Vynucení (matematika) - Forcing (mathematics)

V matematické disciplíně teorie množin je vynucování technikou prokazování výsledků konzistence a nezávislosti . Poprvé jej použil Paul Cohen v roce 1963 k prokázání nezávislosti axiomu volby a hypotézy kontinua z teorie množin Zermelo – Fraenkel .

Vynucování bylo v následujících letech značně přepracováno a zjednodušeno a od té doby sloužilo jako účinná technika, a to jak v teorii množin, tak v oblastech matematické logiky, jako je teorie rekurze . Deskriptivní teorie množin používá pojmy vynucování z teorie rekurze i teorie množin. V teorii modelu bylo také použito vynucování , ale v modelové teorii je běžné definovat genericitu přímo bez zmínky o vynucování.

Intuice

Intuitivně vynucení spočívá v rozšíření nastaveného teoretického vesmíru do většího vesmíru . V tomto větším vesmíru, například, jeden by mohl mít mnoho nových podmnožin ze které tam nebyly ve starém vesmíru, a tím porušit hypotézy kontinua . ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V^{*}}$${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle = \ {0,1,2, \ ldots \}}$

Při řešení konečných množin to není možné, ale je to jen další verze Cantorova paradoxu o nekonečnu. V zásadě by se dalo uvažovat o:

${\ Displaystyle V^{*} = V \ times \ {0,1 \},}$

identifikovat se a poté zavést rozšířený vztah členství zahrnující „nové“ sady formuláře . Forcing je propracovanější verzí této myšlenky, redukuje expanzi na existenci jedné nové sady a umožňuje jemnou kontrolu nad vlastnostmi rozšířeného vesmíru. ${\ Displaystyle x \ v V}$${\ displaystyle (x, 0)}$${\ displaystyle (x, 1)}$

Cohenova původní technika, nyní nazývaná rozvětvené vynucování , se mírně liší od zde popsaného neramifikovaného vynucování . Vynucení je také ekvivalentní metodě booleovských modelů , které jsou podle některých konceptuálně přirozenější a intuitivnější, ale jejich aplikace je obvykle mnohem obtížnější.

Vynucení pozet

Nutí poset je objednal trojnásobný, kde je preorder na který je atomless , což znamená, že splňuje následující podmínky: ${\ Displaystyle (\ mathbb {P}, \ leq, \ mathbf {1})}$${\ displaystyle \ leq}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$

• Pro každého existují takové, že žádné takové . Největší prvek je , to znamená pro všechny .${\ displaystyle p \ in \ mathbb {P}}$${\ Displaystyle q, r \ in \ mathbb {P}}$${\ Displaystyle q, r \ leq p}$${\ displaystyle s \ in \ mathbb {P}}$${\ Displaystyle s \ leq q, r}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle \ mathbf {1}}$${\ Displaystyle p \ leq \ mathbf {1}}$${\ displaystyle p \ in \ mathbb {P}}$

Členům se říká vynucené podmínky nebo jen podmínky . Člověk čte jako „ je silnější než “. Intuitivně poskytuje podmínka „menší“ „více“ informací, stejně jako menší interval poskytuje více informací o čísle π než interval . ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ Displaystyle p \ leq q}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ Displaystyle [3.1415926,3.1415927]}$${\ Displaystyle [3.1,3.2]}$

Používají se různé konvence. Někteří autoři vyžadují, aby byli také antisymetrickí , takže vztah je dílčí pořadí . Někteří stejně používají termín částečné pořadí , což je v rozporu se standardní terminologií, zatímco někteří používají termín předobjednávka . Od největšího prvku lze upustit. Používá se také obrácené řazení, zejména Saharon Shelah a jeho spoluautoři. ${\ displaystyle \ leq}$

P-jména

Spojená s nutit uspořádané množiny je třída ze - jména . A -name je sada formuláře ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle V^{(\ mathbb {P})}}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle A}$

${\ Displaystyle A \ subseteq \ {(u, p) \ mid u ~ {\ text {is a}} ~ \ mathbb {P} {\ text {-name and}} ~ p \ in \ mathbb {P} \ }.}$

Toto je vlastně definice transfinitní rekurzí . S prázdnou množinou, je nástupce pořadový na pořadový , power-set operátor a mez pořadový , definovat následující hierarchie: ${\ displaystyle \ varnothing}$${\ displaystyle \ alpha +1}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ Displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ operatorname {Name} (\ varnothing) & = \ varnothing, \\\ operatorname {Name} (\ alpha +1) & = {\ mathcal {P}} (\ operatorname {Name } (\ alpha) \ times \ mathbb {P}), \\\ operatorname {Name} (\ lambda) & = \ bigcup \ {\ operatorname {Name} (\ alpha) \ mid \ alpha <\ lambda \}. \ end {aligned}}}$

Potom je třída -names definována jako ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$

${\ Displaystyle V^{(\ mathbb {P})} = \ bigcup \ {\ operatorname {Name} (\ alpha) ~ | ~ \ alpha ~ {\ text {je pořadové číslo}} \}.}$

Tyto -names jsou, ve skutečnosti, expanze vesmíru . Vzhledem k tomu , jeden definuje být -name ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ Displaystyle x \ v V}$${\ displaystyle {\ check {x}}}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$

${\ displaystyle {\ check {x}} = \ {({\ check {y}}, \ mathbf {1}) \ mid y \ in x \}.}$

Opět je to opravdu definice transfinitní rekurzí.

Výklad

Vzhledem k tomu, jakákoli podmnožina of jeden vedle Definuje výklad nebo ocenění mapy od -names by ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {val} (u, G) = \ {\ operatorname {val} (v, G) \ mid \ existuje p \ v G: ~ (v, p) \ v u \}.}$

Toto je opět definice pomocí transfinitní rekurze. Všimněte si, že když , tak . Jeden pak definuje ${\ displaystyle \ mathbf {1} \ v G}$${\ displaystyle \ operatorname {val} ({\ check {x}}, G) = x}$

${\ displaystyle {\ underline {G}} = \ {({\ check {p}}, p) \ mid p \ in G \}}$

tak to . ${\ displaystyle \ operatorname {val} ({\ underline {G}}, G) = \ {\ operatorname {val} ({\ check {p}}, G) \ mid p \ in G \} = G}$

Příklad

Dobrým příkladem nutit uspořádané množiny je , kde a je sbírka Borel podskupin z mají nenulový Lebesgueovy míry . V tomto případě lze hovořit o podmínkách jako o pravděpodobnostech a a -name přiřazuje členství v pravděpodobnostním smyslu. Vzhledem k připravené intuici, kterou tento příklad může poskytnout, je pravděpodobnostní jazyk někdy používán s jinými divergentními vynucujícími se sadami. ${\ displaystyle (\ operatorname {Bor} (I), \ subseteq, I)}$${\ displaystyle I = [0,1]}$${\ displaystyle \ operatorname {Bor} (I)}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ operatorname {Bor} (I)}$

Počitatelné tranzitivní modely a obecné filtry

Klíčovým krokem při nucení je, vzhledem k vesmíru , najít vhodný objekt , ve kterém se nenacházíme . Výsledná třída všech interpretací -names bude modelem, který správně rozšiřuje originál (since ). ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle G \ notin V}$

Místo práce s je užitečné zvážit počitatelný tranzitivní model s . "Model" se týká modelu teorie množin, buď všech , nebo modelu velké, ale konečné podmnožiny nebo nějaké její varianty. „Přechodnost“ znamená, že když , tak . Mostowski kolaps lemma tvrdí, že toto lze předpokládat v případě, že členství vztah je opodstatněný . Přechodnost má za následek, že členství a další elementární pojmy lze řešit intuitivně. Spolehlivost modelu závisí na Löwenheim – Skolemově větě . ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle (\ mathbb {P}, \ leq, \ mathbf {1}) \ v M}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ Displaystyle x \ in y \ in M}$${\ displaystyle x \ v M}$

Stejně jako sada existují sady, které nejsou v - to vyplývá z Russellova paradoxu . Příslušný set vybrat a sousedí s je generický filtr na . Podmínka „filtr“ znamená, že: ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$

• ${\ Displaystyle G \ subseteq \ mathbb {P};}$
• ${\ displaystyle \ mathbf {1} \ v G;}$
• když , tak${\ Displaystyle p \ geq q \ v G}$${\ displaystyle p \ v G;}$
• pokud , pak existuje takovéto${\ displaystyle p, q \ v G}$${\ displaystyle r \ v G}$${\ Displaystyle r \ leq p, q.}$

Být „obecný“ znamená: ${\ displaystyle G}$

• Pokud je „hustá“ podmnožina (to znamená, že pro každou existuje taková ), pak .${\ displaystyle D \ in M}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle p \ in \ mathbb {P}}$${\ displaystyle q \ v D}$${\ Displaystyle q \ leq p}$${\ Displaystyle G \ cap D \ neq \ varnothing}$

Existence generického filtru vyplývá z Rasiowova – Sikorského lemmatu . Ve skutečnosti je o něco víc, je to pravda: Daný stav , je možné najít obecný filtr tak, že . Vzhledem k podmínce štěpení na (výše označováno jako 'bez atomů'), pokud je filtr, pak je hustý. Pokud , pak proto , že je modelem . Z tohoto důvodu generický filtr nikdy není . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p \ in \ mathbb {P}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p \ v G}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} \ setminus G}$${\ displaystyle G \ in M}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} \ setminus G \ in M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle M}$

Vynucení

Vzhledem k obecnému filtru se postupuje následovně. Podtřída -names v je označena . Nechat ${\ Displaystyle G \ subseteq \ mathbb {P}}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M^{(\ mathbb {P})}}$

${\ Displaystyle M [G] = \ left \ {\ operatorname {val} (u, G) ~ {\ Big |} ~ u \ in M^{(\ mathbb {P})} \ right \}.}$

Chcete-li snížit studium nastavené teorie k tomu , jeden pracuje s „nutí jazyka“, který je vybudován jako obyčejné logiky prvního řádu , s členstvím jako binární relace a všechny -names jako konstanty. ${\ displaystyle M [G]}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$

Definujte (čtěte jako „ síly v modelu s posetem “), kde je podmínka, je vzorec ve vynucovacím jazyce a 's jsou -nameny, což znamená, že pokud je obecný filtr obsahující , pak . Zvláštní případ je často psán jako „ “ nebo jednoduše „ “. Taková prohlášení jsou pravdivá , bez ohledu na to, co je. ${\ Displaystyle p \ Vdash _ {M, \ mathbb {P}} \ varphi (u_ {1}, \ ldots, u_ {n})}$${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle u_ {i}}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle M [G] \ models \ varphi (\ operatorname {val} (u_ {1}, G), \ ldots, \ operatorname {val} (u_ {n}, G))}$${\ Displaystyle \ mathbf {1} \ Vdash _ {M, \ mathbb {P}} \ varphi}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} \ Vdash _ {M, \ mathbb {P}} \ varphi}$${\ Displaystyle \ Vdash _ {M, \ mathbb {P}} \ varphi}$${\ displaystyle M [G]}$${\ displaystyle G}$

Důležité je, aby tato vnější definice vztahu vynucování byla ekvivalentní vnitřní definici uvnitř , definované transfinitní indukcí nad názvy -na instancích a , a pak běžnou indukcí na složitost vzorců. To má za následek, že všechny vlastnosti jsou skutečně vlastnostmi a ověření in se stane přímočarým. To je obvykle shrnuto jako následující tři klíčové vlastnosti: ${\ Displaystyle p \ Vdash _ {M, \ mathbb {P}} \ varphi}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle u \ in v}$${\ displaystyle u = v}$${\ displaystyle M [G]}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle M [G]}$

• Pravda : právě tehdy, když je vynucena , tj. Pro nějakou podmínku , máme .${\ Displaystyle M [G] \ models \ varphi (\ operatorname {val} (u_ {1}, G), \ ldots, \ operatorname {val} (u_ {n}, G))}$ ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p \ v G}$${\ Displaystyle p \ Vdash _ {M, \ mathbb {P}} \ varphi (u_ {1}, \ ldots, u_ {n})}$
• Definovatelnost : Příkaz „ “ je definovatelný v .${\ Displaystyle p \ Vdash _ {M, \ mathbb {P}} \ varphi (u_ {1}, \ ldots, u_ {n})}$${\ displaystyle M}$
• Soudržnost : .${\ Displaystyle p \ Vdash _ {M, \ mathbb {P}} \ varphi (u_ {1}, \ ldots, u_ {n}) \ land q \ leq p \ implicts q \ Vdash _ {M, \ mathbb { P}} \ varphi (u_ {1}, \ ldots, u_ {n})}$

Definujeme nutí vztah v indukcí podle složitosti vzorců, ve které nejprve definovat vztah pro atomové vzorcích od -induction a definovat to pro libovolné vzorce indukcí na jejich složitosti. ${\ displaystyle \ Vdash _ {M, \ mathbb {P}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ in}$

Nejprve definujeme vztah vynucování na atomových vzorcích, a to současně pro oba typy vzorců a současně. To znamená, že definujeme jeden vztah, kde označuje typ vzorce následovně: ${\ displaystyle x \ in y}$${\ displaystyle x = y}$${\ Displaystyle R (p, a, b, t, \ mathbb {P})}$${\ displaystyle t}$

1. ${\ Displaystyle R (p, a, b, 0, \ mathbb {P})}$prostředky .${\ Displaystyle p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} a \ in b}$
2. ${\ Displaystyle R (p, a, b, 1, \ mathbb {P})}$prostředky .${\ Displaystyle p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} a = b}$
3. ${\ Displaystyle R (p, a, b, 2, \ mathbb {P})}$prostředky .${\ Displaystyle p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} a \ subseteq b}$

Zde je podmínka a jsou -nameny. Nechť je vzorec definovaný -indukcí: ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ Displaystyle R (p, a, b, t, \ mathbb {P})}$${\ displaystyle \ in}$

R1. kdyby a jen kdyby . ${\ Displaystyle R (p, a, b, 0, \ mathbb {P})}$${\ Displaystyle (\ forall q \ leq p) (\ existuje r \ leq q) (\ existuje (s, c) \ in b) (r \ leq s \, \ land \, R (r, a, c, 1, \ mathbb {P}))}$

R2. kdyby a jen kdyby . ${\ Displaystyle R (p, a, b, 1, \ mathbb {P})}$${\ Displaystyle R (r, a, b, 2, \ mathbb {P}) \, \ land \, R (r, b, a, 2, \ mathbb {P})}$

R3. kdyby a jen kdyby . ${\ Displaystyle R (p, a, b, 2, \ mathbb {P})}$${\ Displaystyle (\ forall (s, c) \ in a) (\ forall q \ leq p) (\ existuje r \ leq q) (r \ leq s \, \ Rightarrow \, R (r, c, b, 0, \ mathbb {P}))}$

Formálněji používáme následující binární relační názvy: Písmena platí pro jména a právě tehdy, pokud platí alespoň pro jednu podmínku . Tento vztah je opodstatněný, což znamená, že pro jakékoli jméno je třída všech jmen , která platí, množinou a taková funkce neexistuje . ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ Displaystyle S (a, b)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ Displaystyle (p, a) \ in b}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ Displaystyle S (a, b)}$${\ Displaystyle f: \ omega \ longrightarrow Names}$${\ Displaystyle (\ forall n \ in \ omega) S (f (n+1), f (n))}$

Dobře podložený vztah obecně není předobjednávka, protože nemusí být tranzitivní. Pokud to však považujeme za „uspořádání“, je to vztah bez nekonečných klesajících posloupností a kde pro jakýkoli prvek je třída prvků pod ním množinou.

Je snadné uzavřít jakýkoli binární vztah pro tranzitivitu. Názvů a , platí v případě, že je alespoň jedna konečná posloupnost (jako mapu s doménou ) pro některé taková, že , a pro všechny , myslí si. Takové uspořádání je také opodstatněné. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a <b}$${\ displaystyle c_ {0}, \ tečky, c_ {n}}$${\ Displaystyle \ {0, \ tečky, n \}}$${\ displaystyle n> 0}$${\ displaystyle c_ {0} = a}$${\ displaystyle c_ {n} = b}$${\ Displaystyle i <n}$${\ Displaystyle S (c_ {i-1}, c_ {i})}$

Na dvojicích jmen definujeme následující dobře definované řazení: pokud platí jedno z následujícího: ${\ Displaystyle T ((a, b), (c, d))}$

1. ${\ Displaystyle \ max \ {a, b \} <\ max \ {c, d \}}$,
2. ${\ Displaystyle \ max \ {a, b \} = \ max \ {c, d \}}$a ,${\ Displaystyle \ min \ {a, b \} <\ min \ {c, d \}}$
3. ${\ Displaystyle \ max \ {a, b \} = \ max \ {c, d \}}$a a .${\ Displaystyle \ min \ {a, b \} = \ min \ {c, d \}}$${\ displaystyle a <c}$

Vztah je definován rekurzí na dvojicích jmen. Pro jakýkoli pár je definován stejným vztahem na „jednodušších“ párech. Ve skutečnosti podle rekurzivní věty existuje vzorec takový, že R1, R2 a R3 jsou věty, protože její pravdivostní hodnota v určitém bodě je definována jejími pravdivostními hodnotami v „menších“ bodech vzhledem k nějakému dobře podloženému vztahu používanému jako „uspořádání“ ". Nyní jsme připraveni definovat vztah vynucení: ${\ Displaystyle R (p, a, b, t, \ mathbb {P})}$${\ displaystyle (a, b)}$${\ Displaystyle R (p, a, b, t, \ mathbb {P})}$

1. ${\ Displaystyle p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} a \ in b}$prostředky .${\ Displaystyle a, b \ in Name \, \ land \, R (p, a, b, 0, \ mathbb {P})}$
2. ${\ Displaystyle p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} a = b}$prostředky .${\ Displaystyle a, b \ in Name \, \ land \, R (p, a, b, 1, \ mathbb {P})}$
3. ${\ Displaystyle p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} \ lnot f (a_ {1}, \ dots, a_ {n})}$prostředky .${\ Displaystyle a_ {1}, \ dots, a_ {n} \ in Name \, \ land \, \ lnot (\ neexistuje q \ leq p) q \ Vdash _ {\ mathbb {P}} f (a_ {1 }, \ tečky, a_ {n})}$
4. ${\ Displaystyle p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} (f (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) \ land g (a_ {1}, \ dots, a_ {n}))}$prostředky .${\ Displaystyle a_ {1}, \ dots, a_ {n} \ in Name \, \ land \, (p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} f (a_ {1}, \ dots, a_ {n} )) \ land (p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} g (a_ {1}, \ dots, a_ {n}))}$
5. ${\ Displaystyle p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} (\ forall x) f (a_ {1}, \ dots, a_ {n}, x)}$prostředky .${\ Displaystyle a_ {1}, \ dots, a_ {n} \ in Name \, \ land \, a_ {1}, \ dots, a_ {n} \ in Name \, \ land \, (\ forall b \ ve jménech) p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} f (a_ {1}, \ dots, a_ {n}, b)}$

Ve skutečnosti se jedná o transformaci libovolného vzorce na vzorec kde a jsou další proměnné. Toto je definice vztahu vynucování ve vesmíru všech množin bez ohledu na jakýkoli spočitatelný tranzitivní model. Existuje však vztah mezi touto „syntaktickou“ formulací vynucování a „sémantickou“ formulací nucení nad nějakým počitatelným tranzitivním modelem . ${\ Displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$${\ Displaystyle p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} f (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle M}$

1. Pro jakýkoli vzorec existuje věta teorie (například konjunkce konečného počtu axiomů) taková, že pro jakýkoli počitatelný tranzitivní model takový a jakýkoli atomový parciální řád a jakýkoli generický filtr přes${\ Displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle M \ models T}$${\ displaystyle \ mathbb {P} \ v M}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle M}$
   $${\ Displaystyle (\ forall a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ in M^{\ mathbb {P}}) (\ forall p \ in \ mathbb {P}) (p \ Vdash _ {M, \ mathbb {P}} f (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) \, \ Leftrightarrow \, M \ models p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} f (a_ {1}, \ tečky , a_ {n})).}$$

   

Tomu se říká vlastnost definovatelnosti silového vztahu.

Konzistence

Výše uvedenou diskusi lze shrnout do výsledku fundamentální konzistence, že vzhledem k vynucené množině můžeme předpokládat existenci generického filtru , který do vesmíru nepatří , takový, že je to opět set-teoretický vesmír, který modeluje . Kromě toho mohou být všechny pravdy zredukovány na pravdy zahrnující nutící vztah. ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle V [G]}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ Displaystyle V [G]}$${\ displaystyle V}$

Oba styly, sousedící buď s počitatelným tranzitivním modelem, nebo s celým vesmírem , se běžně používají. Méně často se setkáváme s přístupem využívajícím „interní“ definici vynucení, ve kterém není zmínka o modelech sad nebo tříd. To byla Cohenova původní metoda a v jednom zpracování se stala metodou booleovské analýzy. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle V}$

Cohen nutí

Nejjednodušší netriviální nutí poset je , že konečné dílčí funkce z na základě zpětného začlenění. To znamená, že podmínkou jsou v podstatě dvě disjunktní konečné podmnožiny a části , o nichž je třeba uvažovat jako o částech „ano“ a „ne“ , aniž by byly poskytnuty informace o hodnotách mimo doménu . „ je silnější než “ znamená, že jinými slovy části „ano“ a „ne“ jsou nadmnožinou částí „ano“ a „ne“ a v tomto smyslu poskytují více informací. ${\ displaystyle (\ operatorname {Fin} (\ omega, 2), \ supseteq, 0)}$${\ displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle 2 ~ {\ stackrel {\ text {df}} {=}} ~ \ {0,1 \}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle {p^{-1}} [1]}$${\ displaystyle {p^{-1}} [0]}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle q \ supseteq p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p}$

Buďme obecným filtrem pro tuto sadu. Pokud a jsou oba v , pak je podmínkou, protože je filtr. To znamená, že jde o dobře definovanou částečnou funkci od do, protože jakékoli dvě podmínky se shodují na jejich společné doméně. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle p \ cup q}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle g = \ bigcup G}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle G}$

Ve skutečnosti je to úplná funkce. Vzhledem k tomu , nechat . Pak je hustý. (Vzhledem k tomu , pokud není v doméně, přidejte hodnotu - výsledek je v .) Podmínka má ve své doméně, a protože , zjistíme, že je definována. ${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle n \ in \ omega}$${\ displaystyle D_ {n} = \ {p \ mid p (n) ~ {\ text {is defined}} \}}$${\ displaystyle D_ {n}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle D_ {n}}$${\ displaystyle p \ in G \ cap D_ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle p \ subseteq g}$${\ displaystyle g (n)}$

Nechť je množina všech členů „ano“ obecných podmínek. Je možné přímo pojmenovat . Nechat ${\ Displaystyle X = {g^{-1}} [1]}$${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle {\ underline {X}} = \ left \ {\ left ({\ check {n}}, p \ right) \ mid p (n) = 1 \ right \}.}$

Pak Nyní předpokládejme, že v . To tvrdíme . Nechat ${\ displaystyle \ operatorname {val} ({\ underline {X}}, G) = X.}$${\ Displaystyle A \ subseteq \ omega}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle X \ neq A}$

${\ Displaystyle D_ {A} = \ {p \ mid (\ existuje n) (n \ in \ operatorname {Dom} (p) \ land (p (n) = 1 \ iff n \ notin A)) \}. }$

Pak je hustý. (Vzhledem k tomu, jakýkoli , zjistěte, že to není v jeho doméně, a přilehněte k hodnotě , která je v rozporu se stavem „ “.) Pak případní svědci . Abych to shrnul, je to „nová“ podmnožina , nutně nekonečná. ${\ displaystyle D_ {A}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle n \ v A}$${\ displaystyle p \ in G \ cap D_ {A}}$${\ Displaystyle X \ neq A}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ omega}$

Výměnou za , to znamená, zvažte místo toho konečné dílčí funkce, jejichž vstupy jsou ve formě , s a , a jejichž výstupy jsou nebo , získá nové podmnožiny . Všichni jsou odlišní argumentem hustoty: Vzhledem k tomu , let ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega \ times \ omega _ {2}}$${\ Displaystyle (n, \ alpha)}$${\ Displaystyle n <\ omega}$${\ Displaystyle \ alpha <\ omega _ {2}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle \ omega _ {2}}$${\ displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle \ alpha <\ beta <\ omega _ {2}}$

${\ Displaystyle D _ {\ alpha, \ beta} = \ {p \ mid (\ existuje n) (p (n, \ alpha) \ neq p (n, \ beta)) \},}$

pak je každý hustý a obecná podmínka v něm dokazuje, že α -ta nová množina někde nesouhlasí s tou novou sadou. ${\ displaystyle D _ {\ alpha, \ beta}}$${\ displaystyle \ beta}$

To ještě není falzifikace hypotézy kontinua. Je třeba prokázat, že žádné nové mapy byly zavedeny, která mapa na , nebo na . Pokud například vezmeme v úvahu místo toho konečné konečné dílčí funkce od do , první nepočitatelné pořadové číslo , dostaneme se do bijekce od do . Jinými slovy, má zhroutil av nutí prodloužení, je počitatelné pořadový. ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ displaystyle \ omega _ {2}}$${\ displaystyle \ operatorname {Fin} (\ omega, \ omega _ {1})}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ Displaystyle V [G]}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ displaystyle \ omega _ {1}}$

Posledním krokem k prokázání nezávislosti hypotézy kontinua je tedy ukázat, že Cohenova nutnost nesrazí kardinály. K tomu je dostatečnou kombinatorickou vlastností to, že všechny antičísla vynucené posety jsou spočitatelné.

Počitatelná podmínka řetězce

(Silný) protiřetězec ze je podmnožina takové, že v případě , poté a jsou neslučitelné (písemná ), což znamená, že není v takové, že a . V příkladu na sadách Borel znamená nekompatibilita nulovou míru. V příkladu o konečných dílčích funkcích znamená nekompatibilita, že to není funkce, jinými slovy, a určitému vstupu domény přiřadit různé hodnoty. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ Displaystyle p, q \ v A}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ Displaystyle p \ perp q}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ Displaystyle r \ leq p}$${\ Displaystyle r \ leq q}$${\ Displaystyle p \ cap q}$${\ Displaystyle p \ cup q}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$

${\ displaystyle \ mathbb {P}}$splňuje podmínku počitatelného řetězce (ccc) právě tehdy, když je počítatelný každý antichain v . (Název, který je zjevně nevhodný, pochází ze starší terminologie. Někteří matematici píší „cac“ pro „počitatelnou podmínku řetězce“.) ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$

Je snadné vidět, že to splňuje CCC, protože opatření se maximálně doplňují . Také splňuje CCC, ale důkaz je obtížnější. ${\ displaystyle \ operatorname {Bor} (I)}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle \ operatorname {Fin} (E, 2)}$

Daný nespočetná podčeleď , zmenšit na nespočetné podčeledi souprav velikosti pro některé . Pokud pro nespočetně mnoho , zmenšete to na nepočitatelnou podrodinu a opakujte, čímž získáte konečnou množinu a nespočetnou rodinu nekompatibilních podmínek velikosti tak, že každý je pro maximálně počitatelný mnoho . Nyní vyberte libovolné a vyberte z libovolného, který není jedním z mnoha členů, kteří mají společný člen domény . Pak a jsou kompatibilní, takže není antichain. Jinými slovy, -antichains jsou počitatelné. ${\ displaystyle W \ subseteq \ operatorname {Fin} (E, 2)}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle W_ {0}}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle n <\ omega}$${\ displaystyle p (e_ {1}) = b_ {1}}$${\ displaystyle p \ v W_ {0}}$${\ displaystyle W_ {1}}$${\ Displaystyle \ {(e_ {1}, b_ {1}), \ ldots, (e_ {k}, b_ {k}) \}}$${\ displaystyle W_ {k}}$${\ displaystyle nk}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle \ operatorname {Dom} (p)}$${\ displaystyle p \ v W_ {k}}$${\ displaystyle p \ v W_ {k}}$${\ displaystyle W_ {k}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle p \ cup \ {(e_ {1}, b_ {1}), \ ldots, (e_ {k}, b_ {k}) \}}$${\ Displaystyle q \ cup \ {(e_ {1}, b_ {1}), \ ldots, (e_ {k}, b_ {k}) \}}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle \ operatorname {Fin} (E, 2)}$

Význam antichainů při vynucování je ten, že pro většinu účelů jsou husté sady a maximální antichains ekvivalentní. Maximální protiřetězec je ten, který nemůže být rozšířena na větší protiřetězec. To znamená, že každý prvek je kompatibilní s některým členem . Existence maximálního antichainu vyplývá ze Zornova Lemma . Vzhledem k maximálnímu antichainu nechme ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle p \ in \ mathbb {P}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

${\ Displaystyle D = \ left \ {p \ in \ mathbb {P} \ mid (\ existuje q \ in A) (p \ leq q) \ right \}.}$

Pak je hustý, a když a jen když . Naopak, vzhledem k husté sadě , Zornova Lemma ukazuje, že existuje maximální antichain , a pak právě tehdy, když . ${\ displaystyle D}$${\ Displaystyle G \ cap D \ neq \ varnothing}$${\ Displaystyle G \ cap A \ neq \ varnothing}$${\ displaystyle D}$${\ Displaystyle A \ subseteq D}$${\ Displaystyle G \ cap D \ neq \ varnothing}$${\ Displaystyle G \ cap A \ neq \ varnothing}$

Předpokládejme, že splňuje ccc Vzhledem k tomu , s funkcí v , jeden může přiblížit dovnitř následujícím způsobem. Nechť je název pro (podle definice ) a nechť je podmínkou, která nutí být funkcí od do . Definujte funkci , jejíž doménou je , pomocí ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle x, y \ v V}$${\ Displaystyle f: x \ to y}$${\ Displaystyle V [G]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle V [G]}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle x}$

${\ Displaystyle F (a) {\ stackrel {\ text {df}} {=}} \ left \ {b \ left | (\ existuje q \ in \ mathbb {P}) \ left [(q \ leq p) \ land \ left (q \ Vdash ~ u \ left ({\ check {a}} \ right) = {\ check {b}} \ right) \ right] \ right \}. \ right.}$

Podle definovatelnosti vynucení má tato definice smysl uvnitř . Díky soudržnosti vynucování pochází jiný od nekompatibilního . Od ccc, je počitatelné. ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle F (a)}$

Stručně řečeno, není známo, protože závisí na , ale není to divoce neznámé pro vynucení CCC. Lze identifikovat počitatelnou sadu odhadů, pro které je hodnota jakéhokoli vstupu, nezávisle na . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle G}$

To má následující velmi důležitý důsledek. V případě , je surjekce z jednoho nekonečného pořadový na jinou, pak je surjekce v , a v důsledku toho surjekce v . Zejména kardinálové se nemohou zhroutit. Závěr je takový, že v . ${\ Displaystyle V [G]}$${\ displaystyle f: \ alpha \ to \ beta}$${\ Displaystyle g: \ omega \ times \ alpha \ to \ beta}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle h: \ alpha \ to \ beta}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle 2^{\ aleph _ {0}} \ geq \ aleph _ {2}}$${\ Displaystyle V [G]}$

Easton nutí

Přesnou hodnotu kontinua ve výše uvedeném Cohenově modelu a varianty jako pro kardinály obecně vypracoval Robert M. Solovay , který také vypracoval, jak porušit ( zobecněná hypotéza kontinua ), pouze pro běžné kardinály konečný několikrát. Například ve výše uvedeném Cohenově modelu platí , že pokud drží , pak drží . ${\ displaystyle \ operatorname {Fin} (\ omega \ times \ kappa, 2)}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle {\ mathsf {GCH}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {CH}}}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle 2^{\ aleph _ {0}} = \ aleph _ {2}}$${\ Displaystyle V [G]}$

William B. Easton vypracoval správnou třídní verzi porušení pravidelných kardinálů a v zásadě ukázal, že známá omezení (monotónnost, Cantorova věta a Königova věta ) byla jediným prokazatelným omezením (viz Eastonova věta ). ${\ displaystyle {\ mathsf {GCH}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$

Eastonova práce byla pozoruhodná tím, že zahrnovala vynucení se správnou třídou podmínek. Obecně způsob vynucení se správnou třídou podmínek neposkytuje model . Například vynucení s , kde je správná třída všech pořadových čísel, dělá z kontinua správnou třídu. Na druhé straně vynucení s zavádí spočítatelný výčet pořadových čísel. V obou případech výsledně není viditelně modelem . ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle \ operatorname {Fin} (\ omega \ times \ mathbf {On}, 2)}$${\ displaystyle \ mathbf {On}}$${\ displaystyle \ operatorname {Fin} (\ omega, \ mathbf {On})}$${\ Displaystyle V [G]}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$

Najednou se mělo za to, že sofistikovanější vynucování by také umožnilo libovolné kolísání sil singulárních kardinálů . Ukázalo se však, že je to obtížný, subtilní a dokonce překvapivý problém s několika dalšími omezeními prokazatelnými v modelech vynucování a s nimi v závislosti na konzistenci různých velkých kardinálních vlastností. Mnoho otevřených problémů zůstává. ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$

Náhodné reality

Náhodné vynucení lze definovat jako vynucení přes množinu všech kompaktních podmnožin pozitivního měřítka seřazeného podle relace (menší množina v kontextu zařazení je menší množina v uspořádání a představuje podmínku s více informacemi). Existují dva typy důležitých hustých sad: ${\ displaystyle P}$${\ Displaystyle [0,1]}$${\ displaystyle \ subseteq}$

1. Pro jakékoli kladné celé číslo množinu${\ displaystyle n}$
   $${\ displaystyle D_ {n} = \ left \ {p \ in P: \ operatorname {diam} (p) <{\ frac {1} {n}} \ right \}}$$

   
   je hustá, kde je průměr sady .${\ displaystyle \ operatorname {diam} (p)}$${\ displaystyle p}$
2. Pro jakoukoli Borelovu podmnožinu opatření 1, množinu${\ Displaystyle B \ subseteq [0,1]}$
   $${\ Displaystyle D_ {B} = \ {p \ v P: p \ subseteq B \}}$$

   
   je hustý.

Pro jakýkoli filtr a pro jakýkoli konečný počet prvků existuje něco , co platí . V případě tohoto uspořádání to znamená, že jakýkoli filtr je sada kompaktních sad s vlastností konečných průniků. Z tohoto důvodu je průnik všech prvků jakéhokoli filtru neprázdný. Pokud je filtr protínající hustou množinu pro jakékoli kladné celé číslo , pak filtr obsahuje podmínky libovolně malého kladného průměru. Průnik všech podmínek z má tedy průměr 0. Ale jediné neprázdné sady průměru 0 jsou singletony. Takže tam je přesně jeden reálné číslo taková, že . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p_ {1}, \ ldots, p_ {n} \ v G}$${\ displaystyle q \ v G}$${\ Displaystyle q \ leq p_ {1}, \ ldots, p_ {n}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle D_ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle r_ {G}}$${\ displaystyle r_ {G} \ in \ bigcap G}$

Nechť je jakákoli Borelova množina opatření 1. Pokud se protíná , pak . ${\ Displaystyle B \ subseteq [0,1]}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle D_ {B}}$${\ displaystyle r_ {G} \ v B}$

Obecný filtr přes spočitatelný tranzitivní model však není in . Real definovaný není prokazatelně prvkem . Problém je v tom , že pokud pak " je kompaktní", ale z pohledu nějakého většího vesmíru , může být nekompaktní a průnik všech podmínek z generického filtru je ve skutečnosti prázdný. Z tohoto důvodu uvažujeme množinu topologických uzávěrů podmínek z G. Kvůli a vlastnosti konečných průsečíků má množina také vlastnost konečných průsečíků. Prvky sady jsou ohraničené uzavřené sady jako uzávěry ohraničených množin. Proto je množina kompaktních množin s vlastností konečných průsečíků a má tedy neprázdný průnik. Protože a pozemní model dědí metriku z vesmíru , sada má prvky libovolně malého průměru. Nakonec existuje přesně jeden skutečný, který patří všem členům sady . Generický filtr lze rekonstruovat z as . ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle r_ {G}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle p \ in P}$${\ displaystyle V \ models}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle U \ supset V}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle C = \ {{\ bar {p}}: p \ v G \}}$${\ displaystyle {\ bar {p}} \ supseteq p}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ operatorname {diam} ({\ bar {p}}) = \ operatorname {diam} (p)}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle r_ {G}}$${\ Displaystyle G = \ {p \ in P: r_ {G} \ in {\ bar {p}} \}}$

Pokud je název a pro blokování " je Borelova sada míry 1", pak platí ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle r_ {G}}$${\ Displaystyle B \ v V}$${\ displaystyle V \ models}$${\ displaystyle B}$

${\ Displaystyle V [G] \ models \ left (p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} a \ in {\ check {B}} \ right)}$

pro některé . Existuje název , který pro jakýkoli obecný filtr platí ${\ displaystyle p \ v G}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle \ operatorname {val} (a, G) \ in \ bigcup _ {p \ in G} {\ bar {p}}.}$

Pak

${\ Displaystyle V [G] \ models \ left (p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} a \ in {\ check {B}} \ right)}$

platí pro jakékoli podmínky . ${\ displaystyle p}$

Každá Borelova sada může být, ne jedinečně, vytvořena, počínaje intervaly s racionálními koncovými body a používáním operací komplementu a počitatelných svazků, počitatelné několikrát. Záznam o takové konstrukci se nazývá Borelův kód . Vzhledem k tomu, Borel set v , jedním obnoví Borel kód, a poté použije stejnou konstrukční pořadí, v , získání Borel set . Je dokázáno, že jeden získá stejnou sadu nezávisle na konstrukci a že jsou zachovány základní vlastnosti. Například když , tak . Pokud má nulu, pak má nulu. Toto mapování je injektivní. ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle V [G]}$${\ displaystyle B^{*}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B \ subseteq C}$${\ Displaystyle B^{*} \ subseteq C^{*}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B^{*}}$${\ displaystyle B \ mapsto B^{*}}$

Pro jakoukoli sadu , která platí a „ je Borelova sada míry 1“ platí . ${\ Displaystyle B \ subseteq [0,1]}$${\ Displaystyle B \ v V}$${\ displaystyle V \ models}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle r \ v B^{*}}$

To znamená, že je to „nekonečná náhodná sekvence 0 s a 1 s“ z hlediska , což znamená, že splňuje všechny statistické testy z pozemního modelu . ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$

Takže vzhledem k tomu , náhodný real, jeden to může ukázat ${\ displaystyle r}$

${\ Displaystyle G = \ left \ {B ~ ({\ text {in}} V) \ mid r \ in B^{*} ~ ({\ text {in}} V [G]) \ right \}. }$

Kvůli vzájemné interdefinovatelnosti mezi a , obecně se píše pro . ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle V [r]}$${\ Displaystyle V [G]}$

Jiný výklad skutečností poskytla Dana Scott . Racionální čísla mají jména, která odpovídají spočítatelně mnoha odlišným racionálním hodnotám přiřazeným k maximálnímu antichainu Borelských množin-jinými slovy, určitá racionálně hodnocená funkce na . Skutečná čísla pak odpovídají Dedekindovým řezům takových funkcí, tedy měřitelných funkcí . ${\ Displaystyle V [G]}$${\ Displaystyle V [G]}$${\ displaystyle I = [0,1]}$${\ Displaystyle V [G]}$

Booleovské modely

Snad jasněji lze tuto metodu vysvětlit pomocí modelů s booleovskou hodnotou. V těchto případech je jakémukoli tvrzení přiřazena spíše pravdivostní hodnota z nějaké úplné atomové booleovské algebry , než jen pravdivá/nepravdivá hodnota. Poté je v této booleovské algebře vybrán ultrafiltr , který přiřazuje hodnoty naší teorie pravdivé/nepravdivé. Jde o to, že výsledná teorie má model, který obsahuje tento ultrafiltr, který lze chápat jako nový model získaný rozšířením starého o tento ultrafiltr. Správným výběrem modelu s booleovskou hodnotou můžeme získat model, který má požadovanou vlastnost. V něm budou pravdivá v jistém smyslu pouze prohlášení, která musí být pravdivá (jsou „vynucená“) (protože má tuto vlastnost rozšíření/minimality).

Meta-matematické vysvětlení

Donutit, obvykle se snaží ukázat, že některé věty je v souladu s (nebo případně nějaké prodloužení ). Jedním ze způsobů, jak interpretovat argument, je předpokládat, že je konzistentní, a poté dokázat, že v kombinaci s novou větou je také konzistentní. ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$

Každá „podmínka“ je konečná informace - myšlenka je, že pro konzistenci jsou relevantní pouze konečné kusy, protože podle věty o kompaktnosti je teorie uspokojivá tehdy a jen tehdy, je -li splněna každá konečná podmnožina jejích axiomů. Pak můžeme vybrat nekonečnou sadu konzistentních podmínek pro rozšíření našeho modelu. Proto za předpokladu konzistence prokážeme konzistenci rozšířenou o tuto nekonečnou množinu. ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$

Logické vysvětlení

Podle druhé Gödelovy věty o neúplnosti nelze prokázat konzistenci žádné dostatečně silné formální teorie, jako je použití pouze axiomů samotné teorie, pokud není teorie nekonzistentní. Matematici se proto nepokoušejí prokázat konzistentnost používání pouze axiomů nebo dokázat, že je to konzistentní pro jakoukoli hypotézu používající pouze . Z tohoto důvodu je cílem důkazu konzistence prokázat konzistenci ve vztahu ke konzistenci . Takové problémy jsou známé jako problémy relativní konzistence , z nichž jeden dokazuje ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}+H}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}+H}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}+H}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$

$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}} \ vdash \ operatorname {Con} ({\ mathsf {ZFC}}) \ rightarrow \ operatorname {Con} ({\ mathsf {ZFC}}+H).}$$

( ⁎ )

Následuje obecné schéma důkazů relativní konzistence. Protože každý důkaz je konečný, používá pouze konečný počet axiomů:

${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}+\ lnot \ operatorname {Con} ({\ mathsf {ZFC}}+H) \ vdash (\ existuje T) (\ operatorname {Fin} (T) \ land T \ subseteq {\ mathsf {ZFC}} \ land (T \ vdash \ lnot H)).}$

U jakéhokoli daného důkazu můžete ověřit platnost tohoto důkazu. To je prokazatelné indukcí na délce důkazu. ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$

${\ Displaystyle {\ mathsf {ZFC}} \ vdash (\ forall T) ((T \ vdash \ lnot H) \ rightarrow ({\ mathsf {ZFC}} \ vdash (T \ vdash \ lnot H))).}$

Pak vyřešte

${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}+\ lnot \ operatorname {Con} ({\ mathsf {ZFC}}+H) \ vdash (\ existuje T) (\ operatorname {Fin} (T) \ land T \ subseteq {\ mathsf {ZFC}} \ land ({\ mathsf {ZFC}} \ vdash (T \ vdash \ lnot H))).}$

Prokázáním následujícího

$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}} \ vdash (\ forall T) (\ operatorname {Fin} (T) \ land T \ subseteq {\ mathsf {ZFC}} \ rightarrow ({\ mathsf {ZFC}} \ vdash \ operatorname {Con} (T+H))),}$$

( ⁎⁎ )

dá se z toho usoudit

${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}+\ lnot \ operatorname {Con} ({\ mathsf {ZFC}}+H) \ vdash (\ existuje T) (\ operatorname {Fin} (T) \ land T \ subseteq {\ mathsf {ZFC}} \ land ({\ mathsf {ZFC}} \ vdash (T \ vdash \ lnot H)) \ land ({\ mathsf {ZFC}} \ vdash \ operatorname {Con} (T+H) )),}$

což je ekvivalentní

${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}+\ lnot \ operatorname {Con} ({\ mathsf {ZFC}}+H) \ vdash \ lnot \ operatorname {Con} ({\ mathsf {ZFC}}),}$

který dává (*). Jádro důkazu relativní konzistence je dokazování (**). Důkazem mohou být konstruovány pro danou konečnou podmnožinu z axiomů (o nástroji samozřejmě). ( Samozřejmě žádný univerzální důkaz .) ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle \ operatorname {Con} (T+H)}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle \ operatorname {Con} (T+H)}$

V je prokazatelné, že pro jakoukoli podmínku je množina vzorců (hodnocená jmény) vynucená pomocí deduktivně uzavřena. Navíc pro jakýkoli axiom dokazuje, že tento axiom je vynucen . Pak stačí dokázat, že existuje alespoň jedna podmínka, která vynutí . ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle \ mathbf {1}}$${\ displaystyle H}$

V případě vynucení s booleovskou hodnotou je postup podobný: prokázat, že booleovská hodnota není . ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ mathbf {0}}$

Další přístup používá větu o odrazu. Pro každou danou konečnou sadu axiomů existuje důkaz, že tato sada axiomů má spočítatelný tranzitivní model. Pro jakoukoliv danou konečnou množinu z axiomů, tam je konečná množina z axiomů takových, které dokazuje, že pokud počitatelných tranzitivních modelů splňuje , pak splňuje . Tím, což dokazuje, že je konečný soubor z axiomů tak, že v případě, spočetná přechodných modelu splňuje , pak splňuje hypotézu . Pak není pro danou konečnou množinu z axiomů, dokazuje . ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle T '}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle T '}$${\ displaystyle M [G]}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T ''}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle T ''}$${\ displaystyle M [G]}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle \ operatorname {Con} (T+H)}$

Někdy je v (**) silnější teorie, než se používá k dokazování . Pak máme důkaz konzistence relativní ke konzistenci . Všimněte si, že kde je (axiom konstruovatelnosti). ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$${\ displaystyle \ operatorname {Con} (T+H)}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}+H}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}} \ vdash \ operatorname {Con} ({\ mathsf {ZFC}}) \ leftrightarrow \ operatorname {Con} ({\ mathsf {ZFL}})}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZFL}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {ZF}}+V = L}$

Viz také

• Seznam nutících pojmů
• Pěkné jméno

Reference

• Bell, JL (1985). Booleovské modely a důkazy nezávislosti v teorii množin , Oxford. ISBN  0-19-853241-5
• Cohen, PJ (1966). Teorie množin a hypotéza kontinua . Addison – Wesley. ISBN 978-0-8053-2327-6.
• Grishin, VN (2001) [1994], „Forcing Method“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Kunen, K. (1980). Teorie množin: Úvod do důkazů nezávislosti . Severní Holandsko. ISBN 978-0-444-85401-8.
• Jech, Thomas (2002). Set Theory: The Third Millenium Edition . Jarní verlag. ISBN 3-540-44085-2.

externí odkazy

• Kniha Nik Weaverova Forcing for Mathematicians byla napsána pro matematiky, kteří se chtějí naučit základní mašinérii nucení. Nepředpokládá se žádné pozadí logiky, kromě zařízení s formální syntaxí, která by měla být druhou přirozeností každého dobře vyškoleného matematika.
• Timothy Chow ‚s článek Začátečník průvodce ke Nutí je dobrý úvod do konceptů nutit, který se vyhýbá mnoho technických detailů. Tento dokument vyrostl z článku Chowovy diskusní skupiny Forcing for dummies . Kromě vylepšené expozice obsahuje příručka pro začátečníky část o modelech s booleovskou hodnotou.
• Viz také článek Kennyho Easwarana Veselý úvod do nucení a hypotéza kontinua , který je také zaměřen na začátečníky, ale obsahuje více technických podrobností než Chowův článek.
• Cohen, PJ Hypotéza nezávislosti kontinua , Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, Vol. 50, č. 6. (15. prosince 1963), s. 1143–1148.
• Cohen, PJ Hypotéza nezávislosti kontinua, II , Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, Vol. 51, č. 1. (15. ledna 1964), s. 105–110.
• Paul Cohen měl historickou přednášku The Discovery of Forcing (Rocky Mountain J. Math. Volume 32, Number 4 (2002), 1071–1100) o tom, jak vyvinul důkaz své nezávislosti. Propojená stránka obsahuje odkaz ke stažení pro otevřený přístup ve formátu PDF, ale váš prohlížeč musí z odkazované stránky odeslat záhlaví doporučovatele, aby ji získal.
• Akihiro Kanamori: Teorie množin od Cantora po Cohena
• Weisstein, Eric W. „Vynucení“ . MathWorld .