Model exponenciálního rozptylu - Exponential dispersion model

V pravděpodobnosti a statistice je třída modelů exponenciálního rozptylu (EDM) sada rozdělení pravděpodobnosti, která představuje zobecnění přirozené exponenciální rodiny . Modely exponenciálního rozptylu hrají důležitou roli ve statistické teorii , zejména v generalizovaných lineárních modelech, protože mají speciální strukturu, která umožňuje odvodit vhodné statistické inference .

Definice

Jednorozměrný případ

Existují dvě verze pro formulování modelu exponenciálního dispersonu.

Aditivní model exponenciální disperze

V jednorozměrné případě je reálná náhodná proměnná patřící k aditivní exponenciální disperze modelu s kanonickou parametr a parametr indexu , v případě jeho funkce hustoty pravděpodobnosti lze zapsat jako ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle X \ sim \ mathrm {ED} ^ {*} (\ theta, \ lambda)}$

${\ Displaystyle f_ {X} (x | \ theta, \ lambda) = h ^ {*} (\ lambda, x) \ exp \ left (\ theta x- \ lambda A (\ theta) \ right) \, \ !.}$

Model reprodukční exponenciální disperze

Distribuce transformované náhodné proměnné se nazývá reprodukční exponenciální modelu disperze , a je dána vztahem ${\ displaystyle Y = {\ frac {X} {\ lambda}}}$${\ displaystyle Y \ sim \ mathrm {ED} (\ mu, \ sigma ^ {2})}$

${\ displaystyle f_ {Y} (y | \ mu, \ sigma ^ {2}) = h (\ sigma ^ {2}, y) \ exp \ left ({\ frac {\ theta yA (\ theta)} { \ sigma ^ {2}}} \ vpravo) \, \ !,}$

s a , z čehož vyplývá . Terminologický model disperze vychází z interpretace jako parametru disperze . Pro pevné parametr je je přirozená exponenciální rodiny . ${\ displaystyle \ sigma ^ {2} = {\ frac {1} {\ lambda}}}$${\ displaystyle \ mu = A '(\ theta)}$${\ displaystyle \ theta = (A ') ^ {- 1} (\ mu)}$${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathrm {ED} (\ mu, \ sigma ^ {2})}$

Vícerozměrný případ

Ve vícerozměrném případě má n-rozměrná náhodná proměnná funkci hustoty pravděpodobnosti následující formy${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

${\ displaystyle f _ {\ mathbf {X}} (\ mathbf {x} | {\ boldsymbol {\ theta}}, \ lambda) = h (\ lambda, \ mathbf {x}) \ exp \ left (\ lambda ( {\ boldsymbol {\ theta}} ^ {\ top} \ mathbf {x} -A ({\ boldsymbol {\ theta}})) \ right) \, \ !,}$

kde parametr má stejný rozměr jako . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ theta}}}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

Vlastnosti

Funkce generující kumulant

Cumulant vytvářející funkce z je dána ${\ displaystyle Y \ sim \ mathrm {ED} (\ mu, \ sigma ^ {2})}$

${\ displaystyle K (t; \ mu, \ sigma ^ {2}) = \ log \ operatorname {E} [e ^ {tY}] = {\ frac {A (\ theta + \ sigma ^ {2} t) -A (\ theta)} {\ sigma ^ {2}}} \, \ !,}$

s ${\ displaystyle \ theta = (A ') ^ {- 1} (\ mu)}$

Průměr a rozptyl

Průměr a rozptyl jsou dány vztahem ${\ displaystyle Y \ sim \ mathrm {ED} (\ mu, \ sigma ^ {2})}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} [Y] = \ mu = A '(\ theta) \ ,, \ quad \ operatorname {Var} [Y] = \ sigma ^ {2} A' '(\ theta) = \ sigma ^ {2} V (\ mu) \, \ !,}$

s funkcí rozptylu jednotek . ${\ displaystyle V (\ mu) = A '((A') ^ {- 1} (\ mu))}$

Reprodukční

Pokud jsou iid s , tj. Stejný průměr a různé váhy , vážený průměr je opět s ${\ displaystyle Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}}$${\ displaystyle Y_ {i} \ sim \ mathrm {ED} \ doleva (\ mu, {\ frac {\ sigma ^ {2}} {w_ {i}}} \ doprava)}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle w_ {i}}$${\ displaystyle \ mathrm {ED}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {w_ {i} Y_ {i}} {w _ {\ bullet}}} \ sim \ mathrm {ED} \ left (\ mu, { \ frac {\ sigma ^ {2}} {w _ {\ bullet}}} \ right) \, \ !,}$

s . Proto se nazývají reprodukční . ${\ displaystyle w _ {\ bullet} = \ součet _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}$${\ displaystyle Y_ {i}}$

Odchylka jednotky

Funkce hustoty pravděpodobnosti an lze také vyjádřit pomocí jednotkové odchylky jako ${\ displaystyle \ mathrm {ED} (\ mu, \ sigma ^ {2})}$ ${\ displaystyle d (y, \ mu)}$

${\ displaystyle f_ {Y} (y | \ mu, \ sigma ^ {2}) = {\ tilde {h}} (\ sigma ^ {2}, y) \ exp \ left (- {\ frac {d ( y, \ mu)} {2 \ sigma ^ {2}}} \ vpravo) \, \ !,}$

kde jednotková odchylka má zvláštní formu nebo z hlediska funkce jednotkové odchylky jako . ${\ displaystyle d (y, \ mu) = yf (\ mu) + g (\ mu) + h (y)}$${\ displaystyle d (y, \ mu) = 2 \ int _ {\ mu} ^ {y} \! {\ frac {yt} {V (t)}} \, dt}$

Příklady

Mnoho velmi obvyklých rozdělení pravděpodobnosti patří do třídy EDM, mezi ně patří: Normální rozdělení , Binomické rozdělení , Poissonovo rozdělení , Negativní binomické rozdělení , Gama rozdělení , Inverzní Gaussovo rozdělení , Tweedieovo rozdělení .

Reference