Přesná diferenciální rovnice - Exact differential equation

V matematice je přesná diferenciální rovnice nebo totální diferenciální rovnice určitým druhem běžné diferenciální rovnice, která je široce používána ve fyzice a inženýrství .

Definice

Vzhledem k tomu, jednoduše připojit a otevřená podmnožina D z R ² a dvě funkce I a J , které jsou spojité na D , což je implicitní prvního řádu obyčejné diferenciální rovnice formuláře

{\ displaystyle I (x, y) \, dx + J (x, y) \, dy = 0,}

se nazývá přesná diferenciální rovnice, pokud existuje spojitě diferencovatelná funkce F , zvaná potenciální funkce , takže

{\ displaystyle {\ frac {\ částečné F} {\ částečné x}} = I}

a

{\ displaystyle {\ frac {\ částečné F} {\ částečné y}} = J.}

Přesná rovnice může být také uvedena v následující podobě:

{\ displaystyle I (x, y) + J (x, y) \, y '(x) = 0}

kde platí stejná omezení na I a J, aby diferenciální rovnice byla přesná.

Nomenklatura „přesné diferenciální rovnice“ se týká přesného diferenciálu funkce. U funkce je dána přesná nebo celková derivace vzhledem k ${\ displaystyle F (x_ {0}, x_ {1}, ..., x_ {n-1}, x_ {n})}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$

{\ displaystyle {\ frac {dF} {dx_ {0}}} = {\ frac {\ částečné F} {\ částečné x_ {0}}} + \ součet _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ částečné F} {\ částečné x_ {i}}} {\ frac {dx_ {i}} {dx_ {0}}}.}

Příklad

Funkce daná ${\ displaystyle F: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle F (x, y) = {\ frac {1} {2}} (x ^ {2} + y ^ {2}) + c}

je potenciální funkce pro diferenciální rovnici

{\ displaystyle x \, dx + y \, dy = 0. \,}

Existence potenciálních funkcí

Ve fyzických aplikacích jsou funkce I a J obvykle nejen spojité, ale dokonce spojitě diferencovatelné . Schwarzova věta nám poté poskytuje nezbytná kritéria pro existenci potenciální funkce. Pro diferenciální rovnice definované na jednoduše spojených množinách je kritérium dokonce dostačující a dostaneme následující větu:

Vzhledem k diferenciální rovnici tvaru (například když F má nulový sklon ve směru xay ve F ( x , y )):

{\ displaystyle I (x, y) \, dx + J (x, y) \, dy = 0,}

s I a J spojitě diferencovatelné na jednoduše připojen a otevřená podmnožina D z R ^2, pak potenciální funkce F existuje tehdy a jen tehdy, pokud

{\ displaystyle {\ frac {\ částečné I} {\ částečné y}} (x, y) = {\ frac {\ částečné J} {\ částečné x}} (x, y).}

Řešení přesných diferenciálních rovnic

Vzhledem k tomu, přesné diferenciální rovnici definované na nějakém jednoduše připojen a otevřená podmnožina D z R ^2, s potenciální funkcí F , differentiable funkce f s ( x , f ( x )) v D je řešení právě tehdy, když existuje reálné číslo c tak že

{\ displaystyle F (x, f (x)) = c.}

Pro problém s počáteční hodnotou

{\ displaystyle y (x_ {0}) = y_ {0}}

můžeme lokálně najít potenciální funkci pomocí

{\ displaystyle {\ begin {aligned} F (x, y) & = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} I (t, y_ {0}) dt + \ int _ {y_ {0}} ^ {y} J (x, t) dt \\ & = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} I (t, y_ {0}) dt + \ int _ {y_ {0}} ^ {y} \ left [J (x_ {0}, t) + \ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ frac {\ částečné I} {\ částečné y}} (u, t) \, du \ vpravo ] dt. \ end {zarovnáno}}}

Řešení

{\ displaystyle F (x, y) = c}

pro y , kde c je reálné číslo, můžeme potom sestrojit všechna řešení.

Přesné diferenciální rovnice druhého řádu

Koncept přesných diferenciálních rovnic lze rozšířit na rovnice druhého řádu. Zvažte, jak začít s přesnou rovnicí prvního řádu:

{\ displaystyle I \ left (x, y \ right) + J \ left (x, y \ right) {dy \ over dx} = 0}

Vzhledem k tomu, obě funkce , jsou funkce dvou proměnných, implicitně diferenciace vícerozměrné funkce výtěžky ${\ displaystyle I \ left (x, y \ right)}$ ${\ displaystyle J \ left (x, y \ right)}$

{\ displaystyle {dI \ over dx} + \ left ({dJ \ over dx} \ right) {dy \ over dx} + {d ^ {2} y \ over dx ^ {2}} \ left (J \ left (x, y \ doprava) \ doprava) = 0}

Rozšíření celkových derivátů to dává

{\ displaystyle {dI \ over dx} = {\ částečné I \ nad \ částečné x} + {\ částečné I \ nad \ částečné y} {dy \ nad dx}}

a to

{\ displaystyle {dJ \ přes dx} = {\ částečné J \ přes \ částečné x} + {\ částečné J \ přes \ částečné y} {dy \ přes dx}}

Kombinace výrazů dává ${\ textstyle {dy \ over dx}}$

{\ displaystyle {\ částečné I \ nad \ částečné x} + {dy \ nad dx} \ vlevo ({\ částečné I \ nad \ částečné y} + {\ částečné J \ nad \ částečné x} + {\ částečné J \ přes \ částečné y} {dy \ přes dx} \ doprava) + {d ^ {2} y \ přes dx ^ {2}} \ doleva (J \ vlevo (x, y \ doprava) \ doprava) = 0}

Pokud je rovnice přesná, pak . Navíc je celková derivace rovna její implicitní obyčejné derivaci . To vede k přepsané rovnici ${\ textstyle {\ částečné J \ nad \ částečné x} = {\ částečné I \ nad \ částečné y}}$ ${\ displaystyle J \ left (x, y \ right)}$ ${\ textstyle {dJ \ přes dx}}$

{\ displaystyle {\ částečné I \ nad \ částečné x} + {dy \ nad dx} \ vlevo ({\ částečné J \ nad \ částečné x} + {dJ \ nad dx} \ doprava) + {d ^ {2} y \ over dx ^ {2}} \ left (J \ left (x, y \ right) \ right) = 0}

Nyní nechť existuje diferenciální rovnice druhého řádu

{\ displaystyle f \ left (x, y \ right) + g \ left (x, y, {dy \ over dx} \ right) {dy \ over dx} + {d ^ {2} y \ over dx ^ { 2}} \ left (J \ left (x, y \ right) \ right) = 0}

Pokud pro přesné diferenciální rovnice, pak ${\ displaystyle {\ částečné J \ nad \ částečné x} = {\ částečné I \ nad \ částečné y}}$

{\ displaystyle \ int \ left ({\ částečné I \ přes \ částečné y} \ pravé) dy = \ int \ left ({\ částečné J \ přes \ částečné x} \ pravé) dy}

a

{\ displaystyle \ int \ left ({\ částečné I \ over \ částečné y} \ pravé) dy = \ int \ left ({\ částečné J \ over \ částečné x} \ pravé) dy = I \ left (x, y \ right) -h \ left (x \ right)}

kde je pouze libovolná funkce, která byla diferencována na nulu po převzetí částečné derivace s ohledem na . Přestože přihlášení může být pozitivní, je intuitivnější myslet na výsledek integrálu, protože mu chybí nějaká původní funkce navíc, která byla částečně diferencována na nulu. ${\ displaystyle h \ left (x \ right)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle I \ left (x, y \ right)}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle h \ left (x \ right)}$ ${\ displaystyle I \ left (x, y \ right)}$ ${\ displaystyle h \ left (x \ right)}$

Dále, pokud

{\ displaystyle {dI \ over dx} = {\ částečné I \ nad \ částečné x} + {\ částečné I \ nad \ částečné y} {dy \ nad dx}}

pak by tento termín měl být pouze funkcí a , protože částečná diferenciace vzhledem k bude konstantní a nevytváří žádné deriváty . V rovnici druhého řádu ${\ displaystyle {\ částečné I \ nad \ částečné x}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle y}$

{\ displaystyle f \ left (x, y \ right) + g \ left (x, y, {dy \ over dx} \ right) {dy \ over dx} + {d ^ {2} y \ over dx ^ { 2}} \ left (J \ left (x, y \ right) \ right) = 0}

pouze termín je termín čistě z a . Pojďme . Pokud ano ${\ displaystyle f \ left (x, y \ right)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle {\ částečné I \ nad \ částečné x} = f \ doleva (x, y \ doprava)}$ ${\ displaystyle {\ částečné I \ nad \ částečné x} = f \ doleva (x, y \ doprava)}$

{\ displaystyle f \ left (x, y \ right) = {dI \ over dx} - {\ částečné I \ over \ částečné y} {dy \ over dx}}

Protože celková derivace s ohledem na je ekvivalentní implicitní obyčejné derivaci , pak ${\ displaystyle I \ left (x, y \ right)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle {dI \ over dx}}$

{\ displaystyle f \ left (x, y \ right) + {\ částečné I \ over \ částečné y} {dy \ over dx} = {dI \ over dx} = {d \ over dx} \ left (I \ left (x, y \ right) -h \ left (x \ right) \ right) + {dh \ left (x \ right) \ over dx}}

Tak,

{\ displaystyle {dh \ left (x \ right) \ over dx} = f \ left (x, y \ right) + {\ částečné I \ over \ částečné y} {dy \ over dx} - {d \ over dx } \ left (I \ left (x, y \ right) -h \ left (x \ right) \ right)}

a

{\ Displaystyle h \ left (x \ right) = \ int \ left (f \ left (x, y \ right) + {\ částečné I \ over \ částečné y} {dy \ over dx} - {d \ over dx } \ left (I \ left (x, y \ right) -h \ left (x \ right) \ right) \ right) dx}

Tedy diferenciální rovnice druhého řádu

{\ displaystyle f \ left (x, y \ right) + g \ left (x, y, {dy \ over dx} \ right) {dy \ over dx} + {d ^ {2} y \ over dx ^ { 2}} \ left (J \ left (x, y \ right) \ right) = 0}

je přesný pouze tehdy a jen v případě, že níže uvedený výraz ${\ displaystyle g \ left (x, y, {dy \ over dx} \ right) = {dJ \ over dx} + {\ částečné J \ over \ částečné x} = {dJ \ over dx} + {\ částečné J \ přes \ částečné x}}$

{\ displaystyle \ int \ left (f \ left (x, y \ right) + {\ částečné I \ over \ částečné y} {dy \ over dx} - {d \ over dx} \ left (I \ left (x , y \ right) -h \ left (x \ right) \ right) \ right) dx = \ int \ left (f \ left (x, y \ right) - {\ částečné \ left (I \ left (x, y \ right) -h \ left (x \ right) \ right) \ over \ partial x} \ right) dx}

je funkce pouze z . Jakmile se vypočítá s libovolnou konstantou, přidá se k make . Pokud je rovnice přesná, můžeme ji zredukovat na přesný tvar prvního řádu, který je řešitelný obvyklou metodou pro přesné rovnice prvního řádu. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle h \ left (x \ right)}$ ${\ Displaystyle I \ left (x, y \ right) -h \ left (x \ right)}$ ${\ displaystyle I \ left (x, y \ right)}$

{\ displaystyle I \ left (x, y \ right) + J \ left (x, y \ right) {dy \ over dx} = 0}

Nyní však v konečném implicitním řešení bude termín z integrace s ohledem na dvakrát stejně jako a , dvě libovolné konstanty, jak se očekává od rovnice druhého řádu. ${\ displaystyle C_ {1} x}$ ${\ displaystyle h \ left (x \ right)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle C_ {2}}$

Příklad

Vzhledem k diferenciální rovnici

{\ displaystyle \ left (1-x ^ {2} \ right) y '' - 4xy'-2y = 0}

jeden může vždy snadno zkontrolovat přesnost zkoumáním termínu. V tomto případě částečná i celková derivace s ohledem na jsou , takže jejich součet je , což je přesně termín před . Při splnění jedné z podmínek přesnosti to lze vypočítat ${\ displaystyle y ''}$ ${\ displaystyle 1-x ^ {2}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle -2x}$ ${\ displaystyle -4x}$ ${\ displaystyle '$

{\ Displaystyle \ int \ left (-2x \ right) dy = I \ left (x, y \ right) -h \ left (x \ right) = - 2xy}

Nechám tedy ${\ displaystyle f \ left (x, y \ right) = - 2y}$

{\ displaystyle \ int \ left (-2y-2xy '- {d \ over dx} \ left (-2xy \ right) \ right) dx = \ int \ left (-2y-2xy' + 2xy '+ 2y \ right ) dx = \ int \ levý (0 \ pravý) dx = h \ levý (x \ pravý)}

Takže je skutečně pouze funkcí a diferenciální rovnice druhého řádu je přesná. Proto a . Redukce na přesnou rovnici prvního výtěžku ${\ displaystyle h \ left (x \ right)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle h \ left (x \ right) = C_ {1}}$ ${\ displaystyle I \ left (x, y \ right) = - 2xy + C_ {1}}$

{\ displaystyle -2xy + C_ {1} + \ vlevo (1-x ^ {2} \ vpravo) y '= 0}

Integrace s ohledem na výnosy ${\ displaystyle I \ left (x, y \ right)}$ ${\ displaystyle x}$

{\ displaystyle -x ^ {2} y + C_ {1} x + i \ doleva (y \ doprava) = 0}

kde je nějaká libovolná funkce . Diferenciace vzhledem k dává rovnici, která koreluje derivaci a termín. ${\ displaystyle i \ left (y \ right)}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle '$

{\ displaystyle -x ^ {2} + i '\ left (y \ right) = 1-x ^ {2}}

Takže se stane implicitní řešení ${\ displaystyle i \ left (y \ right) = y + C_ {2}}$

{\ displaystyle C_ {1} x + C_ {2} + yx ^ {2} y = 0}

Výslovné řešení pro výnosy ${\ displaystyle y}$

{\ displaystyle y = {\ frac {C_ {1} x + C_ {2}} {1-x ^ {2}}}}

Přesné diferenciální rovnice vyššího řádu

Pojmy přesných diferenciálních rovnic lze rozšířit na libovolné pořadí. Počínaje přesnou rovnicí druhého řádu

{\ displaystyle {d ^ {2} y \ over dx ^ {2}} \ left (J \ left (x, y \ right) \ right) + {dy \ over dx} \ left ({dJ \ over dx} + {\ částečné J \ nad \ částečné x} \ pravé) + f \ levé (x, y \ pravé) = 0}

dříve se ukázalo, že rovnice je definována tak, že

{\ Displaystyle f \ left (x, y \ right) = {dh \ left (x \ right) \ over dx} + {d \ over dx} \ left (I \ left (x, y \ right) -h \ left (x \ right) \ right) - {\ částečné J \ přes \ částečné x} {dy \ přes dx}}

Implicitní diferenciace přesných časů rovnice druhého řádu přinese diferenciální rovnici th řádu s novými podmínkami přesnosti, které lze snadno odvodit z vytvořené rovnice. Například jednou diferenciace výše uvedené diferenciální rovnice druhého řádu za účelem získání přesné rovnice třetího řádu dává následující formu ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ left (n + 2 \ right)}$

{\ displaystyle {d ^ {3} y \ over dx ^ {3}} \ left (J \ left (x, y \ right) \ right) + {d ^ {2} y \ over dx ^ {2}} {dJ \ přes dx} + {d ^ {2} y \ přes dx ^ {2}} \ vlevo ({dJ \ přes dx} + {\ částečné J \ přes \ částečné x} \ vpravo) + {dy \ přes dx} \ left ({d ^ {2} J \ over dx ^ {2}} + {d \ over dx} \ left ({\ partial J \ over \ partial x} \ right) \ right) + {df \ left (x, y \ right) \ over dx} = 0}

kde

{\ displaystyle {df \ left (x, y \ right) \ over dx} = {d ^ {2} h \ left (x \ right) \ over dx ^ {2}} + {d ^ {2} \ over dx ^ {2}} \ left (I \ left (x, y \ right) -h \ left (x \ right) \ right) - {d ^ {2} y \ over dx ^ {2}} {\ částečné J \ přes \ částečné x} - {dy \ přes dx} {d \ přes dx} \ vlevo ({\ částečné J \ přes \ částečné x} \ vpravo) = F \ vlevo (x, y, {dy \ přes dx }\že jo)}

a kde je funkce pouze a . Kombinace všech a výrazů, které nepocházejí z, dává ${\ displaystyle F \ left (x, y, {dy \ over dx} \ right)}$ ${\ displaystyle x, y}$ ${\ displaystyle {dy \ over dx}}$ ${\ displaystyle {dy \ over dx}}$ ${\ displaystyle {d ^ {2} y \ over dx ^ {2}}}$ ${\ displaystyle F \ left (x, y, {dy \ over dx} \ right)}$

{\ displaystyle {d ^ {3} y \ over dx ^ {3}} \ left (J \ left (x, y \ right) \ right) + {d ^ {2} y \ over dx ^ {2}} \ left (2 {dJ \ over dx} + {\ částečné J \ over \ částečné x} \ right) + {dy \ over dx} \ left ({d ^ {2} J \ over dx ^ {2}} + {d \ over dx} \ left ({\ částečné J \ over \ částečné x} \ right) \ right) + F \ left (x, y, {dy \ over dx} \ right) = 0}

Tudíž tři podmínky přesnosti diferenciální rovnice třetího řádu jsou: člen musí být , člen musí být a ${\ displaystyle {d ^ {2} y \ over dx ^ {2}}}$ ${\ displaystyle 2 {dJ \ nad dx} + {\ částečné J \ nad \ částečné x}}$ ${\ displaystyle {dy \ over dx}}$ ${\ displaystyle {d ^ {2} J \ nad dx ^ {2}} + {d \ nad dx} \ vlevo ({\ částečné J \ nad \ částečné x} \ vpravo)}$

{\ displaystyle F \ left (x, y, {dy \ over dx} \ right) - {d ^ {2} \ over dx ^ {2}} \ left (I \ left (x, y \ right) -h \ left (x \ right) \ right) + {d ^ {2} y \ over dx ^ {2}} {\ částečné J \ over \ částečné x} + {dy \ over dx} {d \ over dx} \ vlevo ({\ částečné J \ nad \ částečné x} \ pravé)}

musí být funkcí pouze z . ${\ displaystyle x}$

Příklad

Uvažujme nelineární diferenciální rovnici třetího řádu

{\ displaystyle yy '' '+ 3y'y' '+ 12x ^ {2} = 0}

Pokud , pak je a které dohromady sečtou . Naštěstí se to objevuje v naší rovnici. Pro poslední podmínku přesnosti ${\ displaystyle J \ left (x, y \ right) = y}$ ${\ displaystyle y '' \ vlevo (2 {dJ \ nad dx} + {\ částečné J \ nad \ částečné x} \ vpravo)}$ ${\ displaystyle 2r'y ''}$ ${\ displaystyle y '\ left ({d ^ {2} J \ over dx ^ {2}} + {d \ over dx} \ left ({\ partial J \ over \ partial x} \ right) \ right) = y'y ''}$ ${\ displaystyle 3r'y ''}$

{\ displaystyle F \ left (x, y, {dy \ over dx} \ right) - {d ^ {2} \ over dx ^ {2}} \ left (I \ left (x, y \ right) -h \ left (x \ right) \ right) + {d ^ {2} y \ over dx ^ {2}} {\ částečné J \ over \ částečné x} + {dy \ over dx} {d \ over dx} \ vlevo ({\ částečné J \ nad \ částečné x} \ pravé) = 12x ^ {2} -0 + 0 + 0 = 12x ^ {2}}

což je skutečně pouze funkce . Diferenciální rovnice je tedy přesná. Integrace dvakrát to přináší . Přepsání rovnice na výnosy přesné diferenciální rovnice prvního řádu ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle h \ left (x \ right) = x ^ {4} + C_ {1} x + C_ {2} = I \ left (x, y \ right)}$

{\ displaystyle x ^ {4} + C_ {1} x + C_ {2} + yy '= 0}

Integrace s ohledem na to dává . Diferenciace s ohledem na a rovnání toho s termínem před v rovnici prvního řádu dává to a to . Plné implicitní řešení se stává ${\ displaystyle I \ left (x, y \ right)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle {x ^ {5} \ přes 5} + C_ {1} x ^ {2} + C_ {2} x + i \ doleva (y \ doprava) = 0}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle '$ ${\ displaystyle i '\ left (y \ right) = y}$ ${\ displaystyle i \ left (y \ right) = {y ^ {2} \ přes 2} + C_ {3}}$