Úroveň Fermi - Fermi level

Úroveň Fermiho z pevného stavu těla je termodynamický práce nutné přidat jeden elektron k tělu. Je to termodynamická množství obvykle označován u Stabilizátory nebo E F pro stručnost. Úroveň Fermi nezahrnuje práci potřebnou k odstranění elektronu odkudkoli pochází. Přesné porozumění Fermiho úrovni-jak souvisí se strukturou elektronického pásma při určování elektronických vlastností, jak souvisí s napětím a tokem náboje v elektronickém obvodu-je zásadní pro pochopení fyziky pevných látek.

V teorii pásové struktury , používané ve fyzice pevných látek k analýze energetických hladin v pevné látce, lze Fermiho úroveň považovat za hypotetickou energetickou hladinu elektronu, takže při termodynamické rovnováze by tato energetická hladina měla 50% pravděpodobnost být obsazen v daném čase . Poloha hladiny Fermi ve vztahu k hladinám energie pásma je rozhodujícím faktorem při určování elektrických vlastností. Úroveň Fermi nemusí nutně odpovídat skutečné energetické úrovni (v izolátoru leží Fermiho hladina v pásmu ), ani nevyžaduje existenci pásmové struktury. Hladina Fermi je nicméně přesně definovaná termodynamická veličina a rozdíly v úrovni Fermi lze měřit jednoduše voltmetrem .

Měření napětí

A voltmetr měří rozdíly v úrovni Fermiho děleno náboje elektronu .

Někdy se říká, že elektrické proudy jsou poháněny rozdíly v elektrostatickém potenciálu ( Galvaniho potenciál ), ale není to úplně pravda. Jako protipříklad lze uvést, že vícehmotová zařízení, jako jsou křižovatky p – n, obsahují rozdíly vnitřního elektrostatického potenciálu v rovnováze, avšak bez jakéhokoli doprovodného čistého proudu; pokud je ke křižovatce připojen voltmetr, jednoduše měří nulové napětí. Je zřejmé, že elektrostatický potenciál není jediným faktorem ovlivňujícím tok náboje v materiálu - důležitou roli hraje také odpuzování Pauli , gradienty koncentrace nosiče, elektromagnetická indukce a tepelné efekty.

Ve skutečnosti má množství nazývané napětí měřené v elektronickém obvodu jednoduchý vztah k chemickému potenciálu elektronů (úroveň Fermi). Když jsou vodiče voltmetru připojeny ke dvěma bodům v obvodu, zobrazené napětí je měřítkem celkové přenesené práce, když se jednotkový náboj může pohybovat z jednoho bodu do druhého. Pokud je mezi dva body různého napětí připojen jednoduchý vodič (tvoří zkrat ), bude proud proudit z kladného na záporné napětí a přemění dostupnou práci na teplo.

Úroveň Fermi těla vyjadřuje práci potřebnou k přidání elektronu do něj, nebo stejně tak práci získanou odstraněním elektronu. Proto V A  -  V B , pozorovaný rozdíl napětí mezi dvěma body, A a B , v elektronickém obvodu, přesně souvisí s odpovídajícím rozdílem chemického potenciálu, µ A  -  µ B , na úrovni Fermi podle vzorce

kde −e je elektronový náboj .

Z výše uvedené diskuse je vidět, že elektrony se budou pohybovat z tělesa s vysokým µ (nízké napětí) na nízké µ (vysoké napětí), pokud je k dispozici jednoduchá cesta. Tento tok elektronů způsobí, že se spodní µ zvýší (v důsledku nabíjení nebo jiných odpudivých účinků) a rovněž způsobí pokles vyšších µ . Nakonec se µ usadí v obou tělech na stejnou hodnotu. To vede k důležité skutečnosti týkající se rovnovážného (vypnutého) stavu elektronického obvodu:

Elektronický obvod v termodynamické rovnováze bude mít ve všech svých spojených částech konstantní úroveň Fermi.

To také znamená, že napětí (měřeno voltmetrem) mezi libovolnými dvěma body bude nulové, v rovnováze. Všimněte si, že termodynamická rovnováha zde vyžaduje, aby byl obvod vnitřně připojen a neobsahoval žádné baterie ani jiné zdroje energie, ani žádné změny teploty.

Pásová struktura pevných látek

Plnění elektronických stavů v různých typech materiálů v rovnováze . Zde je výška energií, zatímco šířka je hustota dostupných stavů pro určitou energii v uvedeném materiálu. Stín sleduje distribuci Fermi – Dirac ( černá : všechny stavy vyplněny, bílé : žádný stav vyplněn). V kovů a polokovů na Fermiho E F leží uvnitř alespoň jednoho pásu.
V izolátorech a polovodičích je hladina Fermi uvnitř pásmové mezery ; v polovodičích jsou však pásy dostatečně blízko úrovni Fermi, aby mohly být tepelně osídleny elektrony nebo otvory .
Distribuce Fermi-Dirac vs. energie , s μ  = 0,55 eV a pro různé teploty v rozsahu 50K ≤  T  ≤ 375K.

V pásmové teorii pevných látek se uvažuje, že elektrony zabírají řadu pásů složených z vlastních eigenstátů o jedné částici, z nichž každý je označen ϵ . Přestože je tento obrázek jedné částice přibližný, výrazně zjednodušuje porozumění elektronickému chování a při správné aplikaci obecně poskytuje správné výsledky.

Distribuce Fermiho-Diracova , , udává pravděpodobnost, že (při termodynamické rovnováze ) stav, který má energetickou e je obsazený elektronu:

Zde T je absolutní teplota a k je Boltzmannova konstanta . Pokud existuje stav na úrovni Fermi ( ϵ = µ ), pak bude mít tento stav 50% šanci na obsazení. Distribuce je znázorněna na obrázku vlevo. Čím blíže f je k 1, tím vyšší je šance, že je tento stav obsazen. Čím blíže f je 0, tím vyšší je šance, že tento stav bude prázdný.

Umístění µ v pásové struktuře materiálu je důležité při určování elektrického chování materiálu.

  • V izolátoru , u Stabilizátory leží uvnitř velkého zakázaném pásmu , daleko od jakékoliv států, které jsou schopny nést proud.
  • V kovovém, semimetalovém nebo degenerovaném polovodiči leží µ v delokalizovaném pásmu. Velký počet stavů v blízkosti µ je tepelně aktivních a snadno přenáší proud.
  • Ve vnitřním nebo lehce dopovaném polovodiči je µ dostatečně blízko okraje pásma, takže v blízkosti okraje pásma je zředěný počet tepelně excitovaných nosičů.

V polovodičích a semimetalech lze polohu µ vzhledem k pásové struktuře obvykle do značné míry kontrolovat dopingem nebo hradlováním. Tyto ovládací prvky nemění µ, které je fixováno elektrodami, ale spíše způsobují posun celé struktury pásu nahoru a dolů (někdy také mění tvar struktury pásu). Další informace o úrovních polovodičů Fermi najdete v (například) Sze.

Odkazování na pásmo lokálního vedení, vnitřní chemický potenciál a parametr ζ

Pokud symbol se používá k označení úrovně energie elektronů měřeno vzhledem k energii okraje jeho vkládací pásma, epsilon C , pak se obecně máme = epsilon - epsilon C . Můžeme definovat parametr ζ, který odkazuje na úroveň Fermi s ohledem na okraj pásma:

Z toho vyplývá, že distribuční funkci Fermi – Dirac lze zapsat jako

Teorie band kovů byl původně vyvinut Sommerfeld, od roku 1927, který zaplatil velkou pozornost podkladových termodynamiky a statistické mechaniky. V některých kontextech je v některých kontextech pásmo odkazovaná veličina ζ nazývána úrovní Fermi , chemickým potenciálem nebo elektrochemickým potenciálem , což vede k nejednoznačnosti s globálně odkazovanou úrovní Fermi. V tomto článku se pro označení ζ používají termíny odkazující na Fermiho úroveň vodivého pásma nebo vnitřní chemický potenciál .

Příklad kolísání vodivostního pásu hrany E C v pásmu schéma GaAs / AlGaAs heteropřechodu na bázi vysoko-elektron-mobility tranzistor .

ζ přímo souvisí s počtem aktivních nosičů náboje a jejich typickou kinetickou energií, a proto se přímo podílí na určování místních vlastností materiálu (jako je elektrická vodivost ). Z tohoto důvodu je běžné soustředit se na hodnotu ζ při soustředění na vlastnosti elektronů v jednom homogenním vodivém materiálu. Analogicky k energetickým stavům volného elektronu je stavu kinetická energie tohoto stavu a ϵ C je jeho potenciální energie . S ohledem na to by mohl být parametr ζ také označen jako Fermiho kinetická energie .

Na rozdíl od µ není parametr ζ konstantní v rovnováze, ale liší se místo od místa v materiálu v důsledku změn v ϵ C , což je určeno faktory, jako je kvalita materiálu a příměsi/příměsi. V blízkosti povrchu polovodiče nebo polokovu lze ζ silně ovládat externě aplikovanými elektrickými poli, jak se to děje v tranzistoru s efektem pole . Ve vícepásmovém materiálu může ζ dokonce nabývat více hodnot na jednom místě. Například v kusu hliníkového kovu jsou dvě vodivá pásma překračující úroveň Fermi (ještě více pásem v jiných materiálech); každé pásmo má jinou energii hrany, ϵ C a jinou ζ .

Hodnota ζ při nulové teplotě je široce známá jako Fermiho energie , někdy se píše ζ 0 . Matoucí (opět), název Fermiho energie se někdy používá k označení ζ při nenulové teplotě.

Teplota mimo rovnováhu

Fermiho hladina μ a teplota T jsou dobře definované konstanty pro zařízení v pevné fázi v termodynamické rovnovážné situaci, například když sedí na polici a nic nedělá. Když je zařízení vyvedeno z rovnováhy a uvedeno do provozu, pak přísně vzato, úroveň a teplota Fermi již nejsou dobře definovány. Naštěstí je často možné definovat kvazi-Fermiho úroveň a kvazi-teplotu pro dané místo, které přesně popisují obsazení stavů z hlediska tepelného rozložení. Říká se, že zařízení je v kvazi-rovnováze, kdy a kde je takový popis možný.

Kvazi-rovnovážný přístup umožňuje vytvořit si jednoduchý obrázek některých nerovnovážných efektů jako elektrické vodivosti kusu kovu (vyplývajícího z gradientu μ ) nebo jeho tepelné vodivosti (vyplývající z gradientu v T ). Kvazi- μ a kvaz- T se mohou lišit (nebo vůbec neexistovat) v jakékoli nerovnovážné situaci, například:

V některých situacích, například bezprostředně poté, co materiál zažije vysokoenergetický laserový puls, nelze distribuci elektronů popsat žádnou tepelnou distribucí. V tomto případě nelze definovat kvazi-Fermiho úroveň nebo kvazi-teplotu; o elektronech se jednoduše říká, že nejsou tepelně upraveny . V méně dramatických situacích, jako například v solárním článku za stálého osvětlení, může být možný kvazi-rovnovážný popis, který však vyžaduje přiřazení odlišných hodnot μ a T různým pásmům (pásmo vedení vs. valenční pásmo). Dokonce i poté mohou hodnoty μ a T nespojitě přeskakovat přes materiálové rozhraní (např. P – n křižovatka ), když je poháněn proud, a mohou být špatně definovány na samotném rozhraní.

Technická data

Terminologické problémy

Termín Fermiho hladina se používá hlavně při diskusi o fyzice pevných látek elektronů v polovodičích a přesné použití tohoto termínu je nezbytné k popisu pásmových diagramů v zařízeních obsahujících různé materiály s různými úrovněmi dopingu. V těchto kontextech však lze také vidět Fermiho hladinu používanou nepřesně pro odkaz na pásmově referovanou úroveň Fermi , µ  -  ϵ C , zvanou ζ výše. Je běžné, že vědci a inženýři odkazují na „ovládání“, „ připnutí “ nebo „vyladění“ úrovně Fermi uvnitř vodiče, když ve skutečnosti popisují změny v ϵ C v důsledku dopingu nebo efektu pole . Ve skutečnosti termodynamická rovnováha zaručuje, že hladina Fermi ve vodiči je vždy pevně nastavena tak, aby byla přesně stejná jako úroveň Fermi elektrod; pouze strukturu pásma (nikoli úroveň Fermi) lze změnit dopingem nebo polním efektem (viz také pásmový diagram ). Podobný dvojznačnost existuje mezi podmínkami, chemického potenciálu a elektrochemického potenciálu .

Je také důležité si uvědomit, že úroveň Fermi není nutně totéž jako energie Fermi . V širším kontextu kvantové mechaniky se termín Fermiho energie obvykle vztahuje na maximální kinetickou energii fermionu v idealizovaném neinteragujícím, bezporuchovém a nulovém Fermiho plynu . Tento koncept je velmi teoretický (neexistuje nic jako neinteragující plyn Fermi a nulové teploty nelze dosáhnout). Najde však určité využití při přibližném popisu bílých trpaslíků , neutronových hvězd , atomových jader a elektronů v kovu . Na druhou stranu, v oblasti fyziky polovodičů a inženýrství se Fermiho energie často používá k označení úrovně Fermi popsané v tomto článku.

Odkazování na úroveň Fermi a umístění nulové úrovně Fermi

Stejně jako volba počátku v souřadnicovém systému může být nulový bod energie definován libovolně. Pozorovatelné jevy závisí pouze na energetických rozdílech. Při porovnávání odlišných těles je však důležité, aby všechna byla ve výběru umístění nulové energie konzistentní, jinak budou získány nesmyslné výsledky. Může být proto užitečné výslovně pojmenovat společný bod, aby bylo zajištěno, že se různé součásti shodují. Na druhou stranu, pokud je referenční bod ze své podstaty nejednoznačný (například „vakuum“, viz níže), způsobí místo toho více problémů.

Praktickou a dobře odůvodněnou volbou společného bodu je objemný fyzický vodič, jako je elektrická zem nebo zem. Takový vodič lze považovat za v dobré termodynamické rovnováze, a proto je jeho µ dobře definován. Poskytuje rezervoár náboje, takže je možné přidávat nebo odebírat velké množství elektronů, aniž by docházelo k efektům nabíjení. Má také tu výhodu, že je přístupný, takže hladinu Fermi jakéhokoli jiného objektu lze měřit jednoduše voltmetrem.

Proč není vhodné používat „energii ve vakuu“ jako referenční nulu

Když jsou dva zde zobrazené kovy v termodynamické rovnováze, jak je ukázáno (stejné úrovně Fermi E F ), vakuový elektrostatický potenciál ϕ není plochý kvůli rozdílu v pracovní funkci .

V zásadě by se dalo uvažovat o využití stavu stacionárního elektronu ve vakuu jako referenčního bodu pro energie. Tento přístup se nedoporučuje, pokud si nedáte pozor, abyste přesně definovali, kde je vakuum . Problém je v tom, že ne všechny body vakua jsou ekvivalentní.

Při termodynamické rovnováze je typické, že rozdíly elektrického potenciálu řádu 1 V existují ve vakuu ( Voltovy potenciály ). Zdrojem této změny potenciálu vakua je variace v pracovní funkci mezi různými vodivými materiály vystavenými vakuu. Hned za vodičem elektrostatický potenciál citlivě závisí na materiálu a na tom, jaký povrch je vybrán (jeho krystalová orientace, kontaminace a další detaily).

Parametr, který nejlépe přibližuje univerzálnost, je výše naznačená úroveň Fermi odkazovaná na Zemi. To má také tu výhodu, že ji lze měřit voltmetrem.

Diskrétní efekty nabíjení v malých systémech

V případech, kdy jsou „účinky nabíjení“ způsobené jediným elektronem nezanedbatelné, je třeba vyjasnit výše uvedené definice. Zvažte například kondenzátor vyrobený ze dvou identických paralelních desek. Pokud je kondenzátor nenabitý, je hladina Fermi na obou stranách stejná, takže by si někdo mohl myslet, že k přesunu elektronu z jedné desky na druhou by neměla být zapotřebí žádná energie. Ale když byl elektron přesunut, kondenzátor byl (mírně) nabitý, takže to vyžaduje malé množství energie. V normálním kondenzátoru je to zanedbatelné, ale v kondenzátoru v nano měřítku to může být důležitější.

V tomto případě je třeba přesně určit termodynamickou definici chemického potenciálu a stav zařízení: je elektricky izolované nebo je připojeno k elektrodě?

  • Když je tělo schopné vyměňovat si elektrony a energii s elektrodou (zásobníkem), popisuje to velký kanonický soubor . O hodnotě chemického potenciálu µ lze říci, že je fixována elektrodou, a počet elektronů N na těle může kolísat. V tomto případě je chemický potenciál tělesa nekonečně malým množstvím práce potřebné ke zvýšení průměrného počtu elektronů o nekonečně malé množství (i když počet elektronů v kterémkoli okamžiku je celé číslo, průměrný počet se neustále mění.):
    kde F ( N , T ) je funkce volné energie velkého kanonického souboru.
  • Pokud je počet elektronů v těle fixní (ale tělo je stále tepelně spojeno s tepelnou lázní), pak je v kanonickém souboru . V tomto případě můžeme definovat „chemický potenciál“ doslova jako práci potřebnou k přidání jednoho elektronu do těla, které již má přesně N elektronů,
    kde F ( N , T ) je funkce volné energie kanonického souboru, alternativně,

Tyto chemické potenciály nejsou ekvivalentní, µµ 'µ' ' , s výjimkou termodynamického limitu . Rozdíl je důležitý v malých systémech, jako jsou systémy vykazující Coulombovu blokádu . Parametr µ , (tj. V případě, že počet elektronů může kolísat), i v malých systémech zůstává přesně vztažen k napětí voltmetru. Abychom byli přesní, pak je Fermiho hladina definována nikoli deterministickou nabíjecí událostí jedním elektronovým nábojem, ale spíše statistickou nabíjecí událostí nekonečně malou frakcí elektronu.

Poznámky pod čarou a odkazy