Felix Hausdorff - Felix Hausdorff

Felix Hausdorff
narozený	( 1868-11-08 )8. listopadu 1868 Breslau , Pruské království (nyní Wrocław , Polsko )
Zemřel	26.ledna 1942 (1942-01-26)(ve věku 73) Bonn , Německo
Národnost	Němec
Alma mater	Univerzita v Lipsku
Známý jako
Manžel / manželka	Charlotte Hausdorff (1873-1942)
Vědecká kariéra
Pole	Matematika
Instituce	University of Bonn , University of Greifswald , University of Leipzig
Teze	Zur Theorie der astronomischen Strahlenbrechung  (1891)
Doktorský poradce

Felix Hausdorff (8. listopadu 1868 - 26. ledna 1942) byl německý matematik, který je považován za jednoho ze zakladatelů moderní topologie a významně přispěl k teorii množin , popisné teorii množin , teorii míry a funkční analýze .

Hausdorffovi a jeho rodině se stal život těžký po Křišťálové noci v roce 1938. Příští rok zahájil úsilí o emigraci do USA, ale nebyl schopen zařídit, aby získal stipendium na výzkum. Dne 26. ledna 1942 Felix Hausdorff, spolu se svou manželkou a švagrovou, zemřel sebevraždou tím, že se předávkoval veronálem , než aby vyhověl německým příkazům přestěhovat se do tábora Endenich, a tam trpí pravděpodobnými důsledky, o kterém si nedělal iluze.

Život

Dětství a mládí

Hausdorffův otec, židovský obchodník Louis Hausdorff (1843–1896), se na podzim roku 1870 přestěhoval se svou mladou rodinou do Lipska a postupem času pracoval v různých společnostech, včetně továrny na prádlo a bavlnu. Byl to vzdělaný muž a stal se Morenuem ve věku 14 let. Z jeho pera je několik pojednání, včetně dlouhé práce o aramejských překladech bible z pohledu talmudického zákona.

Hausdorffova matka Hedvika (1848–1902), která je v různých dokumentech také označována jako Johanna, pocházela z židovské rodiny Tietzů. Z další větve této rodiny pocházel Hermann Tietz , zakladatel prvního obchodního domu a později spolumajitel řetězce obchodních domů s názvem „Hermann Tietz“. V období nacistické diktatury bylo jméno „arizováno“ na Hertie .

Od roku 1878 do roku 1887 navštěvoval Felix Hausdorff školu Nicolai v Lipsku, zařízení, které mělo pověst ohniska humanistické výchovy. Byl vynikajícím studentem, vedoucím třídy po mnoho let a často při školních oslavách recitoval latinské nebo německé básně. Při promoci v roce 1887 (se dvěma Oberprimeny) byl jediným, kdo dosáhl nejvyššího stupně.

Volba předmětu nebyla pro Hausdorffa jednoduchá. Magda Dierkesmann, která byla často hostem v domě Hausdorffa jako studentka v Bonnu v letech 1926–1932, v roce 1967 uvedla, že:

Jeho všestranný hudební talent byl tak velký, že jen naléhání jeho otce ho přimělo vzdát se svého plánu studovat hudbu a stát se skladatelem.

Bylo rozhodnuto studovat vědy na střední škole.

Titul, doktorát a habilitace

Od letního semestru 1887 do letního semestru 1891 studoval Hausdorff matematiku a astronomii , hlavně ve svém rodném městě Lipsku, přerušen jedním semestrem ve Freiburgu (letní semestr 1888) a Berlíně (zimní semestr 1888/1889). Přežívající svědectví ostatních studentů jej ukazuje jako mimořádně všestranného mladého muže se zájmem, který kromě matematických a astronomických přednášek navštěvoval přednášky z fyziky , chemie a geografie a také přednášky z filozofie a dějin filozofie a také z otázek jazyk , literatura a sociální vědy . V Lipsku slyšel přednášky o historii hudby od muzikologa Paula. Jeho raná láska k hudbě trvala celý život; v Hausdorffově domě se podle svědeckých výpovědí různých účastníků konaly působivé hudební večery s majitelem u klavíru. Už jako student v Lipsku byl obdivovatelem a znalcem hudby Richarda Wagnera .

V pozdějších semestrech studií měl Hausdorff blízko k Heinrichovi Brunsovi (1848–1919). Bruns byl profesorem astronomie a ředitelem observatoře na univerzitě v Lipsku. Pod ním Hausdorff promoval v roce 1891 prací na teorii astronomického lomu světla v atmosféře. Následovaly dvě publikace na stejné téma a v roce 1895 následovala také jeho habilitace s tezí o absorbanci světla v atmosféře. Tato raná astronomická díla Hausdorffa - navzdory jejich vynikajícímu matematickému zpracování - nezískala na významu. Zaprvé, základní myšlenka Brunse se neprokázala jako životaschopná (existovaly potřeby refrakčních pozorování poblíž astronomického horizontu, které - jak mohl Julius Bauschinger ukázat o něco později - v zásadě nelze získat s požadovanou přesností). Na druhé straně pokrok v přímém měření atmosférických dat ( výstupy na meteorologické balóny ) od té doby znemožňuje pečlivou přesnost těchto dat z pozorování lomu. V době mezi doktorátem a habilitací Hausdorff dokončil celoroční vojenskou povinnost dobrovolníka a pracoval dva roky jako lidský počítač na hvězdárně v Lipsku.

Docent v Lipsku

Po habilitaci se Hausdorff stal lektorem na univerzitě v Lipsku a zahájil rozsáhlou výuku v různých matematických oblastech. Kromě výuky a výzkumu v matematice chodil se svými literárními a filozofickými sklony. Muž různých zájmů, vzdělaný, vysoce citlivý a promyšlený v myšlení, cítění a prožívání, navštěvoval ve svém období Lipska řadu slavných spisovatelů, umělců a vydavatelů jako Hermann Conradi , Richard Dehmel , Otto Erich Hartleben , Gustav Kirstein , Max Klinger , Max Reger a Frank Wedekind . V letech 1897 až 1904 je vrcholem jeho literární a filozofické tvořivosti. Během této doby vyšlo 18 z jeho 22 pseudonymních děl, včetně knihy poezie, divadelní hry, epistemologické knihy a svazku aforismů.

Hausdorff si vzal Charlotte Goldschmidtovou v roce 1899, dceru židovského lékaře Siegismunda Goldschmidta. Její nevlastní matkou byla slavná sufragistka a učitelka předškolního věku Henriette Goldschmidt. Hausdorffovo jediné dítě, dcera Lenore (Nora), se narodila v roce 1900; přežila éru nacionálního socialismu a užila si dlouhý život, zemřela v Bonnu v roce 1991.

První profesorství

V prosinci 1901 byl Hausdorff jmenován mimořádným docentem na univerzitě v Lipsku. Často opakované tvrzení, že Hausdorffovi zavolali z Göttingenu a odmítli jej, nelze ověřit a je pravděpodobně mylné. Při podání žádosti v Lipsku vedl Dean Kirchner velmi kladné hlasování svých kolegů, napsané Heinrichem Brunsem, stále doprovázené následujícími slovy:

Fakulta se však domnívá, že je povinna nahlásit královskému ministerstvu, že výše uvedenou přihlášku ve druhém listopadu letošního roku, kdy proběhlo setkání fakulty, všichni nepřijali, ale 22 hlasy pro 7. Menšina byla proti, protože Dr. Hausdorff je mozaikové víry.

Tento citát zdůrazňuje přítomný neskrývaný antisemitismus , který zvláště po Gründerkrachu v roce 1873 v celé Německé říši zaznamenal prudký vzestup . Lipsko bylo centrem antisemitského hnutí, zejména mezi studenty. To může být také důvod, proč se Hausdorff v Lipsku necítil dobře. Dalším důvodem byly možná stresy způsobené hierarchickým postojem lipských profesorů.

Po habilitaci napsal Hausdorff další práci o optice , o neeuklidovské geometrii a o hyperkomplexních číselných systémech a také dva články o teorii pravděpodobnosti . Jeho hlavní oblastí práce se však brzy stala teorie množin, zejména teorie uspořádaných množin . Původně to byl filozofický zájem, který ho kolem roku 1897 vedl ke studiu díla Georga Cantora . Již v letním semestru 1901 měl Hausdorff přednášku o teorii množin. Toto byla jedna z prvních přednášek o teorii množin vůbec; Přednášky Ernsta Zermela na Göttingen College během zimního semestru 1900/1901 byly o něco dříve. Ten rok vydal svůj první dokument o typech objednávek, ve kterém zkoumal zobecnění dobře uspořádaných objednávek nazývaných klasifikované typy objednávek , kde je lineární pořadí odstupňováno, pokud žádné dva jeho segmenty nesdílejí stejný typ objednávky . Zobecnil Cantor – Bernsteinovu větu , která říkala, že kolekce počitatelných typů řádů má mohutnost kontinua a ukázal, že kolekce všech odstupňovaných typů idempotentní mohutnosti m má mohutnost 2 ^m .

Pro letní semestr 1910 byl Hausdorff jmenován profesorem na univerzitě v Bonnu . V Bonnu zahájil přednášku o teorii množin, kterou v letním semestru 1912 zopakoval, podstatně přepracoval a rozšířil.

V létě 1912 začal také pracovat na svém magnum opusu, knize Základy teorie množin . Byla dokončena v Greifswaldu, kde byl Hausdorff jmenován na letní semestr řádným profesorem v roce 1913, a byl propuštěn v dubnu 1914.

University of Greifswald byl nejmenší z pruských univerzitách. Také matematický institut byl malý; v letním semestru 1916 a zimním semestru 1916/17 byl Hausdorff jediným matematikem v Greifswaldu. To s sebou přineslo, že byl téměř plně zaměstnán výukou základních kurzů. Když byl Hausdorff v roce 1921 jmenován do Bonnu, bylo to podstatné zlepšení jeho akademické situace. Zde mohl rozvíjet tematicky širokou výuku a vždy přednášet o nejnovějších výzkumech. V letním semestru 1923 měl zvláště pozoruhodnou přednášku o teorii pravděpodobnosti (NL Hausdorff: Capsule 21: Fasz 64), ve které založil tuto teorii v mírově teoretické axiomatické teorii, a k tomu došlo deset let před „ Kolmogorovovým „ Základním koncepty teorie pravděpodobnosti “(přetištěno v plném znění ve shromážděných pracích, svazek V). V Bonnu měl Hausdorff Eduardovu studii a později s Otto Toeplitzem vynikající matematiky i kolegy a přátele.

Pod nacistickou diktaturou a sebevraždou

The National socialistické státní doktrínou strany založena antisemitismus a převzetí moci. Hausdorffa se zpočátku netýkal „ zákon o obnově profesionální státní služby “, přijatý v roce 1933, protože byl německým úředníkem již před rokem 1914. Nebyl však zcela ušetřen, protože jedna z jeho přednášek byla přerušena Nacističtí studenti. Od 20. listopadu zastavil svůj zimní semestr Kalkulus III v zimním semestru 1934/1935. Během té doby proběhlo pracovní zasedání Národně socialistické německé studentské unie (NSDStB) na univerzitě v Bonnu, které si jako téma pro semestr zvolilo „rasu a etnicitu“. Předpokládá se, že tato událost souvisí se zrušením Hausdorffovy třídy, protože jinak nikdy během své dlouhé kariéry vysokoškolského učitele třídu nezastavil.

31. března 1935, poté, co se někteří pohybovali tam a zpět, byl Hausdorffovi konečně udělen emeritní status. Za 40 let úspěšné práce v německém vysokoškolském systému nebyla vyslovena žádná slova díků. Pracoval neúnavně a kromě rozšířeného vydání své práce o teorii množin publikoval sedm prací o topologii a deskriptivní teorii množin, všechny publikované v polských časopisech: jedna ve Studia Mathematica , druhá ve Fundamenta Mathematicae .

Jeho Nachlass ukazuje, že Hausdorff v těchto stále obtížnějších dobách stále matematicky pracoval a sledoval aktuální vývoj zájmu. V té době ho nezištně podporoval Erich Bessel-Hagen , věrný přítel rodiny Hausdorffů, který získával knihy a časopisy z knihovny ústavu, do kterého Hausdorff již nesměl vstoupit jako Žid.

O poníženích, kterým byl Hausdorff a jeho rodina vystaveni zejména po Křišťálové noci v roce 1938, je známo mnoho a z mnoha různých zdrojů, například z dopisů Bessela-Hagena.

Marně požádal Hausdorff v roce 1939 matematika Richarda Couranta o výzkumné stipendium, aby mohl emigrovat do USA.

V polovině roku 1941 začali být bonnští Židé deportováni do kláštera „K věčné adoraci“ v Endenichu , ze kterého byly jeptišky vyloučeny. K transportům do táborů smrti na východě došlo později. Poté, co Hausdorffovi, jeho manželce a sestře jeho manželky Edith Pappenheimové (která s nimi žila) bylo v lednu 1942 nařízeno přestěhovat se do tábora Endenich, zemřeli 26. ledna 1942 sebevraždou předávkováním veronálem . Místo jejich posledního odpočinku se nachází na hřbitově Poppelsdorfer v Bonnu. Mezi jejich umístěním do dočasných táborů a jeho sebevraždou předal vlastnoruční Nachlass egyptologovi a presbyterovi Hansi Bonnetovi , který jich zachránil co nejvíce, navzdory zničení jeho domu bombou.

Někteří jeho židovští spoluobčané si možná dělali iluze o táboře Endenich, ale ne o Hausdorffovi. E. Neuenschwander objevil na panství Bessel-Hagen dopis na rozloučenou, který Hausdorff napsal svému právníkovi Hansi Wollsteinovi, který byl také Žid. Zde je začátek a konec dopisu:

Vážený příteli Wollsteine!

Pokud obdržíte tyto řádky, my (tři) jsme problém vyřešili jiným způsobem - způsobem, jakým jste se nás neustále pokoušeli odradit. Pocit bezpečí, který jste nám předpověděli, jakmile překonáme potíže s pohybem, nám stále uniká; naopak Endenich ani nemusí být konec!

To, co se v posledních měsících stalo proti Židům, vyvolává oprávněný strach, že nás nenechají žít, abychom viděli snesitelnější situaci.

Poté, co Hausdorff poděkoval přátelům a s velkým klidem vyslovil svá poslední přání ohledně jeho pohřbu a jeho vůle, píše:

Je mi líto, že vám způsobujeme ještě větší úsilí mimo smrt, a jsem přesvědčen, že děláte to, co můžete (což asi není moc). Odpusť nám naši dezerci! Přejeme vám i všem našim přátelům zažít lepší časy.

Tvůj opravdu oddaný

Felix Hausdorff

Tato touha se bohužel nesplnila. Hausdorffův právník Wollstein byl zavražděn v Osvětimi .

Hausdorffovu knihovnu prodal jeho zeť a jediný dědic Arthur König. Ručně psaný Nachlass byl přijat rodinným přítelem, bonnským egyptologem Hansem Bonnetem, do skladu. Nyní je v univerzitní a státní knihovně v Bonnu. Nachlass je katalogizovány.

Práce a příjem

Hausdorff jako filozof a spisovatel (Paul Mongré)

Hausdorffův objem aforismů, publikovaný v roce 1897, byl jeho prvním dílem publikovaným pod pseudonymem Paul Mongré. Má název Sant 'Ilario. Myšlenky z krajiny Zarathustra . Podtitul Sant 'Ilaria „Myšlenky z krajiny Zarathustra“ hraje nejprve skutečnost, že Hausdorff dokončil svou knihu během zotavovacího pobytu na ligurském pobřeží u Janova a že v téže oblasti napsal Friedrich Nietzsche první dvě části knihy Tak mluvil Zarathustra; naráží také na jeho duchovní blízkost k Nietzsche. V článku o Santově Ilariovi v týdeníku Die Zukunft Hausdorff vyjádřil expresis verbis svůj dluh vůči Nietzsche.

Hausdorff se nepokoušel kopírovat nebo dokonce překonat Nietzscheho. „Po napodobenině Nietzscheho žádná stopa,“ říká současný přehled. Sleduje Nietzscheho ve snaze osvobodit individuální myšlení, dovolit si zpochybňovat zastaralé standardy. Hausdorff udržoval kritický odstup od pozdních prací Nietzscheho. Ve své eseji o knize Vůle k moci sestavené z poznámek zanechaných v Nietzscheho archivu říká:

V Nietzsche září fanatik. Jeho morálka chovu, postavená na našich současných biologických a fyziologických základech poznání: to by mohl být světový historický skandál, proti kterému inkviziční a čarodějnické procesy přecházejí v neškodné aberace.

Jeho kritický standard převzal od samotného Nietzscheho,

Od laskavého, skromného, ​​chápajícího Nietzscheho a od svobodného ducha chladné, dogmatické, nesystémové skeptické Nietzsche ...

V roce 1898 se objevil - také pod pseudonymem Paul Mongré - Hausdorffův epistemologický experiment Chaos v kosmickém výběru . Kritika metafyziky předložená v této knize měla svůj výchozí bod v Hausdorffově konfrontaci s Nietzscheho představou věčné recidivy. Nakonec se dostane ke zničení jakéhokoli druhu metafyziky. O světě samotném, z transcendentního jádra světa - jak Hausdorff vyjádřil - nic nevíme a nic nevíme. Musíme považovat „samotný svět“ za neurčený a neurčitelný, za pouhý chaos. Svět naší zkušenosti, náš vesmír je výsledkem výběru, výběru, který jsme vždy instinktivně prováděli podle našich možností porozumět a udělat více. Z toho chaosu by byly patrné i další rozkazy, další Kosmoi. V každém případě ze světa našeho vesmíru nemůžete uzavřít existenci transcendentního světa.

V roce 1904 se v časopise The New Rundschau objevila Hausdorffova hra, jednoaktová hra Doktor na jeho počest . Je to hrubá satira na souboj a na tradiční pojmy cti a vznešenosti pruského důstojnického sboru, které byly v rozvíjející se buržoazní společnosti stále více anachronické. Doktor na jeho počest byl Hausdorffovým největším literárním úspěchem. V letech 1914–1918 se konala řada představení ve více než třiceti městech. Hausdorff později napsal epilog ke hře, ale v té době nebyla provedena. Teprve v roce 2006 měl tento epilog premiéru na výročním zasedání Německé matematické společnosti v Bonnu.

Kromě výše uvedených prací Hausdorff napsal řadu esejů, které se objevily v některých předních literárních časopisech té doby, a také knihu básní Extáze (1900). Některé z jeho básní zhudebnil rakouský skladatel Joseph Marx .

Teorie uspořádaných sad

Hausdorffův vstup do důkladné studie uspořádaných sad byl částečně podnícen Cantorovým problémem kontinua: jaké místo zaujímá kardinální číslo v sérii . V dopise Hilbertovi ze dne 29. září 1904 hovoří o tomto problému, „sužuje ho to téměř jako monomanie“. V sadě viděl novou strategii útoku na problém. Cantor tušil , ale pouze ukázal . je „number“ možných i-orderings jednoho spočetné množiny  ; se nyní ukázal jako „počet“ všech možných objednávek takové částky. Bylo proto přirozené studovat systémy, které jsou zvláštnější než obecné řády, ale obecnější než řádné uspořádání. Právě to udělal Hausdorff ve svém prvním svazku z roku 1901 vydáním teoretických studií „odstupňovaných množin“. Z výsledků Kurta Gödla a Paula Cohena víme , že tato strategie řešení problému kontinua je stejně neúčinná jako Cantorova strategie, která byla zaměřena na zobecnění principu Cantor – Bendixson pro uzavřené množiny na obecné nepočitatelné množiny. ${\ Displaystyle \ aleph = 2^{\ aleph _ {0}}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle \ mathrm {card} (T (\ aleph _ {0})) = \ aleph}$${\ Displaystyle \ aleph = \ aleph _ {1}}$${\ Displaystyle \ aleph \ geq \ aleph _ {1}}$${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$${\ Displaystyle \ aleph}$

V roce 1904 Hausdorff publikoval rekurzi pojmenovanou po něm:

Pro každého neomezeného pořadového čísla máme${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ aleph _ {\ mu}^{\ aleph _ {\ alpha}} = \ aleph _ {\ mu} \; \ aleph _ {\ mu -1}^{\ aleph _ {\ alpha}}. }$

Tento vzorec byl, spolu s pozdějším pojmem kofinality zavedeným Hausdorffem, základem pro všechny další výsledky pro Aleph umocňování . Hausdorffovu vynikající znalost problémů tohoto typu sekvence posílilo také jeho úsilí odhalit chybu v přednášce Julia Königa na Mezinárodním kongresu matematiků v roce 1904 v Heidelbergu . Tam König tvrdil, že kontinuum nelze dobře uspořádat, takže jeho mohutnost není Aleph, a způsobila tak velký rozruch. Tvrzení, že chybu objasnil právě Hausdorff, má zvláštní váhu, protože v historické literatuře byl za více než 50 let událostí v Heidelbergu nakreslen falešný obraz.

V letech 1906–1909 vykonával Hausdorff zásadní práci na objednaných soupravách. Krátce se lze dotknout jen několika bodů. Zásadní význam pro celou teorii má koncept kofinality, který Hausdorff zavedl. Řadová řada se nazývá pravidelná, pokud je souběžná s jakýmkoli menším pořadovým číslem; jinak je to singulární. Hausdorffova otázka, zda existují pravidelná čísla s indexem mezní pořadové číslo, byla výchozím bodem pro teorii nepřístupných kardinálů. Hausdorff si již všiml, že taková čísla, pokud existují, musí mít „přemrštěnou velikost“.

Zásadní důležitost má následující Hausdorffova věta: pro každou neohraničenou uspořádanou hustou množinu existují dvě jednoznačně určená pravidelná počáteční čísla tak, aby byla souběžná s a shodná s (* Označuje obrácené pořadí). Tato věta poskytuje například techniku ​​pro charakterizaci prvků a mezer v uspořádaných sadách. Hausdorff tedy využil mezery a elementy, které představil. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ omega _ {\ xi}, \ omega _ {\ eta}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ omega _ {\ xi}}$${\ displaystyle \ omega _ {\ eta}^{*}}$

Pokud se jedná o předem určenou sadu znaků (prvky a mezery), vyvstává otázka, zda existují uspořádané sady, jejichž znaková sada je přesně . Člověk může snadno najít nezbytnou podmínku pro . Hausdorff dokázal ukázat, že tento stav je také dostačující. K tomu je zapotřebí bohatý zásobník uspořádaných sad; Hausdorff to vytvořil svou teorií obecných produktů a sil. V této nádrži se nacházejí takové zajímavé struktury jako Hausdorffovy normální typy, v souvislosti s nimiž Hausdorff nejprve formuloval generalizovanou hypotézu kontinua . Hausdorffovy sady tvořily výchozí bod pro studium důležité modelové teorie nasycené struktury . ${\ displaystyle W}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle \ eta _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ eta _ {\ alpha}}$

Hausdorffovy obecné produkty a síly kardinalit ho přivedly ke konceptu částečně uspořádané množiny. Na otázku, zda je nějaká uspořádaná podmnožina částečně uspořádané množiny obsažena v maximální uspořádané podmnožině, odpověděl Hausdorff kladně pomocí dobře uspořádané věty. Toto je Hausdorffův maximální princip . Vyplývá to nejen z dobře uspořádané věty (nebo z (ekvivalentní) tomuto axiomu volby), ale je to, jak se ukázalo, dokonce i axiom výběru ekvivalentní.

Již v roce 1908 Arthur Moritz Schoenflies ve druhé části své zprávy o teorii množin zjistil, že novější teorie uspořádaných množin (tj. Ta , která nastala po jejím Cantorově rozšíření) byla téměř výhradně důsledkem Hausdorffa.

„Magnum Opus“: „Principy teorie množin“

Podle dřívějších pojmů zahrnovala teorie množin nejen obecnou teorii množin a teorii množin bodů, ale také teorii rozměrů a měr. Hausdorffova práce byla první učebnicí, která systematicky as úplnými důkazy představila veškerou teorii množin v tomto širokém smyslu. Hausdorff si byl vědom toho, jak snadno se lidská mysl může mýlit, a zároveň hledal přísnost a pravdu. V předmluvě díla tedy navrhl:

Lidské privilegium chyby udělat co nejhospodárnější využití.

Tato kniha daleko přesahovala své mistrovské ztvárnění známých. Obsahoval také řadu důležitých původních příspěvků autora, které lze v následujícím pouze naznačit.

Prvních šest kapitol se zabývá základními pojmy obecné teorie množin. Na začátku Hausdorff uvádí podrobnou množinovou algebru s některými průkopnickými novými koncepty (rozdíly řetězců, nastavovacích prstenců a množin polí, - a -systémů). Tyto úvodní odstavce o množinách a jejich spojích obsahovaly například moderní množinovou teoretickou představu o funkcích. Dále následovala v kapitolách 3 až 5 klasická teorie světových čísel, typů řádů a pořadových čísel. V šesté kapitole „Vztahy mezi uspořádanými a uspořádanými množinami“ Hausdorff uvádí mimo jiné nejdůležitější výsledky vlastního výzkumu uspořádaných množin. ${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle \ sigma}$

V kapitolách o „bodových sadách“ - topologických kapitolách - Hausdorff poprvé vyvinul na základě známých sousedských axiomů systematickou teorii topologických prostorů, kde navíc přidal separační axiom později pojmenovaný po něm. Tato teorie vychází z komplexní syntézy dřívějších přístupů jiných matematiků a Hausdorffových vlastních úvah o problému vesmíru. Koncepty a věty klasické teorie množin bodů jsou-pokud je to možné-přeneseny do obecného případu, a stávají se tak součástí nově vytvořené obecné nebo množinově teoretické topologie. Hausdorff však nejen prováděl tuto „překladatelskou práci“, ale vyvinul také základní konstrukční metodu topologie jako nukleaci (vnitřní jádro, husté jádro v sobě) a tvorbu skořápky (uzavření) a pracuje na zásadním významu konceptu otevřeného množiny (jím nazývané „plocha“) a kompaktnosti zavedené Fréchetem. Rovněž založil a rozvinul teorii propojené množiny, zejména zavedením termínů „komponenta“ a „kvazikomponenta“. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

Prvním a nakonec druhým Hausdorffovým počítacím axiomem byly uvažované prostory postupně dále specializovány. Velká třída prostorů splňujících počitatelný první axiom jsou metrické prostory . V roce 1906 je představil Fréchet pod názvem „třídy (E)“. Pojem „metrický prostor“ pochází z Hausdorffu. V Principles rozvinul teorii metrických prostorů a systematicky ji obohacoval řadou nových konceptů: Hausdorffova metrika , úplná , celková ohraničenost , -konektivita, redukovatelné množiny. Fréchetovy práce bylo málo povšimnuto; pouze díky Hausdorffovým zásadám se metrické prostory staly společnou vlastností matematika. ${\ Displaystyle \ rho}$

Kapitola o ilustracích a závěrečná kapitola Zásad o teorii míry a integrace jsou obohaceny o obecnost materiálu a originalitu prezentace. Hausdorffova zmínka o důležitosti teorie opatření pro pravděpodobnost měla velký historický efekt, navzdory její lakonické stručnosti. Jeden najde v této kapitole první správný důkaz o silné zákona velkých čísel z Émile Borel . Nakonec dodatek obsahuje jeden nejokázalejší výsledek celé knihy, konkrétně Hausdorffovu větu, že nelze definovat svazek pro všechny ohraničené podmnožiny pro . Důkaz je založen na Hausdorffově paradoxním rozkladu koule, jehož produkce vyžaduje zvolený axiom. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ Displaystyle n \ geq 3}$

Během 20. století se stal standardem budování matematických teorií na axiomatické teorii množin. Vytvoření axiomaticky založených generalizovaných teorií, jako je obecná topologie, sloužilo mimo jiné k vyčlenění společného strukturálního jádra pro různé konkrétní případy nebo oblasti a poté k vytvoření abstraktní teorie, která obsahovala všechny tyto části jako speciální případy. To přineslo velký úspěch v podobě zjednodušení a harmonizace a nakonec to přineslo ekonomiku myšlení se sebou samým. Sám Hausdorff zdůraznil tento aspekt v Zásadách . V topologické kapitole jsou základní pojmy metodologicky průkopnické úsilí a ukázaly cestu pro rozvoj moderní matematiky.

Principy teorie množin se objevily v již napjaté době v předvečer první světové války. V srpnu 1914 válka, která také dramaticky ovlivnila vědecký život v Evropě. Za těchto okolností by Hausdorffova kniha v prvních pěti až šesti letech od jejího vydání mohla být sotva účinná. Po válce se nová generace mladých badatelů rozhodla rozšířit návrhy, které byly v této práci zahrnuty v tak hojném počtu, a bezpochyby byla středem pozornosti topologie. Časopis Fundamenta Mathematicae hrál zvláštní roli při přijímání Hausdorffových myšlenek, založených v Polsku v roce 1920. Byl to jeden z prvních matematických časopisů se zvláštním důrazem na teorii množin, topologii, teorii reálných funkcí, teorii míry a integrace, funkční analýzu , logika a základy matematiky. V tomto spektru byla zvláštní pozornost věnována obecné topologii. Hausdorffovy principy byly v Fundamenta Mathematicae přítomny od prvního dílu v pozoruhodné frekvenci. Z 558 děl (Hausdorffova vlastní tři díla nepočítána), která se objevila v prvních dvaceti svazcích v letech 1920 až 1933, 88 cituje Zásady . Je třeba dokonce vzít v úvahu, že jak se Hausdorffovy koncepce stále častěji staly běžnými, byly také použity v řadě děl, která je výslovně nezmínila.

Ruská topologická škola, kterou založili Paul Alexandroff a Paul Urysohn , byla silně založena na Hausdorffových zásadách . Ukazuje to přežívající korespondence v Hausdorffově Nachlassu s Urysohnem, a zejména Alexandroff a Urysohn's Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes , dílo velikosti knihy, ve kterém Urysohn rozvinul teorii dimenzí a principy jsou citovány nejméně 60krát.

Dlouho po druhé světové válce byla silná poptávka po Hausdorffově knize a v letech 1949, 1965 a 1978 byly v Chelsea tři dotisky.

Popisná teorie množin, teorie měření a analýza

V roce 1916 Alexandroff a Hausdorff nezávisle vyřešili problém kontinua pro Borelovy sady: Každá Borelova sada v kompletním oddělitelném metrickém prostoru je buď spočítatelná, nebo má mohutnost kontinua. Tento výsledek zobecňuje Cantor – Bendixsonovu větu, kterou takové prohlášení platí pro uzavřené sady . U lineárních sad William Henry Young prokázal výsledek v roce 1903, u sad Hausdorff získal odpovídající výsledek v roce 1914 v Principech . Věta o Alexandroffovi a Hausdorffovi byla silným impulsem pro další rozvoj popisné teorie množin. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle G _ {\ delta}}$${\ Displaystyle G _ {\ delta \ sigma \ delta}}$

Mezi Hausdorffovými publikacemi v jeho době v Greifswaldu je zvláště pozoruhodné dílo Dimenze a vnější míra z roku 1919. Zůstal velmi aktuální a v pozdějších letech byl pravděpodobně nejcitovanějším původním matematickým dílem z desetiletí od roku 1910 do roku 1920. V této práci byly představeny koncepty, které jsou nyní známé jako Hausdorffova míra a Hausdorffova dimenze .

Koncept Hausdorffovy dimenze je užitečný pro charakterizaci a srovnání „vysoce drsných veličin“. Pojmy dimenze a vnější míry zažily aplikace a další vývoj v mnoha oblastech, jako je teorie dynamických systémů, teorie geometrických měr, teorie podobných sad a fraktálů, teorie stochastických procesů, harmonická analýza, teorie potenciálu a teorie čísel.

Významná analytická práce Hausdorffa nastala podruhé v Bonnu. V součtových metodách a momentových sekvencích I v roce 1921 vyvinul celou třídu součtových metod pro divergentní řady, kterým se dnes říká Hausdorffovy metody . V Hardyho klasické Divergentní sérii je Hausdorffově metodě věnována celá kapitola. Klasické metody Holder a Cesaro ukázala být speciální metoda Hausdorff. Každá Hausdorffova metoda je dána momentovou sekvencí; v této souvislosti dal Hausdorff elegantní řešení momentové úlohy na konečný interval, přičemž obešel teorii pokračujících zlomků. V problémech moment pro konečného intervalu 1923 léčil více zvláštní okamžik problémy, jako jsou ty, které s určitými omezeními pro generování hustotu , např . Kritéria pro řešitelnost a určování momentových problémů zaměstnávala Hausdorffa po mnoho let, jak dokládají stovky stránek studií v jeho Nachlassu . ${\ displaystyle \ varphi (x)}$${\ Displaystyle \ varphi (x) \ in L^{p} [0,1]}$

Významným příspěvkem ke vznikající funkční analýze ve dvacátých letech bylo Hausdorffovo rozšíření Riesz-Fischerovy věty na mezery v jeho díle z roku 1923 Rozšíření Parsevalovy věty o Fourierově sérii . Dokázal nerovnosti nyní pojmenované po něm a WH Youngovi . Nerovnováhy Hausdorff – Young se staly výchozím bodem zásadního nového vývoje. ${\ displaystyle L^{p}}$

Hausdorffova kniha Teorie množin se objevila v roce 1927. Toto bylo prohlášeno za druhé vydání zásad , ale ve skutečnosti to byla úplně nová kniha. Vzhledem k tomu, že měřítko bylo díky svému vzhledu v Goschenově knihovně pro výuku výrazně omezeno, byly odstraněny velké části teorie uspořádaných množin a opatření a integrační teorie. „Více než tato vypuštění bude čtenář možná litovat“ (řekl Hausdorff v předmluvě), „že jsem, abych dále šetřil místo v teorii množin bodů, opustil topologický úhel pohledu, díky kterému si první vydání zjevně získalo mnoho přátel omezil jsem se na snazší teorii metrických prostorů “.

Ve skutečnosti to byla výslovná lítost některých recenzentů díla. Jako druh kompenzace Hausdorff poprvé ukázal tehdy aktuální stav popisné teorie množin. Tato skutečnost zajistila knize téměř stejně intenzivní přijetí jako Zásady , zejména v Fundamenta Mathematicae. Jako učebnice to bylo velmi populární. V roce 1935 vyšlo rozšířené vydání, které bylo znovu vytištěno v Doveru v roce 1944. Anglický překlad se objevil v roce 1957 s dotisky v letech 1962 a 1967.

Existovalo také ruské vydání (1937), i když to byl jen částečně věrný překlad a částečně přepracování Alexandroffem a Kolmogorovem . V tomto překladu se topologické hledisko opět přesunulo do popředí. V roce 1928 se z pera Hanse Hahna objevila recenze Teorie množin . Možná měl Hahn v mysli nebezpečí německého antisemitismu, když tuto diskusi uzavřel následující větou:

Příkladné zobrazení v každém ohledu obtížné a ožehavé oblasti, dílo srovnatelné s těmi, které si získaly slávu německé vědy o světě a na které mohou být hrdí všichni němečtí matematici.

Poslední práce

Hausdorff ve svém posledním díle Erweiterung einer stetigen Abbildung v roce 1938 ukázal, že spojitou funkci z uzavřené podmnožiny metrického prostoru lze rozšířit na všechny (i když obraz může být nutné rozšířit). Jako zvláštní případ lze každý homeomorfismus z rozšířit na homeomorfismus z . Tato práce přináší výsledky z předchozích let. V roce 1919 poskytl Hausdorff v Über halbstetige Funktionen und deren Verallgemeinerung mimo jiné další důkaz o Tietzeově větě o rozšíření . V roce 1930 v Erweiterung einer Homöomorphie (Rozšíření homeomorfismu) ukázal následující: Nechť je metrický prostor, uzavřená podmnožina. Pokud je zadána nová metrika bez změny topologie, lze ji rozšířit na celý prostor bez změny topologie. Práce Gestufte Räume se objevila v roce 1935. Hausdorff zde diskutoval o prostorech, které splňovaly Kuratowského uzavírací axiomy až po axiom idempotence. Pojmenoval je odstupňované prostory (často také nazývané uzavírací prostory) a použil je při studiu vztahů mezi Fréchetovými mezními prostory a topologickými prostory . ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F \ subseteq E}$${\ displaystyle F}$

Hausdorff jako dárce jmen

Jméno Hausdorff se nachází v celé matematice. Mimo jiné byly po něm pojmenovány tyto koncepty:

• Hausdorffův prostor
• Hausdorffova míra
• Hausdorffova dimenze
• Dokončení Hausdorff
• Hausdorffova konvergence
• Hausdorffova metrika
• Hausdorffův maximální princip
• Hausdorff - Mladá nerovnost
• Vzorec Baker – Campbell – Hausdorff
• Hausdorffův paradox

Na univerzitách v Bonnu a Greifswaldu byly na jeho počest pojmenovány tyto věci:

• Hausdorff Centrum pro matematiky v Bonnu,
• Hausdorff Výzkumný ústav pro matematiku v Bonnu, a
• Felix Hausdorff Internationale Begegnungszentrum v Greifswaldu.

Kromě toho je v Bonnu Hausdorffstraße (Hausdorff Street), kde poprvé žil. (Haus-Nr. 61). V Greifswaldu je Felix-Hausdorff – Straße, kde sídlí mimo jiné ústavy pro biochemii a fyziku. Od roku 2011 je ve středu Leipziger Ortsteil Gohlis „Hausdorffweg“ (Hausdorffova cesta) .

Po něm byl pojmenován asteroid 24947 Hausdorff .

Spisy

Jako Paul Mongré

Zde je uveden pouze výběr esejů, které se objevily v textu.

• Sant'Ilario. Gedanken aus der Landschaft Zarathustras. Verlag CG Naumann, Lipsko 1897.
• Das Chaos in kosmischer Auslese - Ein erkenntniskritischer Versuch. Verlag CG Naumann, Lipsko 1898; Přetištěno předmluvou Maxe Bense: Baden-Baden: Agis-Verlag 1976, ISBN  3-87007-013-7
• Massenglück a Einzelglück. Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 9 (1), (1898), S. 64–75.
• Das unreinliche Jahrhundert. Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 9 (5), (1898), S. 443–452.
• Ekstasen. Objem poezie. Verlag H. Seemann Nachf., Lipsko 1900.
• Der Wille zur Macht. In: Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 13 (12) (1902), S. 1334–1338.
• Max Klingers Beethoven. Zeitschrift für bildende Kunst, Neue Folge 13 (1902), S. 183–189.
• Sprachkritik Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 14 (12), (1903), S. 1233–1258.
• Der Arzt seiner Ehre, Groteske. In: Die neue Rundschau (Freie Bühne) 15 (8), (1904), S. 989-1013. Nové vydání jako: Der Arzt seiner Ehre. Komodie in einem Akt mit einem Epilog. Se 7 portréty a dřevoryty Hanse Alexandra Müllera podle kreseb Waltera Tiemanna, 10 Bl., 71 S. Pátý tisk od Leipziger Bibliophilen-Abends, Lipsko 1910. Nové vydání: S. Fischer, Berlín 1912, 88 S.

Jako Felix Hausdorff

• Beiträge zur Wahrscheinlichkeitsrechnung . Sborník Královské saské společnosti pro vědy v Lipsku. Matematicko-fyzikální Classe 53 (1901), S. 152–178.
• Über eine gewisse Art geordneter Mengen. Sborník Královské saské společnosti pro vědy v Lipsku. Matematicko-fyzikální Classe 53 (1901), S. 460–475.
• Das Raumproblem (inaugurační přednáška na univerzitě v Lipsku 4. července 1903). Ostwaldovy anály přírodní filozofie 3 (1903), S. 1–23.
• Der Potenzbegriff in der Mengenlehre . Výroční zpráva DMV 13 (1904), S. 569–571.
• Untersuchungen über Ordnungstypen I, II, III. Sborník Královské saské společnosti pro vědy v Lipsku. Math.-phys. \ Klasse 58 (1906), S. 106–169.
• Untersuchungen über Ordnungstypen IV, V. Sborník Královské saské společnosti pro vědy v Lipsku. Matematicko-fyzikální Klasse 59 (1907), S. 84–159.
• Über dichte Ordnungstypen . Výroční zpráva DMV 16 (1907), S. 541–546.
• Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen . Matematika. Annalen 65 (1908), S. 435–505.
• Die Graduierung nach dem Endverlauf. Sborník Královské saské společnosti pro vědy v Lipsku. Matematicko-fyzikální Klasse 31 (1909), S. 295–334.
• Grundzüge der Mengenlehre . Verlag Veit & Co, Lipsko. 476 S. s 53 figurkami. Další tisky: Chelsea Pub. Co. 1949, 1965, 1978.
• Die Mächtigkeit der Borelschen Mengen . Matematika. Annalen 77 (1916), S. 430–437.
• Dimenze und äußeres Maß . Matematika. Annalen 79 (1919), S. 157–179.
• Über halbstetige Funktionen und deren Verallgemeinerung . Matematika. Zeitschrift 5 (1919), S. 292–309.
• Summationsmethoden und Momentfolgen I , II. Matematika. Zeitschrift 9 (1921), I: S. 74-109, II: S. 280–299.
• Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes über Fourierreihen . Matematika. Zeitschrift 16 (1923), S. 163–169.
• Momentprobleme für ein endliches Intervall . Matematika. Zeitschrift 16 (1923), S. 220–248.
• Mengenlehre , druhé přepracované vydání. Verlag Walter de Gruyter & Co., Berlín. 285 S. s 12 číslicemi.
• Erweiterung einer Homöomorphie (PDF; 389 kB) Fundamenta Mathematicae 16 (1930), S. 353–360.
• Mengenlehre , třetí vydání. S další kapitolou a několika přílohami. Verlag Walter de Gruyter & Co., Berlín. 307 S. s 12 figurkami. Nachdruck: Dover Pub. New York, 1944. Englischovo vydání: Teorie množin . Z němčiny přeložil J. R. Aumann et al. Chelsea Pub. Co., New York 1957, 1962, 1967.
• Gestufte Räume. (PDF; 1,2 MB) Fundamenta Mathematicae 25 (1935), S. 486–502.
• Erweiterung einer stetigen Abbildung (PDF; 450 kB) Fundamenta Mathematicae 30 (1938), S. 40–47.
• Nachgelassene Schriften . 2 svazky. Ed .: G. Bergmann, Teubner, Stuttgart 1969. Z Nachlassu svazek I zahrnuje svazky 510–543, 545–559, 561–577, svazky II svazky 578–584, 598–658 (všechny svazky uvedené ve faksimile).

Hausdorff na objednaných sadách . Trans. a Ed .: Jacob M. Plotkin, American Mathematical Society 2005.

Sebrané spisy

„Hausdorffova edice“, kterou upravili E. Brieskorn (†), F. Hirzebruch (†), W. Purkert (všichni Bonn), R. Remmert (†) (Münster) a E. Scholz (Wuppertal) ve spolupráci více než dvaceti matematiků, historiků, filozofů a vědců, je pokračujícím projektem Severního Porýní-Vestfálska akademie věd, humanitních věd a umění s cílem představit díla Hausdorffa s komentářem a mnoha dalšími materiály. Svazky byly publikovány Springer-Verlag , Heidelberg. Bylo publikováno devět svazků, přičemž svazek I je rozdělen na svazek IA a svazek IB. Další informace naleznete na webových stránkách projektu Hausdorff v edici Hausdorff (německy) . Objemy jsou:

• Kapela IA: Allgemeine Mengenlehre. 2013, ISBN  978-3-642-25598-4 .
• Kapela IB: Felix Hausdorff - Paul Mongré (Životopis). 2018, ISBN  978-3-662-56380-9 .
• Band II: Grundzüge der Mengenlehre (1914) . 2002, ISBN  978-3-540-42224-2
• Band III: Mengenlehre (1927, 1935); Popis Mengenlehre und Topologie . 2008, ISBN  978-3-540-76806-7
• Pásmo IV: Analýza, Algebra a Zahlentheorie . 2001, ISBN  978-3-540-41760-6
• Pásmo V: Astronomie, Optik und Wahrscheinlichkeitstheorie . 2006, ISBN  978-3-540-30624-5
• Band VI: Geometrie, Raum und Zeit . 2020. ISBN  978-3-540-77838-7
• Band VII: Philosophisches Werk . 2004, ISBN  978-3-540-20836-5
• Band VIII: Literarisches Werk . 2010, ISBN  978-3-540-77758-8
• Pásmo IX: Korrespondenz. 2012, ISBN  978-3-642-01116-0 .

Reference

• Alexandroff, P .; Hopf, H .: Topologie. Springer-Verlag , Berlín 1935.
• Brieskorn, E .: Gustav Landauer und der Mathematiker Felix Hausdorff. In: H. Delf, G. Mattenklott: Gustav Landauer im Gespräch - Symposium zum 125. Geburtstag. Tübingen 1997, S. 105–128.
• Brieskorn, E. (Hrsg.): Felix Hausdorff zum Gedächtnis. Aspekte seine Werkes. Vieweg , Braunschweig/Wiesbaden 1996.
• Brieskorn, E .; Purkert, W .: Felix Hausdorff-Biographie. (Band IB der Edition), Springer, Heidelberg 2018.
• Eichhorn, E .; Thiele, E.-J .: Vorlesungen zum Gedenken an Felix Hausdorff , Heldermann Verlag  [ de ] , Berlin 1994, ISBN  3-88538-105-2 .
• Koepke, P., Kanovei V., Deskriptive Mengenlehre in Hausdorffs Grundzügen der Mengenlehre , 2001, uni-bonn.de (pdf)
• Lorentz, GG: Das mathematische Werk von Felix Hausdorff. Jahresbericht der DMV 69 (1967), 54 (130) -62 (138).
• Purkert, Walter: Dvojí život Felixe Hausdorffa/Paula Mongrého. Mathematical Intelligencer, 30 (2008), 4, S. 36 a násl.
• Purkert, Walter: Felix Hausdorff - Paul Mongré. Matematik - filozof - muž dopisů . Hausdorff Center for Mathematics, Bonn 2013.
• Stegmaier, W .: Ein Mathematiker in der Landschaft Zarathustras. Felix Hausdorff jako filozof. Nietzsche-Studien 31 (2002), 195–240.
• Vollhardt, F .: Von der Sozialgeschichte zur Kulturwissenschaft? Die literarisch-essayistischen Schriften des Mathematikers Felix Hausdorff (1868–1942): Vorläufige Bemerkungen in systematischer Absicht. In: Huber, M .; Lauer, G. (Hrsg.): Nach der Sozialgeschichte - Konzepte für eine Literaturwissenschaft zwischen Historischer Anthropologie, Kulturgeschichte und Medientheorie. Max Niemeier Verlag, Tübingen 2000, S. 551–573.
• Wagon, S .: Paradox Banach – Tarski . Cambridge Univ. Press, Cambridge 1993.
• Lexikon deutsch-jüdischer Autoren  [ de ] , Band 10, Saur, München 2002, S. 262–268

Viz také

• Gromov – Hausdorffova konvergence
• Hausdorffova vzdálenost
• Hausdorffova mezera
• Maurice René Fréchet
• Hausdorffova medaile

Reference

externí odkazy

• Felix Hausdorff na projektu Matematická genealogie
• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , „Felix Hausdorff“ , MacTutor Dějiny archivu matematiky , University of St Andrews
• Domovská stránka edice Hausdorff (německy)
• Hausdorff Findbuch
• Hausdorffovo centrum pro matematiku v Bonnu