Matematický model pro popis deformace materiálu pod napětím
V mechanice kontinua se teorie konečných deformací - nazývaná také teorie velkého přetvoření nebo teorie velkých deformací - zabývá deformacemi, ve kterých jsou deformace a/nebo rotace dostatečně velké, aby vyvrátily předpoklady vlastní teorii nekonečně malých deformací . V tomto případě jsou nedeformované a deformované konfigurace kontinua výrazně odlišné, což vyžaduje jasné rozlišení mezi nimi. To je obvykle případ elastomerů , plasticky deformujících materiálů a jiných tekutin a biologických měkkých tkání .
Přemístění
Obrázek 1. Pohyb tělesa kontinua.
Posun tělesa má dvě složky: posunutí tuhého těla a deformaci.
- Posun tuhého těla se skládá ze simultánního překladu (fyzika) a rotace těla bez změny jeho tvaru nebo velikosti.
- Deformace znamená změnu tvaru a/nebo velikosti těla z počáteční nebo nedeformované konfigurace na aktuální nebo deformovanou konfiguraci (obrázek 1).
Změnu konfigurace tělesa kontinua lze popsat posuvným polem . Posunutí pole je vektorové pole všech posunutí vektorů pro všech částic v organismu, který se vztahuje na deformované konfiguraci s nedeformované konfigurace. Vzdálenost mezi jakýmikoli dvěma částicemi se mění právě tehdy, pokud došlo k deformaci. Pokud k posunutí dojde bez deformace, pak se jedná o posunutí v tuhém těle.
Souřadnice materiálu (Lagrangeův popis)
Vytěsnění částic indexovaných proměnnou i lze vyjádřit následujícím způsobem. Vektor spojující polohy částice v nedeformované konfiguraci a deformované konfiguraci se nazývá vektor posunutí . Pomocí namísto a na místo , z nichž oba jsou vektory od počátku souřadného systému do každého příslušného bodu, máme Lagrangeův popis vektoru posunutí:
Kde jsou ortonormální jednotkové vektory, které definují základ prostorového (lab-frame) souřadnicového systému.
Pole posunutí je vyjádřeno hmotnými souřadnicemi:
Kde je vektor posunutí představující translaci tuhého těla.
Parciální derivace posuvného vektoru s ohledem na materiálové souřadnic se získá materiál posunutí gradientu tensor . Máme tedy,
kde je tenzor gradientu deformace .
Prostorové souřadnice (eulerovský popis)
V eulerovském popisu se vektor rozkládající se od částice v nedeformované konfiguraci do jejího umístění v deformované konfiguraci nazývá vektor posunutí :
Kde jsou jednotkové vektory, které definují základ souřadnicového systému materiálu (rám těla).
Prostorové souřadnice vyjádřené prostorovými souřadnicemi jsou:
Částečná derivace vektoru posunutí vzhledem k prostorovým souřadnicím poskytuje tenzor gradientu prostorového posunutí . Máme tedy,
Vztah mezi hmotnými a prostorovými souřadnými systémy
jsou směrové kosiny mezi materiálem a prostorová souřadnicových systémů s jednotkové vektory a , v uvedeném pořadí. Tím pádem
Vztah mezi a je pak dán vztahem
Vědět to
pak
Kombinace souřadnicových systémů deformovaných a nedeformovaných konfigurací
Je běžné překrývat souřadnicové systémy pro deformované a nedeformované konfigurace, což má za následek , a směr kosinusů se stává Kroneckerovými deltami , tj.
V hmotných (nedeformovaných) souřadnicích tedy může být posun vyjádřen jako:
A v prostorových (deformovaných) souřadnicích může být posun vyjádřen jako:
Tenzor gradientu deformace
Obrázek 2. Deformace tělesa kontinua.
Tenzor gradientu deformace souvisí s referenční i aktuální konfigurací, jak jej vidí jednotkové vektory, a proto se jedná o dvoubodový tenzor .
Vzhledem k předpokladu spojitosti , má inverzní , kde je tenzor gradientu prostorové deformace . Potom, podle implicitní funkce věty se Jacobian determinant musí být nonsingular , tj
Materiál deformace gradientu tensor je druhého řádu tenzor který představuje gradient mapovací funkce nebo funkční vztah , který popisuje pohyb kontinuum . Tenzor gradientu deformace materiálu charakterizuje lokální deformaci v materiálovém bodě pomocí polohového vektoru , tj. Deformace v sousedních bodech, transformací ( lineární transformace ) prvku materiálové linie vycházejícího z tohoto bodu z referenční konfigurace do aktuální nebo deformované konfigurace za předpokladu kontinuity v mapovací funkce , tj diferencovatelná funkce z a času , což znamená, že trhliny a dutiny není otevřít nebo zavřít v průběhu deformace. Máme tedy,
Relativní výtlak vektor
Zvažte bod částice nebo materiálu s polohovým vektorem v nedeformované konfiguraci (obrázek 2). Po posunutí těla je nová poloha částice označená v nové konfiguraci dána polohou vektoru . Souřadnicové systémy pro nedeformovanou a deformovanou konfiguraci lze pro pohodlí superponovat.
Uvažujme nyní hmotný bod sousedící s vektorem polohy . V deformované konfiguraci má tato částice novou polohu danou polohovým vektorem . Za předpokladu, že úsečky a spojující částice a v nedeformované a zdeformované konfiguraci jsou velmi malé, můžeme je vyjádřit jako a . Z obrázku 2 tedy máme
kde je vektor relativního posunutí , který představuje relativní posunutí vzhledem k deformované konfiguraci.
Taylorova aproximace
Pro nekonečně malý prvek a za předpokladu kontinuity v poli posunutí je možné použít Taylorovu řadu kolem bodu , přičemž se zanedbávají termíny vyššího řádu, k aproximaci složek vektoru relativního posunutí pro sousední částici jako
Předchozí rovnici lze tedy zapsat jako
Časová derivace deformačního gradientu
Výpočty, které zahrnují časově závislou deformaci tělesa, často vyžadují výpočet časové derivace deformačního gradientu. Geometricky konzistentní definice takové derivace vyžaduje exkurzi do diferenciální geometrie, ale těmto problémům se v tomto článku vyhýbáme.
Časová derivace je
kde je rychlost? Derivát na pravé straně představuje gradient rychlosti materiálu . Je běžné převést to na prostorový gradient, tj.
kde je gradient prostorové rychlosti . Pokud je gradient prostorové rychlosti konstantní, lze výše uvedenou rovnici vyřešit přesně tak, aby byla
za předpokladu v . Existuje několik způsobů výpočtu exponenciálu výše.
Související veličiny často používané v mechanice kontinua jsou tenzor deformace a tenzor spinů definovaný jako:
Rychlost tenzoru deformace udává rychlost roztažení liniových prvků, zatímco spinový tenzor udává rychlost rotace nebo vířivost pohybu.
V analýzách, které zahrnují konečné kmeny, je často požadována derivace času a materiálu inverzní k deformačnímu gradientu (udržování pevné referenční konfigurace). Tato derivace je
Výše uvedený vztah lze ověřit tak, že vezmeme derivát věcného času a všimneme si toho .
Transformace plošného a objemového prvku
K transformaci veličin, které jsou definovány s ohledem na oblasti v deformované konfiguraci, na ty, které jsou relativní k oblastem v referenční konfiguraci, a naopak používáme Nansonův vztah vyjádřený jako
kde je oblast oblasti v deformované konfiguraci, je stejná oblast v referenční konfiguraci a je vnější normálou k plošnému prvku v aktuální konfiguraci, zatímco je vnější normála v referenční konfiguraci, je deformační gradient a .
Odpovídající vzorec pro transformaci prvku objemu je
Odvození Nansonova vztahu (viz také)
|
Abychom viděli, jak je tento vzorec odvozen, začneme prvky orientované oblasti
v referenční a aktuální konfiguraci:
Referenční a aktuální objemy prvku jsou
kde .
Proto,
nebo,
tak,
Takže dostáváme
nebo,
|
Polární rozklad tenzoru gradientu deformace
Obrázek 3. Znázornění polárního rozkladu deformačního gradientu
Deformační gradient , jako každý invertibilní tenzor druhého řádu, lze rozložit pomocí polární dekompoziční věty na součin dvou tenzorů druhého řádu (Truesdell a Noll, 1965): ortogonální tenzor a pozitivní definitivní symetrický tenzor, tzn.
kde tenzor je správný ortogonální tenzor , tj. a , představující rotaci; tenzor je správný napínací tenzor ; a levý úsek tensor . Pojmy vpravo a vlevo znamenají, že jsou napravo a nalevo od tenzoru rotace . a jsou kladně určité , tj. a pro všechny nenulové , a symetrické tenzory , tj. a druhého řádu.
Tento rozklad znamená, že deformaci liniového prvku v nedeformované konfiguraci na v deformované konfiguraci, tj . Lze dosáhnout buď prvním natažením prvku o , tj . Následovaným otáčením , tj ; nebo ekvivalentně, nejprve aplikováním tuhé rotace , tj. a poté později natažením , tj. (viz obrázek 3).
Vzhledem k ortogonalitě
tak, že a mají stejné vlastní hodnoty nebo hlavní úseky , ale různé charakteristické vektory, nebo hlavní směry a , v uvedeném pořadí. Hlavní směry souvisejí s
Tento polární rozklad, který je jedinečný, protože je nevratný s pozitivním determinantem, je důsledkem rozkladu singulárních hodnot .
Deformační tenzory
V mechanice se používá několik tenzorů deformací nezávislých na rotaci. V pevné mechanice jsou nejpopulárnějšími pravé a levé deformátory deformace Cauchy – Green.
Protože čistá rotace by neměla v deformovatelném tělese vyvolávat žádná napětí, je často vhodné v mechanice kontinua použít na deformaci nezávislá opatření deformace . Protože rotace následovaná inverzní rotací nevede ke změně ( ), můžeme rotaci vyloučit vynásobením její transpozicí .
Správný tenzor Cauchy – Zelené deformace
V roce 1839 George Green představil tenzor deformací známý jako pravý Cauchy – Greenův deformační tenzor nebo Greenův deformační tenzor , definovaný jako:
Fyzicky nám tenzor Cauchy – Green dává kvadrát lokální změny vzdáleností v důsledku deformace, tzn
Ve výrazech pro funkce hustoty deformační energie se často používají invarianty . Nejčastěji používanými invarianty jsou
kde jsou poměry natažení pro jednotková vlákna, která jsou zpočátku orientována podél vlastních vektorových směrů pravého (referenčního) tenzoru (tyto nejsou obecně zarovnány se třemi osami souřadnicových systémů).
Tenzor deformace prstu
IUPAC doporučuje, aby inverze pravého Cauchy – Greenova deformačního tenzoru (v tomto dokumentu nazývaného Cauchyův tenzor), tj., Byla nazývána Fingerovým tenzorem . Tato nomenklatura však není v aplikované mechanice všeobecně přijímána.
Levý tenzor deformace Cauchy – Green nebo Finger
Obrácení pořadí násobení ve vzorci pro pravý tenzor deformace Green – Cauchy vede k levému tenoru deformace Cauchy – Green, který je definován jako:
Levý tenzor deformace Cauchy – Green se často nazývá Fingerův deformační tenzor , pojmenovaný po Josefu Fingerovi (1894).
Invarianty se také používají ve výrazech pro funkce hustoty deformační energie . Konvenční invarianty jsou definovány jako
kde je determinant deformačního gradientu.
Pro nestlačitelné materiály se používá mírně odlišná sada invarianty:
Cauchyův deformační tenzor
Dříve v roce 1828 zavedl Augustin Louis Cauchy deformační tenzor definovaný jako inverzní levý deformační tenzor Cauchy – Green . Tento tenzor byl také v literatuře reologie a dynamiky tekutin nazýván tenzorem Piola a prstem .
Spektrální reprezentace
Pokud existují tři odlišné hlavní úseky se spektrální rozklady z a je dána vztahem
Kromě toho,
Dodržujte to
Jedinečnost spektrálního rozkladu z toho tedy také vyplývá . Levý úsek ( ) se také nazývá tenzor prostorového roztažení, zatímco pravý úsek ( ) se nazývá tenzor napnutí materiálu .
Účinkem působení je roztažení vektoru a jeho otočení do nové orientace , tj.
V podobném duchu
Příklady
|
Jednoosé prodloužení nestlačitelného materiálu
To je případ, kdy je vzorek protahuje v 1 směru s roztažení poměr z . Pokud objem zůstane konstantní, kontrakce v ostatních dvou směrech je taková, že nebo . Pak:
Jednoduché stříhání
Tuhé otáčení těla
|
Deriváty tahu
K odvození vztahů napětí a deformace mnoha pevných látek, zejména hyperelastických materiálů, se používají deriváty tahu vzhledem k pravému deformátoru deformace Cauchy – Green . Tyto deriváty jsou
a plynou z pozorování, že
Fyzikální interpretace tenzorů deformací
Nechť je kartézský souřadný systém definovaný na nedeformovaném tělese a nechť je jiný systém definovaný na deformovaném těle. Nechte křivku v nedeformovaném těle parametrizovat pomocí . Jeho obraz v deformovaném těle je .
Nedeformovaná délka křivky je dána vztahem
Po deformaci se délka stává
Všimněte si, že pravý tenzor deformace Cauchy – Green je definován jako
Proto,
což naznačuje, že změny délky jsou charakterizovány znakem .
Tenzory konečných kmenů
Pojem deformace se používá k vyhodnocení toho, jak moc se daný posun lokálně liší od posunutí tuhého tělesa. Jedním z takových kmenů pro velké deformace je Lagrangianův tenzor tenzoru konečného napětí , nazývaný také Green-Lagrangianův tenzor napětí nebo Green-St-Venantův tenzor napětí , definovaný jako
nebo jako funkce tenzoru gradientu posunutí
nebo
Green-Lagrangian tenzor napětí je měřítkem toho, jak moc se liší od .
Eulerian-Almansi konečný tenzor , vztažená k deformované konfiguraci, tj Eulerian popisu, je definován jako
nebo jako funkci posunů, které máme
Odvození Lagrangeových a Eulerianových tenzorů konečných kmenů
|
Míra deformace je rozdíl mezi čtverci prvku diferenciální čáry v nedeformované konfiguraci a v deformované konfiguraci (obrázek 2). Pokud je rozdíl nenulový, došlo k deformaci, jinak došlo k posunutí tuhého těla. Máme tedy,
V Lagrangeově popisu je lineární transformace mezi diferenciálními čarami pomocí materiálových souřadnic jako referenčního rámce
Pak máme,
kde jsou součásti pravého Cauchy-Green tenzoru deformace , . Poté nahrazením této rovnice první rovnicí, kterou máme,
nebo
kde jsou součásti tenzoru druhého řádu, který se nazývá tenzor tenzoru Green-St-Venant nebo Lagrangianův tenzor tenzoru ,
V eulerovském popisu s využitím prostorových souřadnic jako referenčního rámce je lineární transformace mezi diferenciálními čarami
kde jsou složky gradientu tenzoru prostorové deformace , . Takže máme
kde druhého řádu tensor se nazývá Cauchyova tenzoru deformace , . Pak máme,
nebo
kde jsou součásti tenzoru druhého řádu, který se nazývá tenzor konečného napětí Eulerian-Almansi ,
Lagrangianův i eulerovský tenzor tenzoru konečného napětí lze pohodlně vyjádřit pomocí tenzoru gradientu posunutí . U tenzoru Lagrangianova napětí nejprve rozlišíme vektor posunutí vzhledem k materiálovým souřadnicím, abychom získali tenzor gradientu posunutí materiálu ,
Nahrazení této rovnice výrazem pro Lagrangianův tenzor tenzoru konečných kmenů, který máme
nebo
Podobně lze tenzor Eulerian-Almansiho konečného kmene vyjádřit jako
|
Seth – Hill rodina generalizovaných tenzorů napětí
BR Seth z indického technologického institutu v Kharagpuru jako první ukázal, že tenzory napětí Green a Almansi jsou speciálními případy obecnějšího měření napětí . Tuto myšlenku dále rozšířil Rodney Hill v roce 1968. Rodina kmenových opatření Seth – Hill (nazývaná také tenzory Doyle-Ericksen) může být vyjádřena jako
Pro různé hodnoty máme:
Aproximace těchto tenzorů druhého řádu je
kde je nekonečně malý tenzor napětí.
Je přípustných mnoho dalších různých definic tenzorů za předpokladu, že všechny splňují podmínky, které:
-
zmizí pro všechny pohyby tuhého těla
- závislost na tenzoru gradientu posunutí je spojitá, spojitě diferencovatelná a monotónní
- je také žádoucí, aby se redukovalo na nekonečně malý tenzor napětí jako normu
Příkladem je sada tenzorů
které nepatří do třídy Seth – Hill, ale mají stejnou aproximaci 2. řádu, jakou měří Seth – Hill na jakoukoli hodnotu .
Poměr natažení
Poměr roztažení je měřítkem roztažného nebo normálního přetvoření prvku diferenciální čáry, které lze definovat buď v nedeformované konfiguraci, nebo v deformované konfiguraci.
Poměr natažení diferenciálního prvku (obrázek) ve směru jednotkového vektoru v materiálovém bodě v nedeformované konfiguraci je definován jako
kde je deformovaná velikost diferenciálního prvku .
Podobně je poměr roztažení pro diferenciální prvek (obrázek) ve směru jednotkového vektoru v materiálovém bodě v deformované konfiguraci definován jako
Normální napětí v libovolném směru lze vyjádřit jako funkci poměru natažení,
Tato rovnice znamená, že normální deformace je nulová, tj. Žádná deformace, když je úsek roven jednotě. Některé materiály, jako jsou elastometry, mohou vydržet napínací poměry 3 nebo 4, než selžou, zatímco tradiční technické materiály, jako je beton nebo ocel, selhávají při mnohem nižších poměrech roztažení, možná v řádu 1,1 (referenční?)
Fyzikální interpretace tenzoru konečného kmene
Diagonální složky Lagrangeova tenzoru konečných deformací se vztahují k normálnímu napětí, např
kde je normální napětí nebo technické napětí ve směru .
Off-diagonální komponenty Lagrangianova tenzoru konečného napětí souvisejí se smykovým napětím, např
kde je změna úhlu mezi dvěma liniových prvků, které byly původně kolmé směry a , resp.
Za určitých okolností, tj. Malých posunutí a malých rychlostí posunu, mohou být složky Lagrangeova tenzoru konečného napětí aproximovány složkami nekonečně malého tenzoru napětí
Odvození fyzikální interpretace Lagrangeových a Eulerianových tenzorů konečných kmenů
|
Poměr natažení diferenciálního prvku (obrázek) ve směru jednotkového vektoru v materiálovém bodě v nedeformované konfiguraci je definován jako
kde je deformovaná velikost diferenciálního prvku .
Podobně je poměr roztažení pro diferenciální prvek (obrázek) ve směru jednotkového vektoru v materiálovém bodě v deformované konfiguraci definován jako
Druhá mocnina poměru natažení je definována jako
Vědět to
my máme
kde a jsou jednotkové vektory.
Normální napětí nebo technické napětí v libovolném směru lze vyjádřit jako funkci poměru natažení,
Normální napětí ve směru v hmotném bodě lze tedy vyjádřit pomocí poměru natažení jako
řešení pro máme
Střihová deformace , nebo změna úhlu mezi dvěma liniových prvků a zpočátku kolmé, a je orientována v hlavních směrech a , v tomto pořadí, může být rovněž vyjádřena jako funkce poměru roztažení. Z skalární součin mezi deformovanými liniemi a máme
kde je úhel mezi čarami a v deformované konfiguraci. Definujeme jako smykové napětí nebo zmenšení úhlu mezi dvěma liniovými prvky, které byly původně kolmé
tím pádem,
pak
nebo
|
Deformační tenzory v konvekčních křivočarých souřadnicích
Reprezentace tenzorů deformací v křivočarých souřadnicích je užitečná pro mnoho problémů v mechanice kontinua, jako jsou nelineární teorie skořepin a velké plastické deformace. Nechť označuje funkci, která je polohový vektor v prostoru vyrobenou z souřadnic . O souřadnicích se říká, že jsou „konvektovány“, pokud odpovídají mapování jedna k jedné do a z Lagrangeových částic v tělese kontinua. Pokud je souřadnicová mřížka „natřena“ na těle v její původní konfiguraci, pak se tato mřížka deformuje a bude proudit pohybem materiálu, aby zůstala namalovaná na stejné částice materiálu v deformované konfiguraci tak, aby se čáry mřížky protínaly na stejné částici materiálu v každé konfiguraci. Tečný vektor ke křivce deformované souřadnicové mřížky v je dán vztahem
Tyto tři tečné vektory tvoří místní základ. Tyto vektory jsou vztaženy k recipročním základním vektorům
Pojďme definovat pole tenzoru druhého řádu (nazývané také metrický tenzor ) s komponentami
K Christoffel symboly prvního druhu může být vyjádřena jako
Abychom viděli, jak Christoffelovy symboly souvisejí s tenzorem deformace pravé Cauchy – Zelené, definujme podobně dvě báze, již zmíněnou, která je tečná k deformovaným čarám mřížky a druhou, která je tečná k nedeformovaným liniím mřížky. A to,
Deformační gradient v křivočarých souřadnicích
Pomocí definice gradientu vektorového pole v křivočarých souřadnicích lze deformační gradient zapsat jako
Pravý Cauchy – Zelený tenzor v křivočarých souřadnicích
Správný tenzor Cauchy – Zelené deformace je dán vztahem
Pokud vyjádříme z hlediska komponent s ohledem na základ { }, který máme
Proto,
a odpovídající Christoffelův symbol prvního druhu může být zapsán v následující formě.
Některé vztahy mezi deformačními opatřeními a symboly Christoffela
Zvažte mapování jeden na jednoho od do a předpokládejme, že existují dvě pozitivně definovaná, symetrická tenzorová pole druhého řádu a která splňují
Pak,
Všímat si toho
a máme
Definovat
Proto
Definovat
Pak
Definujte Christoffelovy symboly druhého druhu jako
Pak
Proto,
Invertibilita mapování z toho vyplývá
Můžeme také formulovat podobný výsledek, pokud jde o deriváty . Proto,
Podmínky kompatibility
Problém kompatibility v mechanice kontinua zahrnuje stanovení přípustných jednohodnotných spojitých polí na tělech. Tyto přípustné podmínky zanechávají tělo bez nefyzických mezer nebo se překrývají po deformaci. Většina takových podmínek platí pro jednoduše připojená těla. Pro vnitřní hranice mnohonásobně propojených těl jsou vyžadovány další podmínky.
Kompatibilita deformačního gradientu
Nezbytné a dostatečné podmínky pro existenci kompatibilního pole na jednoduše připojeném tělese jsou
Kompatibilita pravého tenzoru Cauchy – Zelená deformace
Nezbytné a dostatečné podmínky pro existenci kompatibilního pole na jednoduše připojeném tělese jsou
Můžeme ukázat, že se jedná o smíšené komponenty tenzoru zakřivení Riemann -Christoffel . Proto jsou nezbytné podmínky pro -kompatibilitu, aby Riemann -Christoffelovo zakřivení deformace bylo nulové.
Kompatibilita levého tenzoru Cauchy – Zelená deformace
U levého Cauchyho – Zeleného tenzoru deformace ve třech rozměrech nejsou známy žádné obecné podmínky dostatečnosti. Janet Blume zjistila podmínky kompatibility pro dvourozměrná pole.
Viz také
Reference
Další čtení
-
Macosko, CW (1994). Reologie: principy, měření a aplikace . Vydavatelé VCH. ISBN 1-56081-579-5.
externí odkazy