série
- Fourierova řada
- Holstein – sleďová metoda
- Parita (fyzika)
Poznámky
Reference
- Gelfand, IM ; Glagoleva, EG; Shnol, EE (2002) [1969], Functions and Graphs , Mineola, NY: Dover Publications