Sudé a liché funkce - Even and odd functions

Funkce sinus a všechny jeho Taylorových polynomů jsou liché funkce. Tento obrázek ukazuje a jeho Taylorovy aproximace, polynomy stupně 1, 3, 5, 7, 9, 11 a 13.
Funkce cosinus a všechny jeho Taylorových polynomů jsou i funkce. Tento obrázek ukazuje a jeho Taylorovu aproximaci stupně 4.

V matematiky , i funkce a liché funkce jsou funkce, které splňují určité symetrie vztahy, pokud jde o užívání aditivní inverze . Jsou důležité v mnoha oblastech matematické analýzy , zejména v teorii mocninných řad a Fourierových řad . Jsou pojmenovány pro paritu mocnin výkonových funkcí, které splňují každou podmínku: funkce je sudá funkce, pokud n je sudé celé číslo , a to je lichá funkce, pokud n je liché celé číslo.

Definice a příklady

Rovnost a lichost jsou obecně považovány za skutečné funkce , tedy za funkce reálné proměnné se skutečnou hodnotou. Koncepty však mohou být obecněji definovány pro funkce, jejichž doména i codomain mají pojem aditivní inverze . To zahrnuje abelianské skupiny , všechny prsteny , všechna pole a všechny vektorové prostory . Skutečná funkce může být například lichá nebo sudá (nebo žádná), stejně jako složitá funkce vektorové proměnné atd.

Uvedené příklady jsou reálné funkce, které ilustrují symetrii jejich grafů .

Rovnoměrné funkce

je příkladem sudé funkce.

Nechť f je funkce reálné proměnné se skutečnou hodnotou. Pak f je, i když následující rovnice platí pro všechna x tak, že x a - x v doméně f :

 

 

 

 

( Rov. 1 )

nebo ekvivalentně, pokud pro všechna taková x platí následující rovnice :

Geometricky je graf sudé funkce symetrický vzhledem k ose y , což znamená, že její graf zůstává nezměněn po odrazu o ose y .

Příklady sudých funkcí jsou:

  • Absolutní hodnota
  • kosinus
  • hyperbolický kosinus

Zvláštní funkce

je příklad liché funkce.

Opět nechť f je funkce reálné proměnné se skutečnou hodnotou. Pak f je zvláštní, v případě, že následující rovnice platí pro všechny x tak, že x a - x jsou v oblasti f :

 

 

 

 

( Rov. 2 )

nebo ekvivalentně, pokud pro všechna taková x platí následující rovnice :

Geometricky má graf liché funkce rotační symetrii s ohledem na počátek , což znamená, že jeho graf zůstává nezměněn po otočení o počátek o 180 stupňů .

Příklady lichých funkcí jsou:

  • Funkce identity
  • sinus
  • hyperbolický sinus
  • Chybová funkce
není ani sudý, ani lichý.

Základní vlastnosti

Jedinečnost

  • Pokud je funkce sudá i lichá, je rovna 0 všude, kde je definována.
  • Pokud je funkce lichá, je absolutní hodnotou této funkce sudá funkce.

Sčítání a odčítání

  • Součet dvou sudých funkcí je sudá.
  • Součet dvou lichých funkcí je lichý.
  • Rozdíl mezi dvěma lichých funkcí je lichý.
  • Rozdíl mezi dvěma sudými funkcemi je sudý.
  • Součet sudé a liché funkce není sudý nebo lichý, pokud se jedna z funkcí v dané doméně nerovná nule .

Násobení a dělení

  • Produkt dvou sudých funkcí je sudá funkce.
    • To znamená, že produkt libovolného počtu sudých funkcí je také sudá funkce.
  • Produktem dvou lichých funkcí je sudá funkce.
  • Produkt sudé funkce a liché funkce je lichá funkce.
  • Kvocient dvou sudých funkcí je sudá funkce.
  • Kvocient dvou lichých funkcí je sudá funkce.
  • Kvocient sudé funkce a liché funkce je lichá funkce.

Složení

  • Složení dvou sudých funkcí je sudá.
  • Složení dvou lichých funkcí je liché.
  • Složení sudé funkce a liché funkce je sudé.
  • Složení jakékoli funkce se sudou funkcí je sudé (ale ne naopak).

Sudý - lichý rozklad

Každá funkce může být jednoznačně rozložena jako součet sudé a liché funkce, které se nazývají sudá část a lichá část funkce; pokud jeden definuje

 

 

 

 

( Rov. 3 )

a

 

 

 

 

( Rovnice 4 )

pak je sudé, liché a

Naopak, pokud

kde g je sudé a h je liché, pak a od té doby

Například hyperbolický kosinus a hyperbolický sinus lze považovat za sudou a lichou část exponenciální funkce, protože první je sudá funkce, druhá lichá a

.

Další algebraické vlastnosti

  • Libovolná lineární kombinace sudých funkcí je sudá a sudé funkce tvoří vektorový prostor nad reálemi . Podobně je libovolná lineární kombinace lichých funkcí lichá a liché funkce také tvoří vektorový prostor nad reálemi. Ve skutečnosti je vektorový prostor všech reálných funkcí je přímý součet z podprostorů sudých a lichých funkcí. Toto je abstraktnější způsob vyjádření vlastnosti v předchozí části.
    • Prostor funkcí lze touto vlastností, stejně jako některými z výše uvedených, považovat za odstupňovanou algebru nad reálnými čísly.
  • Sudé funkce tvoří komutativní algebru nad reálemi. Liché funkce však netvoří algebru nad reálemi, protože nejsou uzavřeny při násobení.

Analytické vlastnosti

Funkce lichá nebo sudá neznamená odlišnost nebo dokonce kontinuitu . Například Dirichletova funkce je sudá, ale nikde není spojitá.

V následující části předpokládají vlastnosti zahrnující deriváty , Fourierovy řady , Taylorovy řady atd., Že tyto pojmy jsou definovány z funkcí, které jsou zvažovány.

Základní analytické vlastnosti

  • Derivát sudého funkce je lichý.
  • Derivace liché funkce je sudá.
  • Integrální z lichého funkce z - A do + A je nula (kde je konečný, a funkce nemá žádné vertikální asymptoty mezi - A a A ). Pro lichou funkci, která je integrovatelná v symetrickém intervalu, je například výsledek integrálu v tomto intervalu nula; to je
    .
  • Integrál sudé funkce od - A do + A je dvojnásobek integrálu od 0 do + A (kde A je konečný a funkce nemá svislá asymptota mezi - A a A. To platí i tehdy, když A je nekonečný, ale pouze pokud integrál konverguje); to je
    .

Série

Harmonické

Při zpracování signálu , harmonické zkreslení dochází, když sinusová vlna je signál vysílán přes paměťovou méně nelineární systém , to znamená, že systém, jehož výstup v čase t závisí pouze na vstupu v čase t a nezávisí na vstupu na jakékoli předchozí krát. Takový systém je popsán funkcí odezvy . Typ vytvářených harmonických závisí na funkci odezvy f :

  • Když je funkce odezvy sudá, výsledný signál bude sestávat pouze z rovnoměrných harmonických vstupních sinusových vln;
    • Zásadní je liché harmonické, takže nebude přítomna.
    • Jednoduchým příkladem je plnovlnný usměrňovač .
    • Složka představuje ofset DC, vzhledem k jednostranný charakter i-symetrických přenosových funkcí.
  • Pokud je lichý, výsledný signál bude sestávat pouze z lichých harmonických vstupních sinusových vln;
  • Pokud je asymetrický, může výsledný signál obsahovat sudé nebo liché harmonické;
    • Jednoduché příklady jsou poloviny vlny usměrňovač, a výstřižek v asymetrickém třídy A zesilovač .

U složitějších průběhů to neplatí. Pilu obsahuje jak liché a sudé harmonické, například. Po sudé-symetrické plné vlně usměrnění se z ní stane trojúhelníková vlna , která kromě DC offsetu obsahuje pouze liché harmonické.

Zobecnění

Vícerozměrné funkce

Rovnoměrná symetrie:

Funkce se nazývá dokonce symetrická, pokud:

Zvláštní symetrie:

Funkce se nazývá lichá symetrická, pokud:

Funkce s komplexní hodnotou

Definice sudé a liché symetrie pro funkce s reálným argumentem s komplexní hodnotou jsou podobné reálnému případu, ale zahrnují komplexní konjugaci .

Rovnoměrná symetrie:

Komplexní funkce skutečného argumentu se nazývá dokonce symetrická, pokud:

Zvláštní symetrie:

Komplexní funkce skutečného argumentu se nazývá lichá symetrická, pokud:

Posloupnosti konečné délky

Definice liché a sudé symetrie jsou rozšířeny na N- bodové posloupnosti (tj. Funkce formuláře ) takto:

Rovnoměrná symetrie:

A N -bodu sekvence je nazýván i symetrický pokud

Taková sekvence se často nazývá palindromická sekvence ; viz také palindromický polynom .

Zvláštní symetrie:

N -bodu sled se nazývá zvláštní symetrický pokud

Taková sekvence se někdy nazývá anti-palindromická sekvence ; viz také antipalindromický polynom .

Viz také

Poznámky

Reference