Extrémní bod - Extreme point

Pro jiná použití, vidět extrémní bod (disambiguation) .
Konvexní sada ve světle modré barvě a její krajní body červené.

V matematiky , An krajní bod na konvexní množina S v reálném vektorovém prostoru je bod v S , které neleží v libovolné otevřené úsečky spojující dva body S . V lineárních programovacích problémů, extrémní bod je také nazýván vrchol nebo rohový bod S .

Definice

V celém rozsahu se předpokládá, že S je skutečný nebo komplexní vektorový prostor.

Pro libovolné x , x 1 , x 2 ∈ S řekněme, že x leží mezi x 1 a x 2, pokud x 1 ≠ x 2 a existuje 0 < t <1 takové, že x = tx 1 + (1 - t ) x 2 .

Jestliže K je podmnožina S a x ∈ K , pak X se nazývá extrémní bod z K , pokud neleží mezi dvěma odlišnými body K . To znamená, že v případě, že nemá ani neexistuje x 1 , x 2 ∈ K a 0 < t <1 takové, že x 1 ≠ x 2 a x = tx 1 + (1 - t ), x 2 . Množina všech extrémních bodů K je označena extrémem ( K ) .

Charakterizace

Střed ze dvou prvků x a y ve vektorovém prostoru je vektor 1/2( x + y ) .

Pro libovolné prvky x a y ve vektorovém prostoru se množině [ x , y ]: = { tx + (1 - t ) y  : 0 ≤ t ≤ 1 } říká uzavřený úsečka nebo uzavřený interval mezi x a y . Otevřené úsečka nebo otevřený interval mezi x a y je ( x , x ): = ∅ , když x = y , když je ( x , y ): = { tx + (1 - t ) y  : 0 < t <1 } když x ≠ y . Body x a y se nazývají koncové body tohoto intervalu. O intervalu se říká, že je nedegenerovaný nebo správný, pokud jsou jeho koncové body odlišné. Střed z intervalu je na střed jeho koncových bodů.

Všimněte si, že [ x , y ] je rovná konvexního obalu z { x , y }, takže pokud K je konvexní a x , y ∈ K , pak [ x , y ] ⊆ K .

Jestliže K je neprázdná podmnožina X a F je neprázdná podmnožina K , pak F se nazývá tvář z K -li vždy, když se bod p ∈ F leží mezi dvěma body K , pak tyto dva body nutně patřit F .

Věta  -  Nechť K je neprázdná konvexní podmnožina vektorového prostoru X a nechat p ∈ K . Pak jsou ekvivalentní následující:

  1. p je krajní bod K ;
  2. K ∖ { p } je konvexní;
  3. p není střed nedegenerovaného liniového segmentu obsaženého v K ;
  4. pro libovolné x , y ∈ K , pokud p ∈ [ x , y ], pak x = p nebo y = p ;
  5. je-li x ∈ X takové, že p + x i p - x patří do K , pak x = 0 ;
  6. { P } je tváří K .

Příklady

  • Pokud a < b jsou dvě reálná čísla, pak a a b jsou krajní body intervalu [ a , b ] . Otevřený interval ( a , b ) však nemá žádné extrémní body.
  • Injekční lineární mapa F  : X → Y posílá krajní body konvexní množiny C ⊆ X do krajních bodů konvexní množiny F ( C ) . To platí také pro injektivní afinní mapy.
  • Obvod konvexního mnohoúhelníku v rovině je plochou tohoto mnohoúhelníku.
  • Vrcholy libovolného konvexního polygonu v rovině ℝ 2 jsou krajními body tohoto polygonu.
  • Krajní body disku uzavřené jednotky v ℝ 2 jsou jednotkové kružnice .
  • Jakýkoli otevřený interval v ℝ nemá žádné extrémní body, zatímco jakýkoli nedegenerovaný uzavřený interval, který se nerovná ℝ , má extrémní body (tj. Koncový bod (uzavřené intervaly)). Obecněji řečeno, jakákoli otevřená podmnožina konečněrozměrného euklidovského prostoru ℝ n nemá žádné extrémní body.

Vlastnosti

Krajní body kompaktním konvexní tvoří Baire prostor (s topologií podprostoru), ale tato množina se může selhat být uzavřen v X .

Věty

Kerin – Milmanova věta

Kerin-Milmanova věta je pravděpodobně jeden z nejznámějších tvrzení o krajních bodů.

Kerin – Milmanova věta  -  Pokudje S konvexní a kompaktní v místně konvexním prostoru , pak S je uzavřený konvexní trup jeho krajních bodů: Zejména taková množina má krajní body.

Pro Banachovy prostory

Tyto věty jsou pro Banachovy prostory s vlastností Radon – Nikodym .

Věta Jorama Lindenstrausse uvádí, že v Banachově prostoru s vlastností Radon – Nikodym má neprázdná uzavřená a ohraničená množina extrémní bod. (V nekonečně-dimenzionálních prostorech je vlastnost kompaktnosti silnější než společné vlastnosti uzavření a ohraničení).

Věta  ( Gerald Edgar )  -  Nechť E je Banachův prostor s vlastností Radon-Nikodymova, ať C být oddělitelné, uzavřený, ohraničený, konvexní podmnožina E , a ať být bod v C . Dále je zde míra pravděpodobnosti p na základě všeobecně měřitelných množin v C, tak, že je těžiště o p , a množina extrémních bodů C se p -measure 1.

Edgarova věta implikuje Lindenstraussovu větu.

k -extrémní body

Obecněji řečeno, je bod na konvexní množina S je k -extreme , pokud se rozkládá v interiéru k rozměrný konvexní nastavit v S , ale ne k + 1 rozměrný konvexní množina v S . Extrémní bod je tedy také 0-extrémní bod. Jestliže S je mnohostěn, pak se k -extreme body jsou přesně vnitřní body k- rozměrný tváří S . Obecněji řečeno, pro jakoukoli konvexní množinu S jsou k- krajní body rozděleny do k -rozměrných otevřených ploch.

Konečněrozměrná Kerin-Milmanova věta, která je způsobena Minkowského, lze rychle dokázat pomocí konceptu k -extreme points. Pokud je S uzavřené, ohraničené a n -dimenzionální, a pokud p je bod v S , pak p je k -extrémní pro některé k < n . Věta tvrdí, že p je konvexní kombinace extrémních bodů. Pokud k = 0, pak je to triviálně pravda. Jinak p leží na úsečce v S, kterou lze maximálně prodloužit (protože S je uzavřená a ohraničená). Pokud jsou koncové body segmentu q a r , pak jejich extrémní pozice musí být menší než u p a teorém následuje indukcí.

Viz také

Citace

Bibliografie