Faradayův indukční zákon - Faraday's law of induction

Faradayův experiment ukazující indukci mezi cívkami drátu: Kapalná baterie (vpravo) poskytuje proud, který protéká malou cívkou ( A ) a vytváří magnetické pole. Když jsou cívky nehybné, není indukován žádný proud. Když se však malá cívka přesune dovnitř nebo ven z velké cívky ( B ), magnetický tok velkou cívkou se změní a vyvolá proud, který je detekován galvanometrem ( G ).

Faradayův indukční zákon (krátce Faradayův zákon ) je základní zákon elektromagnetismu, který předpovídá, jak bude magnetické pole interagovat s elektrickým obvodem za vzniku elektromotorické síly (EMF) - jev známý jako elektromagnetická indukce . Je to základní princip fungování transformátorů , induktorů a mnoha typů elektrických motorů , generátorů a solenoidů .

Maxwell-Faraday rovnice (uveden jako jeden z Maxwellových rovnic ) popisuje skutečnost, že prostorově měnící (a také možná časově proměnné, v závislosti na tom, jak se magnetické pole se mění v čase) elektrické pole vždy doprovází magnetické pole časově proměnné, zatímco Faradayův zákon uvádí, že existuje EMF (elektromotorická síla, definovaná jako elektromagnetická práce prováděná na jednotkovém náboji, když prošla jedním kolem vodivé smyčky) na vodivé smyčce, když se magnetický tok povrchem uzavřeným smyčkou mění v čase.

Byl objeven Faradayův zákon a jeden jeho aspekt (transformátor EMF) byl později formulován jako Maxwellova -Faradayova rovnice. Rovnici Faradayova zákona lze odvodit pomocí Maxwellovy – Faradayovy rovnice (popisující transformátor EMF) a Lorentzovou silou (popisující pohybový EMF). Integrální forma Maxwellovy -Faradayovy rovnice popisuje pouze transformátor EMF, zatímco Faradayova rovnice popisuje EMF transformátoru i pohybový EMF.

Dějiny

Schéma Faradayova železného prstenového aparátu. Měnící se magnetický tok levé cívky indukuje proud v pravé cívce.

Elektromagnetickou indukci objevil nezávisle Michael Faraday v roce 1831 a Joseph Henry v roce 1832. Faraday byl první, kdo zveřejnil výsledky svých experimentů. Ve Faradayově první experimentální demonstraci elektromagnetické indukce (29. srpna 1831) omotal dva dráty kolem protilehlých stran železného prstence ( torus ) (uspořádání podobné modernímu toroidnímu transformátoru ). Na základě svého posouzení nedávno objevených vlastností elektromagnetů očekával, že když proud začne proudit jedním vodičem, prstencem projde jakási vlna a na opačné straně způsobí určitý elektrický efekt. Zapojil jeden vodič do galvanometru a sledoval, jak druhý vodič připojuje k baterii. Skutečně viděl přechodový proud (kterému říkal „vlna elektřiny“), když připojil vodič k baterii, a jiný, když jej odpojil. Tato indukce byla způsobena změnou magnetického toku , ke které došlo, když byla baterie připojena a odpojena. Během dvou měsíců Faraday našel několik dalších projevů elektromagnetické indukce. Například viděl přechodové proudy, když rychle zasunul tyčový magnet dovnitř a ven z cívky drátů, a generoval stálý ( DC ) proud otáčením měděného disku poblíž tyčového magnetu posuvným elektrickým vodičem („Faradayův disk ").

Faradayův disk, první elektrický generátor , typ homopolárního generátoru .

Michael Faraday vysvětlil elektromagnetickou indukci pomocí konceptu, který nazýval siločarami . Tehdejší vědci však jeho teoretické myšlenky široce odmítali, hlavně proto, že nebyly formulovány matematicky. Výjimkou byl James Clerk Maxwell , který v letech 1861–62 použil Faradayovy myšlenky jako základ své kvantitativní elektromagnetické teorie. V Maxwellových dokumentech je časově proměnný aspekt elektromagnetické indukce vyjádřen jako diferenciální rovnice, kterou Oliver Heaviside označoval jako Faradayův zákon, přestože se liší od původní verze Faradayova zákona a nepopisuje pohybové EMF . Heavisideova verze (viz Maxwellova – Faradayova rovnice níže ) je forma dnes uznávaná ve skupině rovnic známých jako Maxwellovy rovnice .

Lenzův zákon , formulovaný Emilem Lenzem v roce 1834, popisuje „tok obvodem“ a udává směr indukovaného EMF a proudu vyplývajícího z elektromagnetické indukce (rozpracováno v níže uvedených příkladech).

Faradayův zákon

Solenoidem vlevo protéká střídavý elektrický proud, který vytváří měnící se magnetické pole. Toto pole způsobuje, že elektromagnetickou indukcí protéká v drátové smyčce vpravo elektrický proud.

Nejrozšířenější verze Faradayova zákona uvádí:

Elektromotorická síla kolem uzavřené dráhy se rovná negativu časové rychlosti změny magnetického toku uzavřeného dráhou.

Matematické prohlášení

Definice povrchového integrálu závisí na rozdělení povrchu Σ na malé povrchové prvky. Každý prvek je spojen s vektorem d A velikosti rovnající se ploše prvku a se směrem normálním k prvku a směřujícím „ven“ (s ohledem na orientaci povrchu).

Pro smyčku drátu v magnetickém poli je magnetický tok Φ B definován pro jakýkoli povrch Σ, jehož hranicí je daná smyčka. Protože se drátěná smyčka může pohybovat, zapíšeme pro povrch Σ ( t ) . Magnetický tok je povrchový integrál :

kde d je element povrchu pohybujícího se povrchu å ( t ) , B je magnetické pole, a B · d je vektorový skalární součin představuje prvek tok d A . Z vizuálního hlediska je magnetický tok drátovou smyčkou úměrný počtu čar magnetického pole, které smyčkou procházejí.

Když se tok změní - protože se změní B nebo se drátová smyčka pohne nebo zdeformuje nebo obojí - Faradayův indukční zákon říká, že drátová smyčka získává EMF , definovaný jako energie dostupná z jednotkového náboje, který jednou cestoval kolem drátěná smyčka. (Některé zdroje uvádějí definici odlišně. Tento výraz byl zvolen pro kompatibilitu s rovnicemi speciální relativity.) Ekvivalentně je to napětí, které by bylo měřeno přestřižením vodiče pro vytvoření otevřeného obvodu a připojením voltmetru k vodičům.

Faradayův zákon uvádí, že EMF je také dán rychlostí změny magnetického toku:

kde je elektromotorická síla (EMF) a Φ B je magnetický tok .

Směr elektromotorické síly je dán Lenzovým zákonem .

Zákony indukce elektrických proudů v matematické formě zavedl Franz Ernst Neumann v roce 1845.

Faradayův zákon obsahuje informace o vztazích mezi oběma veličinami a směry jeho proměnných. Vztahy mezi směry však nejsou explicitní; jsou skryty v matematickém vzorci.

Pravidlo levé ruky pro Faradayův zákon. Znaménko ΔΦ B , změna toku, se nachází na základě vztahu mezi magnetickým polem B , oblastí smyčky A a normálem n k této oblasti, jak je znázorněno prsty levé ruky. Pokud je ΔΦ B kladný, je směr EMF stejný jako u zakřivených prstů (žluté šipky). Pokud je ΔΦ B záporný, je směr EMF proti šipkám.

Přímo z Faradayova zákona je možné zjistit směr elektromotorické síly (EMF), aniž bychom vzývali Lenzův zákon. K tomu pomáhá pravidlo levé ruky, a to následovně:

  • Zarovnejte zakřivené prsty levé ruky se smyčkou (žlutá čára).
  • Natáhněte palec. Natažený palec ukazuje směr n (hnědý), normální k oblasti ohraničené smyčkou.
  • Najděte znaménko ΔΦ B , změnu toku. Určete počáteční a konečný tok (jehož rozdíl je ΔΦ B ) vzhledem k normálu n , jak ukazuje natažený palec.
  • Pokud je změna toku ΔΦ B kladná, zakřivené prsty ukazují směr elektromotorické síly (žluté šipky).
  • Pokud je ΔΦ B záporný, je směr elektromotorické síly opačný ke směru zakřivených prstů (opačný ke žlutým hrotům šípů).

Pro pevně vinutou cívku drátu , složenou z N identických závitů, z nichž každá má stejné Φ B , Faradayův indukční zákon uvádí, že

kde N je počet závitů drátu a Φ B je magnetický tok procházející jedinou smyčkou.

Maxwellova – Faradayova rovnice

Ilustrace Kelvin – Stokesovy věty s povrchem Σ , jeho hranicí Σ a orientací n nastavenou pravidlem pravé ruky .

Maxwellova – Faradayova rovnice uvádí, že časově proměnné magnetické pole vždy doprovází prostorově se měnící (také možná časově proměnlivé), nekonzervativní elektrické pole a naopak. Maxwellova – Faradayova rovnice je

(v jednotkách SI ) kde ∇ × je operátor zvlnění a opět E ( r , t ) je elektrické pole a B ( r , t ) je magnetické pole . Tato pole mohou být obecně funkcí polohy r a času t .

Maxwellova – Faradayova rovnice je jednou ze čtyř Maxwellových rovnic , a proto hraje zásadní roli v teorii klasického elektromagnetismu . To může také být psán v integrálním tvaru u Kelvin-Stokesova věta , což vede k reprodukci Faradayova zákona:

kde, jak je znázorněno na obrázku, Σ je povrch ohraničený uzavřeným obrysem Σ , d l je nekonečně malý vektorový prvek obrysu ∂Σ a d A je nekonečně malý vektorový prvek povrchu Σ . Jeho směr je k této povrchové ploše ortogonální , velikost je oblast nekonečně malé plochy.

Oba d l a d A mají znaménkovou nejednoznačnost; k získání správného znaménka se používá pravidlo pravé ruky , jak je vysvětleno v článku Kelvinova – Stokesova věta . Pro rovinnou plochu Σ je prvek kladné dráhy d l křivky Σ definován pravidlem pravé ruky jako ten, který ukazuje prsty pravé ruky, když palec ukazuje ve směru normály n na povrch Σ .

Řádek integrál kolem å se nazývá oběh . Nenulová cirkulace E se liší od chování elektrického pole generovaného statickými náboji. E -pole generované nábojem lze vyjádřit jako gradient skalárního pole, které je řešením Poissonovy rovnice a má integrál nulové cesty. Viz gradientová věta .

Integrální rovnice platí pro jakoukoli cestu Σ prostorem a pro jakýkoli povrch Σ, pro které je tato cesta hranicí.

Pokud se povrch Σ v čase nemění, lze rovnici přepsat:

Plošný integrál na pravé straně je explicitní výraz pro magnetický tok Φ B přes å .

Elektrické vektorové pole indukované měnícím se magnetickým tokem, solenoidovou složkou celkového elektrického pole, lze aproximovat v nerelativistickém limitu pomocí objemové integrální rovnice

Důkaz

Čtyři Maxwellovy rovnice (včetně Maxwellovy -Faradayovy rovnice) spolu s Lorentzovým silovým zákonem jsou dostatečným základem pro odvození všeho v klasickém elektromagnetismu . Proto je možné „dokázat“ Faradayův zákon počínaje těmito rovnicemi.

Počátečním bodem je časová derivace toku přes libovolnou plochu Σ (kterou lze posouvat nebo deformovat) v prostoru:

(podle definice). Tuto celkovou časovou derivaci lze vyhodnotit a zjednodušit pomocí Maxwellovy -Faradayovy rovnice a některých vektorových identit; podrobnosti jsou v poli níže:

Zvažte časovou derivaci magnetického toku uzavřenou hranicí (smyčkou), která se může pohybovat nebo být deformována. Oblast ohraničená smyčkou je označena jako Σ ( t ) ), potom lze derivaci času vyjádřit jako

Integrál se může v průběhu času měnit ze dvou důvodů: Integrand se může změnit nebo se může změnit integrační oblast. Ty se lineárně přidávají:

kde t 0 je jakýkoli daný pevný čas. Ukážeme, že první člen na pravé straně odpovídá transformátoru EMF, druhý pohybovému EMF (z magnetické Lorentzovy síly na nosičích náboje v důsledku pohybu nebo deformace vodivé smyčky v magnetickém poli). První výraz na pravé straně lze přepsat pomocí integrálního tvaru Maxwellovy-Faradayovy rovnice:

Dále analyzujeme druhý termín na pravé straně:

Oblast smetená vektorovým prvkem d l smyčky Σ v čase d t, když se pohybovala rychlostí v l .
Důkaz je o něco obtížnější než první termín; další podrobnosti a alternativní přístupy k důkazu lze nalézt v referencích. Když se smyčka pohybuje a/nebo deformuje, smete povrch (viz pravý obrázek). Když se malá část smyčky d l pohybuje rychlostí v l po krátkou dobu d t , smete oblast, jejíž vektor je d A sweep = v l d t × d l (všimněte si, že tento vektor směřuje ven z zobrazení na pravém obrázku). Z tohoto důvodu změna magnetického toku smyčkou v důsledku deformace nebo pohybem smyčky přes čas d t je

Zde se používají identity trojitých skalárních produktů . Proto,

kde v l je rychlost části smyčky Σ .

Spojením těchto výsledků do

Výsledek je:

kde ∂Σ je hranice (smyčka) povrchu Σ a v l je rychlost části hranice.

V případě vodivé smyčky je EMF (elektromotorická síla) elektromagnetická práce prováděná na jednotkovém náboji, když jednou prošla kolem smyčky, a tuto práci provádí Lorentzova síla . Proto je EMF vyjádřen jako

kde je EMF a v je jednotková rychlost nabíjení.

V makroskopickém pohledu se pro náboje na segmentu smyčky v skládá v průměru ze dvou složek; jedna je rychlost náboje podél segmentu v t a druhá je rychlost segmentu v l (smyčka je zdeformovaná nebo posunutá). v t nepřispívá k práci provedené na náboji, protože směr v t je stejný jako směr . Matematicky,

protože je kolmá k jak a jsou podél stejného směru. Nyní vidíme, že pro vodivou smyčku je EMF stejný jako časová derivace magnetického toku skrz smyčku kromě znaménka na ní. Proto nyní dosáhneme rovnice Faradayova zákona (pro vodivou smyčku) jako

kde . Při porušení tohoto integrálu je pro transformátor EMF (kvůli časově proměnlivému magnetickému poli) a je pro pohybový EMF (kvůli magnetické Lorentzově síle na nábojích pohybem nebo deformací smyčky v magnetickém poli).

EMF pro obvody bez tenkých vodičů

Je lákavé zobecnit Faradayův zákon na tvrzení : Pokud ∂Σ je libovolná libovolná uzavřená smyčka v prostoru, pak celková časová derivace magnetického toku skrz Σ se rovná EMF kolem ∂Σ . Toto tvrzení však není vždy pravdivé a důvod není jen ze zjevného důvodu, že EMF není definován v prázdném prostoru, když není přítomen žádný vodič. Jak bylo uvedeno v předchozí části, Faradayův zákon není zaručen, pokud rychlost abstraktní křivky ∂Σ neodpovídá skutečné rychlosti materiálu vedoucího elektřinu. Dva příklady znázorněné níže ukazují, že člověk často získá nesprávné výsledky, když je pohyb or oddělen od pohybu materiálu.

Takové příklady lze analyzovat tak, že se postaráme, aby se cesta ∂Σ pohybovala stejnou rychlostí jako materiál. Alternativně lze vždy správně vypočítat EMF kombinací Lorentzova silového zákona s Maxwellovou – Faradayovou rovnicí:

kde „je velmi důležité si všimnout, že (1) [ v m ] je rychlost vodiče ... nikoli rychlost elementu dráhy d l a (2) obecně, parciální derivace s ohledem na čas nemůže být přesunuta mimo integrál, protože oblast je funkcí času. "

Faradayův zákon a relativita

Dva jevy

Faradayův zákon je jediná rovnice popisující dva různé jevy: pohybový EMF generovaný magnetickou silou na pohybujícím se drátu (viz Lorentzova síla ) a EMF transformátoru generovaný elektrickou silou v důsledku měnícího se magnetického pole (popsáno Maxwellem) –Faradayova rovnice ).

James Clerk Maxwell na tuto skutečnost upozornil ve svém článku z roku 1861 O fyzických liniích síly . Ve druhé polovině části II tohoto článku Maxwell podává samostatné fyzikální vysvětlení pro každý z těchto dvou jevů.

Odkaz na tyto dva aspekty elektromagnetické indukce je uveden v některých moderních učebnicích. Jak uvádí Richard Feynman:

Takže „pravidlo toku“, že emf v obvodu se rovná rychlosti změny magnetického toku obvodem, platí, ať už se tok mění, protože se pole mění, nebo proto, že se obvod pohybuje (nebo obojí) ...

Přesto jsme v našem vysvětlení pravidla pro dva případy použili dva zcela odlišné zákony - v × B  pro „pohyby obvodu“ a ∇ × E = −∂ t B pro „změny pole“.

Neznáme žádné jiné místo ve fyzice, kde by tak jednoduchý a přesný obecný princip pro skutečné porozumění vyžadoval analýzu z hlediska dvou různých jevů .

-  Richard P. Feynman, Feynmanovy přednášky z fyziky

Vysvětlení založené na čtyřrozměrném formalismu

V obecném případě je vysvětlení pohybu EMF pohybem magnetické síly na náboje v pohybujícím se drátu nebo v obvodu měnícím jeho oblast neuspokojivé. Ve skutečnosti by náboje v drátu nebo v obvodu mohly zcela chybět, zmizí v tomto případě účinek elektromagnetické indukce? Tato situace je analyzována v článku, ve kterém při psaní integrálních rovnic elektromagnetického pole ve čtyřrozměrné kovariantní formě se ve Faradayově zákonu místo derivace částečného času objeví derivace celkového času magnetického toku obvodem . Elektromagnetická indukce se tedy objevuje buď při změně magnetického pole v čase, nebo při změně oblasti obvodu. Z fyzikálního hlediska je lepší mluvit ne o indukčním EMF, ale o síle indukovaného elektrického pole , ke které dochází v obvodu při změně magnetického toku. V tomto případě se příspěvek ke změně magnetického pole uskutečňuje prostřednictvím termínu , kde je vektorový potenciál. Pokud se oblast obvodu mění v případě konstantního magnetického pole, pak se některá část obvodu nevyhnutelně pohybuje a elektrické pole se objeví v této části obvodu v skládajícím se referenčním rámci K 'v důsledku Lorentzovy transformace magnetické pole , přítomné ve stacionárním referenčním rámci K, které prochází obvodem. Přítomnost pole v K 'je považována za důsledek indukčního účinku v pohybujícím se obvodu, bez ohledu na to, zda jsou náboje v obvodu přítomny nebo ne. Ve vodivém obvodu pole způsobuje pohyb nábojů. V referenčním rámci K to vypadá jako vzhled EMF indukce , jejíž gradient ve formě , odebraný podél obvodu, vypadá, že generuje pole .

Einsteinův pohled

Úvaha o této zjevné dichotomii byla jednou z hlavních cest, které vedly Alberta Einsteina k vývoji speciální relativity :

Je známo, že Maxwellova elektrodynamika - jak se obvykle v současné době chápe - když se aplikuje na pohybující se tělesa, vede k asymetriím, které se nezdají být součástí jevů. Vezměme si například vzájemné elektrodynamické působení magnetu a vodiče.

Pozorovatelný jev zde závisí pouze na relativním pohybu vodiče a magnetu, zatímco obvyklý pohled ostře rozlišuje mezi dvěma případy, ve kterých je jedno nebo druhé z těchto těles v pohybu. Pokud je magnet v pohybu a vodič je v klidu, vzniká v sousedství magnetu elektrické pole s určitou určitou energií, produkující proud v místech, kde jsou umístěny části vodiče.

Pokud je však magnet nehybný a vodič je v pohybu, v sousedství magnetu nevzniká žádné elektrické pole. Ve vodiči však nacházíme elektromotorickou sílu, ke které sama o sobě neexistuje odpovídající energie, ale která vede - za předpokladu rovnosti relativního pohybu ve dvou diskutovaných případech - k vzniku elektrických proudů stejné dráhy a intenzity, jaké mají v prvním případě elektrickými silami.

Příklady tohoto druhu spolu s neúspěšnými pokusy odhalit jakýkoli pohyb Země ve vztahu ke „světelnému médiu“ naznačují, že jevy elektrodynamiky a mechaniky nemají žádné vlastnosti odpovídající myšlence absolutního klidu.

Viz také

Reference

Další čtení

externí odkazy