Expander graf - Expander graph

V kombinatorika , An expandér graf je řídký graf , který má silné připojení vlastnosti, kvantifikována použitím vrchol , hrany nebo spektrální expanzi. Konstrukce expandérů přinesly výzkum čisté a aplikované matematiky s několika aplikacemi pro teorii složitosti , design robustních počítačových sítí a teorii kódů opravujících chyby .

Definice

Rozšiřovací graf je intuitivně konečný, neorientovaný multigraf, ve kterém každá podmnožina vrcholů, která není „příliš velká“, má „velkou“ hranici . Různé formalisations těchto pojmů vést k různým pojmům expandéru: okrajových expandéry , vertex expandéry , a spektrální expandérů , jak je definováno níže.

Odpojený graf není expandér, protože hranice připojené komponenty je prázdná. Každý připojený graf je expandér; různé připojené grafy však mají různé parametry rozšíření. Úplný graf má nejlepší expanzní vlastnosti, ale má největší možný stupeň. Neformálně je graf dobrým expandérem, pokud má nízké stupně a vysoké parametry expanze.

Rozšíření okraje

Rozšíření hrany (také izoperimetrické číslo nebo Cheegerova konstanta ) h ( G ) grafu G na n vrcholech je definováno jako

${\ displaystyle h (G) = \ min _ {0 <| S | \ leq {\ frac {n} {2}}} {\ frac {| \ částečné S |} {| S |}},}$

kde ${\ displaystyle \ částečné S: = \ {\ {u, v \} \ v E (G) \: \ u \ v S, v \ v V (G) \ setminus S \}.}$

V rovnici, minimum je přes všechny neprázdné soupravy S nejvýše n / 2 vrcholy a ∂ S je okraj hranice z S , tedy množina hran s přesně jedním koncovým bodem v S .

Vrcholová expanze

Isoperimetric číslo vrchol (i expanze vrchol nebo zvětšení ) grafu G je definován jako ${\ displaystyle h _ {\ text {out}} (G)}$

${\ displaystyle h _ {\ text {out}} (G) = \ min _ {0 <| S | \ leq {\ frac {n} {2}}} {\ frac {| \ částečný _ {\ text {ven }} (S) |} {| S |}},}$

kde je vnější hranice z S , tj sady vrcholů s alespoň jedním souseda v S . V jedné variantě této definice (tzv unikátní expanzní soused ) je nahrazen sadou vrcholů V s přesně jedním sousedem v S . ${\ displaystyle \ částečné _ {\ text {out}} (S)}$${\ displaystyle V (G) \ setminus S}$${\ displaystyle \ částečné _ {\ text {out}} (S)}$

Vrchol Isoperimetric počet grafu G je definován jako ${\ displaystyle h _ {\ text {in}} (G)}$

${\ displaystyle h _ {\ text {in}} (G) = \ min _ {0 <| S | \ leq {\ frac {n} {2}}} {\ frac {| \ částečný _ {\ text {v }} (S) |} {| S |}},}$

kde je vnitřní hranice z S , tj sadě vrcholy S s alespoň jedním souseda v . ${\ displaystyle \ částečné _ {\ text {in}} (S)}$${\ displaystyle V (G) \ setminus S}$

Spektrální expanze

Když G je d -regular , je lineární algebraické definice rozšíření je možné na základě čísel z matice přilehlosti = A ( G ) z G , kde je počet hran mezi vrcholy i a j . Protože A je symetrický , ze spektrální věty vyplývá, že A má n reálných vlastních čísel . Je známo, že všechny tyto vlastní hodnoty jsou v [- d , d ]. ${\ displaystyle A_ {ij}}$${\ displaystyle \ lambda _ {1} \ geq \ lambda _ {2} \ geq \ cdots \ geq \ lambda _ {n}}$

Vzhledem k tomu, G je pravidelné, rovnoměrné rozdělení se pro všechna i = 1, ..., n je stacionární distribuce z G . To znamená, že máme Au = du , a u je vlastní vektor A s vlastní číslo λ ₁ = d , kde d je stupeň z vrcholů G . Spektrální mezera o G je definován jako d  - λ ₂ , a měří spektrální expanzi grafu G . ${\ displaystyle u \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle u_ {i} = 1 / n}$

Je známo, že λ _n = - d právě tehdy, když G je bipartitní. V mnoha kontextech, například v lemmatu míchání expandérů , není vazba na λ ₂ dostačující, ale ve skutečnosti je nutné svázat absolutní hodnotu všech vlastních čísel od d :

${\ displaystyle \ lambda = \ max \ {| \ lambda _ {2} |, | \ lambda _ {n} | \}.}$

Jelikož se jedná o největší vlastní číslo odpovídající vlastnímu vektoru kolmému na u , lze jej ekvivalentně definovat pomocí Rayleighova kvocientu :

${\ displaystyle \ lambda = \ max _ {v \ perp u, v \ neq 0} {\ frac {\ | Av \ | _ {2}} {\ | v \ | _ {2}}},}$

kde

${\ displaystyle \ | v \ | _ {2} = \ vlevo (\ součet _ {i = 1} ^ {n} v_ {i} ^ {2} \ vpravo) ^ {1/2}}$

je 2-norma vektoru . ${\ displaystyle v \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

Normalizované verze těchto definic jsou také široce používány a jsou pohodlnější při uvádění některých výsledků. Zde se vezme v úvahu matrici , která je Markov přechodu matice grafu G . Jeho vlastní čísla jsou mezi −1 a 1. Pro ne nutně pravidelné grafy lze spektrum grafu definovat podobně pomocí vlastních čísel laplaciánské matice . U orientovaných grafů, vezmeme v úvahu singulárních hodnot na přilehlosti matice A , které jsou shodné s kořeny eigenvalues symetrické matice ^T A . ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {d}} A}$

Vztahy mezi různými vlastnostmi expanze

Parametry rozšíření definované výše spolu souvisejí. Zejména pro každý d -pravidelný graf G ,

${\ displaystyle h _ {\ text {out}} (G) \ leq h (G) \ leq d \ cdot h _ {\ text {out}} (G).}$

V důsledku toho jsou pro grafy s konstantním stupněm kvalitativně stejné rozšíření vrcholů a hran.

Cheegerovy nerovnosti

Když G je d -regular, existuje vztah mezi isoperimetric konstantní h ( G ), a mezera d - λ ₂ ve spektru provozovatele přilehlosti z G . Podle standardní teorie spektrálních grafů je triviální vlastní hodnota operátoru sousedství d-pravidelného grafu λ ₁ = d a první netriviální vlastní hodnota je λ ₂ . Pokud je připojeno G , pak λ ₂ < d . Nerovnost v důsledku Dodziuk a nezávisle Alon a Milmanova se uvádí, že

${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (d- \ lambda _ {2}) \ leq h (G) \ leq {\ sqrt {2d (d- \ lambda _ {2})}}}}$

Tato nerovnost úzce souvisí s Cheegerovou vazbou na Markovovy řetězce a lze ji považovat za diskrétní verzi Cheegerovy nerovnosti v Riemannově geometrii .

Byly také studovány podobné souvislosti mezi izoperimetrickými čísly vrcholů a spektrální mezerou:

${\ displaystyle h _ {\ text {out}} (G) \ leq \ vlevo ({\ sqrt {4 (d- \ lambda _ {2})}} + 1 \ vpravo) ^ {2} -1}$

${\ displaystyle h _ {\ text {in}} (G) \ leq {\ sqrt {8 (d- \ lambda _ {2})}}}}$

Asymptoticky řečeno, veličiny , a jsou všechny ohraničeny spektrální mezerou . ${\ displaystyle {\ frac {h ^ {2}} {d}}}$${\ displaystyle h _ {\ text {out}}}$${\ displaystyle h _ {\ text {in}} ^ {2}}$${\ displaystyle O (d- \ lambda _ {2})}$

Stavby

Existují tři obecné strategie pro konstrukci rodin expandovacích grafů. První strategie je algebraická a skupinově teoretická, druhá strategie je analytická a využívá aditivní kombinatoriku a třetí strategie je kombinatorická a využívá cik-cak a související grafové produkty. Noga Alon ukázal, že některé grafy vytvořené z konečných geometrií jsou nejspolehlivějšími příklady vysoce se rozšiřujících grafů.

Margulis – Gabber – Galil

Algebraické konstrukce založené na Cayleyových grafech jsou známé pro různé varianty expandovacích grafů. Následující konstrukce je způsobena Margulisem a byla analyzována Gabberem a Galilem. Pro každé přirozené číslo n se uvažuje graf G _n se sadou vrcholů , kde : Pro každý vrchol je jeho osm sousedních vrcholů ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {n} \ krát \ mathbb {Z} _ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {n} = \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle (x, y) \ v \ mathbb {Z} _ {n} \ krát \ mathbb {Z} _ {n}}$

${\ displaystyle (x \ pm 2y, y), (x \ pm (2y + 1), y), (x, y \ pm 2x), (x, y \ pm (2x + 1)).}$

Pak platí:

Teorém. Pro všechna n má graf G _n druhé největší vlastní číslo . ${\ displaystyle \ lambda (G) \ leq 5 {\ sqrt {2}}}$

Ramanujan grafy

U věta Alon a Boppana , všechna dostatečně velký d -regular grafy uspokojení , kde je druhý největší vlastní číslo v absolutní hodnotě. Ramanujan grafy jsou d -pravidelné grafy, pro které je tato hranice pevná a uspokojivá . Proto mají grafy Ramanujan asymptoticky nejmenší možnou hodnotu . To z nich dělá vynikající spektrální expandéry. ${\ displaystyle \ lambda _ {2} \ geq 2 {\ sqrt {d-1}} - o (1)}$${\ displaystyle \ lambda _ {2}}$${\ displaystyle \ lambda = \ max _ {| \ lambda _ {i} | <d} | \ lambda _ {i} | \ leq 2 {\ sqrt {d-1}}}$${\ displaystyle \ lambda _ {2}}$

Lubotzky , Phillips a Sarnak (1988), Margulis (1988) a Morgenstern (1994) ukazují, jak lze explicitně sestrojit grafy Ramanujan. Věta Friedmana (2003), náhodné d -pravidelné grafy na n vrcholech jsou téměř Ramanujan, to znamená, že splňují

${\ displaystyle \ lambda \ leq 2 {\ sqrt {d-1}} + \ varepsilon}$

pro každého s pravděpodobností, protože n má sklon k nekonečnu. ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle 1-o (1)}$

Aplikace a užitečné vlastnosti

Původní motivací pro expandéry je budování ekonomicky robustních sítí (telefon nebo počítač): expandér s omezenou valencí je přesně asymptotický robustní graf s počtem okrajů rostoucích lineárně s velikostí (počtem vrcholů) pro všechny podmnožiny.

Expanderové grafy nalezly rozsáhlé aplikace v počítačové vědě , při navrhování algoritmů , kódů pro opravu chyb , extraktorů , pseudonáhodných generátorů , třídících sítí ( Ajtai, Komlós & Szemerédi (1983) ) a robustních počítačových sítí . Byly také použity v důkazech mnoha důležitých výsledků v teorii výpočetní složitosti , jako je SL  =  L ( Reingold (2008) ) a věta PCP ( Dinur (2007) ). V kryptografii se rozšiřovací grafy používají ke konstrukci hashovacích funkcí .

Expandovací míchací lemma

Lema expandéru směšování uvádí, že pro jakékoli dvě podmnožiny vrcholů S , T ⊆ V je počet hran mezi S a T přibližně takový, jaký byste očekávali v náhodném d-pravidelném grafu. Čím menší je aproximace . V náhodném d -regular grafu, stejně jako v Erdős-Rényi náhodným graf s okrajem pravděpodobností d / n , očekáváme, že hrany mezi S a T . ${\ displaystyle \ lambda = \ max \ {| \ lambda _ {2} |, | \ lambda _ {n} | \}}$${\ displaystyle {\ tfrac {d} {n}} \ cdot | S | \ cdot | T |}$

Více formálně, ať E ( S , T ) označuje počet hran mezi S a T . Pokud tyto dvě množiny nejsou disjunktní, hrany v jejich průsečíku se počítají dvakrát, tj.

${\ displaystyle E (S, T) = 2 | E (G [S \ cap T]) | + E (S \ setminus T, T) + E (S, T \ setminus S).}$

Potom lemma mixovacího expandéru říká, že platí následující nerovnost:

${\ displaystyle \ left | E (S, T) - {\ frac {d \ cdot | S | \ cdot | T |} {n}} \ right | \ leq \ lambda {\ sqrt {| S | \ cdot | T |}}.}$

Expander chůze vzorkování

Černoffova mez se uvádí, že při odběru vzorků mnoho nezávislých vzorků z náhodné proměnné v rozsahu [-1, 1], s velkou pravděpodobností průměr našich vzorků je blízko k očekávání náhodné proměnné. Lema vzorkování procházení expandérů, podle Ajtai, Komlós & Szemerédi (1987) a Gillman (1998) , uvádí, že to platí i při vzorkování procházením na grafu expandéru. To je zvláště užitečné v teorii derandomizace , protože vzorkování podle roztahovacího pochodu používá mnohem méně náhodných bitů než nezávislé vzorkování.

Viz také

• Algebraická konektivita
• Cik-cak produkt
• Super silná aproximace
• Spektrální teorie grafů

Poznámky

Reference

externí odkazy

• Krátký úvod do sdělení Americké matematické společnosti
• Úvodní článek od Michaela Nielsena
• Poznámky k přednášce z kurzu o expandérech (Nati Linial a Avi Wigderson)
• Poznámky k přednášce z kurzu o expanderech (autor Prahladh Harsha)
• Definice a aplikace spektrální mezery