Exponenciální integrál - Exponential integral

V matematice je exponenciální integrál Ei speciální funkcí na komplexní rovině . Je definován jako jeden konkrétní určitý integrál poměru mezi exponenciální funkcí a jejím argumentem .

Definice

Pro skutečné nenulové hodnoty  x je exponenciální integrál Ei ( x ) definován jako

${\ displaystyle \ operatorname {Ei} (x) =-\ int _ {-x}^{\ infty} {\ frac {e^{-t}} {t}} \, dt = \ int _ {-\ infty}^{x} {\ frac {e^{t}} {t}} \, dt.}$

Risch algoritmus ukazuje, že Ei není elementární funkce . Výše uvedenou definici lze použít pro kladné hodnoty  x , ale integrál je třeba chápat z hlediska Cauchyovy hlavní hodnoty kvůli singularitě integrandu na nule.

U komplexních hodnot argumentu se definice stává nejednoznačnou kvůli bodům větví na 0 a . Místo Ei se používá následující zápis, ${\ displaystyle \ infty}$

${\ Displaystyle E_ {1} (z) = \ int _ {z}^{\ infty} {\ frac {e^{-t}} {t}} \, dt, \ qquad | {\ rm {Arg} } (z) | <\ pi}$

Pro kladné hodnoty  x máme .${\ displaystyle -E_ {1} (x) = \ operatorname {Ei} (-x)}$

Obecně platí, že řez větve se bere na záporné reálné ose a E ₁ lze definovat analytickým pokračováním jinde v komplexní rovině.

Pro kladné hodnoty skutečné části lze toto zapsat ${\ Displaystyle z}$

${\ Displaystyle E_ {1} (z) = \ int _ {1}^{\ infty} {\ frac {e^{-tz}} {t}} \, dt = \ int _ {0}^{1 } {\ frac {e^{-z/u}} {u}} \, du, \ qquad \ Re (z) \ geq 0.}$

Chování E _{1 v} blízkosti řezu větve je možné vidět z následujícího vztahu:

${\ Displaystyle \ lim _ {\ delta \ to 0+} E_ {1} (-x \ pm i \ delta) =-\ operatorname {Ei} (x) \ mp i \ pi, \ qquad x> 0.}$

Vlastnosti

Několik vlastností exponenciálního integrálu níže v určitých případech umožňuje vyhnout se jeho explicitnímu vyhodnocení pomocí výše uvedené definice.

Konvergentní série

Pro skutečné nebo složité argumenty mimo zápornou skutečnou osu lze vyjádřit jako ${\ displaystyle E_ {1} (z)}$

${\ Displaystyle E_ {1} (z) =-\ gamma-\ ln z- \ sum _ {k = 1}^{\ infty} {\ frac {(-z)^{k}} {k \; k !}} \ qquad (\ left | \ operatorname {Arg} (z) \ right | <\ pi)}$

kde je konstanta Euler – Mascheroni . Součet konverguje pro celý komplex a my vezmeme obvyklou hodnotu komplexního logaritmu, který má řez větve podél záporné reálné osy. ${\ displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle z}$

Tento vzorec lze použít k výpočtu operací s pohyblivou řádovou čárkou pro reálné hodnoty od 0 do 2,5. Pro výsledek je nepřesné kvůli zrušení . ${\ displaystyle E_ {1} (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x> 2,5}$

Ramanujan našel rychlejší konvergující sérii :

${\ Displaystyle {\ rm {Ei}} (x) = \ gamma +\ ln x +\ exp {(x/2)} \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {(-1) ^{n-1} x^{n}} {n! \, 2^{n-1}}} \ sum _ {k = 0}^{\ lfloor (n-1)/2 \ rfloor} {\ frac {1} {2k+1}}}$

Tyto střídavé řady lze také použít k poskytnutí dobrých asymptotických hranic pro malá x, např .:

${\ Displaystyle 1-{\ frac {3x} {4}} \ leq {\ rm {Ei}} (x)-\ gamma-\ ln x \ leq 1-{\ frac {3x} {4}}+{ \ frac {11x^{2}} {36}}}$

pro . ${\ Displaystyle x \ geq 0}$

Asymptotická (divergentní) série

Pro argumenty s větším modulem je bohužel konvergence výše uvedené řady pomalá. Například pro x  = 10 je pro správnou odpověď na tři platné číslice pro vyžadováno více než 40 výrazů . Existuje však divergentní aproximace řady, kterou lze získat integrací po částech: ${\ displaystyle E_ {1} (z)}$${\ Displaystyle ze^{z} E_ {1} (z)}$

${\ Displaystyle E_ {1} (z) = {\ frac {\ exp (-z)} {z}} \ sum _ {n = 0}^{N-1} {\ frac {n!} {(- z)^{n}}}}$

který má chybu objednávky a je platný pro velké hodnoty . Relativní chyba výše uvedené aproximace je vynesena na obrázku vpravo pro různé hodnoty , počet členů ve zkráceném součtu ( červeně, růžově). ${\ displaystyle O (N! z^{-N})}$${\ displaystyle \ operatorname {Re} (z)}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N = 1}$${\ displaystyle N = 5}$

Exponenciální a logaritmické chování: bracketing

Ze dvou řad navržených v předchozích podsekcích vyplývá, že se chová jako negativní exponenciál pro velké hodnoty argumentu a jako logaritmus pro malé hodnoty. Pro kladné reálné hodnoty argumentu mohou být složené závorky elementárních funkcí následovně: ${\ displaystyle E_ {1}}$${\ displaystyle E_ {1}}$

${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} e^{-x} \, \ ln \! \ left (1+{\ frac {2} {x}} \ right) <E_ {1} (x ) <e^{-x} \, \ ln \! \ left (1+{\ frac {1} {x}} \ right) \ qquad x> 0}$

Levá strana této nerovnosti je v grafu znázorněna vlevo modře; střední část je zobrazena černě a pravá strana je zobrazena červeně. ${\ displaystyle E_ {1} (x)}$

Definice Ein

Oba a mohou být zapsány jednodušeji pomocí celé funkce definované jako ${\ displaystyle \ operatorname {Ei}}$${\ displaystyle E_ {1}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ein}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Ein} (z) = \ int _ {0}^{z} (1-e^{-t}) {\ frac {dt} {t}} = \ sum _ {k = 1 }^{\ infty} {\ frac {(-1)^{k+1} z^{k}} {k \; k!}}}$

(Všimněte si, že toto je jen střídající se řada ve výše uvedené definici ). Pak máme ${\ displaystyle \ mathrm {E} _ {1}}$

${\ Displaystyle E_ {1} (z) \, = \, -\ gamma -\ ln z+{\ rm {Ein}} (z) \ qquad \ left | \ operatorname {Arg} (z) \ right | <\ pí}$

${\ displaystyle \ operatorname {Ei} (x) \, = \, \ gamma +\ ln x- \ operatorname {Ein} (-x) \ qquad x> 0}$

Vztah s jinými funkcemi

Kummerova rovnice

${\ Displaystyle z {\ frac {d^{2} w} {dz^{2}}}+(bz) {\ frac {dw} {dz}}-aw = 0}$

je obvykle řešeno splývajícími hypergeometrickými funkcemi a Ale když a to je, ${\ Displaystyle M (a, b, z)}$${\ Displaystyle U (a, b, z).}$${\ displaystyle a = 0}$${\ displaystyle b = 1,}$

${\ Displaystyle z {\ frac {d^{2} w} {dz^{2}}}+(1-z) {\ frac {dw} {dz}} = 0}$

my máme

${\ Displaystyle M (0,1, z) = U (0,1, z) = 1}$

pro všechny z . Druhé řešení je pak dáno E ₁ ( - z ). Ve skutečnosti,

${\ Displaystyle E_ {1} (-z) =-\ gamma -i \ pi +{\ frac {\ částečný [U (a, 1, z) -M (a, 1, z)]} {\ částečný a }}, \ qquad 0 <{\ rm {Arg}} (z) <2 \ pi}$

s derivátem vyhodnoceným na Další souvislosti s konfluentními hypergeometrickými funkcemi je, že E ₁ je exponenciální doba funkce U (1,1, z ): ${\ displaystyle a = 0.}$

${\ Displaystyle E_ {1} (z) = e^{-z} U (1,1, z)}$

Exponenciální integrál podle vzorce úzce souvisí s logaritmickou integrální funkcí li ( x )

${\ displaystyle \ operatorname {li} (e^{x}) = \ operatorname {Ei} (x)}$

pro nenulové skutečné hodnoty . ${\ displaystyle x}$

Zobecnění

Exponenciální integrál lze také zobecnit na

${\ Displaystyle E_ {n} (x) = \ int _ {1}^{\ infty} {\ frac {e^{-xt}} {t^{n}}} \, dt,}$

což lze zapsat jako zvláštní případ neúplné funkce gama :

${\ Displaystyle E_ {n} (x) = x^{n-1} \ Gamma (1-n, x).}$

Zobecněnému tvaru se někdy říká funkce Misra , definovaná jako ${\ Displaystyle \ varphi _ {m} (x)}$

${\ Displaystyle \ varphi _ {m} (x) = E _ {-m} (x).}$

Mnoho vlastností této generalizované formy lze nalézt v digitální knihovně matematických funkcí NIST.

Včetně logaritmu definuje generalizovanou integro-exponenciální funkci

${\ Displaystyle E_ {s}^{j} (z) = {\ frac {1} {\ Gamma (j+1)}} \ int _ {1}^{\ infty} \ left (\ log t \ right )^{j} {\ frac {e^{-zt}} {t^{s}}} \, dt.}$

Neurčitý integrál:

${\ Displaystyle \ operatorname {Ei} (a \ cdot b) = \ iint e^{ab} \, da \, db}$

je podobný ve formě k obvyklému funkci generující pro , počet dělitele z : ${\ Displaystyle d (n)}$${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle \ sum \ limits _ {n = 1}^{\ infty} d (n) x^{n} = \ sum \ limits _ {a = 1}^{\ infty} \ sum \ limits _ {b = 1}^{\ infty} x^{ab}}$

Deriváty

Deriváty generalizovaných funkcí lze vypočítat pomocí vzorce ${\ displaystyle E_ {n}}$

${\ Displaystyle E_ {n} '(z) =-E_ {n-1} (z) \ qquad (n = 1,2,3, \ ldots)}$

Všimněte si, že tuto funkci lze snadno vyhodnotit (díky čemuž je tato rekurze užitečná), protože je spravedlivá . ${\ displaystyle E_ {0}}$${\ Displaystyle e^{-z}/z}$

Exponenciální integrál imaginárního argumentu

Pokud je imaginární, má nezápornou skutečnou část, takže můžeme použít vzorec ${\ Displaystyle z}$

${\ Displaystyle E_ {1} (z) = \ int _ {1}^{\ infty} {\ frac {e^{-tz}} {t}} \, dt}$

získat vztah s goniometrickými integrály a : ${\ displaystyle \ operatorname {Si}}$${\ displaystyle \ operatorname {Ci}}$

${\ Displaystyle E_ {1} (ix) = i \ left [-{\ tfrac {1} {2}} \ pi +\ operatorname {Si} (x) \ right]-\ operatorname {Ci} (x) \ qquad (x> 0)}$

Skutečné a imaginární části jsou vykresleny na obrázku vpravo s černými a červenými křivkami. ${\ displaystyle \ mathrm {E} _ {1} (ix)}$

Aproximace

Pro exponenciální integrální funkci došlo k řadě přiblížení. Tyto zahrnují:

• Sbližování Swamee a Ohija
  $${\ Displaystyle E_ {1} (x) = \ left (A^{-7,7}+B \ right)^{-0,13},}$$

  
  kde
  $${\ displaystyle {\ begin {aligned} A & = \ ln \ left [\ left ({\ frac {0,56146} {x}}+0,65 \ right) (1+x) \ right] \\ B & = x^{4 } e^{7,7x} (2+x)^{3,7} \ end {zarovnaný}}}$$

  
• Allenova a Hastingsova aproximace
  $${\ Displaystyle E_ {1} (x) = {\ begin {cases}-\ ln x+{\ textbf {a}}^{T} {\ textbf {x}} _ {5}, & x \ leq 1 \\ {\ frac {e^{-x}} {x}} {\ frac {{\ textbf {b}}^{T} {\ textbf {x}} _ {3}} {{\ textbf {c}} ^{T} {\ textbf {x}} _ {3}}}, & x \ geq 1 \ end {cases}}}$$

  
  kde
  $${\ Displaystyle {\ begin {aligned} {\ textbf {a}} & \ triangleq [-0,57722,0,99999, -0,24991,0,05519, -0,00976,0,00108]^{T} \\ {\ textbf {b}} & \ triangleq [0.26777,8.63476,18.05902,8.57333]^{T} \\ {\ textbf {c}} & \ triangleq [3.95850,21.09965,25.63296,9.57332]^{T} \\ {\ textbf {x}} _ { k} & \ triangleq [x^{0}, x^{1}, \ tečky, x^{k}]^{T} \ end {zarovnáno}}}$$

  
• Pokračující expanze frakcí
  $${\ Displaystyle E_ {1} (x) = {\ cfrac {e^{-x}} {x+{\ cfrac {1} {1+{\ cfrac {1} {x+{\ cfrac {2} {1+ {\ cfrac {2} {x+{\ cfrac {3} {\ ddots}}}}}}}}}}}}}.}$$

  
• Sbližování Barry et al.
  $${\ Displaystyle E_ {1} (x) = {\ frac {e^{-x}} {G+(1-G) e^{-{\ frac {x} {1-G}}}}} \ ln \ left [1+{\ frac {G} {x}}-{\ frac {1-G} {(h+bx)^{2}}} \ right],}$$

  
  kde:
  $${\ displaystyle {\ begin {aligned} h & = {\ frac {1} {1+x {\ sqrt {x}}}}+{\ frac {h _ {\ infty} q} {1+q}} \\ q & = {\ frac {20} {47}} x^{\ sqrt {\ frac {31} {26}}} \\ h _ {\ infty} & = {\ frac {(1-G) (G^{ 2} -6G+12)} {3G (2-G)^{2} b}} \\ b & = {\ sqrt {\ frac {2 (1-G)} {G (2-G)}}} \\ G & = e^{-\ gamma} \ end {aligned}}}$$

  
  s bytí Eulerova konstanta .${\ displaystyle \ gamma}$

Aplikace

• Časově závislý přenos tepla
• Nevyrovnané proudění podzemní vody v Theisově řešení (nazývá se funkce studny )
• Radiační přenos ve hvězdné a planetární atmosféře
• Rovnice radiální difuzivity pro přechodný nebo nestabilní tok s linkovými zdroji a propady
• Řešení neutronové transportní rovnice ve zjednodušených 1-D geometriích

Viz také

• Goodwin – Staton integrál
• Funkce Bickley – Naylor

Poznámky

Reference

• Abramowitz, Milton; Irene Stegun (1964). Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami . Abramowitz a Stegun . New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0., Kapitola 5 .
• Bender, Carl M .; Steven A. Orszag (1978). Pokročilé matematické metody pro vědce a inženýry . McGraw -Hill. ISBN 978-0-07-004452-4.
• Bleistein, Norman; Richard A. Handelsman (1986). Asymptotická rozšíření integrálů . Dover. ISBN 978-0-486-65082-1.
• Busbridge, Ida W. (1950). „O integro-exponenciální funkci a hodnocení některých integrálů, které ji zahrnují“. Kvart. J. Math. (Oxford) . 1 (1): 176–184. Bibcode : 1950QJMat ... 1..176B . doi : 10,1093/qmath/1.1.176 .
• Stankiewicz, A. (1968). „Tabulky integro-exponenciálních funkcí“. Acta Astronomica . 18 : 289. Bibcode : 1968AcA .... 18..289S .
• Sharma, RR; Zohuri, Bahman (1977). „Obecná metoda pro přesné vyhodnocení exponenciálních integrálů E ₁ (x), x> 0“. J. Comput. Fyz . 25 (2): 199–204. Bibcode : 1977JCoPh..25..199S . doi : 10,1016/0021-9991 (77) 90022-5 .
• Kölbig, KS (1983). „Na integrálním exp ( - μt ) t ^{ν − 1} log ^m t  dt “ . Matematika. Výpočet . 41 (163): 171–182. doi : 10,1090/S0025-5718-1983-0701632-1 .
• Milgram, MS (1985). „Zobecněná integro-exponenciální funkce“ . Matematika výpočtu . 44 (170): 443–458. doi : 10,1090/S0025-5718-1985-0777276-4 . JSTOR  2007964 . MR  0777276 .
• Misra, Rama Dhar; Narozen, M. (1940). „O stabilitě krystalových mřížek. II“. Matematický sborník Cambridgeské filozofické společnosti . 36 (2): 173. Bibcode : 1940PCPS ... 36..173M . doi : 10,1017/S030500410001714X .
• Chiccoli, C .; Lorenzutta, S .; Maino, G. (1988). „O hodnocení generalizovaných exponenciálních integrálů E _ν (x)“. J. Comput. Fyz . 78 (2): 278–287. Bibcode : 1988JCoPh..78..278C . doi : 10,1016/0021-9991 (88) 90050-2 .
• Chiccoli, C .; Lorenzutta, S .; Maino, G. (1990). „Nedávné výsledky pro generalizované exponenciální integrály“ . Počítačová matematika. Žádost . 19 (5): 21–29. doi : 10,1016/0898-1221 (90) 90098-5 .
• MacLeod, Allan J. (2002). „Efektivní výpočet některých generalizovaných exponenciálních integrálů“ . J. Comput. Appl. Math . 148 (2): 363–374. Bibcode : 2002JCoAm.138..363M . doi : 10.1016/S0377-0427 (02) 00556-3 .
• Stiskněte, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), „Část 6.3. Exponenciální integrály“ , Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3. vyd.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Temme, NM (2010), „Exponenciální, logaritmické, sinusové a kosinové integrály“ , v Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248

externí odkazy

• „Integrální exponenciální funkce“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Dokumentace NIST o generalizovaném exponenciálním integrálu
• Weisstein, Eric W. „Exponenciální integrál“ . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. „ En -funkce“ . MathWorld .
• „Exponenciální integrál Ei“ . Web funkcí Wolfram .
• Exponenciální, logaritmické, sinusové a kosinové integrály v DLMF .